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1 Notes de cours Pascal Bianchi 23 janvier 2015

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3 Table des matières 1 Éléments d analyse convexe Ensembles Ensembles convexes et projection Intérieur relatif Enveloppe convexe Fonctions Généralités Fonctions convexes Sous-différentiel Fonctions semicontinues inférieurement Minimiseurs Transformée de Fenchel-Legendre Généralités L inégalité de Fenchel-Young et ses conséquences Fonctions convexes semicontinues inférieurement Dualité paramétrique Problèmes primal et dual Lagrangien Dualité de Fenchel-Rockafellar Infimal convolution Théorème d Attouch-Brezis Dualité de Fenchel-Rockafellar Opérations sur les sous-différentiels Solutions primales et duales Dualité en optimisation Problème d optimisation sous contrainte Conditions de Karush-Kuhn-Tucker Interprétation géométrique Optimisation Algorithmes du point fixe Applications α-moyennées Fonctions cocoercives Exemple : Algorithme du gradient

4 4 TABLE DES MATIÈRES 2.2 Opérateur proximal Définition, propriétés Algorithme du gradient proximal Applications Opérateurs monotones Définition Résolvante Problème primal-dual Position du problème Alternating Direction Method of Multipliers Préliminaires : le cas M = I

5 Chapitre 1 Éléments d analyse convexe Soit X un espace euclidien équipé d un produit scalaire.,.. On note. la norme associée. 1.1 Ensembles Ensembles convexes et projection Définition L ensemble C X est dit convexe si (x, y) C 2, t ]0, 1[, tx + (1 t)y C. Proposition (Projection). Soit C X un convexe fermé et x X. 1. Il existe un unique point de C, noté P C (x), tel que pour tout y C, y x P C (x) x. 2. y C, y P C (x), x P C (x) (x, y) X 2, P C (y) P C (x) y x. Preuve. 1. Posons d C (x) = inf y C y x. On peut construire une suite (y n ) n de C telle que y n x d C (x). La suite étant bornée, on peut extraire une sous-suite convergeant vers ȳ. Par continuité de y y x, ȳ x = d C (x). Montrons l unicité. Soit z C un autre point tel que z x = d C (x). Par convexité de C, w = (ȳ + z)/2 C. D après l identité du parallèlogramme 1 2 ȳ x z x 2 = ȳ + z 2x 2 + ȳ z 2 ce qui entraine d C (x) 2 = w x ȳ z 2. Puisque w C, on a par ailleurs w x d C (x). On en déduit que ȳ z = 0 soit ȳ = z. 2. Posons p = P C (x). Par l absurde, supposons qu il existe y C tel que y p, x p > 0. Soit z = p + ɛ(y p) où 0 < ɛ 1. On a z C par convexité de C. z x 2 = p x + ɛ(y p) 2 = p x 2 2ɛ y p, x p + O(ɛ 2 ). On peut 1. 2 a b 2 = a + b 2 + a b 2. 5

6 6 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS D ANALYSE CONVEXE donc choisir ɛ suffisamment petit pour que z x 2 < p x 2 ce qui conduit à une contradiction. 3. En ajoutant les inégalités P C (y) P C (x), x P C (x) 0 et P C (x) P C (y), y P C (y) 0 on obtient que P C (y) P C (x), y x P C (x) P C (y) 2. On conclut par l inégalité de Cauchy-Schwarz. Proposition (Hyperplan support). Soit C un convexe fermé strictement inclus dans X. Soit x 0 un point de la frontière de C. Il existe w X non nul tel que x C, w, x w, x 0. Preuve. Soit (x n ) une suite de X \C convergeant vers x 0. La suite w n = (x n P C (x n ))/ x n P C (x n ) satisfait w n, x P C (x n ) 0 pour tout n et pour tout x C. Soit w une valeur d adhérence de la suite w n. Par continuité de P C, on a pour tout x C, w, x P C (x 0 ) 0. Proposition Soit C un convexe fermé et z 0 X \C. Il existe w X non nul et a R tel que w, z 0 > a et x C, w, x a. Preuve. Il suffit de poser x 0 = P C (z 0 ), w = z 0 x 0 et a = w, x Intérieur relatif Définition (Espace et enveloppe affines). Un ensemble E est appelé un espace affine si, pour tout (x, y) E 2 et pour tout t R, x + t(y x) E. L enveloppe affine aff(c) d un ensemble C X est le plus petit espace affine contenant C. Définition (Intérieur relatif). Soit C X. L intérieur relatif de C, noté ri(c), est l ensemble des points x qui admettent un voisinage V pour lequel V aff(c) C. Il est clair que int(c) ri(c). Proposition Soit C un ensemble convexe non vide. Alors ri(c) Enveloppe convexe Définition (Enveloppe convexe). L enveloppe convexe conv(c) d un ensemble C X est l intersection de tous les ensembles convexes contenant C. L enveloppe convexe d un ensemble est convexe. 1.2 Fonctions Généralités Pour tout f : X [, + ], on note dom(f) est l ensemble des points x tels que f(x) <. On dit que f est propre si dom(f) et si f ne prend jamais la valeur.

7 1.2. FONCTIONS 7 Définition (Epigraphe). Soit f : X [, + ] une fonction. L épigraphe de f, noté epi(f) est l ensemble des couples (x, u) X R tels que u f(x). Une fonction est entièrement déterminée par son épigraphe Fonctions convexes Définition (Fonction convexe). f : X [, + ] est dite convexe si son épigraphe est convexe. On montre sans peine que si f est convexe, alors dom(f) est convexe. Proposition Une fonction f : X [, + ] est convexe si et seulement si (x, y) dom(f) 2, t ]0, 1[, f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y). Preuve. Supposons que f satisfait l inégalité. Soient (x, u) et (y, v) deux points de l épigraphe : u f(x) et v f(y). En particulier (x, y) dom(f) 2. Soit t ]0, 1[. L inégalité implique que f(tx + (1 t)y) tu + (1 t)v. Ainsi t(x, u) + (1 t)(y, v) epi(f) ce qui prouve que epi(f) est convexe. Réciproquement, supposons epi(f) convexe. Soient (x, y) dom(f) 2. Soient (x, u) et (y, v) deux points de epi(f). Par convexité de epi(f), le point t(x, u)+(1 t)(y, v) appartient à epi(f). Donc, f(t(x + (1 t)y) tu + (1 t)v. Si f(x) et f(y) sont >, on peut choisir u = f(x) et v = f(y) ce qui démontre l inégalité. Si f(x) =, on peut choisir u arbitrairement proche de. Par passage à la limite sur u, on obtient f(t(x + (1 t)y) =, ce qui démontre là encore l inégalité voulue. Proposition Soit (f i ) i I une famille de fonction convexe de X [, + ]. Alors sup i f i est convexe. Preuve. sup i f i admet pour épigraphe i epi f i. Cet ensemble est convexe en tant qu intersection d ensembles convexes Sous-différentiel Définition Soit f : X (, + ] une fonction propre. Le sousdifférentiel de f au point x est l ensemble f(x) = {φ X : y X, f(y) f(x) + φ, y x }. Tout élément de f(x) est appelé un sous-gradient de f au point x. Remarque La définition est restreinte aux fonctions propres. Ainsi, f(x) est vide en tout point x hors de dom f (cette propriété ne serait plus vraie si on étendait la définition à f = +, on aurait alors f(x) = X en tout point x). Proposition Soit f : X [, + ] une fonction convexe et x ri(dom f) tel que f(x) R. Alors f est propre et f(x) est non vide.

