NOM : GR. : CHAPITRE 2 (SUITE)

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1 NOM : GR. : CHAPITRE 2 (SUITE) SECTIONS 3 ET 4 La fonction linéaire La fonction affine La fonction inverse Sujet : 52

2 Activité d exploration sur les fonctions PARTIE 1 On mesure l allongement d un ressort après avoir accroché des masses différentes. Voici les mesures obtenues : masse M (en g) Allongement A (en mm) a) L allongement est-il proportionnel à la masse accrochée (situation de proportionnalité)? A b) Construire la droite, représentant ces mesures, dans le repère ci-dessous. allongement A masse M c) Déterminer le coefficient de proportionnalité (lien multiplicatif) permettant de passer de la masse M à l allongement A. d) Écrire la formule permettant de déterminer (calculer) A à partir de M? A = e) Quelles sont les caractéristiques de ce graphique? Passe par l origine L ordonnée à l origine est différente de 0 Représente une situation de proportionnalité (lien multiplicatif entre les variables) Représenté par une droite 53 Ces caractéristiques sont associées à une FONCTION LINÉAIRE et une FONCTION AFFINE.

3 PARTIE 2 On réalise la même manipulation que celle de la partie 1 mais on observe la longueur totale du ressort. L Voici les mesures obtenues : masse M (en g) longueur L (en mm) a) La longueur est-elle proportionnelle à la masse accrochée (situation de proportionnalité)? b) Construire la droite, représentant ces mesures, dans le repère ci-dessous. Longueur allongement L A(mm) masse M c) Quelle est la longueur initiale du ressort (sans masse accrochée)? d) Quelles sont les caractéristiques de ce graphique? Passe par l origine L ordonnée à l origine est différente de 0 Représente une situation de proportionnalité (lien multiplicatif entre les variables) Représenté par une droite Ces caractéristiques sont associées à une FONCTION AFFINE. 54

4 PARTIE 3 a) Complète le tableau ci-dessous qui présente les résultats des parties 1 et 2 de l activité. masse M (en g) Allongement A (en mm) longueur L (en mm) b) Recherche à l aide du tableau : l opération pour passer de la ligne 1 (la masse M) à la ligne 2 (l allongement A). l opération pour passer de la ligne 2 (l allongement A) à la ligne 3 (la longueur L). c) Détermine une formule qui permet de calculer la longueur L à partir de la masse M. L = d) Calcule la longueur du ressort si la masse accrochée est de : g g g e) Calcule la masse accrochée si la longueur du ressort est de : mm mm mm 55 RÉSUMÉ DE L ACTIVITÉ 3 Une fonction linéaire est une fonction qui traduit une situation de. Dans une table de valeurs, il existe donc un entre les variables. La représentation graphique est une qui passe par. La règle est de la forme : y = ax y = ax + b Une fonction affine est une fonction dont la représentation graphique est une. La règle est de la forme : y = ax y = ax + b

5 Fonctions affines Fonctions linéaires Rappel : un taux est un rapport établi entre deux grandeurs de nature différente et par conséquent, ces grandeurs sont exprimées avec des unités différentes. Exemples : le taux 10$/disque représente un unitaire, le taux 3 km/hr représente une, le taux 4 litres/sec représente un. Le taux de variation d une fonction Un taux de variation informe sur la façon qu une situation va varier, soit, comment va varier la variable dépendante (y) quand la variable indépendante (x) augmente de 1 unité. Cela peut se représenter par un coût unitaire, une vitesse, un débit, etc. Exemple : On observe la hauteur d une montgolfière (m) selon le temps écoulé (sec). Pour chacun des exemples suivants, calcule différentes valeurs. x: TABLES DE VALEURS y: 1) Temps écoulé (sec) Hauteur (m) a) La montgolfière à une vitesse de. b) La hauteur initiale = c) Équation : d) Le taux de variation de cet exemple est. 56

6 2) Temps écoulé (sec) Hauteur (m) a) La montgolfière à une vitesse de. b) La hauteur initiale = c) Équation : d) Le taux de variation de cet exemple est. 3) Temps écoulé (sec) Hauteur (m) a) La montgolfière à une vitesse de. b) La hauteur initiale = c) Équation : d) Le taux de variation de cet exemple est. 4) Temps écoulé (sec) Hauteur (m) a) La montgolfière à une vitesse de. b) La hauteur initiale = c) Équation : d) Le taux de variation de cet exemple est. 57

