Intégrale de Lebesgue

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Intégrale de Lebesgue"

Transcription

1 Intégrale de Lebesgue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 1 / 50

2 1. Motivations et points de vue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 2 / 50

3 Deux points de vue Il y a essentiellement deux points de vue pour l intégration des fonctions : celui des mesures (adapté par exemple aux probabilités, systèmes dynamiques etc.) ; celui des formes linéaires sur les espaces de fonctions. C est ce dernier qui est adopté ici. Cela signifie que l on va voir l opération f f (x) dx d intégrer sur un ouvert de R N comme une forme linéaire sur un espace de fonctions (convenables) sur. Les étapes de cette approche vont consister à choisir des espaces de fonctions de plus en plus gros et à définir l intégrale (au départ) par passage à la limite. Les espaces fonctionnels auront en commun de contenir l ensemble C c () des fonctions continues sur, à valeurs réelles et nulles en-dehors d un compact (non fixé) de. En particulier, on imposera que le calcul intégral sur C c () soit celui qu on connaît déjà. Une fois l intégrale de Lebesgue ainsi construite, on pourra définir la mesure d une partie (convenable) A de comme étant 1 A (x) dx, où 1 A est la fonction caractéristique de A. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 3 / 50

4 Cahier des charges Procéder ainsi permet d espérer résoudre au moins les deux problèmes suivants. Disposer de théorèmes (souples) d intégration terme à terme pour des suites ou des séries de fonctions. Énoncé type souhaité : soit (f n ) n 0 suite croissante de fonctions intégrables sur un ouvert non vide R N, alors on a : lim f n(x) dx = lim f n (x) dx, l égalité n + n + ayant lieu dans ], + ]. Définir un espace de fonctions sur qui soit un espace de Banach pour la norme 1. Rappelons que C(; R) n est pas complet pour la norme f 1 = f (x) dx. On espère aussi mieux prendre en charge des fonctions problématiques du point de vue de l intégrale de Riemann, par exemple la fonction 1 Q (discontinue en tout point de R), non intégrable au sens de Riemann, alors qu elle est nulle en-dehors d un petit ensemble. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 4 / 50

5 Dénombrabilité et limite inférieure La notion de dénombrabilité va s avérer très importante dans ce cours : rappelons qu un ensemble X est dit dénombrable s il est fini ou en bijection avec N. Pour cela, il suffit en fait qu il existe une application surjective N X ou injective X N. Cette notion formalise le fait d être un petit ensemble, elle est donc propre à définir les ensembles négligeables de la théorie de l intégration. Elle est raisonnablement robuste dans le sens où elle est stable par produit fini et réunion dénombrable. Nous aurons aussi besoin de la notion de limite inférieure (éventuellement infinie) d une suite numérique. La droite numérique achevée R = R {± } est munie d une distance qui induit la topologie usuelle sur R et assure qu une suite réelle (x n ) n 0 tend vers ± au sens de la distance de R si, et seulement si, lim x n = ± au sens usuel. Une telle distance est par n + exemple donnée par d(x, y) = f (x) f (y) pour f (x) = x 1+ x et f (± ) = ±1. Elle fait de R un espace compact, si bien que toute suite numérique (x n ) n 0 a des valeurs d adhérence dans R, notamment une plus petite : celle-ci est notée lim x n et est aussi égale à la limite de la suite croissante (z n ) n 0 des z n = inf{x k : k n}. n Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 5 / 50

6 2. Suites de Levi et intégration ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 6 / 50

7 Suites de Levi et ensemble L + () Définition (suites de Levi) On dit qu une suite de fonctions (f n ) n 0 de C c () est une suite de Levi si cette suite est croissante et si on a : sup f n (x) dx < +. n 0 On note L + () l ensemble des fonctions f : R {+ } qui sont limites simples sur de suite de Levi. Pour f L + (), on pose par définition : f (x) dx := lim f n (x) dx, n + pour f limite simple sur de (f n ) n 0 suite de Levi comme ci-dessus. La limite existe car c est celle d une suite numérique croissante et majorée. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 7 / 50

8 L intégrale sur L + () est bien définie Lemme La définition de l intégrale de f L + () est indépendante du choix de la suite de Levi (f n ) n 0 convergeant simplement vers f sur. Preuve. Soient (f n ) n 0 et (g n ) n 0 des suites de Levi telles que pour tout x on ait : Pour m, n N fixés, on note lim f n(x) = lim g n(x). n + n + h n := (f m g n ) + := max(f m g n, 0). La suite (h n ) n 0 est à valeurs dans C c () et elle est décroissante ; en outre, on a f m g n + h n et lim h n(x) = (f m (x) lim g n(x)) + = (f m (x) f (x)) + = 0. n + n Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 8 / 50

