Chapitre 6 : Fonctions affines Seconde 7, , Y. Angeli

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1 Chpitre 6 : Fonctions ffines Seconde 7, , Y. Angeli 1. Éqution réduite d une droite Théorème. Dns un repère, soient A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ) tels que x A x B. Alors l droite (AB) est l ensemble des points M(x; y) qui vérifient l une des équtions équivlentes y = y B y A (x x A )+y A = y B y A y = x+b vec x B x A b = x A +y A (AB) : y = x+b L seconde éqution est l éqution réduite de l droite (AB), le nombre réel est son coefficient directeur et le nombre réel b son ordonnée à l origine. Preuve. n : M (AB) A,B,M sont lignés ( ) xb x AB A et ( ) x xa AM colinéires y B y A y y A il existe k R tel que AM = k AB ( AB 0 ) { x xa = k( ) y y A = k(y B y A ) k = x x A y y A = k(y B y A ) y y A = y B y A (x x A ) y = y B y A (x x A )+y A y = (x x A )+y A y = x x A +y A y = x+b Remrque. Dns le cs où x A = x B et y A y B, un risonnement semblble mène à l éqution x = x A. A b B 1

2 . Trcé de droites; lecture grphique d équtions de droites Méthode. Pour trcer une droite d éqution y = x+b on choisit deux bscisses distinctes x 1 x et on clcule les ordonnées correpondntes des points de l droite : A(x 1 ;x 1 +b) et B(x ;x +b). n plce les points dns le repère et on trce l droite (AB). Exemple. Trcer l droite D d équtiony = 1 3 x+1. x y Méthode. Pour lire l éqution rédute d une droite trcée dns un repère, on choisit deux points A et B sur l droite, de préférence vec des coordonnées simples, puis on utilise le théorème du 1. pour déterminer le coefficient directeur et l ordonnée à l origine. D Exemple. Déterminer l éqution de D Éqution d une prllèle Propriété. Dns un repère, deux droites D et D d équtionsrespectivesy = x+b et y = x+b sont prllèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur : =. Preuve. n choisit deux points sur D puis D : Les points A(0;b) et B(1;+b) sont sur D. Les points A (0;b ) et B (1; +b ) sont sur D. Les droites D et D sont prllèles si et seulement si ( 1 AB sont colinéires, ce qui équivut à : 1 1 = 0 =. ) D : y = x+b D : y = x+b et A B ( 1 ) Exemple. Dns le dernier exemple déterminer l éqution de l droite D prllèle à D qui psse pr....

3 4. Systèmes linéires, intersections de droites Dns ce prgrphe, on considère le système, d inconnues x et y : (S) : { mx+py +q = 0 m x+p y +q = 0 Théorème. Le système(s) dmet un unique couple de solution si et seulement si le déterminnt mp m p 0. Dns le cscontrire,soit il dmetune infinité de solutions, soit il n en dmet qu une seule. Preuve. n suppose d bord p,p 0. n remrque lors que (S) { py = mx q p y = m x q y = m p x q p y = m q x p p y = x+b où = m p ; b = q p y = x+b où = m p ; b = q p Les couples de solutions (x, y) s interprétent donc comme les coordonnées des points d intersections des droites D et D d équtions respectives y = x + b et y = x+b. r ces droites se coupent en un point unique si et seulement si elles ne sont ps prllèles, donc si et seulement si m p m p mp m p mp m p 0 Si p ou p est nul, on peut résoudre (S) et vérifier que le théorème est vri dns ce cs. Exemple. Déterminer si les systèmes suivnts dmettent une solution unique : (S 1 ) : { 3x y = (S ) : { 4x y = 0 x+ 1 y +1 = 0 (S 3) : { x+4y +1 = 0

4 5. Exemple de résolution d un système linéire. Soit (S) : { 3x y = n vu que le système dmettit un couple de solution unique. n choisit lors l une des deux méthodes de résolution qui suivent : Méthode de substitution n exprime une inconnue en fonction de l utre dns l une des deux équtions. Pr exemple, x en fonction de y dns l seconde éqution : { { 3x y = 3x y = (S) x y = 0 x = y n remplce (ou substitue) x pr son expression en fonction de y (ici, y) dns l seconde éqution, fin de fire disprître l vrible x : { { { 3 (y) y = 6y y = 4y = (S) x = y x = y x = y n résoud l première éqution (vec une seule inconnue) et on remplce le résultt dns l seconde : { y = 1 y = 1 { (S) ( ) y = 1 1 x = y x = x = 1 Méthode de combinison n joute à une ligne un multiple de l utre fin de supprimer une inconnue (le résultt est une combinison des deux lignes) : pr exemple on joute -3 fois l ligne à l ligne 1 : { { 3x y 3(x y) = 3 0 3x y 3x+6y = (S) n résoud l première éqution (vec une seule inconnue) et on remplce le résultt dns l seconde : { y = 1 { 4y = (S) ( ) y = 1 { y = 1 1 x = 0 x 1 = 0 x = 1 Conclusion Le système dmet un couple solution unique (x,y) = ( 1, 1 ).

5 6. Fonction ffines Définition. Une fonction ffine est une fonction de l forme f : R R,x x+b où,b R. Lorsque b est nulle, l fonction est dite linéire. Lorsque est nul, l fonction est dite constnte. Propriété. Dns un repère, l courbe C représentnt une fonction ffine f définie pr f(x) = x+b est une droite d éqution y = x+b. Preuve. L courbe C pour éqution y = f(x) = x + b. Ainsi A(0;b) et B(1;+b) pprtienent à C. r l droite (AB) pour éqution y = x+b où = y B y A = +b b 1 0 = et b = x A +y A = 0+b = b donc l éqution de (AB) est y = x+b, et on bien (AB) = C. Propriété. Soit f une fonction ffine définie pr f(x) = x + b. Alors f est strictement croissnte sur R lorsque > 0, constnte si = 0 et strictement décroissnte sur R si < 0. Preuve. Pour tous réels x,x tels que x < x on : Si > 0 Si = 0 Si < 0 x < x f(x) = b = f(x ) x > x donc x+b < x +b Donc f est constnte donc x+b > x +b d où f(x) < f(x ). d où f(x) > f(x ). Donc f est strictement Donc f est strictement croissnte. décroissnte. Propriété. Soit 0 et b R. Le signe de l fonction ffine f défine pr f(x) = x+b est donné pr : x b + f(x) signe de 0 signe de ( Preuve. n remrque d bord que f b ) ( = b ) +b = b+b = 0. n suppose > 0. L fonction f est donc strictement croissnte. Ainsi, si x < b < x lors f(x) < 0 < f(x ). De même, si < 0, l fonction f est donc strictement décroissnte : si x < b < x lors f(x) > 0 > f(x ).

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