- Tracer une droite dans le plan repéré. - Interpréter graphiquement le coefficient directeur d une droite.

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1 2G3 - EQUATINS DE DRITES CURS (1/5) CNTENUS CAPACITES ATTENDUES CMMENTAIRES Drote comme courbe représentatve d une foncton affne. - Tracer une drote dans le plan repéré. - Interpréter graphquement le coeffcent drecteur d une drote. Équatons de drotes. - Caractérser analytquement une drote. n démontre que toute drote a une équaton sot de la forme y = mx + p, sot de la forme x = c. Drotes parallèles, sécantes. - Établr que tros ponts sont algnés, non algnés. - Reconnaître que deux drotes sont parallèles, sécantes. - Détermner les coordonnées du pont d ntersecton de deux drotes sécantes. n fat la lason avec la colnéarté des vecteurs. C est l occason de résoudre des systèmes d équatons lnéares. I. EQUATIN DU PREMIER DEGRE A DEUX INCNNUES 4x + y = 1 est une équaton du premer degré à deux nconnues. Pour la résoudre, l faut trouver un couple de valeurs (x ; y) qu rend l égalté vrae. Cette équaton admet une nfnté de solutons. Recherche d un couple soluton 1. n fxe une valeur à x. Par exemple x = L équaton devent alors : y = y = 1 y = 1 4 y = -3 Une soluton de l équaton est donc le couple (1 ; -3) Chaque drote admet une nfnté d équatons équvalentes. 4x + y = 1 8x + 2y = 2 4x = 1 y y = 1 4x ( ) Quand l équaton est sous la forme «x =» ou «y =» on dt qu elle est sous sa forme rédute. II. EQUATIN D UNE DRITE Le plan est mun d un repère (,, ) Sot A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux ponts dstncts, et M(x ; y) un pont de la drote (AB). M(x ; y) (AB) x x A AM y y et x B x AB A A y B y A sont colnéares x x A x B x A y y A = 0 y B y A (x x A )(y B y A ) (y y A )(x B x A ) = 0 (y B y A )x (x B x A )y + x A (y B y A ) y A (x B x A ) = 0 a b c ax + by + c = 0 a, b et c sont tros nombres fxés, et unquement détermnés par les coordonnées de A et B. x et y sont les coordonnées d un pont M quelconque, donc des nconnues. CNCLUSIN : Dre qu un pont M(x ; y) appartent à une drote revent à dre que ses coordonnées vérfent une équaton du 1 er degré à deux nconnues du type ax + by + c = 0 appelée équaton cartésenne de la drote. Sot A(2 ; -3) et B(5 ; 1) et on veut détermner l équaton cartésenne de (AB) : M(x ; y) (AB) x 2 AM 3 et y + 3 AB 4 sont colnéares 4(x 2) 3(y + 3) = 0

2 2G3 - EQUATINS DE DRITES CURS (2/5) 4x 8 3y 9 = 0 4x 3y 17 = 0 Equaton cartésenne de (AB) a. Drote parallèle à l axe des ordonnées («vertcale») (AB) parallèle à l axe des ordonnées revent à dre que A et B ont la même abscsse. Dans ce cas là, on a donc x A = x B donc : (y B y A )x (x B x A )y + x A (y B y A ) y A (x B x A ) = 0 y A A 0 0 (y B y A )x + x A (y B y A ) = 0 (y B y A )x = - x A (y B y A ) x = - x A(y B y A ) y B y A x = c y B x A = x B B Sot A(2 ; -3) et C(2 ; 1) et on veut détermner l équaton cartésenne de (AC) : M(x ; y) (AC) x 2 AM 0 y + 3 et AC 4 sont colnéares 4(x 2) 0 (y + 3) = 0 4x 8 = 0 4x = 8 x = 8 4 x = 2 Equaton rédute de (AC) b. Drote non parallèle à l axe des ordonnées («non vertcale») Dans ce cas là, on a x A x B Donc (y B y A )x (x B x A )y + x A (y B y A ) y A (x B x A ) = 0 (y B y A )x + x A (y B y A ) y A (x B x A ) = (x B x A )y (on dvse par x B x A qu est non nul!) y B y A x + x A(y B y A ) y A (x B x A ) = y x B x A x B x A y A A x A x B m y = mx + p p y B B Précédemment, on a vu que s A(2 ; -3) et B(5 ; 1) alors (AB) a pour équaton cartésenne : 4x 3y 17 = 0-3y= -4x + 17 y = 4 3 x 17 3 Equaton rédute de (AB) THEREME : Tout drote non parallèle à l axe des ordonnées est l ensemble des ponts M dont les coordonnées vérfent une équaton du type y = mx + p, où m et p sont des réels fxés. m est appelé le coeffcent drecteur de la drote. Il détermne la drecton («nclnason») de la drote. p est l ordonnée à l orgne (c'est-à-dre l ordonnée du pont de la drote qu a pour abscsse zéro) Tout drote parallèle à l axe des ordonnées est l ensemble des ponts M dont les coordonnées vérfent une équaton du type x = c où c est un réel fxé.