9 L intégrale sur L + () est bien définie, fin de preuve On a convergence simple sur de la suite (h n ) n 0 vers la fonction nulle. Comme (h n ) n 0 est monotone, le théorème de Dini implique que la convergence est uniforme, et le fait que les f n soient nulles en dehors d un même compact permet d écrire : lim n h n (x) dx = 0. Comme f m g n + h n, on conclut que pour tout m N on a : f m (x) dx lim (g n (x) + h n (x)) dx = lim n + n + En passant finalement à la limite quand m +, on trouve f m (x) dx g n (x) dx. lim m + lim n + g n (x) dx. On conclut en échangeant les rôles des suites (f n ) n 0 et (g n ) n 0 dans ce qui précède. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 9 / 50

10 Un exemple de fonction dans L + () Exemple : on a 1 ]0,1[ L + (R). En effet, une suite de Levi (f n ) n 1 convenable est définie comme suit. Pour chaque n 1, la fonction f n est la fonction qui coïncide sur [0; 1 2n ] avec l unique fonction affine valant 0 en 0 et 1 en 1 1 2n, qui vaut 1 sur [ 2n ; 1 1 2n ] et qui coïncide sur [ n ; 1] avec l unique fonction affine valant 1 en 1 2n et 0 en 1. On voit facilement que f n+1 f n et que (f n ) n 1 converge simplement vers 1 ]0,1[ sur R. Graphe de f n, n 1 Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 10 / 50

11 Exemples et non-exemples de fonction dans L + () Exemples. 1. Soient a < b R. Une fonction f 0 continue, bornée, définie sur ]a, b[ appartient à L + (]a, b[). 2. La fonction f (x) := 1 si x 0 et f (0) := + appartient à L + (] 1, 1[). x 3. Soit α R. La fonction définie sur R par f α (x) := x α, appartient à L + (R) si et seulement si α > La fonction f (x) = 1 x n appartient pas à L + (]0, 1[). 5. Les fonctions n appartiennent pas à L + (R). 1 Q [0,1], 1 ]0,1], 1 [0,1[, 1 [0,1], Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 11 / 50

12 Semi-continuité des fonctions de L + () Définition On dit qu une fonction f : R est semi-continue inférieurement sur si, pour tout x et pour toute suite (x n ) n 0 de points de qui converge vers x, on a : f (x) lim f (x n ). n + Voici une propriété de régularité des fonctions dans L + (), qu on peut voir aussi comme une condition nécessaire pour appartenir à l ensemble L + (). Proposition Toute fonction de L + () est semi-continue inférieurement (en abrégé : s.c.i.) sur. La conséquence de la semi-continuité inférieure qui va nous intéresser est le fait que si f : R { + } est une fonction s.c.i. alors pour tout λ R la préimage f 1 (]λ; + ]) est un ouvert de. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 12 / 50

13 Semi-continuité des fonctions de L + (), preuve Preuve. Soit f L + () et (f m ) m 0 une suite de Levi correspondante. Soit (x n ) n 0 qui converge vers x ; il existe une suite extraite (x ϕ(n) ) n 0 telle que lim f (x ϕ(n)) = lim f (x n ). n + n + Puisque (f m ) m 0 est croissante, on a pour tous m, n 0 : f (x ϕ(n) ) f m (x ϕ(n) ), et donc, par continuité de f m en faisant n : lim f (x n ) f m (x). n + Enfin, par passage à la limite quand m tend vers +, il vient : lim n + f (x n ) f (x). Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 13 / 50

14 Propriétés de l intégrale sur L + () À ce stade, voici quelques bonnes propriétés de la classe de fonctions L + () et de l intégrale définie ci-dessus. 1. On a : C c () L + () et l intégrale définie sur L + () coïncide avec l intégrale usuelle définie sur C c (). 2. Si a, b 0 et f, g L + (), alors af + bg L + () et (af (x) + bg(x)) dx = a f (x) dx + b g(x) dx. 3. Si f, g L + (), alors max(f, g) et min(f, g) L + () et si f g, alors f (x) dx g(x) dx. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 14 / 50

15 Problèmes de l intégrale sur L + () Mais voici aussi quelques problèmes qu il faut surmonter pour définir une théorie de l intégration satisfaisante. Problèmes. 1. L ensemble L + () n est pas un espace vectoriel : si f L + (), la fonction f n appartient pas forcément à L + (). 2. Si f L + () alors f est à valeurs dans R {+ }. Comment peut-on définir f g aux points où f et g valent +? L idée sous-entendue dans 2 est qu on veut étendre l intégrale aux différences de fonctions dans la classe L + (). Pour ce faire, on a besoin de donner un sens précis à l énoncé ci-dessous : Observation-clef : Si f L + () alors f (x) = + très rarement. C est l objet de la section qui vient. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 15 / 50

