Fonctions Affines Problèmes du premier degré

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1 Fonctions Affines Problèmes du premier degré Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Fonctions Affines Définition Représentation graphique Proportionnalité des accroissements Détermination graphique d une fonction affine Sens de variation d une fonction affine Signe de mx + p Résolution d inéquations Inéquations du premier degré Premières résolutions d inéquations plus complexes Table des figures 1 Détermination graphique d une fonction affine Premier exemple de détermination graphique Deuxième exemple de détermination graphique Signe d une fonction affine cas m > Signe d une fonction affine cas m < Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 1 FONCTIONS AFFINES 1 Fonctions Affines 1.1 Définition Représentation graphique Définition : Soient m et p deux réels. La fonction f définie sur R par f (x) = mx + p est une fonction affine. Le coefficient m est appelé coefficient directeur. Le coefficient p est appelé ordonnée à l origine. Remarques : 1. Le nombre p est appelé ordonnée à l origine car f (0) = p. 2. Si m = 0 : f (x) = p, on obtient une fonction constante ; Si p = 0 : f (x) = mx, on obtient une fonction linéaire. Propriété : La représentation graphique de la fonction affine f définie sur R par f (x) = mx + p est la droite D d équation y = mx + p. Cette droite passe par le point de coordonnées (0 ; p). Remarque : Pour tracer une droite, il suffit d avoir deux points. On peut donc limiter, pour une fonction affine, le tableau de valeurs à deux (ou trois) pour tracer la droite représentant une fonction affine. Très souvent, un de ces points sera le point de coordonnées (0 ; p). Cas particuliers : Si f (x) = p (fonction constante), on obtient une droite parallèle à l axe des abscisses et passant par l ordonnée p ; Si f (x) = mx (fonction linéaire), on obtient une droite passant par l origine du repère. Exercices : 22, 23, 24 page 61 1 [TransMath] 1.2 Proportionnalité des accroissements Soit f la fonction affine définie sur R par f (x) = mx + p. Soient aet b 2 deux nombres réels distincts (a b). On a : Remarques : m = f (b) f (a) b a 1. Ce résultat a déjà été montré dans le chapitre «Repérage du plan Équations de droites». 2. Ceci peut se lire : m = différence des ordonnées différence des abscisses = y x 3. Ce quotient étant indépendant des valeurs choisies pour a et b, on vient de montrer que pour une fonction affine, l accroissement des images est proportionnel à l accroissement de la variable. 4. Cette égalité est en fait une caractérisation des fonctions affines. Exemple d utilisation : Détermination de la fonction affine f telle que f ( 2) = 1 et f (6) = 5. On a f (x) = mx + p. f (6) f ( 2) m = = ( 2) = 4 8 = Premières fonctions affines. 2

3 1.3 Détermination graphique d une fonction affine. 1 FONCTIONS AFFINES Par suite, f (x) = 1 2x + p. Pour déterminer l ordonnée à l origine p, il suffit de remarquer que f ( 2) = 1. On a donc : On obtient donc f (x) = 1 2 x + 2. f ( 2) = ( 2) + p = p = 1 p = 2 Exercices : 28, 29, 30, 31 page page 59 et 33, 34, 35, 37, 38 page 61 3 [TransMath] 1.3 Lecture graphique du coefficient directeur et de l ordonnée à l origine La méthode est basée sur les deux remarques suivantes : 1. la droite passe par le point de coordonnées (0 ; p) ; 2. le coefficient directeur est donné par la formule : m = différence des ordonnées différence des abscisses = y x. Méthode : (voir figure 1) Pour déterminer graphiquement le coefficient directeur : on part d un point de la droite (ici A) ; on avance de x unités (horizontalement) et on monte de y unités (verticalement) pour se trouver sur un autre point de la droite (ici B). Le coefficient directeur est alors : m = y différence des ordonnées = x différence des abscisses L ordonnée à l origine p est l ordonnée du point d intersection entre la droite et l axe des ordonnées. Figure 1 Détermination graphique d une fonction affine Exemples : 1. Voir figure 2. On pose f (x) = mx + p. La droite coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 1) donc p = 1. Partant de ce point, il faut avancer de 1 unité ( x = 1) et monter de 2 unités ( y = 2) pour se trouver sur un autre point de la droite. On a donc : m = y x = 2 1 = 2. La fonction affine tracée est donc : f (x) = 2x 1. 3

4 1.3 Détermination graphique d une fonction affine. 1 FONCTIONS AFFINES Figure 2 Premier exemple de détermination graphique. Figure 3 Deuxième exemple de détermination graphique. 4

