Points à coordonnées entières sur une droite! La valeur ajoutée du numérique Sommaire

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1 Points à coordonnées entières sur une droite! La valeur ajoutée du numérique Sommaire 1. Tableau récapitulatif Enoncé et consigne données aux Objectifs et analyse a priori Scénario de mise en œuvre Evaluation Apport des outils numériques... 12

2 1. Tableau récapitulatif Enoncé Recherche de points à coordonnées entières sur une droite! Niveau Concerné 2 nd générale ou 1 ère générale Période de l année En fonction des chapitres abordés (voir prérequis) Durée et organisation Travail en groupe : 3 Durée : 2h + 1h Prérequis Mathématiques : Fonctions affines Repérage dans le plan Coordonnées d un point du plan Équation réduite d une droite (ou équation cartésienne en 1 ère S) Partie entière (connaissance de la partie entière d un nombre réel positif) TICE : Géogébra (fonctions) Algorithme : Boucle et itérateur, instruction conditionnelle commande («floor») Tableur Objectifs généraux Objectifs : Utilisation des TICE dans le but : - Aider à l appropriation du problème. - Conjecturer, donner des pistes de résolution. Dans le cadre de la résolution de problèmes, l utilisation des TICE par les leur donne une plus grande autonomie et encourage leur prise d initiative. Utiliser les connaissances et les capacités attendues au programme de seconde : - Mettre en applications les notions du prérequis. - Mettre en œuvre des algorithmes simples avec boucle, itérateur et instructions conditionnelles.

3 2. Enoncé et consigne données aux Enoncé du problème donné aux : Dans un repère orthogonal, on considère la droite (d) d équation : Le «premier point» à coordonnées entières positives de la droite (d) est le point de coordonnées D(11 ;2) Quel est le 20 ième point à coordonnées entières positive? Consignes données aux Vous travaillerez par groupe de trois. Vous disposerez de deux heures, puis on consacrera une heure en classe entière à exposer vos recherches et remplir la fiche d autoévaluation. 3. Objectifs et analyse a priori Textes de références Les notions abordées et utilisées sont diverses et concernent plusieurs points du programme que vous pouvez retrouver sur le Bulletin officiel n 30 du 23 juillet Documents ressources sur ENT Mise en ligne d une vidéo concernant la notion de partie entière abordée par la pédagogie inversée. Mise en ligne d un mini formulaire pour Algobox. Compétences en mathématiques au lycée développées dans cette activité Compétences évaluées Les critères d évaluation et indicateurs de réussite / mises en jeu J analyse le problème seul. - J extrais, j organise et je traite les informations utiles. J analyse le problème en groupe. - Je partage et je discute de mon analyse avec le groupe. Chercher Je m engage dans une démarche, J expérimente en utilisant éventuellement des outils logiciels. Emettre une conjecture. Valider, corriger une démarche, ou en adopter une nouvelle. Je fais une analyse critique d un résultat.

4 Modéliser Représenter Calculer Raisonner Communiquer Modéliser le problème en utilisant les outils TICE. Modéliser le problème «à la main». Choisir à bon escient un cadre de résolution (numérique, graphique, algorithmique ). Appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes. Effectuer un calcul automatisable à la main ou à l aide d un instrument (calculatrice, logiciel). Mettre en œuvre des algorithmes simples. Effectuer des inférences (inductives, déductives) pour obtenir de nouveaux résultats, conduire une démonstration, confirmer ou infirmer une conjecture, prendre une décision. Expliquer oralement une démarche, communiquer un résultat par oral ou par écrit. Notions du programme de mathématiques travaillées dans cette activité Notions Dans le problème? Coordonnées de point dans un Que signifie qu un point appartient à une droite? repère Equations de droites Utilisation de la capacité attendue : On démontre que toute droite a une équation soit de la forme y = mx + p, soit de la forme x = c. Droite comme courbe représentative d une Faire le lien entre l équation donnée et l équation fonction affine. réduite d une droite. Division euclidienne être multiple de 27? Compétences algorithmiques Notions d algorithmique Dans le problème Boucle Boucle For ou «Pour allant» Instruction conditionnelle «SI ALORS» ; «SI ALORS SINON» Les, dans le cadre d une résolution du problème, doivent être capables - de programmer un calcul itératif, le nombre d itérations étant donné ; - de programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fin de boucle conditionnelle. Compétences TICE Utilisation d un logiciel de géométrie dynamique Utilisation d un logiciel algorithmique ou la calculatrice Utilisation d un tableur Représenter une fonction affine Faire des conjectures graphiques «Si ALORS» «Si ALORS Sinon» «Pour allant.» Déclaration de variables Gestion des entrées-sorties affectation d une valeur mise en forme d un calcul. Partie entière d un nombre réel Afficher un message Formules à valeurs absolues ou relatives