16 3. Ensembles négligeables ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 16 / 50

17 Définition d un ensemble négligeable Définition On dit que Z est négligeable s il existe une fonction f L + () telle que f (x) = + pour tout x Z. Exemple : si x 0, l ensemble {x 0 } est négligeable. En effet, pour simplifier, prenons = R et x 0 = 0. On note f n (x) := n j=1 j (1 j 3 x ) + et f (x) := lim n + f n(x). Premièrement, on a f L + () car n j (1 j 3 x ) + dx j=1 R j 1 Deuxièmement on a f (x) = + si et seulement si x = 0. j 2 < +, Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 17 / 50

18 Dénombrabilité et topologie de R La définition des ensembles négligeables en termes de fonctions n est pas immédiatement intuitive. Nous allons en donner une caractérisation géométrique. Pour cela, on doit utiliser un lien entre la topologie des ouverts de R et la dénombrabilité. Proposition Un ouvert U de R est une réunion dénombrable d intervalles ouverts deux à deux disjoints. Preuve. Si x U, on note I x le plus grand intervalle ouvert qui est inclus dans U et qui contient x (ce I x, ainsi défini, existe car la réunion d intervalles ouverts d intersection non vide est un intervalle ouvert). Si I x I y alors I x = I y. On note F := {I x : x U}. Alors U = I. I F Si I F, choisissons r I Q I et définissons f (I ) = r I. L application f : F Q est injective donc l ensemble F est dénombrable. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 18 / 50

19 Caractérisation géométrique des ensembles négligeables Pour tout a R N et r > 0, on note C(a, r) l (hyper)cube ouvert de centre a R N et de côtés de longueur 2r > 0. On a : C(a, r) := volume du cube C(a, r) = (2r) N. Remarque : avec les notions des cours précédents, le cube C(a, r) est la boule de centre a et de rayon r pour la norme sur R N. Théorème Un sous-ensemble Z R N est négligeable si, et seulement si, pour tout ε > 0 il existe une famille dénombrable (C i ) i I de cubes de R N telle que Z i I C i et C i ε. i I Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 19 / 50

20 Caractérisation géométrique des ensembles négligeables, preuve Preuve. On fait la preuve pour N = 1. Preuve de l implication. Soient Z et f L + (R) tels que f (x) = + pour tout x Z et f 0 sur R. Pour tout n N, on a : Z f 1 ({+ }) f 1 (]n, + ]). La fonction f est semi-continue inférieurement, donc f 1 (]n, + ]) est un ouvert de R. Par la proposition qui précède, f 1 (]n, + ]) est donc une réunion dénombrable d intervalles ouverts disjoints de R, disons (I n k ) k K n. Ainsi : Z f 1 (]n, + ]) = k K n I n k. Il s agit de voir que la somme des volumes Ik n tend vers 0 quand n. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 20 / 50

21 Caractérisation géométrique des ensembles négligeables, preuve (suite) Par définition, on a f > n sur f 1 (]n, + ]) et donc 0 (x) n) 1 I n k K R(f k (x) dx = f (x) 1 I n k (x) dx n k K R k K pour tout sous-ensemble fini K K n. Comme f 0 sur R, on a : n Ik n f (x) 1 I n k (x) dx k K k K R R R f (x) dx. 1 I n k (x) dx On en déduit que Ik n 1 n k K n R f (x) dx. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 21 / 50

22 Caractérisation géométrique des ensembles négligeables, preuve (fin) Preuve de l implication. Soit Z R tel que, pour tout n 0, il existe une suite (I n k ) k N d intervalles ouverts de R satisfaisant Z Ik n et Ik n < 2 2n. k 0 k 0 On construit une fonction convenable en posant f := n 0 2 n k 0 1 I n k L + (R). En effet, on vérifie que f (x) dx = R n 0 pour tout x Z. 2 n Ik n 2 et f (x) = 2 n = + k 0 n 1 Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 22 / 50

23 Exemples et non-exemples fondamentaux d ensembles négligeables Proposition Toute réunion dénombrable d ensembles négligeables est négligeable. 1. Un sous-ensemble dénombrable de R N (par exemple Q dans R, ou plus généralement Q N dans R N pour N 1) est négligeable. 2. Un ouvert non vide de R N n est pas négligeable dans R N. 3. Un ensemble négligeable de R N est d intérieur vide. 4. Le complémentaire d un ensemble négligeable de est dense dans. 5. Dans R N avec N > 1, les sous-espaces affines de dimension d < N sont des sous-ensembles négligeables de R N. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 23 / 50