8 8 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS D ANALYSE CONVEXE Preuve. Soit f une fonction convexe et x 0 ri(dom f) tel que f(x 0 ) R. Sans restriction, on peut se restreindre au cas où x 0 = 0 et f(x 0 ) = 0, quitte à remplacer f par la fonction x f(x + x 0 ) f(x 0 ). Posons A = aff dom(f). Puisqu il contient l origine, il s agit d un espace vectoriel. On se place désormais dans A. On note int A l intérieur dans A et f A : A [, + ] la restriction de f à A. On désigne par C l adhérence de epi(f A ) dans A. L ensemble C est un convexe fermé de l espace A R. On munit ce dernier du produit scalaire (x, u), (x, u ) = x, x + uu. Le couple (0, 0) appartient à la frontière de C. D après la proposition 1.1.3, il existe w 0 tel que pour tout z C, w, z 0. Notons w = (φ, u) A R et appliquons l inégalité ci-dessus au point z = (x, y) où x est un point quelconque dans dom(f A ). On obtient 0 φ, x +uy. A x fixé, on peut choisir y arbitrairement grand, ce qui entraine que u 0 pour que l inégalité puisse rester valable. Supposons par l absurde que u est nul. On aurait 0 φ, x pour tout x dom(f A ). Comme 0 ri dom(f), on vérifie facilement que 0 int A dom(f A ). Pour tout d A, il existe donc ɛ > 0 assez petit pour que ɛd dom(f A ). Cela implique 0 φ, d pour tout d A, soit φ = 0 et donc w = 0 ce qui amène la contradiction. On en conclut que u < 0. Quitte à modifier la norme du vecteur w, on peut choisir u = 1. Résumons : on a montré qu il existe φ X tel que pour tout x dom f et tout y f(x), on a y φ, x. Il est donc clair que / f(x ) et donc que f est propre. En outre, en fixant y = f(x), on conclut que pour tout x dom f, f(x) φ, x. Ainsi, φ f(x). Corollaire Toute fonction f : X (, + ] convexe propre admet un minorant affine. Autrement dit, une fonction f : X [, + ] convexe admet un minorant affine si et seulement si / f(x ). Preuve. Soit f convexe propre. Comme dom f est convexe, ri dom f. Donc f admet un sous-gradient en un point ce qui démontre le résultat. Exemple La fonction valeur absolue x x définie sur R R admet pour sous-différentiel l application sign définie par {1} si x > 0 sign(x) = [ 1, 1]si x = 0 { 1} si x < 0. Lemme Soit f une fonction convexe. Pour tout (x, y) (dom f) 2 et tout u f(x), v g(y), u v, x y 0. Preuve. Il suffit d ajouter les deux inégalités f(y) f(x) + u, y x et f(x) f(y) + v, x y Fonctions semicontinues inférieurement Définition Soit f : X [, + ]. Alors f est semicontinue inférieurement (s.c.i. ) au point x X si f(x) lim inf y x f(y).

9 1.2. FONCTIONS 9 Une fonction f : X [, + ] est dite s.c.i. si elle est s.c.i. en tout point. Une fonction f dont l épigraphe est fermé est dite fermée. Proposition Soit f : X [, + ]. Les propriétés suivantes sont équivalentes. i) f est s.c.i.. ii) f est fermée. iii) Les ensembles de niveau ({f a}) a R sont des fermés. Preuve. A compléter. Proposition Soit f : X [, + ] convexe s.c.i.. Si f(x ) alors f(x ) {, + }. Preuve. A compléter. Définition (Enveloppe s.c.i. ). L enveloppe s.c.i. d une fonction f : X [, + ] est la fonction f : X [, + ] définie par f(x) = sup{g : X [, + ] : g f et g s.c.i. } Proposition Soit f : X [, + ] et x X. i) f est la plus grande fonction s.c.i. majorée par f. ii) epi( f) = epi(f) (en particulier, f est s.c.i. ). iii) f est s.c.i. en x si et seulement si f(x) = f(x). Preuve. A compléter Définition (Enveloppe s.c.i. convexe). L enveloppe s.c.i. convexe d une fonction f : X [, + ] est la fonction f : X [, + ] définie par f(x) = sup{g : X [, + ] : g f et g s.c.i. convexe} Proposition Soit f : X [, + ]. i) f est la plus grande fonction s.c.i. convexe majorée par f. ii) epi( f) = conv epi(f). iii) Si f est convexe, f = f. Preuve. A compléter. Corollaire Soit f : X [, + ] convexe et x X. Si f est s.c.i. en x avec f(x) R, alors f est propre. Preuve. Comme f est convexe, f = f et donc f est s.c.i. convexe. Comme f est s.c.i. en x, on a f(x) = f(x) d après la proposition Donc f(x) R. D après la proposition , il est impossible que f prenne la valeur, sans quoi elle ne pourrait pas être réelle en un point. Comme f f, f ne prend pas la valeur. En outre, dom f donc f est propre.

10 10 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS D ANALYSE CONVEXE 1.3 Minimiseurs On dit que x est un minimiseur de f si f(x) f(y) pour tout y X. On note arg min(f) l ensemble des minimiseurs de f. On dit que le problème de minimisation de f est atteint si arg min f. Proposition (Règle de Fermat). Soit f une fonction propre et x X. On a l équivalence : x arg min f 0 f(x). Autrement dit arg min f = zer f. Définition Une fonction convexe propre f : X (, + ] est dite strictement convexe si (x, y) dom(f) 2 tels que x y, t ]0, 1[, f(tx + (1 t)y) < tf(x) + (1 t)f(y). Proposition (Unicité). Soit f : X (, + ] une fonction strictement convexe. Alors f admet au plus un minimiseur. Preuve. Par l absurde, soient x y deux minimiseurs. On a f ( ) x+y 2 < 1 2 (f(x)+ f(y)) = inf f(x ) ce qui est impossible. Définition Une fonction f : X [, + ] telle que lim x f(x) = + est dite coercive. On note Γ 0 (X ) l ensemble des fonctions propres convexes fermées. Proposition Soit f : X [, + ] une fonction s.c.i. coercive. Alors arg min(f) est non vide. Preuve. On suppose que f est propre sans quoi le résultat est trivial. Soit x tel que f( x) R. On introduit l ensemble de niveau C = {x : f(x) f( x)}. L ensemble C est non-vide et fermé d après la proposition Enfin, C est borné : dans le cas contraire, on pourrait exhiber une suite x n non bornée qui vérifierait f(x n ) f( x) et contredirait donc le fait que f est coercive. Par définition de l infimum, on peut construire une suite x n C telle que f(x n ) inf f(c). Comme cette suite vit dans un compact C, on peut en extraire une suite convergeant vers un point x. Nous noterons toujours x n cette suite extraite par abus de notation. La suite (x n, f(x n )) epi(f) converge vers (x, inf f(c)) qui appartient donc à epi(f) pour la même raison que ci-dessus. Ainsi f(x ) inf f(c) = inf f(x ). D où x arg min(f). Définition Soit β > 0. Une fonction propre f : X (, + ] est dite β-fortement convexe si f β 2. 2 est convexe. Proposition Soit f Γ 0 (X ) une fonction fortement convexe. Alors f est coercive. Preuve. Introduisons la fonction g = f β 2. 2 où β > 0 est tel que g est convexe propre. En tant que telle, g admet un minorant affine x a, x g( x). On a f β a, x + b et donc f est bien coercive.

