Chapitre 5 Fonctions affines et équations du 1 er degré. Table des matières

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1 Chapitre 4 Fonctions affines et équations du 1 er degré. TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 5 Fonctions affines et équations du 1 er degré. Table des matières I Exercices I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I-5 II Cours II-1 1 Rappels II-1 1a Définition de fonction affine et exemples II-1 1b Fonctions linéaires II-1 1c Représentations graphiques des fonctions linéaires et affines II-1 2 Sens de variation d une fonction affine II-1 3 Image et antécédent Équation ax + b = c II-2 4 Inéquation ax + b < c ou ax + b > c II-2 5 Équation ax + b = cx + d II-3 6 Signe de ax + b II-3 7 Déterminer une fonction affine à partir de deux nombres et leurs images II-4

2 Chapitre 4 Fonctions affines et équations du 1 er degré. I EXERCICES page I-1 I Exercices 1 Une entreprise propose à un représentant commercial de choisir entre deux façons de le payer chaque mois : contrat A : recevoir un salaire fixe de 800eplus une commission de 4 % sur le montant des ventes ; contrat B : avoir une commission de 7 % sur le montant des ventes, sans salaire fixe Calculer le revenu d un mois pour un montant des ventes de e avec le contrat A et avec le contrat B. 2. Calculer le revenu d un mois pour un montant des ventes de e avec le contrat A et avec le contrat B. 3. Quel est le contrat le plus avantageux? Une citerne agricole contient L d eau. On déclenche un arrosage qui consomme 3000 L/h (litres par heure), donc le volume d eau diminue progressivement dans la citerne. Une deuxième citerne est contient L d eau et au même instant on déclenche son remplissage en ouvrant une vanne (un gros robinet) qui verse 3600 L/h. Après combien d heures les volumes sont-ils égaux dans les deux citernes? 3 1. Les fonctions f et g sont définies par : f(x) = 3x 5 et g(x) = 1, 5x Tracer les représentations graphiques des fonctions f et g dans le repère n o 1 ci-dessous. 2. Les fonctions f et g sont définies par : f(x) = 2x + 6 et g(x) = 0, 5x Tracer les représentations graphiques des fonctions f et g dans le repère n o 2 ci-dessous. Repère n o 1 Repère n o Que remarque-t-on pour les variations des fonctions affines selon le signe du coefficient directeur? 2. Dresser les tableaux de variation des fonctions définie par f(x) = 3x 5 et par g(x) = 0, 5x sur l intervalle [ 7 ; 7].

3 Chapitre 4 Fonctions affines et équations du 1 er degré. I EXERCICES page I-2 5 Des fonctions sont définies par les égalités ci-dessous. f 1 (x) = 9x + 7 f 2 (x) = 0, 8x f 3 (x) = 6 + x f 4 (x) = 35 15x 6 1. Indiquer le sens de variation de chaque fonction, en justifiant. 2. Dresser le tableau de variation de la fonction sur l intervalle [ 5 ; 5]. Des fonctions sont définies par les égalités ci-dessous. f 1 (x) = 6x + 9 f 2 (x) = 3x f 3 (x) = 10x f 4 (x) = 7 3x + 4 f 5 (x) = 7 x f 6 (x) = 0, 09x f 7 (x) = 1, , 72x Compléter le tableau ci-dessous. pour les deux premières questions, indiquer O (oui) ou N (non) ; pour les trois questions suivantes, cocher la case concernée. 7 La fonction est-elle affine? La fonction est-elle linéaire? Sa représentation graphique est une droite. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l origine. Sa représentation graphique n est pas une droite. f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 Des fonctions sont représentées graphiquement ci-dessous. f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 Compléter le tableau ci-dessous, en écrivant O (oui) ou N (non). 8 La fonction est-elle affine? La fonction est-elle linéaire? f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 La fonction f est définie par f(x) = 2x 5 et sa représentation graphique est tracée dans le repère n o 1 ci-dessous Répondre à ces deux questions à l aide du graphique en traçant des traits. (a) Déterminer l image de 4. (b) Déterminer l antécédent de Retrouver les réponses précédentes par un calcul ou une équation. La fonction f est définie par f(x) = 3x + 1 et sa représentation graphique est tracée dans le repère n o 2 ci-dessous. Même consignes que dans l exercice 8 pour (a) l image de 2 ; (b) l antécédent de 4 ; (c) l antécédent de 5.