5 1.4 Sens de variation d une fonction affine 1 FONCTIONS AFFINES 2. Voir figure 3. On pose f (x) = mx + p. La droite coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 2) donc p = 2. Partant de ce point, il faut avancer de 2 unités ( x = 2) et descendre de 1 unité ( y = 1) pour se trouver sur un autre point de la droite. On a donc : m = y x = 1 2 = 1 2. La fonction affine tracée est donc : f (x) = 1 2 x + 2. Remarques : 1. Cette méthode permet aussi de tracer rapidement la représentation graphique d une fonction affine connue. 2. Dans certains cas, on ne peut pas déterminer graphiquement l ordonnée à l origine. Il est alors nécessaire d en revenir à la méthode du 1.2 (voir exercices). Exercices : 42, 43 page page 59 ; 60, 61, 62, 64 page 63 et 70, 71 page 64 5 [TransMath] 1.4 Sens de variation d une fonction affine Propriété : Soit f (x) = mx + p une fonction affine. Si m > 0 alors la fonction f est strictement croissante. Si m = 0 alors la fonction f est constante. Si m < 0 alors la fonction f est strictement décroissante. Démonstration (partielle) Si m = 0 alors f (x) = p est une fonction constante. Si m < 0 : Soit a et b deux réels tels que a<b. Comme m < 0, la multiplication par m inverse l ordre donc : ma > mb. Comme additionner un nombre ne change pas l ordre, on a : ma + p > mb + p. On obtient donc : f (a) >f (b). Globalement, l ordre a été inversé. La fonction f est donc strictement décroissante. Exercice : Rependre la démonstration précédente dans le cas où m > 0. Exercices : 48, 49, 50 page 62 6 [TransMath] 1.5 Signe de mx + p Étude préliminaire : Résolution de l équation mx + p = 0 (avec m 0) mx + p = 0 mx = p x = p m Cas 1 : Si m > 0 La fonction affine f (x) = mx + p est strictement croissante et la droite la représentant coupe l axe des abscisses en x = p m (voir figure 4). Le tableau de signes de la fonction f est donc le suivant : x p m Signe de mx + p 0 + Cas 2 : Si m < 0 La fonction affine f (x) = mx + p est strictement décroissante et la droite la représentant coupe l axe des abscisses en x = p m (voir figure 5). Le tableau de signes de la fonction f est donc le suivant : 2. Déterminer une fonction affine. 3. Affine ou pas? 4. Détermination graphique d une fonction affine. 5. Fonctions affines par intervalles. 6. Sens de variations d une fonction affine. 5

6 1.5 Signe de mx + p 1 FONCTIONS AFFINES Figure 4 Signe d une fonction affine cas m > 0 Figure 5 Signe d une fonction affine cas m < 0 6

7 2 RÉSOLUTION D INÉQUATIONS Exemples : x p m Signe de mx + p Signe de (2x + 3) Il faut d abord déterminer la valeur pour laquelle le signe change : 2x + 3 = 0 2x = 3 x = 3 2 Comme le coefficient directeur est positif, on obtient le tableau de signes suivant : x 3 2 Signe de 2x Signe de (1 3x) Il faut d abord déterminer la valeur pour laquelle le signe change : 1 3x = 0 3x = 1 x = 1 3 = 1 3 Comme le coefficient directeur est négatif, on obtient le tableau de signes suivant : x 1 3 Signe de 2x Signe de (2x + 3) (1 3x) Il suffit de mêler dans un seul tableau les résultats des deux exemples précédents en utilisant la règle des signes : 1 3 x 3 2 Signe de 2x Signe de 1 3x Signe de (2x + 3) (1 3x) Remarque : On peut se servir de ce tableau (et plus particulièrement de la dernière ligne) pour résoudre des inéquations : (a) (2x + 3) (1 3x) 0 admet comme solution S = [ 3 2 ; 1 3] 7. (b) (2x + 3) (1 3x) < 0 admet comme solution S = ] ; 3 2[ ] 1 3 ; [ 8. Exercices : 7, 8, 9 page 56 et 51, 52, 53 page , 13 page 57 et 54, 55, 57 page [TransMath] 2 Application à la résolution d inéquations 2.1 Inéquations du premier degré Opérations portant sur une inégalité : a, b, c et k désignent quatre nombres réels. 1. Si a b alors a + c b + c Ajouter (ou soustraire) un nombre ne change pas l ordre. 2. Si a b et k > 0 alors k a k b Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement positif ne change pas l ordre. 3. Si a b et k < 0 alors k a k b Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement négatif change l ordre. 7. Il suffit de chercher les «+» de la dernière ligne du tableau. 8. Il suffit de chercher les «-» de la dernière ligne du tableau. 9. Signe d une fonction affine. 10. Tableaux de signes. 7

8 2.2 Premières résolutions d inéquations plus complexes 2 RÉSOLUTION D INÉQUATIONS Application : On peut utiliser ces règles pour résoudre des inéquations «simples» 4x 5 < 5x 1 4x 5+5 < 5x 1+5 (régle 1) 4x < 5x + 4 4x 5x < 5x + 4 5x (régle 1) x < 4 x 1 > 4 1 (régle 3) x > 4 On a donc ici : S = ] 4 ; [ Exercices : 1, 2, 3, 4 page 55 et 45, 46, 47 page , 69 page page [TransMath] 2.2 Premières résolutions d inéquations plus complexes Dans la sous-section 1.5, on a pu résoudre certaines inéquations en utilisant un tableau de signes. Pour pouvoir utiliser un tableau de signe, il faut que : le premier membre soit un produit entièrement factorisé ; le second membre soit zéro. Exemple : Résoudre l inéquation (3x + 5) 2 1. (3x + 5) 2 1 (3x + 5) (3x + 5) [(3x + 5) + 1] [(3x + 5) 1] 0 (3x + 6) (3x + 4) 0 Pour résoudre cette inéquation, on va étudier le signe de (3x + 6) (3x + 4) : 3x + 6 = 0 donne x = 2 3x = 4 = 0 donne x = 4 3 x x x (3x + 6) (3x + 4) Comme l inéquation à résoudre est (3x + 6) (3x + 4) 0, il faut chercher les signes «+» dans la dernière ligne du tableau pour conclure : S = ] ; 2] [ 43 [ ; Méthode : 1. Se ramener à un second membre nul pour pouvoir faire un tableau de signes. (en regroupant tous les termes dans le premier membre) 2. Factoriser le premier membre. 3. Conclure en utilisant un tableau de signes. Exercices : 14 page 57 et 58, 59 page [TransMath] 11. Résolution d inéquations du premier degré Applications. 12. Mise en inéquation. 13. Avec une fonction affine par intervalles. 14. Inéquations nécessitant une factorisation. 8

9 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Références [TransMath] Transmath Seconde, Nathan (édition 2010). 2, 3, 5, 7, 8 9

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