11 1.4. TRANSFORMÉE DE FENCHEL-LEGENDRE Transformée de Fenchel-Legendre Généralités Définition La transformée de Fenchel-Legendre d une fonction f : X [, + ] est la fonction f : X [, + ] définie par : f (φ) = sup ( φ, x f(x)). x X Il est utile de remarquer que f (0) = inf f(x ). Proposition Soit f : X [, + ]. Alors f est convexe s.c.i.. Preuve. On vérifie facilement que f est convexe. On remarque que pour toute famille de fonctions (f i ) i I, epi(sup i f i ) = i epi(f i ). Comme f s écrit comme un supremum de fonctions affines (dont les épigraphes sont des demi-espaces fermés), epi(f ) est fermé. La propriété suivante caractérise les cas dégénérés. Proposition Soit f : X [, + ]. Alors i) f (X ) f = + f =. ii) f = + f n admet aucun minorant affine. iii) f est propre f est propre et admet un minorant affine. iv) Lorsque f est convexe, on a : f est propre f est propre. Preuve. ii) Dire que f = + revient à dire que pour tout φ X et tout a R, sup x X ( φ, x f(x)) > a. Autrement dit, pour tout (φ, a) il existe x tel que φ, x f(x) > a ce qui signifie que φ,. a n est pas un minorant de f. Cela équivaut à dire que f n admet aucun minorant affine. iii) Supposons que f est propre. Alors f admet un minorant affine d après le point précédent. En particulier, / f(x ). De plus f ne peut être égale à +, donc f est propre. Montrons la réciproque. Puisque f admet un minorant affine, dom f. Puisque dom f, / f (X ). Donc f est propre. iv) Soit f convexe. Le sens direct provient de la propriété précédente. La réciproque provient du fait qu une fonction convexe propre admet un minorant affine L inégalité de Fenchel-Young et ses conséquences Proposition (Fenchel-Young). Soit f : X (, + ] une fonction propre et x, φ X. On a l inégalité avec égalité si et seulement si φ f(x). f(x) + f (φ) φ, x (1.1)

12 12 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS D ANALYSE CONVEXE Preuve. L inégalité est une conséquence immédiate de la définition de f. On a l équivalence : f (φ) = φ, x f(x) y, φ, x f(x) φ, y f(y) y, φ, y x + f(x) f(y) φ f(x). Proposition Soit f : X [, + ]. Alors f (x) = sup{α(x) : α est un minorant affine de f}. Preuve. Appelons h(x) le supremum du membre de droite. Commençons par exclure le cas dégénéré où f n admet aucun minorant affine. Dans ce cas, f = + d où f = = h(x). Soit maintenant α : x x, φ a un minorant affine de f. On a x, φ a f(x) pour tout x, ce qui implique que x, φ f(x) a et donc que f (φ) = sup x x, φ f(x) a. Donc pour tout x, α(x) x, φ f (φ) et a fortiori α(x) f (x). Cela est vrai pour tout minorant affine α, donc h(x) f (x). Montrons l inégalité contraire. On a f (x) = sup φ x, φ f (φ) où le supremum peut être restreint aux points φ tels que f (φ) < +. Considérons un tel φ. Par Fenchel-Young, x x, φ f (φ) est un minorant affine de f. Donc x, φ f (φ) h(x). En prenant le supremum sur les φ tels que f (φ) < +, on obtient f (x) h(x). Corollaire Pour toute fonction f : X [, + ], f f Lemme Pour tout f : X [, + ], f = f. Preuve. En appliquant le corollaire à f, on obtient f f. Par ailleurs, on montre sans peine l implication f g f g. Comme f f, on a f f. Proposition Soit f : X (, + ] une fonction propre et x X. Alors f(x) f (x) et f(x) f (x). (1.2) En outre, parmi les propriétés suivantes, i) ii) iii) : i) f(x) ii) f (x) = f(x) iii) f (x) = f(x). Enfin, l implication suivante est vraie pour tout φ X : et si f(x) = f (x), alors la réciproque est vraie. φ f(x) x f (φ), (1.3)

13 1.4. TRANSFORMÉE DE FENCHEL-LEGENDRE 13 Preuve. Il est clair que f f par la proposition Supposons qu il existe φ f(x). Par Fenchel-Young, f (φ) + f(x) = φ, x (1.4) et comme f f, on a f (φ) + f (x) φ, x. Toujours par Fenchel-Young, si cette inégalité est satisfaite, ce ne peut être qu une égalité, ainsi : f (φ) + f (x) = φ, x. (1.5) D une part, cela montre que x f (φ) et (1.3) est démontrée. D autre part, en utilisant le fait que f = f cela montre que φ f (x) et (1.2) est démontrée. En comparant (1.4) et (1.5), nous avons également obtenu que si f(x) alors f(x) = f (x) ce qui prouve l implication i) ii). Supposons enfin que f(x) = f (x) et supposons qu il existe φ f (x). Alors f (x) + f (φ) = x, φ et puisque f = f nous avons que f (x) + f (φ) = x, φ. Par hypothèse, f(x) = f (x) et ainsi f(x) + f (φ) = x, φ ce qui montre que φ f(x). Il reste à montrer la réciproque de (1.3) dans le cas où f(x) = f (x). Supposons que x f (φ). Alors (1.5) est vérifiée. En utilisant l hypothèse, cela revient à dire que (1.4) est vraie et donc que φ f(x). Corollaire Soit f : X [, + ] une fonction convexe et x ri dom f. Alors f(x) = f (x). Si en outre f(x) R, alors f est propre et f (x) = f(x). Preuve. Traitons le cas où f(x) R. D après la proposition 1.2.7, f est propre et f(x). Puisque f(x), on a d après la proposition 1.4.8, f (x) = f(x) et f (x) = f(x) et le résultat est prouvé. Si f(x) / R, cela signifie que f(x) = et puisque f f, il reste vrai que f(x) = f (x) Fonctions convexes semicontinues inférieurement Theorem (Fenchel-Moreau). Soit f : X (, + ] une fonction propre. La fonction f est s.c.i. convexe si et seulement si f = f. Preuve. Si f = f, alors f est convexe s.c.i. d après la proposition Soit maintenant f une fonction convexe propre s.c.i.. On sait déjà que f f, il reste à prouver l inégalité inverse. On procède en deux étapes. Etape 1 : On traite le cas où f 0. Supposons par l absurde qu il existe x 0 X tel que f (x 0 ) < f(x 0 ) (en particulier f (x 0 ) est fini). D après la proposition 1.1.4, le point (x 0, f (x 0 )) est séparé du convexe fermé epi(f) par un