7 5) Temps écoulé (sec) Hauteur (m) a) La montgolfière à une vitesse de. b) La hauteur initiale = c) Équation : d) Le taux de variation de cet exemple est. 6) Temps écoulé (sec) Hauteur (m) a) La montgolfière à une vitesse de. b) La hauteur initiale = c) Équation : d) Le taux de variation de cet exemple est. 7) Temps écoulé (sec) Hauteur (m) a) La montgolfière à une vitesse de. b) La hauteur initiale = c) Équation : d) Le taux de variation de cet exemple est. 58

8 GRAPHIQUES 1) Hauteur (m) a) La montgolfière vitesse d ascension de la montgolfière à une vitesse = de b) La hauteur initiale = c) Fonction linéaire Fonction affine Temps (sec) d) Le taux de variation de cet exemple est. e) Équation : 2) Hauteur (m) a) La montgolfière à une vitesse de a) La vitesse d ascension de la montgolfière = (15, 45) b) La hauteur initiale = c) Fonction linéaire Fonction affine Temps (sec) d) Le taux de variation de cet exemple est. e) Équation : 3) Hauteur (m) a) La montgolfière vitesse d ascension de la montgolfière à une vitesse = de (5, 20) b) La hauteur initiale = 10 c) Fonction linéaire Fonction affine Temps (sec) d) Le taux de variation de cet exemple est. e) Équation : 4) Hauteur (m) a) a) La La vitesse montgolfière d ascension de la montgolfière. à une vitesse de (5, 25) (8, 37) b) La hauteur initiale. Temps (sec) c) Fonction linéaire Fonction affine d) Le taux de variation de cet exemple est. e) Équation : 59

9 5) Hauteur (m) 50 a) La montgolfière vitesse d ascension de la montgolfière. à une vitesse de b) La hauteur initiale. 10 Temps (sec) c) Fonction linéaire Fonction affine d) Le taux de variation de cet exemple est. e) Équation : 6) Hauteur (m) b) a) La La vitesse montgolfière d ascension de la montgolfière. à une vitesse de (2, 60) c) La hauteur initiale. (6, 20 ) Temps (sec) d) Fonction linéaire Fonction affine d) Le taux de variation de cet exemple est. e) Équation : Je remarque que : pour calculer mon taux de variation, autant dans une table de valeurs qu un graphique, on peut toujours effectuer le calcul suivant : Taux de variation = Variation de la variable = = Variation de la variable où et sont les coordonnées de deux points de la fonction. 60

10 Ex. : Détermine le taux de variation de la fonction affine qui passe par les points a) (2, 6) et (5, 21) b) (3, -4) et (-1, 20) c) (-2, 4) et (5, -10) lorsque ma situation représente une fonction linéaire (j ai alors une situation de ), le taux de variation correspond aussi au entre les variables. La règle d une fonction affine est représentée par l équation : y = où a est le et b est l (b = 0 pour la fonction ) 1. Détermine la valeur de x. a) 12 = 2x + 4 b) -30 = 4x 10 c) 0 = -3x + 12 d) -20 = -2x Détermine la valeur de b pour chacune des fonctions données si a) x = 5 et y = 20 y = 2x + b b) x = -2 et y = -20 y = 4x + b c) x = 5 et y = 20 y = -2x + b d) x = -10 et y = -15 y = -4x + b 61

11 3. Écris la règle des fonctions affines suivantes. a) b) c) d) 4. Détermine le taux de variation et l ordonnée à l origine de chaque fonction présentée. a) y = 3x + 1 b) y = 1x 2 2 c) y = 4x + 3 d) y = x e) x + y = 5 y 5 x f) x + y 7 = 0 y x 7 g) y + 4 = 5x y 5x 4 h) y 2x = 0 y 2x Règle Taux de variation Ordonnée à l origine 62

12 5. a) Si f (x) = 2x - 8, détermine : 1) le taux de variation = 2) l ordonnée à l origine = 3) l abscisse à l origine 4) f(-10) 5) détermine x si l image est 16. 6) Esquisse graphique. b) Si g (x) = -3x + 6, détermine : 36 1) le taux de variation = 2) l ordonnée à l origine = 3) l abscisse à l origine 4) g(5) 5) détermine x si l image est ) Esquisse graphique. 63