5 Détails des objectifs de cette activité Ce problème a été conçu de façon à prendre en compte la diversité et l hétérogénéité des aptitudes des. Comment? le problème peut se résoudre de différentes manières. - La manière experte : résolution partielle d une équation diophantienne sans le savoir, à la portée des (bons), utilisation du PGCD vu au collège. - La manière TICE : à l aide d un logiciel de géométrie dynamique, on «regarde» le 20 ème point. - La manière TICE : algorithme : création d une boucle avec des conditions. - La manière TICE : tableur : affichant les images dans une colonne de valeurs entières. - La manière «tâtonnement». Différentes «aides» seront données selon les difficultés rencontrées par le groupe. La pédagogie inversée, sera proposée pour certaines notions. Quelques points forts de cette activité Permettre aux d étudier un problème dont la résolution repose sur des calculs et diverses notions du programme : - Se représenter la droite comme courbe représentative d une fonction affine. - Savoir si un point appartient à une courbe. - Etc La situation proposée dans ce cadre permet aux de disposer de méthodes variées pour aboutir à une résolution. La situation proposée met en avant l utilité des TICE (les résolutions les plus «abordables» sont obtenues à l aide de TICE). Rendre les capables d autonomie. Cette activité permet familiariser les avec les grands principes d organisation d un algorithme : on touche ainsi aux objectifs du lycée en algorithmique. Utilisation des Tice dans le but Aider à l appropriation du problème. Conjecturer, donner des pistes de résolution. Donner une plus grande autonomie et encourage leur prise d initiative. Quelques explications sur la mise en œuvre Travail en groupe : j ai demandé à cinq (les meilleurs) de former leur groupe En effet, je dirai que ce problème ouvert est d un bon niveau pour une classe de seconde, c est pourquoi il m a semblé indispensable -un de travailler en groupe (favorisant ainsi l émulation des idées) deux d équilibrer les groupes. Le temps consacré : j ai constaté que deux heures était un temps raisonnable à un groupe pour élaborer leurs recherches (narration de recherche, explorations de diverses pistes de recherche), entre coupé de quelques «pauses» de débats. Le temps de la restitution : j ai consacré une heure pour permettre à certains groupes d exposer leurs recherches. Je considère que travailler l oral et la communication est aussi important que la recherche de solutions. De plus cette séance me permet d enregistrer (audio) certains exposés. Pour demander ensuite aux de rédiger (à la maison) une restitution d une solution au problème (baladodiffusion à leur rythme, au moment qu ils choisiront chez eux, les pourront écouter, réécouter et rédiger une solution ).