3 2G3 - EQUATINS DE DRITES CURS (3/5) n retrouve l équaton d une foncton affne du type f(x) = ax + b, qu état représentée par une drote! Exemples : x = 3 y = 2 y = 1 4 x 2 y = -2x III. PARALLELISME DE DEUX DRITES a. Coeffcent drecteur d une drote Proprété : Sot A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ). Le coeffcent drecteur de a drote (AB) est : m = y B y A x B x A Sot A(2 ; 3) et B(4 ; -5). n veut détermner l équaton (du type y = mx + p) de la drote (AB) n calcule le coeffcent drecteur de la drote : m = y B y A x B x A = = -8 2 = -4 n remplace m par sa valeur, et x et y par les coordonnées de A ou B dans une des équatons : 3 = 2m + p 3 = 2 (-4) + p 3 = -8 + p = p p = 11 L équaton de la drote (AB) est donc : y = -4x + 11 Théorème : Deux drotes sont parallèles s et seulement s leurs coeffcents drecteurs sont égaux. Sot les drotes : (d 1 ) : y = 2x + 5 (d 2 ) : y = -3x + 5 (d 3 ) : y = -2x 3

4 2G3 - EQUATINS DE DRITES CURS (4/5) (d 4 ) : y = 2x 3 n compare les coeffcents drecteurs des drotes (s on n avat pas les équatons, on devrat calculer le coeffcent drecteur de chaque drote au préalable). n peut dre que les drotes (d 1 ) et (d 4 ) sont parallèles. b. Vecteur drecteur d une drote Défnton : Sot (d) une drote d équaton y = mx + p. Le vecteur 1 u m a la même drecton que la drote (d). n dt que c est un vecteur drecteur de (d). Tout vecteur colnéare à u est auss un vecteur drecteur de (d). Une drote a donc une nfnté de vecteurs drecteurs. Sot (d) : y = 2 3 x + 2. Un vecteur drecteur de (d) est 1 u 2. Mas l est plus pratque (pour avor des 3 coordonnées entères) d utlser le vecteur 3 u 3 2 qu est un autre vecteur drecteur de (d). y = 2 3 x u c. Drotes parallèles Proprété : Sot les drotes (d) d équaton y = ax + b et (d ) d équaton y = a x + b Les drotes (d) et (d ) sont parallèles s et seulement s a = a Dans ce cas, le vecteur drecteur d une drote est auss vecteur drecteur de l autre. IV. DRITES SECANTES Proprété : Sot les drotes (d) d équaton y = ax + b et (d ) d équaton y = a x + b Les drotes (d) et (d ) sont sécantes s et seulement s a a

5 2G3 - EQUATINS DE DRITES CURS (5/5) Le pont d ntersecton des deux drotes est le pont dont les coordonnées x et y vérfent le système lnéare : y = ax + b y = a x + b y = - x + 5 n consdère les drotes (d) et (d ) dont voc les équatons : y = 1 2 x 1 n peut résoudre ce système algébrquement (par le calcul) ou graphquement (en traçant les drotes et lsant les coordonnées du pont d ntersecton). Dans les deux cas on trouvera : x = 4 et y = 1

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