4 Chapitre 4 Fonctions affines et équations du 1 er degré. I EXERCICES page I-3 10 La fonction f est définie par f(x) = 1, 5x + 5 et sa représentation graphique est tracée dans le repère n o 3 ci-dessous. Même consignes que dans l exercice 8 pour (a) l image de 0 ; (b) l antécédent de 8 ; (c) l image de 4 ; (d) l antécédent de 2. Repère n o 1 Repère n o 2 Repère n o 3 11 La fonction f est définie par f(x) = 2x 5 et sa représentation graphique est tracée dans le repère n o 1 ci-dessous D après le graphique, quelles sont les valeurs de x telles que f(x) 3? Tracer des traits. 2. Retrouver la réponse précédente en résolvant l inéquation f(x) 3. Mêmes consignes que dans l exercice 11 pour la fonction f définie par f(x) = 3x + 10, représentée graphiquement dans le repère n o 2 ci-dessous, et pour l inéquation f(x) Mêmes consignes que dans l exercice 11 pour la fonction f définie par f(x) = 0, 75x + 4, représentée graphiquement dans le repère n o 3 ci-dessous, et pour l inéquation f(x) 7.

5 Chapitre 4 Fonctions affines et équations du 1 er degré. I EXERCICES page I-4 Repère n o 1 Repère n o 2 Repère n o 3 14 Les fonctions f et g sont définies par f(x) = 5x 4 g(x) = 3x + 6. Ces deux fonctions sont représentées graphiquement dans le repère ci-contre. 1. D après le graphique, déterminer un nombre x tel que f(x) = g(x). Tracer des traits. 2. Retrouver ce résultat en résolvant l équation f(x) = g(x) Quatre expériences ont lieu en laboratoire où l on observe la température en fonction du temps écoulé. x représente le temps en heures, et f(x) est la température à l heure x. 1ère expérience : f 1 (x) = 2x + 4 2e expérience : f 2 (x) = 3x 9 3e expérience : f 3 (x) = 2x 6 4e expérience : f 4 (x) = 5x + 10 Question pour chacune des fonctions ci-dessus : à quelle heures la température est-elle positive et à quelles heures est-elle négative? 16 Même exercice pour les fonctions f 1 et f 2 définies par : f 1 (x) = 5x 7 et f 2 (x) = 3x 2 10

6 Chapitre 4 Fonctions affines et équations du 1 er degré. I EXERCICES page I-5 17 Même exercice pour la fonction f définie par : f(x) = x 2 + 3x 7 18 Soient les fonctions définies par f(x) = 2x + 7 g(x) = 0, 5x + 1 h(x) = 3x Dresser les tableaux de variations. 2. Tracer leurs représentations graphiques. 3. Étudier le signe de chaque fonction. Soient les fonctions définies par f(x) = x 2 4 et g(x) = 4x 9 Questions pour chaque fonction : Est-elle affine? 2. Dresser le tableau de variations 3. Dresser le tableau de signes Soient les fonctions définies par : f(x) = 2x 9 g(x) = x 2 + 2x + 5 h(x) = 0, 5x i(x) = 3x 4 j(x) = x 4 + 4x 3 7x 2 22x + 9 Dresser les tableaux de signes de ces fonctions. Pour les fonctions affines, donner les valeurs exactes et résoudre les équations nécessaires, pour les autres fonctions, donner des arrondis au dixième près.

7 Chapitre 4 Fonctions affines et équations du 1 er degré. II COURS page II-1 II Cours 1 Rappels 1a Définition de fonction affine et exemples Définition et vocabulaire Une fonction affine est une fonction définie sous la forme f(x) = ax + b. Le nombre a s appelle le coefficient directeur. Le nombre b s appelle l ordonnée à l origine. Exemple Les fonctions définies par f 1 (x) = 2x 6, 5 et f 2 (x) = 1, 3x + 7 sont des fonctions affines. 1b Fonctions linéaires Définition Une fonction linéaire est une fonction définie sous la forme f(x) = ax. Propriété Dans l égalité f(x) = ax + b, si b = 0 on obtient f(x) = ax, donc : les fonctions linéaires font partie des fonctions affines. Exemples Les fonctions définies par g 1 (x) = 0, 07x et g 2 (x) = 3x sont des fonctions linéaires, mais ce sont aussi des fonctions affines. Propriété Un tableau de valeurs d une fonction linéaire de coefficient directeur a est un tableau de proportionnalité et son coefficient est le nombre a. Par exemple pour la fonction définie par f(x) = 0, 07x le coefficient de proportionnalité du tableau de valeurs est 0,07. 1c Représentations graphiques des fonctions linéaires et affines Propriétés La représentation graphique d une fonction affine est une droite. La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite qui passe par l origine du repère. Exemples Fonctions affines Fonctions linéaires 2 Sens de variation d une fonction affine. Objectif du programme : donner le sens de variation d une fonction affine. Propriété Pour une fonction affine f, lorsque son coefficient directeur est positif, f est croissante ; lorsque son coefficient directeur est négatif, f est décroissante ; lorsque son coefficient directeur est nul, f est constante.