14 14 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS D ANALYSE CONVEXE hyperplan, c est à dire qu il existe (z, β) X R et a R tels que z, x 0 + βf (x 0 ) < a (1.6) (x, y) epi(f), z, x + βy a. Comme dom f, on peut choisir (x, y) epi(f) avec y arbitrairement grand, ce qui impose que β 0. Puisque f 0, on a pour tout x et tout ɛ > 0, (β + ɛ)f(x) βf(x), si bien que l inégalité précédente conduit à autrement dit z x X,, x + f(x) a β + ɛ β + ɛ x X, z, x f(x) a β + ɛ β + ɛ et donc f ( z β+ɛ ) a β+ɛ. Ainsi f (x 0 ) z z β+ɛ, x 0 + β+ɛ, x 0 f ( z β+ɛ ) soit f (x 0 ) a β+ɛ. En faisant tendre ɛ vers zéro, on obtient que βf (x 0 ) a z, x 0 ce qui contredit (1.6). Etape 2 : A compléter. Corollaire Si f : X (, + ] est une fonction propre convexe s.c.i., alors f = f 1. Preuve. C est une conséquence de la proposition et du théorème de Fenchel- Moreau. Proposition Soit f : X (, + ] une fonction admettant un minorant affine. Alors f = f. Preuve. On sait que f f. En outre, f est la plus grande fonction s.c.i. convexe majorée par f donc f f f. Donc f f f et puisque f = f, on en déduit que f = f. Donc f = f. On sait que f est s.c.i. convexe, donc si elle est propre, on conclut que f = f = f. Puisque f admet un minorant affine α (qui est convexe s.c.i. ), on a α f donc f ne prend pas la valeur. Soit elle est propre (auquel cas la proposition est vraie), soit elle est identiquement égale à + et la conclusion reste vraie. Proposition Soit f : X [, + ] et x X. Alors f (x) = f(x) f est s.c.i. en x. En outre, si f est convexe et si l une des propriétés suivantes est satisfaite : alors on a l équivalence / f(x ) ou f(x) < + f (x) = f(x) f est s.c.i. en x. (1.7)

15 1.5. DUALITÉ PARAMÉTRIQUE 15 Preuve. Supposons que f (x) = f(x). Comme f est s.c.i. et comme f est la plus grande fonction s.c.i. majorée par f, on a f f f. En évaluant cette relation au point x, on a par hypothèse f(x) = f(x) et donc f est s.c.i. en x. Supposons maintenant que f soit s.c.i. en x. Considérons le cas f convexe et / f(x ). Supposons que f est s.c.i. en x. Si f est propre, alors f admet un minorant affine d après le corollaire Par application de la proposition , f = f. Par convexité, f = f d où f = f. Comme f est s.c.i. en x, f(x) = f(x) et donc f (x) = f(x). Si f est impropre, étant donné que / f(x ), cela signifie que f = +. Dans ce cas, f = + et on a à nouveau f (x) = f(x). Pour finir, considérons le cas f convexe, f(x ) et f(x) < +. Dans ce cas, remarquons que f n admet aucun minorant affine, donc f = + et donc f =. Supposons f s.c.i. en x, c est à dire f(x) = f(x). On a que f est s.c.i. et que f prend la valeur (remarquer simplement que f f). D après la proposition , f ne peut prendre aucune valeur réelle. Puisque f(x) = f(x) < +, on a nécessairement f(x) =. Ainsi, f(x) = f(x) = = f (x). Remarque Si f est convexe propre, l équivalence (1.7) est a fortiori satisfaite. Remarque Si f(x ) et f(x) = +, on voit bien que l équivalence (1.7) est fausse en règle générale, même si f est convexe. En effet, on a dans ce cas f (x) = + = f(x) et pourtant rien n empêche f d être s.c.i. en x. Corollaire Soit f : X [, + ] une fonction convexe. Soit x X tel que f(x) R. On a l équivalence f (x) = f(x) f est s.c.i. en x. Dans ce cas, f est propre et on a également f (x) = f(x). Preuve. L équivalence découle immédiatement de la proposition Comme f(x) R, si f est s.c.i. au point x, elle est propre d après le corollaire Pour une fonction propre s.c.i. en x, on a f (x) = f(x) d après la proposition Dualité paramétrique Dans ce paragraphe, on se donne une fonction F : X Y (, + ] où X et Y sont deux espaces euclidiens. Sans risque d ambiguité, on note de manière identique.,. les produits scalaires dans chacun de ces espaces. On équipe l espace produit X Y du produit scalaire (ν, φ), (x, y) := ν, x + φ, y Problèmes primal et dual On définit la valeur primale par p := inf F (X, 0).

16 16 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS D ANALYSE CONVEXE On définit la fonction valeur pour tout y Y par ϑ(y) := inf F (X, y). Clairement p = ϑ(0). La valeur duale est définie par d := ϑ (0) = sup φ ϑ (φ). On exprime En résumé, ϑ (φ) = sup φ, y F (x, y) = F (0, φ). x,y p = ϑ(0) = inf F (X, 0) d = ϑ (0) = sup F (0, Y). On appelle point primal (resp. dual) optimal ou solution primale (resp. duale) tout minimiseur de F (., 0) (resp. de F (0,. )). On note D = arg min ϑ l ensemble des solutions duales. Proposition Les propriétés suivantes sont satisfaites. i) p d. ii) Si ϑ est propre, D = ϑ (0) ϑ(0). Sinon D = Y et d {, + }. Preuve. i) Voir le corollaire ii) Supposons que ϑ est propre. D après la règle de Fermat et le corollaire , D = arg min ϑ = zer ϑ = ( ϑ ) 1 (0) = ϑ (0). L inclusion ϑ(0) ϑ (0) est une conséquence de (1.2). Si ϑ est impropre, elle vaut identiquement + ou identiquement et donc D = Y. La quantité (p d) est appelée l écart de dualité. On note le résultat suivant, qui est une conséquence de la proposition (la preuve est laissée au lecteur). Proposition Si F est convexe, alors ϑ est convexe. Theorem (Zéro écart de dualité). Supposons ϑ convexe et p R. Alors p = d si et seulement si ϑ est s.c.i. en zéro. Dans ce cas, ϑ est propre et D = ϑ(0). Preuve. Voir le corollaire Theorem (Zéro écart et atteignabilité du dual). Supposons ϑ convexe et 0 ri dom ϑ. Alors p = d. Si p est fini, alors ϑ est propre et D = ϑ(0). Si p =, alors D = Y. Preuve. Voir le corollaire