13 c) Si h (x) = 10, détermine : 1) le taux de variation = 2) l ordonnée à l origine = 3) l abscisse à l origine 4) h(7) 5) détermine x si l image est 5. 6) Esquisse graphique. d) Si f (x) = -0,75x + 3, détermine : 1) le taux de variation = 2) l ordonnée à l origine = 3) l abscisse à l origine 4) f(-8) 5) détermine x si l image est 15. 6) Esquisse graphique. 64

14 La règle d une fonction affine Si l on connaît deux couples d une fonction affine, ou si l on connaît un couple et le taux de variation d une fonction affine, on peut trouver sa règle. Étapes 1. Trouver le taux de variation à partir des deux couples de la fonction. Exemple La droite passe par les points (10, 45) et (30, 15). Le taux de variation est : Étapes lorsqu on connaît deux couples de la fonction 2. Dans la règle f(x) = ax + b, - substituer le taux de variation à a et - les coordonnées du point à x et à f(x). 3. Trouver la valeur de b en résolvant la règle. 4. Vérifier la règle trouvée à l aide d un couple. Étapes lorsqu on connaît un couple et le taux de variation 6. Détermine la règle d une fonction affine qui passe par les points suivants. a) (1, 3) et (4, 9) b) (2, 4) et (5, 19) 65

15 c) ( 7, 1) et (9, -3) d) (7, 2) et (13, 8) e) ( 7, 2) et (-4, 11) f) (4, 5) et (6, -5) g) (2, 1) et (6, 4) h) ( 1, 2) et (3, 4) 7. Trouve la règle de la fonction dont a) La droite a un taux de variation de 5 et passe par le point (0, 50). b) La droite a un taux de variation de -0,75 et passe par le point (-2, -20). 66

16 8. Quelle est la règle qui traduit chacune des situations suivantes? a) À la naissance, une baleine bleue mesure environ 7 mètres de long. Après 8 mois, elle mesure environ 23 mètres. x : y : Coordonnées utiles: Taux = Règle : b) À 10h00, un escaladeur est à 1200 m d altitude. À 17h00, il est à 500m d altitude. x : y : Coordonnées utiles: Taux = Règle : c) En 1970, 18 % des ménages canadiens possédaient un téléviseur couleur. En 1997, ce nombre était de 99 %. x : y : Coordonnées utiles: Taux = Règle : d) En 1947, les compagnies canadiennes de chemin de fer ont enregistré millions de passagers-kilomètres. En 1996, elles ont enregistré million de passagers-kilomètres. x : y : Coordonnées utiles: Taux = Règle : 67

17 La représentation graphique d'une fonction affine points suffisent pour représenter une fonction affine. Toutefois, un point vient confirmer la validité des deux autres car les 3 points doivent former une droite. La représentation graphique de la fonction affine g(x)= ax + b est une droite passant par le point de coordonnées (0 ; ) car quand x = 0, y =. On doit ensuite utiliser la règle pour identifier tout autre point. Ex.: f(x) = 3x 2 La droite va passer par les points : x f(x) 0 f(0) = 1 f(1) = f(2) = 2 5 f(5) = O On peut aussi utiliser le principe de l escalier pour tracer la droite d une fonction affine. Ex.: soit f(x) = 5x. Comme a = 5, b = 0 et on sait que a = y = x 5 1. Cela signifie que : - on met un point à (0, 0), - quand le x augmente de unité, le y augmente de unités. On place ainsi au moins un autre point avant de tracer la droite. 68

18 Ex1: Représenter dans un même plan cartésien ces 4 fonctions affines : - En bleu, la fonction f(x) = 2x + 1 ; - En rouge, la fonction g(x) = -3x + 2 ; 4 - En vert, la fonction h(x) = 3 2 x + 1 ; - En gris, la fonction k(x) = x x f(x) x g(x) O x h(x) x k(x) -2-3 Ex2: Représenter les fonctions f et g telles que : f(1) = 2 f(-3) = -1 g(-4) = 0 g(2) = -3 Détermine la règle de chacune des fonctions. Fonction f : O Fonction g: 69