24 Ensembles négligeables et dimension, preuve Justification. Montrons d abord que [0, 1] {0} est négligeable dans R 2 : On a besoin de n carrés C 1,..., C n de côté 2/n alors i C i = 4/n. Ensuite, remarquons que R {0} = n Z[n, n + 1] {0}, donc R {0} est négligeable dans R 2. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 24 / 50

25 Propriétés vraies presque partout Définition Une propriété P(x), dépendant du point x, est dite vraie pour presque tout x, ou encore vraie presque partout sur, si l ensemble {x : P(x) est fausse} est négligeable. En outre, on abrège presque partout en p.p.. Exemples. 1. La fonction 1 Q est nulle p.p. sur R. 2. On notera f 0 p.p. sur si l ensemble des x tels que f (x) < 0 est négligeable. 3. On notera lim f n = f p.p. sur n + converge pas vers f (x) est négligeable. si l ensemble des x tels que (f n (x)) n 0 ne Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 25 / 50

26 Fonctions définies presque partout Soient f 1,..., f N des fonctions définies p.p. sur et Φ : R N R. Alors est définie p.p. sur. x Φ(f 1 (x),..., f N (x)), Exemple : Φ(f 1, f 2 ) = f 1 f 2 ou Φ(f 1, f 2 ) = f 1 + f 2. Plus généralement, les opérations élémentaires mettant en jeu une famille finie (voire dénombrable) de fonctions définies p.p. sur fournissent des fonctions définies p.p. sur. Proposition Si f, g L + () et si f g p.p. sur, alors on a : f (x) dx En particulier si f, g L + () et si f = g p.p. sur, alors on a : g(x) dx. f (x) dx = g(x) dx. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 26 / 50

27 4. Fonctions Lebesgue-intégrables ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 27 / 50

28 Notion de fonction Lebesgue-intégrable Définition Une fonction f définie p.p. sur et à valeurs dans R est intégrable au sens de Lebesgue (ou sommable) s il existe g, h L + () telles que f = g h p.p. sur. On définit alors l intégrale de Lebesgue de f sur en posant : f (x) dx := g(x) dx h(x) dx. On note L 1 () l ensemble des fonctions intégrables sur à valeurs réelles. La définition est indépendante du choix de la décomposition f = g h : pour f = g 1 h 1 = g 2 h 2 p.p. sur avec g 1, g 2, h 1, h 2 L + (), on a : g 1 + h 2 = g 2 + h 1 p.p. sur. D après la proposition précédente, g 1(x) dx + h 2(x) dx = g 2(x) dx + h 1(x) dx. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 28 / 50

29 Propriétés élémentaires de l intégrale de Lebesgue Voici quelques faits importants sur l intégrale de Lebesgue des fonctions à valeurs réelles. 1. L ensemble L 1 () est un R-espace vectoriel. 2. L application f f (x) dx est une forme R-linéaire sur L 1 (). 3. On a l inclusion : C c () L 1 () et l intégrale de Lebesgue coïncide avec l intégrale usuelle sur C c (). 4. Si f, g L 1 () et f g p.p. sur, alors f (x) dx g(x) dx. 5. Pour toutes f, g L 1 (), on a : f, max(f, g), min(f, g) L 1 () et f (x) dx f (x) dx. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 29 / 50

30 Propriétés élémentaires de l intégrale de Lebesgue, preuves Justification. Pour 4, écrire f = a b p.p. et g = c d p.p. où a, b, c, d L + (). Si f g p.p. alors a + d b + c p.p. donc (a + d) dx (b + c) dx. Ainsi : f (x) dx = (a b) dx (c d) dx = g(x) dx. Pour 5, écrire f = g h p.p. avec g, h L + (). On sait que max(g, h), min(g, h) L + (). Donc f = g h = max(g, h) min(g, h) L 1 (). Comme ±f f p.p. sur, on a : ± f (x) dx f (x) dx. On a : max(f, g) = 1 2 (f + g + f g ) et min(f, g) = 1 2 (f + g f g ). Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 30 / 50

31 Fonctions Riemann-intégrables, du point de vue de Lebesgue Voici le résultat qui caractérise les fonctions intégrables au sens de Riemann dans le contexte de notre construction. Théorème Une fonction f, bornée sur [a, b], est intégrable au sens de Riemann sur [a, b] si, et seulement si, l ensemble des points où f est discontinue est un ensemble négligeable. Exemple : la fonction 1 Q n est pas intégrable au sens de Riemann sur [0, 1] mais elle ne pose pas de problème particulier dans le cadre de la théorie de l intégration de Lebesgue : son intégrale est nulle car elle est nulle sauf sur un ensemble dénombrable donc négligeable. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 31 / 50