17 1.5. DUALITÉ PARAMÉTRIQUE Lagrangien Pour tout x X, on définit sur Y [, + ] la fonction F x (y) := F (x, y). On appelle Lagrangien la fonction L définie sur X Y [, + ] par L(x, φ) := F x ( φ), ce qui revient à L(x, φ) = inf F (x, y) + y, φ. y Y On peut exprimer les quantités primales et duales en fonction du Lagrangien. Le schéma suivant représente le fait que la transformée de Legendre F (ν, φ) est égale à la transformée de Legendre de la fonction x F x (φ), c est à dire, en particulier pour ν = 0, F (0, φ) = sup x F x (φ).. T.Leg. vs y F (x, y) Fx (φ) F x (φ) T.Leg. vs φ F (ν, φ). Par ailleurs, F x (0) = Fx (0) = sup φ F x (φ) dès lors que pour tout x, F x satisfait les conditions de la proposition (c est à dire : F x est convexe et / F x (Y) ou F x (0) < + ). Afin que ces conditions soient vérifiées, nous ferons l hypothèse suivante : Hypothèse F est convexe propre et s.c.i.. Dans ce cas, pour tout x, F x est convexe s.c.i. et ne prend pas la valeur. Donc F x = Fx d après la proposition On a donc le lemme suivant. Lemme Pour tout φ Y, F (0, φ) = inf L(X, φ) et sous l hypothèse 1.5.5, on a pour tout x X F (x, 0) = sup L(x, Y). Corollaire On a et sous l hypothèse 1.5.5, d = sup inf L(x, φ) φ Y x X p = inf sup x X φ Y L(x, φ).

18 18 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS D ANALYSE CONVEXE Définition (Point selle). On dit que (x, φ) est un point selle de L si inf L(X, φ) = L(x, φ) = sup L(x, Y). Theorem Sous l hypothèse 1.5.5, les deux propriétés suivantes sont équivalentes : i) x est primal optimal, φ est dual optimal et p = d. ii) (x, φ) est un point selle du Lagrangien. Preuve. i) ii) d = F (0, φ) = inf L(X, φ) L(x, φ) sup L(x, Y) = F (x, 0) = p. ii) i) Comme (x, φ) est un point selle, on a d une part L(x, φ) = sup L(x, Y) = F (x, 0) et d autre part L(x, φ) = inf L(X, φ) = F (0, φ). Donc F (x, 0) = F (0, φ). Donc p F (x, 0) = F (0, φ) d. On conclut en utilisant p d. Corollaire Supposons l hypothèse satisfaite. Si 0 ri dom ϑ, alors p = d et les deux propriétés suivantes sont équivalentes : i) x est primal optimal. ii) Il existe φ Y tel que (x, φ) est un point selle du Lagrangien. Dans ce cas, tout élément φ satisfaisant la propriété ci-dessus est une solution duale. Preuve. Le sens réciproque ii) i) est une conséquence triviale du théorème D après le théorème 1.5.3, on a p = d et D = ϑ(0) si p est fini, D = Y sinon. Dans tous les cas, il existe une solution duale φ D. Si x est une solution primale, alors (x, φ) est un point selle du Lagrangien toujours d après le théorème 1.5.9, ce qui montre que i) ii). 1.6 Dualité de Fenchel-Rockafellar Infimal convolution Dans l ensemble de ce paragraphe, f et g représentent deux fonctions dans X (, + ]. Définition L infimal convolution de f et g est la fonction f g : X [, + ] définie par Il est clair que f g = g f. f g : y inf f(x) + g(y x). (1.8) x X Proposition On a les propriétés suivantes.

19 1.6. DUALITÉ DE FENCHEL-ROCKAFELLAR 19 i) Si f et g possèdent un minorant affine de pente φ, alors f g possède un minorant affine de pente φ. ii) Si f et g sont convexes, alors f g est convexe. Remarque Le fait que f et g possèdent des minorants affines n implique pas que f g en possède un. Considérer par exemple les fonctions définies dans R R par f(x) = x et g(x) = x. Remarque Le contre-exemple ci-dessus montre aussi que, même si f et g sont propres, convexes et s.c.i., f g n a pas a priori de raison d être une fonction propre. Proposition (f g) = f + g. On dit que f g est exacte en un point y si l infemum dans (1.8) est atteint. On dit que f g est exacte si elle est exacte en tout point Théorème d Attouch-Brezis Theorem (Attouch-Brezis). Soient f, g : X (, + ] deux fonctions convexes telles que 0 ri(dom f dom g). (1.9) Alors (f + g) = f g et cette fonction est propre convexe s.c.i.. De plus, l infimal convolution est exacte. Preuve. Soit ψ X. On définit la fonction F : X X (, + ] par F (x, y) = f(x) + g(x y) ψ, x qui est bien convexe dès lors que f et g le sont. La valeur primale associée à F est p = inf F (X, 0) = inf f(x) + g(x) ψ, x x X = (f + g) (ψ). La valeur duale est d = sup F (0, X ). Afin de la calculer, on doit exprimer pour tout φ X F (0, φ) = sup φ, y f(x) g(x y) + ψ, x x,y X X = f (ψ + φ) + g (φ) et la valeur duale est donc donnée par d = inf φ X f (ψ + φ) + g (φ) = f g (ψ). L égalité p = d se lit donc (f + g) (ψ) = f g (ψ). Pour qu elle soit satisfaite, il suffit que 0 ri dom ϑ où ϑ : y inf x X f(x) + g(x y) ψ, x est la

20 20 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS D ANALYSE CONVEXE fonction valeur. Un point y est dans dom ϑ si et seulement s il existe x X tel que f(x) + g(x y) ψ, x < +. Cela est vérifié si et seulement s il existe x dom f tel que x y dom g, soit encore y dom f dom g. Donc dom ϑ = dom f dom g. Nous avons donc montré que sous la condition (1.9), (f + g) (ψ) = f g (ψ) et qu en outre, le problème dual est atteint, c est à dire f g (ψ) est exacte au point ψ. Comme la condition ne dépend pas de ψ, on a (f + g) = f g et f g est exacte. La même condition (1.9) impose que f +g est propre, et puisqu elle est convexe, on a que (f + g) est propre Dualité de Fenchel-Rockafellar Corollaire Soient f, g : X (, + ] deux fonctions convexes telles que (1.9) est satisfaite. Alors inf f(x) + g(x) = min f (φ) + g ( φ). (1.10) x X φ X Preuve. Appliquer le théorème au point zéro. On généralise le corollaire précédent en introduisant un nouvel espace euclidien Y et une application linéaire M : X Y (on note L(X, Y) l ensemble des applications linéaires de X Y) et on note M : Y X l adjoint de M. Theorem (Fenchel-Rockafellar). Soient f : X (, + ] et g : Y (, + ] deux fonctions convexes et M L(X, Y). On suppose que 0 ri(m dom f dom g). (1.11) Alors inf f(x) + g(mx) = min f (M φ) + g ( φ). (1.12) x X φ Y Preuve. On remarque que p = inf(f + g M)(X ) = inf(m f + g)(y) où on définit la fonction M f : Y (, + ] par M f : y inf f(x). x X y=mx On vérifie que dom(m f) = M dom f et que (M f) (φ) = f (M φ). La conclusion est obtenue en substituant M f à f et Y à X dans le corollaire