6 4. Scénario de mise en œuvre Ce qui a été fait avant Les notions du prérequis ont été abordées en cours : fonctions affines, équation de droite, géométrie repérée, repérage dans le plan. Par exemple les capacités suivantes: Savoir déterminer si un point appartient ou non à la courbe représentative d une fonction ; Se représenter une droite comme courbe représentative d une fonction affine. Concernant les notions d algorithmiques, ont été abordées : Les grands principes de l élaboration d un algorithme : entrée, affectation et sortie ; Les conditions «Si ALORS» «SI ALORS SINON» ; Affichage de message ; L élaboration simple d algorithme ; La lecture d algorithme plus complexe ; L utilisation de la boucle FOR (boucle finie). Une vidéo, concernant la notion de la partie entière a été donnée (pédagogie inversée) : Vidéo 1 Vidéo 2 Et l assimilation de cette notion vérifiée en classe. Les ont déjà eu l occasion d utiliser un logiciel de géométrie dynamique (pour les fonctions et les vecteurs) et un tableur (en statistiques). Pour moi, ce problème ne peut être donné que vers la fin de l année car beaucoup de notions et compétences doivent avoir été abordées en amont. Par exemple, avant, les ont eu déjà l occasion de travailler sur d autres problèmes ouverts avec recours à la pédagogie inversée, à la baladodiffusion et à l algorithmique. Déroulement de la séance Matériel logiciel : Salle informatique ou utilisation des ordinateurs Pop Logiciels : tableur, géométrie dynamique, algorithme, lecture de vidéo Durée : Deux heures : pour les recherches (y compris les «pauses» de débats) Une heure : pour exposer les solutions Organisation : En groupe de 3 (j ai fait en sorte que le niveau soit équilibré) Phases et timing : La séance commence par le rappel des objectifs, à savoir : (10 min) -Une grille de notation (auto-évaluation) sera réalisée à la fin (présentation rapide des items de la grille). -2h pour le problème + 1h pour la présentation par groupe. -Une présentation de vos recherches par écrit et oralement de certains groupes. -Une restitution à l aide de la baladodiffusion à faire à la maison. Distribution de l énoncé et recherche individuelle : 05 min Aucune indication n est donnée, les sont en autonomie pour s approprier le problème. Ils réfléchissent individuellement. Travail de groupe : 1h45 durant cette phase : -Les se mettent à partager leurs idées. Le but est de laisser les prendre les initiatives, des pistes différentes conjecturer. Après 10 minutes -Avec une classe : j ai senti la nécessité de faire une «pause débat» afin que les

7 débattent sur «que nous demande-t-on?». -Le professeur passe dans les rangs, sans rien dire, mais note les difficultés afin de «distribuer» certaines «aides» sous formes numériques selon le blocage rencontré par les groupes. Après 20 minutes, je commence à «distribuer certaines aides» selon le degré de blocage. Voici quelques exemples de productions, de pistes d et l aide distribuée : Production Commentaire Piste suivie : «à la main» Ce groupe pense que la droite est la représentation graphique d une fonction linéaire Point positif : notions réutilisées : proportionnalité et linéarité Ce groupe sait utiliser une des conséquences de l utilisation d une fonction linéaire, à savoir, la situation de proportionnalité. Erreurs : Ce groupe ne s est pas posé la question de l appartenance ou non de l origine à la droite, et a fait confiance à la lecture graphique. Ce groupe n a pas vérifié son résultat et pense alors avoir la bonne réponse. Aide distribuée et conséquence Production Sous forme de question : «L énoncé affirme t-il que la droite passe par l origine?». Un membre du groupe s est alors exclamé «Hey mais oui, ce n est pas écrit!! on n en est pas sûr!». Puis leurs recherches ont repris Commentair e Piste suivie : «à la main» Point positif : Ce groupe a fait une vérification pour le 1 er point donné D. Production Commentaire Piste suivie : «géogébra» Ce groupe souhaite modéliser le problème sous géogébra.

8 Aide distribuée et conséquence Point positif : Utilisation des TICE autonomie sur le logiciel. Erreurs : Ce groupe ne s est pas posé la question de l appartenance ou non de l origine à la droite, et a fait confiance à la lecture graphique. Sous forme de question : «L origine appartient-il à la droite?». Un membre du groupe s est alors exclamé «Ah mais non ça passe à côté!». Production Commentaire Piste suivie : «géogébra» Ce groupe souhaite modéliser le problème sous géogébra. Point positif : Utilisation des TICE autonomie sur le logiciel Expression y=ax+b Production Commentaire Piste suivie : «tableur» Ce groupe souhaite modéliser le problème à l aide d un tableur Point positif : Utilisation des TICE autonomie sur le logiciel

9 Production Commentaire Piste suivie : «algobox» Ce groupe souhaite modéliser le problème sous algobox. Point positif : Prise initiative - Utilisation des TICE autonomie sur le logiciel Erreurs : Des erreurs de syntaxes (oubli du * entre le 5 et le x). Il manque des parenthèses. La valeur en entrée est incorrecte. Aide distribuée et conséquence Sous forme de vidéo : «sur un exo travaillé il y a quelques semaines». Le groupe réussi a modifié seul son algorithme. Mais la recherche n est pas finie, le groupe se rend compte qu il faut améliorer le programme car la recherche du dixième point semble «compliqué» avec ce programme. Production Ce groupe avait bien écrit en pseudo français, un algorithme permettant de répondre à la question, mais demandait un rappel pour la partie entière sur algobox. Commentaire Piste suivie : «algobox» Ce groupe souhaite modéliser le problème sous algobox Point positif : Prise initiative - Utilisation des Tice autonomie sur le logiciel Aide distribuée et conséquence Sous forme d un programme : «floor.alg» Le groupe réussi a modifié seul son algorithme et me propose :