32 Un exemple de fonction non Lebesgue-intégrable Il y a quand même des fonctions non Lebesgue-intégrables pour lesquels on doit revenir à des passages à la limite et à la notion d intégrale impropre (voir cours suivants). Exemple : on sait (ou on verra) que + 0 sin x x R sin x dx := lim dx = π R + 0 x 2, mais le membre de gauche n est pas une intégrale au sens de Lebesgue. En effet, la fonction x sin x x R lim R + 0 n est pas intégrable sur R +, puisque sin x x dx = +. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 32 / 50

33 Fonctions intégrables et ensembles négligeables Modifier une fonction intégrable sur un ensemble négligeable ne change pas son intégrale. En particulier φ = 0 p.p. sur φ(x) dx = 0, Exemple : on vient de voir que Q est négligeable dans R, donc 1 Q = 0 p.p. sur R. Ainsi on a 1 Q L 1 (]0, 1[) et 1 Q (x) dx = 0. ]0,1[ Réciproquement, on peut chercher à savoir quelles sont les fonctions (positives p.p.) d intégrale nulle. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 33 / 50

34 Fonctions d intégrale nulle Classiquement : si f C c (R) et si R f (x) dx = 0, alors f = 0 sur R. Dans le cadre des fonctions Lebesgue-intégrables, on sait déjà que si f L 1 () alors f < + p.p. sur. En fait, on a le résultat suivant : Proposition Si f L 1 () et si f (x) dx = 0, alors f = 0 p.p. sur. Preuve. Soient u, v L + () telles que f = u v p.p. sur et (v n ) n 0 une suite de Levi qui converge simplement vers v sur. La fonction v 0 est bornée et u = f + v f + v 0 sur Z où Z est négligeable. Donc {x : f (x) = + } Z {x : u(x) = + }, est négligeable. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 34 / 50

35 5. Théorèmes de convergence ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 35 / 50

36 Théorème de la convergence monotone de Beppo Levi Voici un premier théorème de convergence (ou d interversion limite-somme) ; sa condition essentielle est une hypothèse de monotonie (presque partout) de la suite de fonctions. Théorème (théorème de convergence monotone) Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions de L 1 () qui est croissante p.p. sur et telle que f n (x) dx < +. sup n 0 Alors, il existe f L 1 () telle que f n f p.p. sur et f n (x) dx = f (x) dx. lim n Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 36 / 50

37 Sur l hypothèse de monotonie L hypothèse de monotonie dans l énoncé précédent est cruciale, comme l indique l exemple qui suit. Exemple : On considère la suite de fonctions f n (x) = 2 n x (1 x 2 ) n 1 définies sur ]0, 1[. On vérifie que lim f n(x) = 0, pour tout x ]0, 1[. Cependant : n + 0 = 1 0 lim f n(x) dx < n f n (x) dx = 1. L inégalité qui subsiste est expliquée par le lemme suivant, très utile en pratique. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 37 / 50

38 Lemme de Fatou Le résultat suivant fournit une inégalité, et non pas exactement une interversion limite-somme. Lemme (lemme de Fatou) Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions de L 1 () telles que f n 0 p.p. sur. On suppose que f n (x) dx < +. Alors, lim f n L 1 () et n + lim n + sup n 0 f n (x) dx lim f n (x) dx. n + Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 38 / 50

39 Théorème de la convergence dominée de Lebesgue Théorème (théorème de convergence dominée) Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions de L 1 (). On suppose que : (i) on a : f n f p.p. sur ; (ii) il existe F L 1 () telle que f n F p.p. sur. Alors, f L 1 () et lim f n (x) dx = f (x) dx. n + Il s agit d un énoncé très important, utile dans de nombreux calculs de limite impliquant une opération d intégration. Une des importantes applications théoriques de ce célèbre théorème sera un énoncé très souple de dérivation sous le signe somme. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 39 / 50

40 Phénomènes de concentration et d évanescence Nous allons examiner deux cas typiques de non validité de l interversion limite-somme. Pour cela, donnons-nous φ C c (R) telle que φ(x) dx = 1 et φ 0. Exemple : on peut prendre φ(x) = (1 x ) +. R Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 40 / 50

41 Phénomène de concentration Phénomène de concentration : pour tout n 0, on note f n (x) = n φ(n x). Alors on a : 1 = lim f n (x) dx = φ(y)dy > n + R R R lim f n(x) dx = 0. n + Phénomène de concentration Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 41 / 50

42 Phénomène d évanescence Phénomène d évanescence : pour tout n 0, on note g n (x) = φ(x n). Alors on a : 1 = lim g n (x) dx = φ(y)dy > n + R R R lim g n(x) dx = 0. n + Phénomène d évanescence Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 42 / 50