19 L étude du signe de a et b d une fonction affine Le tableau suivant présente l effet du signe du taux de variation, a, et l effet du signe de la valeur initiale, b, sur le graphique d une fonction affine y = ax + b. Lorsque a > 0 Les valeurs de x et y varient dans le même sens. La fonction est croissante. Lorsque a = 0 La valeur de la variable dépendante est la même, peu importe la valeur de la variable indépendante. La fonction est dite constante.. Lorsque a < 0 Les valeurs de x et y varient dans des sens opposés. La fonction est décroissante y y y Lorsque b > 0 La droite rencontre l axe des ordonnées audessus de l axe des abscisses x x x. Lorsque b = 0 y y y La droite passe par l origine. La fonction est dite «linéaire». x x x Lorsque b < 0 y y y La droite rencontre l axe des ordonnées audessous de l axe des abscisses. x x x 70

20 La fonction de variation inverse Exemple : Maxime prépare un voyage scolaire. L autobus coûtera 240 $ pour le voyage. Il observe le coût par personne selon le nombre de personnes inscrites. Voici différents modes de représentation pour cette situation. Mode de représentation Exemple LA TABLE DE VALEURS x : le nombre de personnes inscrites y : le coût par personne ($) x y On remarque que : Dans la table de valeurs, le de la valeur du x et celle du y associée est. LE GRAPHIQUE La représentation graphique de cette situation est une décroissante qui s approche des deux axes sans y toucher. Le produit des est constant pour tout point du graphique. On le désigne par k LA RÈGLE La représentation algébrique d une fonction de variation inverse est de la forme : xy = k ou k y = ou x f ( x) = k x où k représente une constante. Remarque : Les variables x et y ne peuvent pas égaler 0. La règle de cette fonction est : xy = ou y = ou f(x) = Ex.: f(16) = S il y a personnes qui participent au voyage, ça leur coûtera $ chacune. La fonction de variation inverse est une fonction dont le produit des valeurs associées des variables indépendante et dépendante est constant (xy = k). 71

21 EXERCICES 9. On a représenté dans un repère les fonctions linéaires f, g et h : a. Compléter en lisant sur le graphique : f(4) = g(-1) = h(8) = f( ) = -3 g( ) = -1 h( ) = 4 b. Déterminer la règle de chacune des fonctions. f (x) =... g (x) = h (x) = 1 O Représenter dans un même plan cartésien ces 4 fonctions affines : f(x) = 3x + 1 ; g(x) = -2x + 3 ; h(x) = x ; k(x) = 1 x O Ta voisine fait venir un plombier pour quelques réparations. Celui-ci a travaillé 6 heures et lui a chargé 300$. La semaine suivante, tu appelles le même plombier pour qu il vienne réparer un tuyau. Il a travaillé 1 heure et t a chargé 100$. Explique ce qui s est passé sachant que le plombier a fait de bons calculs pour les coûts. 72

22 12. Jacques organise un spectacle pour son groupe de musique «Les Yukulala». La location de la salle et l embauche du technicien lui coûtent 400 $. Son but n étant pas de faire un profit, il souhaite fixer le prix d entrée en fonction du nombre de billets qu il pense vendre. a) Détermine la variable dépendante et la variable indépendante de cette situation. var. ind. (x) : var. dép. (y) : b) Écris son équation. c) Si la salle comporte 115 places, quel sera le prix minimal d un billet? d) Jacques craint de vendre moins de billets que prévu. Quel effet cela aura-t-il sur le prix de vente du billet? 13. Dominique invite tous ses amis à célébrer son anniversaire. Un immense gâteau sera partagé entre tous les invités présents à la fête. Vu du dessus, le gâteau présente une surface de 900 cm 2. a) Trace le graphique de la surface d une part de gâteau en fonction du nombre personnes présentes. b) Donne l équation permettant de trouver la part de chaque invité. c) Si un invité a reçu une part de gâteau ayant 50 cm 2 de surface, combien de personnes se trouvent à la fête? d) S il y a 12 personnes, quelle sera la surface de la part de gâteau que recevra chaque invité? 73