10 Exemples d autres aides utilisées accessibles sur l ENT des : Toutes les aides sont protégées par un mot de passe, données uniquement lorsque le professeur les juge nécessaires. -la vidéo sur la partie entière 1 -la vidéo sur la boucle FOR -Qu est-ce qu une fonction linéaire? -Dans quelle situation rencontre-t-on une fonction linéaire? Ces différentes aides peuvent être de nature à : - Aider aux connaissances et aux savoir-faire ; - Aider à la démarche de résolution. Exposé : 10 minutes par groupe volontaire (3 groupes sont passés) suivi de 5 minutes de débat. Grille d évaluation : 15 minutes pour remplir la grille par autoévaluation. Une semaine plus tard : un fichier mp3 est distribué par ENT pour un travail à la maison de restitution. Autres aides prévues non utilisées - Les aides aux connaissances et aux savoir-faire La vidéo sur : le reste de la division euclidienne dans algobox. Prolongements possibles Quel est le 2014 ième point à coordonnées entières positive? La diversité des notions mathématiques mises en jeu dans ce problème, permet de : chercher, expérimenter en particulier à l aide d outils logiciels; appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes; raisonner, démontrer, trouver des résultats partiels et les mettre en perspective; expliquer oralement une démarche, communiquer un résultat par oral ou par écrit. La plupart des notions de ce problème ont été largement reprises plus tard car elles font partie des capacités attendues d un élève de seconde (équation de droite, point appartenant à la droite ) Certains ont eu l occasion de réutiliser la notion de «Partie entière» en MPS Les ont eu l occasion de réutiliser la notion de boucle FOR en simulation échantillonnage 1 Voir vidéos 1 et 2 dans la paragraphe 4.Scénario de mise en œuvre.

11 5. Evaluation Il n y a pas eu d évaluation chiffrée, mais une simple évaluation suivant une grille de compétences Les commentaires dans la grille ci-dessous sont des exemples pouvant guider les à s autoévaluer Rechercher, Distinguer ce extraire et qui est établi de organiser ce qui est à l information prouver ou à utile réfuter. Réaliser, manipuler, mesurer, expérimenter Suivre un protocole, utiliser un outil, modéliser une situation Bon On a bien vu que l énoncé ne disait rien au sujet de l origine On a bien vu que l équation donnée était une équation de la droite Bon On a utilisé un outil en sachant expliquer dans quel but. On est autonome sur l outil choisi. Moyen On a bien vu que le point D appartenait à la droite mais on a considéré que l origine aussi sans le vérifier Moyen On a utilisé un outil en sachant expliquer dans quel but. Mais on a eu du mal à maîtriser l outil, on a eu besoin d aide. Insuffisant On a eu du mal à comprendre l énoncé, à faire le lien entre la droite et l équation Insuffisant On a utilisé un outil mais sans arriver à expliquer notre objectif. pratiquer une démarche expérimentale émettre une hypothèse, une conjecture : proposer une méthode, un calcul, un algorithme, une procédure, une expérience Bon Le groupe a : Formulé des conjectures conduit un raisonnement contrôle la vraisemblance d un résultat. Adopte une démarche d investigation par une narration de recherche Moyen Le groupe a : Formulé des conjectures conduit un raisonnement mais ne contrôle pas la vraisemblance d un résultat. Adopte une démarche d investigation par une narration de recherche Insuffisant Le groupe a : Formulé des conjectures conduit un raisonnement mais ne contrôle pas la vraisemblance d un résultat. La démarche d investigation par une narration de recherche est insuffisante communiquer à l aide d un langage adapté Présentation orale Explications orales Bon Le groupe explique clairement ses idées avec un langage adapté. Moyen La formulation des idées et le langage manquent de clarté et de précision Insuffisant Le groupe a du mal à expliquer clairement ses recherches