21 1.6. DUALITÉ DE FENCHEL-ROCKAFELLAR Opérations sur les sous-différentiels Proposition Soient f : X (, + ] et g : Y (, + ] deux fonctions convexes et M L(X, Y). On suppose que 0 ri(m dom f dom g). (1.13) Alors (f + g M)(x) = f(x) + M g(mx) (1.14) Preuve. Par application du théorème (en remplaçant f par f φ,. ), il existe ψ Y tel que f(x) φ, x + g(mx) = (f φ,. ) ( M ψ) g (ψ). Il est facile de vérifier que (f φ, ) = f ( +φ). Ainsi f(x) φ, x +g(mx) = f( M ψ + φ) g (ψ). Autrement dit, et par conséquent f(x) + f( M ψ + φ) φ, x + g(mx) + g (ψ) = 0, [f(x) + f( M ψ + φ) M ψ + φ, x ] + [g(mx) + g (ψ) ψ, Mx ] = 0. Chacun des deux termes entre crochets est positif ou nul d après l inégalité de Fenchel-Young. Ils sont donc tous deux nuls. Le cas d égalité dans Fenchel-Young nous permet de conclure que ψ g(mx) et M ψ + φ f(x). La dernière inclusion se lit encore φ f(x) + M g(mx) ce qui conclut la preuve Solutions primales et duales Dans ce paragraphe, on considère deux fonctions f : X (, + ], g : Y (, + ] et M L(X, Y) une application linéaire. Soit F : X Y (, + ] la fonction définie par F (x, y) = f(x) + g(mx y). Proposition La valeur primale associée à F est p = inf f(x) + g(mx). x X Le lagrangien L : X Y [, + ] est donné par L(x, φ) = { + si x / dom f f(x) + Mx, φ g (φ) sinon. (1.15) Enfin, la valeur duale d = sup φ inf x L(x, φ) est égale à d = inf φ Y f (M φ) + g ( φ). Les solutions primales sont les minimiseurs de f + g M. Les solutions duales sont les minimiseurs de f M + g.

22 22 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS D ANALYSE CONVEXE La preuve de la proposition est immédiate. Le théorème et son corollaire fournissent une caractérisation des couples de solutions primales et duales comme points selles du Lagrangien lorsque f et g sont en outre supposées convexes propres s.c.i.. Les points selles du Lagrangien peuvent à leur tour être caractérisés de la manière suivante. Proposition Supposons que f, g sont convexes propres s.c.i.. Alors (x, φ) X Y est un point selle du Lagrangien (1.15) si et seulement si { 0 f(x) + M φ 0 Mx + g (1.16) (φ). Preuve. Grâce à la proposition , (x, φ) est un point selle du Lagrangien si et seulement si x dom f x arg min f + M, φ φ arg min g Mx,. Puisque dom f et dom g sont non vides, l application de la règle de Fermat et de la proposition permet de conclure. Corollaire Supposons que f, g sont convexes propres s.c.i.. Supposons que la condition de qualification (1.11) est satisfaite. Alors p = d. En outre, x est un solution primale si et seulement s il existe φ Y satisfaisant (1.16). Dans ce cas, φ est une solution duale. Preuve. Le corollaire est une simple relecture du corollaire à la lumière de la proposition Dualité en optimisation Problème d optimisation sous contrainte Conditions de Karush-Kuhn-Tucker Interprétation géométrique A compléter.

23 Chapitre 2 Optimisation 2.1 Algorithmes du point fixe On souhaite calculer numériquement un minimiseur d une fonction convexe f : X (, + ]. D après la règle de Fermat, cela revient à trouver un point x tel que 0 f(x). Dans le cas où f est en outre dérivable, ceci est encore équivalent à trouver un zéro du gradient 0 = f(x). Dans ce dernier cas, un algorithme célèbre est l algorithme du gradient, qui consiste à générer une suite (x k : k = 0, 1,... ) récursivement définie par x k+1 = x k γ f(x k ). Formellement, on peut écrire cet algorithme sous la forme x k+1 = T(x k ) où T(x) = x γ f(x). Tout point fixe de T est un minimiseur de f. Plus généralement, un grand nombre d algorithmes d optimisation s écrivent sous la forme x k+1 = T(x k ) où T est une application choisie pour que ses points fixes soient des solutions du problème. Il s agit donc de mettre en évidence des conditions sur T qui garantissent la convergence de l algorithme vers un point fixe Applications α-moyennées Soit L > 0 et soient R, T : X X deux applications de X dans lui-même. L image de x par R est notée de manière indifférente R(x) ou Rx. La composée T R sera aussi notée de manière plus compacte TR. On note l identité I, c est à dire I(x) = x. Définition L application R est dite L-lipschitzienne si pour tout (x, y) X 2, Rx Ry L x y. Si L < 1, on dit que R est une contraction. Si L = 1, R est dite non-expansive. Remarque Le théorème du point fixe de Picard établit qu une application contractante R admet un unique point fixe, et que toute suite récursivement définie par x k+1 = R(x k ) converge vers ce point fixe quand k. Toutefois, 23

24 24 CHAPITRE 2. OPTIMISATION la contraction est une hypothèse forte, et le théorème de Picard est souvent non applicable en optimisation. Quant à la non-expansivité, il ne s agit pas d une hypothèse suffisante (l application I fournit un contre-exemple). Définition Soit α (0, 1]. L application T est dite α-moyennée s il existe une application R non-expansive telle que T = αr + (1 α)i. Une application 1/2-moyennée est dite fermement non-expansive. Proposition Soit α (0, 1]. Les affirmations suivantes sont équivalentes. 1. T est α-moyenné ; 2. Pour tout (x, y) X 2, Tx Ty 2 x y 2 1 α α (I T)x (I T)y 2. Preuve. Posons T = αr + (1 α)i où R est non-expansif. Cela revient à R = I 1 α (I T). En posant λ = 1 α et Q = I T, R = I λq. On développe : Rx Ry 2 = λ 2 Qx Qy 2 + x y 2 2λ Qx Qy, x y. Puisque R est non expansif, x y 2 Rx Ry 2 soit On utilise par ailleurs que 0 λ Qx Qy 2 2 Qx Qy, x y = λ Qx Qy 2 2 x y Tx Ty, x y. Qx Qy 2 = x y 2 + Tx Ty 2 2 Tx Ty, x y et par substitution du produit scalaire dans l inégalité précédente, 0 (λ 1) Qx Qy 2 x y 2 + Tx Ty 2 ce qui est bien l inégalité voulue. Proposition Soit T : X X une application telle que Tx Ty, x y Tx Ty 2 pour tout couple (x, y). Alors T est fermement non-expansive. Preuve. On développe (I T)x (I T)y 2 = x y + T(y) T(x) 2 = x y + T(y) T(x) 2 = x y 2 + T(y) T(x) 2 T(x) T(y), x y ce qui montre que T est fermement non-expansif d après la proposition Theorem (Krasnosel skii Mann). Soit 0 < α < 1 et T une application α- moyennée telle que fix(t). Toute suite x k satisfaisant la récursion x k+1 = T(x k ) converge vers un point fixe de T. Preuve. Soit x fix(t). Puisque T est α-moyenné, la proposition implique que pour tout k x k+1 x 2 = Tx k Tx 2 x k x 2 1 α α (I T)xk 2 (2.1)