23 14. Monsieur Gougeon a écrit un premier roman qui sera publié sous peu. La relation entre x, le prix de vente unitaire d un livre, et f (x), le nombre de livres que sa maison d édition prévoit vendre, est représentée par une fonction de variation inverse. Voici le graphique de cette fonction. a) Quelle est l équation qui représente cette situation? b) Quel prix de vente unitaire la maison d édition doit-elle fixer si elle veut vendre au moins 500 livres? c) Combien de livres devra-t-elle vendre si le prix de vente est de 112 $? 15. Trouve l équation de chacune des tables de valeurs suivantes. a) x y Équation : b) x y Équation : c) x y Équation : d) x y Équation : e) x y 27 10,8 4,5 2,7 Équation : 16. Maxime doit peindre les murs d une cuisine. Son salaire par heure, y, varie en fonction du temps, x, qu il prendra pour effectuer la tâche. S il désire avoir un taux horaire supérieur à 12$, en combien de temps doit-il terminer son travail? 74

24 17. a) Détermine la règle de chacune des fonctions ci-dessous. 1) Une fonction constante passant par (0, 7). 2) Une fonction affine passant par ( 4, 3) et ( 1, 1). 3) Une fonction de variation inverse passant par (2, 12) et (8, 3). 4) Une fonction linéaire dont l ordonnée est le double de l abscisse. 5) Une fonction affine dont l abscisse est 5 et l ordonnée est Sans tracer de graphique, indique, parmi les fonctions suivantes, celles qui sont croissantes et celles qui sont décroissantes. f (x) = 2x + 3 g(x) = 20 h (x) = 2x i (x) = x 4 ( 6x 3) x 3 k (x) = 4 Fonctions croissantes : Fonctions décroissantes : 19. Pour chacun des trois points suivants, identifie, s il y a lieu, le taux de variation. a) (1, 15), (3, 45) et (5, 75) b) (30, 6), (15, 3) et (5, 1) c) (2, 4), (7, 14) et (20, 40) 75 d) (1, 75), (5, 15) et (25, 3)

25 20. Observe les fonctions suivantes. a) x f(x) Détermine : 1) le domaine ; 2) l image ; 3) l image de 3 ; 4) (100, y); 5) (x, 6) ; 6) l ordonnée à l origine. Détermine : 1) le domaine ; 2) l image ; b) g(x) = 3x 3) l image de 3 ; 4) (100, y); 5) (x, 6) ; 6) l ordonnée à l origine. Détermine : 1) le domaine ; 2) l image ; c) 3) l image de 3 ; 4) (100, y); 5) (x, 6) ; 6) l ordonnée à l origine. d) Détermine : 1) le domaine ; 2) l image ; 3) l image de 3 ; 4) (100, y); 5) (x, 6) ; 6) l ordonnée à l origine. 76

26 21. Rachid économise de l argent en vue d aller rendre visite aux membres de sa famille en Europe. À la fin de chaque mois, il met de côté le même montant. Après trois mois, il lui manque $. Après sept mois, il lui manque encore $. a) Fais une esquisse de la situation. b) Écris la règle de cette fonction. c) Quel montant Rachid doit-il amasser, en tout, pour son voyage? d) Combien de temps lui faudra-t-il pour amasser ce montant? 22. Le graphique ci-dessous montre la distance parcourue à bicyclette par Jessica en 3 heures. a) À quelle vitesse Jessica roule-t-elle? b) De façon approximative, combien de temps lui a-t-il fallu pour parcourir 15 km? c) De façon approximative, quelle distance a-t-elle parcourue en 2 h 40 min? 77

27 23. En 1871, la population du Canada était de habitants. En 1996, elle était de habitants. a) Détermine la règle de cette fonction. x : y : b) Quelle sera la population en 2005? En 2020? c) Détermine en quelle année la population du Canada a atteint de personnes. d) En quelle année la population du Canada atteindra de personnes. 24. La température initiale de l eau est de 10 o C. Elle augmente de 2 o C à chaque minute jusqu au point d ébullition. a) Quelles sont les variables dépendante et indépendante? x : y : b) Quel est le taux de variation? c) Quelle est l ordonnée à l origine? d) Y a-t-il une abscisse à l origine? Pourquoi? e) Trouve la règle de cette fonction. f) Quelle sera la température après 25 minutes? g) Après combien de temps atteint-on le point d ébullition? 78