43 Fonctions mesurables Définition Une fonction f : [, + ] est dite mesurable s il existe une suite (f n ) n 0, de fonctions continues à support compact qui sont définies sur, qui converge vers f p.p. sur. Si f, g : R sont mesurables et si λ, µ R, alors λf + µg, fg, max(f, g) et min(f, g) sont des fonctions mesurables. En particulier f + := max(f, 0), f := min(f, 0) et f sont mesurables. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 43 / 50

44 Fonctions mesurables Voici quelques exemples ou énoncés de stabilité pour la mesurabilité des applications. 1. Si f 1,..., f N, définies sur, sont mesurables et si Φ : R N R est continue, alors Φ ( f 1,..., f N )(x) := Φ(f 1 (x),..., f N (x) ) est mesurable. 2. Si f (x) 0 p.p. sur, alors x 1/f (x) est mesurable. 3. Toute fonction continue sur est mesurable. 4. Toute fonction continue par morceaux sur un intervalle I R est mesurable. 5. Toute fonction appartenant à L 1 () est mesurable. 6. Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions mesurables, définies sur et f telles que f n f p.p. sur. Alors, f est mesurable. Remarque : Il existe des fonctions non mesurables (leur construction repose toujours sur l axiome du choix). Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 44 / 50

45 Intégration et fonctions mesurables Étant donnée une fonction f définie p.p. sur, comment vérifie-t-on que f L 1 ()? Théorème Soit f une fonction mesurable sur. Supposons qu il existe g L + () telle que f g p.p. sur. Alors f L 1 (). Preuve. Soit f n C c () telles que f n f p.p. sur. On note h n := max (min(f n, g), g), Par construction h n L 1 (). De plus, h n f et h n g p.p. sur. Donc par convergence dominée) f L 1 (). Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 45 / 50

46 Le cas des séries de fonctions positives Soit f : [0, + ] une fonction mesurable définie p.p. sur. Alors, avec la convention de poser f (x) dx := + si f L 1 (), on peut reformuler comme suit le théorème de convergence monotone : Théorème (théorème de convergence monotone pour les séries) Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions mesurables sur, à valeurs dans [0, + ]. Alors, on a : ( ) f n (x) dx = f n (x) dx [0, + ]. n=0 n=0 Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 46 / 50

47 6. Fonctions à valeurs complexes ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 47 / 50

48 Intégration des fonctions à valeurs dans C Nous avons très lourdement utilisé la relation d ordre sur R pour définir la notion d intégrale de Lebesgue. Pour revenir à la notion d intégrale de fonction à valeurs complexes, il suffit de travailler séparément sur les parties réelles et imaginaires des fonctions. Définition On dit que f, définie p.p. sur, à valeurs dans C, est intégrable si Rf et If sont intégrables. Si tel est le cas, on définit : f (x) dx := Rf (x) dx + i If (x) dx. On note L 1 (; C) l ensemble des fonctions intégrables à valeurs dans C. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 48 / 50

49 Intégration des fonctions à valeurs dans C Voici quelques faits importants sur l intégrale de Lebesgue des fonctions à valeurs complexes. 1. L ensemble L 1 (; C) est un C-espace vectoriel. 2. L application f f (x) dx est une forme C-linéaire sur L 1 (; C). 3. On a l inclusion : C c (; C) L 1 (; C) et l intégrale de Lebesgue coïncide avec l intégrale usuelle sur C c (; C). 4. Pour toute f L 1 (; C), on a f L 1 () et f (x) dx f (x) dx. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 49 / 50

50 Intégration des fonctions à valeurs dans C Justification. La fonction f = Rf 2 + If 2 est mesurable et on a : f Rf + If L 1 (), donc f L 1 (). Choisissons ξ C tel que ξ = 1 et ξ f (x) dx = f (x) dx. Alors Finalement : f (x) dx = ξ f (x) dx f (x) dx = R(ξf (x)) dx ξf (x) dx = R(ξf (x)) dx. f (x) dx. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 50 / 50

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION

THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques Années 2004-2005-2006 LM 363 THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION Cours de P. MAZET Edition 2004-2005-2006 Table des matières Table des matières

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur. Sup Galilée - année 2008-2009

Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur. Sup Galilée - année 2008-2009 Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur Sup Galilée - année 2008-2009 Benoît Merlet Ces notes de cours s adressent aux élèves ayant suivi le cours. Elles contiennent peu d explications. Elles pourront

Plus en détail

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR MAM 3, Polytech Lyon Ionel Sorin CIUPERCA Le cours s adresse en principal à des élèves des écoles d ingénieurs, filière modélisation mathématique. Une partie

Plus en détail

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I TOPOLOGIE - SÉRIE 1 Exercice 1. Soit f : A B une application. Prouver que (a) A f 1 fa pour tout A A, avec égalité si f est injective; (b) ff 1 B B pour tout B B, avec égalité si f est surjective; Preuve.