25 2.1. ALGORITHMES DU POINT FIXE 25 où on a utilisé le fait que (I T)x = 0. En écrivant que l égalité est vraie pour tout entier i k et en sommant l ensemble des inégalités obtenues, on obtient que 0 x k+1 x 2 x 0 x 2 1 α α k (I T)x i 2 ce qui implique que la série de terme général (I T)x i 2 est convergente et donc que (I T)x k tend vers zéro quand k. Comme T est α-moyenné, elle est continue. Cela implique que toute valeur d adhérence x de la suite x k vérifie (I T) x = 0. Autrement dit, x fix(t). L inégalité (2.1) implique d autre part que x k x 2 est une suite décroissante. En particulier, la suite x k est bornée. Elle admet une valeur d adhérence x qui, comme nous l avons remarqué plus haut, est un point fixe de T. Puisque x est un point fixe, l inégalité (2.1) reste vraie en remplaçant le point fixe x (qui était choisi arbitrairement) par x. La suite x k x 2 est donc décroissante et admet zéro pour valeur d adhérence. Elle converge vers zéro. Nous avons montré que x k x où x fix(t). Lemme (Composition). Soient T et S deux applications sur X X respectivement α-moyennée et β-moyennée, où 0 < α, β < 1. Il existe 0 < δ < 1 tel que la composée TS est δ-moyennée. Preuve. En tous points x, y, (I TS)x (I TS)y 2 = (I S)x (I S)y + Sx Sy (TSx TSy) 2 i=0 = (I S)x (I S)y + (I T)Sx (I T)Sy 2 2 ( (I S)x (I S)y 2 + (I T)Sx (I T)Sy 2) où la dernière inégalité provient du fait que a + ( b 2 2( a 2 + b 2 ). D après la proposition 2.1.4, (I S)x (I S)y 2 x y 2 Sx Sy 2) et de même pour T. Posons κ = max( β 1 β, α 1 α β 1 β ). On a donc (I TS)x (I TS)y 2 2κ( x y 2 Sx Sy 2 + Sx Sy 2 TSx TSy 2 ) et finalement (I TS)x (I TS)y 2 2κ( x y 2 TSx TSy 2 ). En posant δ = (1 + (2κ) 1 ) 1, on obtient que 2κ = et donc que TS est δ-moyennée Fonctions cocoercives δ 1 δ Définition Une fonction B : X X est dite µ-cocoercive (µ > 0) si µb est fermement non-expansive. La définition revient à dire que (x, y) X 2, Bx By, x y µ Bx By 2.

26 26 CHAPITRE 2. OPTIMISATION Proposition Soit B une fonction µ-cocoercive et soit 0 < γ 2µ. Alors γ I γb est 2µ -moyennée. Preuve. Il existe une application non-expansive R telle que µb = (I + R)/2. Ainsi, I γb = (1 α)i + α( R) où α = γ 2µ. Puisque R est non-expansive, la preuve est achevée. On note zer B = {x : Bx = 0}. Corollaire Soit B une fonction µ-cocoercive telle que zer B. Soit 0 < γ < 2µ. Alors toute suite (x k ) k satisfaisant converge vers un point de zer B. x k+1 = x k γb(x k ) Preuve. On remarque que x zer B si et seulement si x est un point fixe de I γb. La conclusionest obtenue par application du théorème Exemple : Algorithme du gradient Soit f : X (, + ]. On fait l hypothèse suivante. Hypothèse f est convexe, dérivable sur X et f est L-lipschitzienne. Theorem (Baillon-Haddad). Sous l hypothèse , (x, y) X 2, f(x) f(y), x y 1 L f(x) f(y) 2. En particulier L 1 f est fermement non-expansif. Preuve. On établit la formule suivante. Pour tout x, y, f(y) f(x) + f(x), y x + L 2 y x 2. (2.2) Pour cela, on pose pour tout réel t, ϕ(t) = f(x + t(y x)) et on remarque que f(x) = ϕ(0) et f(y) = ϕ(1). La fonction ϕ admet pour dérivée ϕ (t) = f(x+t(y x)), y x. Donc f(y) = f(x)+ 1 f(x+t(y x)), y x dt. Donc 0 f(y) = f(x) + f(x), y x + δ où δ = 1 f(x + t(y x)) f(x), y x dt. 0 L inégalité (2.2) est immédiatement obtenue en utilisant le fait que f est L- lipschitzienne. Dans un deuxième temps, on montre que f(y) f(x) + f(x), y x + 1 2L f(y) f(x) 2. (2.3) Pour cela, on fixe x et on pose ψ(y) = f(y) f(x), y x. On vérifie que ψ est convexe, de dérivé ψ L-lipschitzienne et ψ(x) = 0, autrement dit, x

27 2.2. OPÉRATEUR PROXIMAL 27 est un minimiseur de ψ. En particulier, f(x) = ψ(x) ψ(y 1 L ψ(y)). On utilise l inégalité (2.2) aux points y 1 L ψ(y) et y et en remplaçant f par ψ. On obtient : f(x) ψ(y) 1 1 ψ(y), ψ(y) + L 2L ψ(y) 2. L inégalité (2.3) est donc démontrée en remarquant que ψ(y) = f(y) f(x). La preuve du théorème est achevée en ajoutant (2.3) à l inégalité obtenue en échangeant x et y dans (2.3). Le dernier point du théorème provient de la proposition Theorem On suppose que l hypothèse est satisfaite et que arg min f. Soit 0 < γ < 2/L. Toute suite x k satisfaisant la récursion x k+1 = x k γ f(x k ) converge vers un minimiseur de f. Preuve. Appliquer le corollaire et le lemme On conclut en remarquant que les zéros de f coincident avec les minimiseurs de f. 2.2 Opérateur proximal Définition, propriétés On définit l application proximale associée à une fonction f, ou opérateur proximal, par dès que la définition a un sens. prox f (x) = arg min y X f(y) y x 2 (2.4) Proposition Soit f Γ 0 (X ). Alors, 1. prox f est bien définie comme application de X X ; 2. prox f est fermement non expansive ; 3. p = prox f (x) x p + f(p). Preuve. Supposons d abord x fixé. Si on retranche à la fonction f x 2, on conserve une fonction convexe. Cela signifie que f x 2 est fortement convexe. En tant que fonction de Γ 0 (X ), son arg min est non vide grâce aux propositions et Soit p un minimiseur. La règle de Fermat implique que 0 (g x 2 )(p). D après la proposition 1.6.9, ceci revient à 0 f(p) + p x. Donc x p f(p) ce qui démontre le dernier point. Soit un autre point y X et q arg min f y 2. On a y q f(q). D après le lemme , on obtient (x p) (y q), p q 0, soit x y, p q p q 2. Dans le cas où on choisit y = x, cela implique que p = q, et donc que l argmin dans (2.4) est unique. L application prox f : X X est donc bien définie. Dans le cas où y et x sont quelconques, on obtient que x y, prox f (x) prox f (y) prox f (x) prox f (y) 2. Ainsi prox f est fermement non-expansif par la propriété