28 25. Soit les cinq fonctions représentées dans le plan cartésien ci-dessous. Associe chacune de ces fonctions f (x) = 2x 3 j (x) = 3 g (x) = x 3 k (x) = 2x h (x) = 2x i (x) = 2x + 7 l (x) = x Tina répare des ordinateurs. Elle demande 45 $ pour ses frais de déplacement et 55 $ pour chaque heure de travail. a) Complète la table de valeurs des tarifs de Tina pour des interventions nécessitant jusqu à 5 heures de travail. Nombre d heures Tarif ($) b) Représente graphiquement cette fonction. c) La droite passe-t-elle par l origine? Justifie ta réponse. d) Détermine la règle de cette fonction. e) Quel sera le tarif après 12 heures de travail? 79 f) Combien d heures a-t-elle travaillé pour un tarif de 622,50$?

29 27. La fréquence cardiaque maximale d une personne adulte se traduit par l équation y = 220 x, où x représente l âge de la personne en année et y, le nombre de battements cardiaques par minute. a) Quelle est la fréquence cardiaque maximale d une personne de 34 ans? b) Quelle est la fréquence cardiaque maximale d une personne de 65 ans? c) À quel âge la fréquence cardiaque maximale d une personne est-elle de 178 battements par minute? d) Quel âge a une personne dont la fréquence cardiaque maximale est de 150 battements par minute? 28. Marie-Kim travaille dans un magasin où l on vend des téléviseurs et des appareils audio. Elle gagne 300 $ par semaine, plus une commission de 10 % sur ses ventes. a) Écris la règle qui représente son salaire pour une semaine de travail. x : y : b) Détermine le salaire de Marie-Kim pour une semaine de travail durant laquelle ses ventes s élèvent à $. c) Si Marie-Kim vise un salaire hebdomadaire d au moins 825 $, quel doit être son objectif minimal de ventes pour une semaine? 80

30 29. La lumière voyage beaucoup plus rapidement que le son ; c est pourquoi tu vois les éclairs avant d entendre le tonnerre. Par exemple, si un orage se trouve à 960 mètres de toi, il s écoulera 2,8 secondes entre l éclair et le coup de tonnerre. Si l orage se trouve à mètres de toi, il s écoulera alors 4,9 secondes. a) Détermine le taux de variation, au mètre par seconde près. b) Décris le taux de variation en une phrase. c) Si l intervalle est de 3,7 secondes, détermine la distance qui te sépare de l orage, à la dizaine de mètres près. d) Si tu te trouves à m de l orage, quel est l intervalle, au dixième de seconde près? 30. Le réservoir d'essence de la voiture de madame Bolduc a une capacité de 45 L. Avant de prendre la route pour la Gaspésie, elle remet son odomètre à 0 km. Cent quarante kilomètres plus loin, le réservoir d'essence de sa voiture contient 26 L. Lorsque l'odomètre indique 210 km, le réservoir d'essence contient alors 19 L. a) Quelle est la consommation d'essence moyenne (L/100 km) de la voiture de Mme Bolduc? b) Au moment où Mme Bolduc a pris la route, le réservoir d'essence de sa voiture était-il plein? Explique ta réponse. c) Quelle quantité d'essence le réservoir d'essence contiendra-t-il après 250 km? 320 km? d) Mme Bolduc peut-elle espérer rouler sans manquer d'essence sur une distance de 420 km? Explique ta réponse. 81

31 31. Tu dois taper un texte pour un travail en français. A 9h00, il te reste 4575 mots à taper (méchant travail!). A 11h00, il ne te reste que 2135 mots à écrire. Si tu continues à taper au même rythme, à quelle heure auras-tu fini de taper ton texte? 32. La règle f(x) = 6x + 55 représente la relation entre la masse en grammes d'une boîte de craquelins et le nombre de craquelins dans la boîte. a) Quelle est la masse de la boîte vide? b) Quelle est la masse d'un craquelin? c) Si la masse d'une boite pleine de craquelins est de 355 g, combien contient-elle de craquelins? d) Si la boîte contient 48 craquelins, quelle sera la masse de la boite? 33. Marie décide de déposer un même montant d'argent à toutes les semaines dans le but de faire un voyage. Le graphique suivant illustre l'état de son compte de banque. Pendant combien de semaines doit-elle faire ce dépôt pour partir en voyage si le coût de celui-ci est de 920$? Solde du compte ($) Semaines 82

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