8 Chapitre 4 Fonctions affines et équations du 1 er degré. II COURS page II-2 3 Image et antécédent Équation ax + b = c Exemple (correction de l exercice 8) La fonction f est définie par f(x) = 2x 5 et sa représentation graphique est tracée dans le repère ci-dessous à droite. 1. Image de 4 et antécédent de 7 à l aide du graphique : voir la figure ci-contre. 2. Image de 4 et antécédent de 7 à l aide d un calcul ou d une équation. (a) Image de 4 par f : on remplace x par 4 dans 2x 5 f(4) = = 8 5 = 3 f(4) = 3 (b) Antécédent de 7 par f : on résout l équation f(x) = 7 f(x) = 7 2x 5 = 7 2x = x = 12 x = 12 2 = 6 Le nombre 7 a un antécédent par f qui est 6 f(x) images x antécédents 4 Inéquation ax + b < c ou ax + b > c Exemple (correction des exercices 11 et 12 2x 5 3 2x x 8 x 8 2 x 4 3x x x 6 x 6 3 x 2 on divise par un négatif, changement de sens

9 Chapitre 4 Fonctions affines et équations du 1 er degré. II COURS page II-3 5 Équation ax + b = cx + d Exemple Résolution de l équation 5x 4 = 3x + 6 par lecture graphique et par des calculs. Les fonctions f et g sont définies par les deux égalités ci-dessous et sont représentées graphiquement dans le repère ci-contre. f(x) = 5x 4 et g(x) = 3x Résolution de l équation f(x) = g(x) par lecture graphique Voir figure ci-contre. 2. Résolution de l équation f(x) = g(x) par des calculs. 5x 4 = 3x + 6 5x 3x = x = 10 x = 10 2 x = 5 L équation 5x 4 = 3x + 6 a une solution qui est Signe de ax + b Objectif du programme : donner le tableau de signes de ax + b pour des valeurs numériques données de a et b Exemple : donner le tableau de signe de 2x + 5 Le tableau à tracer doit indiquer pour quelles valeurs de x, le nombre 2x + 5 est positif? pour quelles valeurs de x, le nombre 2x + 5 est négatif? Appelons f la fonction x 2x + 5 Cherchons d abord pour quelle valeur de x le nombre 2x + 5 est égal à zéro. 2x + 5 = 0 2x = 5 x = 5 2 = 2, 5 Donc f( 2, 5) = 0 D autre part, la fonction f est croissante puisque son coefficient directeur 2 est positif. Donc : lorsque x 2, 5, le nombre 2x + 5 est positif lorsque x 2, 5, le nombre 2x + 5 est négatif Voici donc le tableau de signes de 2x + 5 : x 2, 5 + Signe de 2x

10 Chapitre 4 Fonctions affines et équations du 1 er degré. II COURS page II-4 7 Déterminer une fonction affine à partir de deux nombres et leurs images Propriété Pour deux nombres différents x 1 et x 2 et une fonction affine f : x ax + b, on a : a = f(x 2) f(x 2 ) x 2 x 1 f(x 2 ) f(x 1 ) x 1 x 2 Exercice résolu Énoncé Déterminer la fonction affine f : x ax + b telle que l image de 2 est 7 et telle que l image de 6 est 16 Solution Puisque l image de 2 est 7 et l image de 6 est 13, on a : f(2) = 7 et f(6) = 13 Calculons le coefficient directeur a : f(6) f(2) a = = = 6 4 = 1, 5 On a donc : f : x 1, 5x + b Calculons le nombre b : On sait que f(2) = 7, donc 1, b = b = 7 b = 7 3 b = 4 On a donc : f : x 1, 5x + 4

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