28 28 CHAPITRE 2. OPTIMISATION Proposition Soit n N. Soient f 1,..., f n des fonctions de Γ 0 (X ). Pour tout x = (x 1,..., x n ) dans X N, on pose f(x) = f 1 (x 1 ) + + f n (x n ). Alors f Γ 0 (X N ) et prox f (x) = (prox f1 (x 1 ),..., prox fn (x n )) Algorithme du gradient proximal Dans ce paragraphe, on se donne deux fonctions f et g, telles que f satisfait l hypothèse et g Γ 0 (X ). On cherche un minimiseur de la somme f + g. D après la proposition 1.6.9, trouver un minimiseur de f +g revient à trouver un point x tel que 0 f( x) + g( x). Cela revient encore à écrire f( x) g( x) soit encore x f( x) x + g( x). D après la proposition 2.2.1, l inclusion ci-dessus se lit x = prox g ( x f( x)). On peut étendre la remarque, en observant qu il y a identité entre les minimiseurs de f + g et les minimiseurs de γf + γg pour tout γ > 0. Autrement dit, on a montré la propriété suivante. Proposition Soient f, g Γ 0 (X ) deux fonctions telles que f satisfait l hypothèse supposons que arg min(f + g). Alors x arg min(f + g) si et seulement si x = prox γg ( x γ f( x)). La proposition ci-dessus suggère l algorithme suivant, appelé algorithme du gradient proximal : x k+1 = prox γg (x k γ f(x k )). (2.5) Theorem Soient f, g Γ 0 (X ) deux fonctions telles que f satisfait l hypothèse Soit 0 < γ < 2/L. Toute suite x k satisfaisant la récursion (2.5) converge vers un minimiseur de f + g. Preuve. L application I γ f est γl 2 -moyennée d après la proposition L application prox γg est fermement non expansive, c est à dire (1/2)-moyennée, d après la proposition La composée prox γg (I γ f) est donc une application moyennée par application du lemme Le théorème permet de conclure Applications Algorithme du gradient projeté Soit C X un ensemble fermé convexe. On s intéresse au problème inf f(x). (2.6) x C On définit la fonction indicatrice ι C de l ensemble C par { 0 si x C ι C (x) = + sinon.

29 2.2. OPÉRATEUR PROXIMAL 29 Le problème (2.6) est équivalent à : inf f(x) + ι C(x). x X On vérifie de façon immédiate que prox ιc proximal est donné par = P C. Ainsi, l algorithme du gradient x k+1 = P C (x k γ f(x k )). Sous les hypothèses du théorème 2.2.4, cet algorithme converge vers un minimiseur de f + ι C, c est à dire un minimiseur de f sur C. Iterative soft-thresholding En français, seuillage doux itératif. On pose X = R n et on s intéresse au problème inf 1 x X (2.7) où x 1 est la norme l 1 du vecteur x définie par x 1 = x x n pour tout x = (x 1,..., x n ). On définit la fonction Proposition La fonction prox η. coincide avec la fonction dite de seuillage doux définie pour tout x R par : x ηsi x > η S η (x) = 0 si x [ η, η] x + ηsi x < η. Preuve. Posons p = prox η. (x). D après la proposition 2.2.1, x p + η. 1 (p). Dans le cas où p > 0, cela implique d après l exemple que x = p + 1 soit p = x η > 0. Dans le cas où p < 0, on a p = x + η < 0. Enfin si p = 0, x [ η, η]. Ainsi p = S η (x). D après la proposition 2.2.2, on obtient que pour tout x = (x 1,, x n ), prox η. 1 (x) = (S η (x 1 ),, S η (x n )). Dans ce cas précis, l algorithme du gradient proximal prend la forme : y k = x k γ f(x k ) x k i = S γη (y k i ) ( i = 1,..., n). Sous les hypothèses du théorème 2.2.4, les itérées x k définies ci-dessus convergent vers un minimiseur de (2.7).

30 30 CHAPITRE 2. OPTIMISATION 2.3 Opérateurs monotones Remarque Dans les chapitres précédents, nous avons vu que l opérateur proximal prox f d une fonction f Γ 0 (X ) est le point p qui satisfait : x p + f(p). (2.8) La proposition assure que l inclusion (2.8) définit bien un unique point p et qu en outre, l application prox f qui en résulte est fermement non-expansive. En relisant la preuve de la proposition 2.2.1, on s aperçoit que ce résultat provient de la propriété suivante du sous-différentiel, appelée propriété de monotonie : quels que soient x, y, (u, v) f(x) f(y), u v, x y 0. L objectif de ce paragraphe est d étendre la proposition à des applications A : X 2 X qui ne s écrivent pas nécessairement comme des sous-différentiels, mais vérifient toutefois la propriété de monotonie. Pour de telles applications, on est capable d étendre la notion d opérateur proximal Définition Définition Un opérateur A : X 2 X est dite monotone si la proposition suivante est vraie pour tout (x, y) X 2 : (u, v) A(x) A(y), u v, x y 0. Le lemme montre que pour toute fonction f : X (, + ], le sousdifférentiel f est un opérateur monotone Résolvante Pour tout A : X 2 X, on note A 1 l application qui à tout x X associe : A 1 (x) = {y X : x A(y)}. Autrement dit, on a l équivalence y A 1 (x) x A(y). Proposition Supposons A monotone. Pour tout x X, il existe au plus un point p X, noté J A (x), tel que x p + A(p). (2.9) Supposons en outre que l inclusion (2.9) admette une solution pour tout x X. Alors l application J A : X X est fermement non expansive. Preuve. C est une extension immédiate de la preuve de la proposition

31 2.3. OPÉRATEURS MONOTONES 31 L application J A est appelée la résolvante de A. L inclusion (2.9) se lit aussi x (I + A)(p), ce que l on peut écrire p (I + A) 1 (x). Autrement dit, J A (x) = (I + A) 1 (x), ou plus simplement J A = (I + A) 1. Remarque D après la proposition 2.2.1, la résolvante de f est l opérateur proximal associé à f. Autrement dit, (I + f) 1 = prox f. On note fix(j A ) l ensemble des points x appartenant au domaine de définition de J A et tels que x = J A (x). Proposition Supposons A monotone. On a l équivalence 0 A(x) x fix(j A ). Preuve. 0 A(x) x (I + A)(x) x = J A (x) d après la proposition (2.8). Remarque La proposition a une implication importante. Dès lors que l application J A est définie sur X, on peut donner un sens à l algorithme du point fixe x k+1 = J A (x k ). Puisque J A est fermement non expansive, la suite x k ainsi définie converge vers un point fixe de J A (s il en existe un) d après le théorème Autrement dit, x k converge vers un zéro de A. Nous terminons ce paragraphe par un lemme connu sous le terme de formule de décomposition de Moreau. Lemme Si A est monotone, A 1 l est aussi. En outre, pour tout β > 0, ( ) x J βa 1(x) + βj β 1 A = x. β Preuve. Montrons que A 1 est monotone. Soient deux points x, x et soient y A 1 (x), y A 1 (x ). On a x A(y) et x A(y ). Donc y y, x x 0 ce qui prouve que A est monotone. On a les équivalences suivantes : p = J βa 1(x) x p βa 1 (p) ( ) x p p A β x β x p ( ) x p + β 1 A β β x ( ) x p β (I + β 1 A) β x p ( ) x = J β β 1 A, β ce qui correspond bien à l égalité souhaitée.

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