12 6. Apport des outils numériques Quel est le rôle des outils logiciels? Des supports matériels? (classe mobile, tablettes numériques )? Quelles compétences transversales et disciplinaires développées? Comment les a-t-on mises en valeur? A l aide de quels outils numériques? D une manière générale, les outils logiciels permettent de : Favoriser et stimuler la prise d initiative Visualiser développe la possibilité d expérimenter ouvre largement la dialectique entre l observation et la démonstration Mais dans ce problème, en particulier : Géogébra L utilisation de ce logiciel oblige les à se poser la question «comment trace-ton une droite?» Certains veulent représenter la droite de l énoncé. Ils se rendent compte qu un seul point D n est pas suffisant! Algobox Développe les compétences transversales et disciplinaires: Déployer un raisonnement mathématique grâce à l élaboration d algorithme. Se familiariser avec les algorithmes. Montrer qu un problème difficile à résoudre à la main a priori, peut être facile avec un algorithme. ENT Développe les compétences transversales et disciplinaires: Travailler en équipe grâce aux échanges de l application «messagerie pédagogique». Travailler en autonomie grâce à l accès des fichiers personnels utiles à ce problème et aux aides différenciées. Mon GSM Enregistrement audio de certains durant leur phase de recherche. Certains enregistrements sont utiles immédiatement : ils deviennent parfois une AIDE pour un autre groupe. L aide a été formulée par un élève pour aider un autre groupe et non par le professeur. Enregistrement photographique et vidéo de certains durant leur phase de recherche. Il m est arrivé de projeter une image que je venais de capturer. Les enregistrements vidéo/audio ont parmi de développé chez l élève les compétences transversales et disciplinaires concernant : l aptitude à communiquer, utiliser le bon vocabulaire J ai remarqué que lors de l utilisation audio/video du travail d un élève : -l élève enregistré était fier et mettait bien plus de bonne volonté à exprimer oralement ses idées sans le prendre comme un «travail» mais plutôt comme un «jeu». L aptitude à écouter, extraire l information -l élève qui reçoit l aide, est plus à l écoute, lorsque c est un camarade de classe qui «parle». Quelle place accordée à la différenciation? Sous quelle forme? Ce problème a été conçu de façon à prendre en compte la diversité et l hétérogénéité des aptitudes des. Comment? Grâce : aux «aides ciblées» aux différentes pistes possibles à l utilisation des TICE

13 o o o Quels sont les innovations numériques développées? Leurs apports? Changement de posture de l enseignant (ressource) et autonomie développée Le problème est conçu de manière à laisser un maximum d autonomie à l élève. Cette autonomie est renforcée grâce à l apport numérique. En effet : Les peuvent à tout moment se connecter à leur ENT et visionner le travail fait en amont pour ce problème (par exemple, la manipulation du tableur en statistique, la manipulation de géogébra dans les fonctions, les algorithmes faits depuis le début de l année.). Les fichiers numériques donnent la possibilité à l élève de visionner à son rythme (faire pause, avancer, reculer ), on imagine aisément la difficulté de l enseignant à le faire si chaque groupe était demandeur Mise en activité de l élève Comme je l expliquais, l enregistrement audio/vidéo est une source de motivation pour certains qui veulent alors faire et bien faire. Attractivité des maths et Meilleur apprentissage car. La baladodiffusion mélange les maths et les outils numériques GSM, baladeurs, ordinateur qui sont pour les des accessoires ludiques. Ce qui donne une autre dimension à «je fais des maths». J ai remarqué, que chez certains (pas les meilleurs), le fait d utiliser cette méthode, rendait le travail en mathématique moins contraignant. La pédagogie inversée sur des notions sélectionnées, semble efficace à l apprentissage. L acquisition des connaissances se fait ainsi au rythme de l élève et non au rythme du professeur ou du programme scolaire. En delà de ce problème, j ai eu l occasion d utiliser d autre outils liés à l environnement numérique de l élève, par exemple : L ENT par MOODLE : Par le partage de fichiers et l élaboration de QCM Travailler l autonomie. Un moyen de mobiliser régulièrement les capacités acquises en classe. Des liens vers des situations d application interactives ou ludiques permettent de solliciter l élève à la maison, pour brasser à nouveau les capacités et connaissances déjà acquises. L ENT et LA MESSAGERIE : par l échange d exercices. Elaboration de parcours progressif et différencié par élève. Un véritable outil de gestion de l hétérogénéité. QCM : Pour l enseignant, les résultats des QCM sont précieux, car l analyse de ces résultats par pourra guider l enseignant à pratiquer un meilleur travail différencié et personnalisé.

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