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Exo7 Topologie générale Exercice 1 1. Rappeler les définitions d une borne supérieure (inférieure) d un ensemble de nombres réels. Si A et B sont deux ensembles

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT

Plus en détail

Cours de Topologie L3-math

Cours de Topologie L3-math Cours de Topologie L3-math Renaud Leplaideur Année 2014-2015 UBO 2 Table des matières 1 Rappels, préliminaires 5 1.1 Rappels sur les ensembles........................... 5 1.1.1 Formalisme ensembliste.........................

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

ANALYSE MATHEMATIQUE. Jean SCHMETS

ANALYSE MATHEMATIQUE. Jean SCHMETS UNIVERSITE DE LIEGE Faculté des Sciences Institut de Mathématique ANALYSE MATHEMATIQUE Introduction aux espaces fonctionnels Notes du cours de la seconde candidature en sciences mathématiques ou en sciences

Plus en détail

Théorie de la mesure. S. Nicolay

Théorie de la mesure. S. Nicolay Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Introduction à la Topologie

Introduction à la Topologie Introduction à la Topologie Licence de Mathématiques Université de Rennes 1 Francis Nier Dragoş Iftimie 2 3 Introduction Ce cours s adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour objectif

Plus en détail

Cours Intégration MA62. Université de Reims

Cours Intégration MA62. Université de Reims Cours Intégration MA62 Frédéric Hérau Université de Reims mai 2006 Table des matières Introduction 2 1 Préliminaires et Rappels 3 1.1 La droite achevée R............................... 3 1.2 Rappels sur

Plus en détail

MESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours

MESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................

Plus en détail

Opérateurs non-bornés

Opérateurs non-bornés Master Mathématiques Analyse spectrale Chapitre 4. Opérateurs non-bornés 1 Domaine, graphe et fermeture Soit H un espace de Hilbert. On rappelle que H H est l espace de Hilbert H H muni du produit scalaire

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM365 Intégration 2 Année 2011 12 Théorie de la Mesure et Intégration Amaury Lambert 1 1. Responsable de l UE. Mél : amaury.lambert@upmc.fr

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1 Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1 Cours de Mathématiques 1 Table des matières 1 Un peu de formalisme mathématique 7 1.1 Rudiments de logique........................................

Plus en détail

Construction de l'intégrale de Lebesgue

Construction de l'intégrale de Lebesgue Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale

Plus en détail

4 Espaces topologiques vectoriels

4 Espaces topologiques vectoriels 4 Espaces topologiques vectoriels Il existe des exemples importants d espaces vectoriels pour lesquels la notion naturelle de convergence n est pas engendrée par une norme. C est le cas, par exemple, de

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION.

THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION. THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION. THIERRY GALLAY Transcrit par Tancrède LEPOINT 29 UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER, GRENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire...........................................

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Probabilités Approfondies

Probabilités Approfondies Université Pierre et Marie Curie Master de Mathématique 2005-2006 Probabilités Approfondies Polycopié: J. Lacroix & P. Priouret, Cours: J. Lacroix 1 Université Pierre et Marie Curie Master de Mathématiques

Plus en détail

Théorie des ensembles

Théorie des ensembles Théorie des ensembles Cours de licence d informatique Saint-Etienne 2002/2003 Bruno Deschamps 2 Contents 1 Eléments de théorie des ensembles 3 1.1 Introduction au calcul propositionnel..................

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue L3 Mathématiques Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2014 version du 2/12/14 Table des matières 1 Tribus (σ-algèbres) et mesures 1 1.1 Rappels ensemblistes..............................

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

Analyse - Résumés et exercices

Analyse - Résumés et exercices Analyse - Résumés et exercices Georges Skandalis Université Paris Diderot (Paris 7) - IREM Préparation à l Agrégation Interne 6 mars 205 Table des matières Suites de nombres réels. Développement décimal

Plus en détail

Introduction à l Optimisation Numérique

Introduction à l Optimisation Numérique DÉPARTEMENT STPI 3ÈME ANNÉE MIC Introduction à l Optimisation Numérique Frédéric de Gournay & Aude Rondepierre Table des matières Introduction 5 Rappels de topologie dans R n 7 0.1 Ouverts et fermés de

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Actions de groupes. Exemples et applications

Actions de groupes. Exemples et applications 4 Actions de groupes. Exemples et applications G, ) est un groupe multiplicatif et on note ou G si nécessaire) l élément neutre. E est un ensemble non vide et S E) est le groupe des permutations de E.

Plus en détail

M42. Compléments d analyse (résumé).

M42. Compléments d analyse (résumé). Université d Evry-Val-d Essonne. Année 2008-09 D. Feyel M42. Compléments d analyse (résumé). Table. I. Rappels sur les suites. Limites supérieure et inférieure. II. Topologie élémentaire. III. Fonctions

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Devoir à la maison : correction

Devoir à la maison : correction Calcul différentiel 2 Sous-variétés : bilan Devoir à la maison : correction Exercice 1. Un exemple de sous-variété : les structures complexes Soit E un R-espace vectoriel. Montrer que la donnée d une structure

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Table des matières. 3 Suites de nombres réels 29. 3.2 Limites... 30

Table des matières. 3 Suites de nombres réels 29. 3.2 Limites... 30 Table des matières 1 Généralités 3 1.1 Un peu de logique................................. 3 1.1.1 Vocabulaire................................ 3 1.1.2 Opérations logiques............................ 4 1.1.3

Plus en détail

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1

Plus en détail

Mesures gaussiennes et espaces de Fock

Mesures gaussiennes et espaces de Fock Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

Table des matières. 4 Espaces de Hilbert 88 4.1 Généralités... 88 4.2 Le Théorème des bases hilbertiennes... 99 4.3 Exemples...

Table des matières. 4 Espaces de Hilbert 88 4.1 Généralités... 88 4.2 Le Théorème des bases hilbertiennes... 99 4.3 Exemples... Table des matières 1 Espaces linéaires à semi norme 3 1.1 Parties remarquables d un espace linéaire.................. 3 1.2 Sémi-normes sur un espace linéaire...................... 7 1.3 Espace linéaire

Plus en détail

M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES

M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES I. Logique. II. Ensemble. III. Relation, fonction, application. IV. Composition, réciprocité. V. Relation d

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits. Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits 1 La qualité de la rédaction est un facteur important dans l appréciation

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

B03. Ensembles, applications, relations, groupes

B03. Ensembles, applications, relations, groupes B03. Ensembles, applications, relations, groupes Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 6 janvier 2006 Table des matières 1 Calcul propositionnel 2 2 Ensembles 5 3 Relations 7 4 Fonctions, applications

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Espaces vectoriels. Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Espaces vectoriels. Bernard Ycart Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Espaces vectoriels Bernard Ycart Vous devez vous habituer à penser en termes de «vecteurs» dans un sens très général : polynômes, matrices, suites, fonctions,

Plus en détail

Examen Partiel. Un soin particulier dans la rédaction est demandé. Les astérisques indiquent l importance des questions et non pas leur difficulté.

Examen Partiel. Un soin particulier dans la rédaction est demandé. Les astérisques indiquent l importance des questions et non pas leur difficulté. UFR de Mathématiques, Université de Paris 7 DEA 1996/97 premier semestre Introduction à la cohomologie de de Rham des variétés algébriques A. Arabia & Z. Mebkhout Vendredi 6 décembre 1996 Examen Partiel

Plus en détail

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013 Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U CHAPITRE V FIBRÉS VECTORIELS 1. Fibrés vectoriels 1. Cartes et atlas vectoriels Soit B une variété différentielle. Considérons un B -ensemble, c est à-dire un ensemble M muni d une application p : M B.

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option Economique

MATHEMATIQUES Option Economique Concours EDHEC 9 Classes Préparatoires MATHEMATIQUES Option Economique La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13 Maths PCSI Cours Table des matières Suites réelles 1 Généralités 2 2 Limite d une suite 2 2.1 Convergence d une suite....................... 2 2.2 Deux premiers résultats....................... 3 2.3 Opérations

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. := {x} := {A X x A} est un

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. := {x} := {A X x A} est un TOPOLOGIE - SÉRIE 1 Exercice 1. Soit f : A B une application. Prouver que (a) A f 1 fa pour tout A A, avec égalité si f est injective; (b) ff 1 B B pour tout B B, avec égalité si f est surjective; Exercice

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Calculs de probabilités

Calculs de probabilités Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile

Plus en détail

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous StatEnAction 2009/0/30 :26 page #27 CHAPITRE 0 Machines à sous Résumé. On étudie un problème lié aux jeux de hasard. Il concerne les machines à sous et est appelé problème de prédiction de bandits à deux

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

Relations binaires sur un ensemble.

Relations binaires sur un ensemble. Math122 Relations binaires sur un ensemble. TABLE DES MATIÈRES Relations binaires sur un ensemble. Relations d équivalence, relation d ordre. Table des matières 0.1 Définition et exemples...................................

Plus en détail