Intégrale de Lebesgue

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1 Intégrale de Lebesgue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 1 / 50

2 1. Motivations et points de vue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 2 / 50

3 Deux points de vue Il y a essentiellement deux points de vue pour l intégration des fonctions : celui des mesures (adapté par exemple aux probabilités, systèmes dynamiques etc.) ; celui des formes linéaires sur les espaces de fonctions. C est ce dernier qui est adopté ici. Cela signifie que l on va voir l opération f f (x) dx d intégrer sur un ouvert de R N comme une forme linéaire sur un espace de fonctions (convenables) sur. Les étapes de cette approche vont consister à choisir des espaces de fonctions de plus en plus gros et à définir l intégrale (au départ) par passage à la limite. Les espaces fonctionnels auront en commun de contenir l ensemble C c () des fonctions continues sur, à valeurs réelles et nulles en-dehors d un compact (non fixé) de. En particulier, on imposera que le calcul intégral sur C c () soit celui qu on connaît déjà. Une fois l intégrale de Lebesgue ainsi construite, on pourra définir la mesure d une partie (convenable) A de comme étant 1 A (x) dx, où 1 A est la fonction caractéristique de A. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 3 / 50

4 Cahier des charges Procéder ainsi permet d espérer résoudre au moins les deux problèmes suivants. Disposer de théorèmes (souples) d intégration terme à terme pour des suites ou des séries de fonctions. Énoncé type souhaité : soit (f n ) n 0 suite croissante de fonctions intégrables sur un ouvert non vide R N, alors on a : lim f n(x) dx = lim f n (x) dx, l égalité n + n + ayant lieu dans ], + ]. Définir un espace de fonctions sur qui soit un espace de Banach pour la norme 1. Rappelons que C(; R) n est pas complet pour la norme f 1 = f (x) dx. On espère aussi mieux prendre en charge des fonctions problématiques du point de vue de l intégrale de Riemann, par exemple la fonction 1 Q (discontinue en tout point de R), non intégrable au sens de Riemann, alors qu elle est nulle en-dehors d un petit ensemble. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 4 / 50

5 Dénombrabilité et limite inférieure La notion de dénombrabilité va s avérer très importante dans ce cours : rappelons qu un ensemble X est dit dénombrable s il est fini ou en bijection avec N. Pour cela, il suffit en fait qu il existe une application surjective N X ou injective X N. Cette notion formalise le fait d être un petit ensemble, elle est donc propre à définir les ensembles négligeables de la théorie de l intégration. Elle est raisonnablement robuste dans le sens où elle est stable par produit fini et réunion dénombrable. Nous aurons aussi besoin de la notion de limite inférieure (éventuellement infinie) d une suite numérique. La droite numérique achevée R = R {± } est munie d une distance qui induit la topologie usuelle sur R et assure qu une suite réelle (x n ) n 0 tend vers ± au sens de la distance de R si, et seulement si, lim x n = ± au sens usuel. Une telle distance est par n + exemple donnée par d(x, y) = f (x) f (y) pour f (x) = x 1+ x et f (± ) = ±1. Elle fait de R un espace compact, si bien que toute suite numérique (x n ) n 0 a des valeurs d adhérence dans R, notamment une plus petite : celle-ci est notée lim x n et est aussi égale à la limite de la suite croissante (z n ) n 0 des z n = inf{x k : k n}. n Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 5 / 50

6 2. Suites de Levi et intégration ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 6 / 50

7 Suites de Levi et ensemble L + () Définition (suites de Levi) On dit qu une suite de fonctions (f n ) n 0 de C c () est une suite de Levi si cette suite est croissante et si on a : sup f n (x) dx < +. n 0 On note L + () l ensemble des fonctions f : R {+ } qui sont limites simples sur de suite de Levi. Pour f L + (), on pose par définition : f (x) dx := lim f n (x) dx, n + pour f limite simple sur de (f n ) n 0 suite de Levi comme ci-dessus. La limite existe car c est celle d une suite numérique croissante et majorée. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 7 / 50

8 L intégrale sur L + () est bien définie Lemme La définition de l intégrale de f L + () est indépendante du choix de la suite de Levi (f n ) n 0 convergeant simplement vers f sur. Preuve. Soient (f n ) n 0 et (g n ) n 0 des suites de Levi telles que pour tout x on ait : Pour m, n N fixés, on note lim f n(x) = lim g n(x). n + n + h n := (f m g n ) + := max(f m g n, 0). La suite (h n ) n 0 est à valeurs dans C c () et elle est décroissante ; en outre, on a f m g n + h n et lim h n(x) = (f m (x) lim g n(x)) + = (f m (x) f (x)) + = 0. n + n Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 8 / 50

9 L intégrale sur L + () est bien définie, fin de preuve On a convergence simple sur de la suite (h n ) n 0 vers la fonction nulle. Comme (h n ) n 0 est monotone, le théorème de Dini implique que la convergence est uniforme, et le fait que les f n soient nulles en dehors d un même compact permet d écrire : lim n h n (x) dx = 0. Comme f m g n + h n, on conclut que pour tout m N on a : f m (x) dx lim (g n (x) + h n (x)) dx = lim n + n + En passant finalement à la limite quand m +, on trouve f m (x) dx g n (x) dx. lim m + lim n + g n (x) dx. On conclut en échangeant les rôles des suites (f n ) n 0 et (g n ) n 0 dans ce qui précède. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 9 / 50

10 Un exemple de fonction dans L + () Exemple : on a 1 ]0,1[ L + (R). En effet, une suite de Levi (f n ) n 1 convenable est définie comme suit. Pour chaque n 1, la fonction f n est la fonction qui coïncide sur [0; 1 2n ] avec l unique fonction affine valant 0 en 0 et 1 en 1 1 2n, qui vaut 1 sur [ 2n ; 1 1 2n ] et qui coïncide sur [ n ; 1] avec l unique fonction affine valant 1 en 1 2n et 0 en 1. On voit facilement que f n+1 f n et que (f n ) n 1 converge simplement vers 1 ]0,1[ sur R. Graphe de f n, n 1 Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 10 / 50

11 Exemples et non-exemples de fonction dans L + () Exemples. 1. Soient a < b R. Une fonction f 0 continue, bornée, définie sur ]a, b[ appartient à L + (]a, b[). 2. La fonction f (x) := 1 si x 0 et f (0) := + appartient à L + (] 1, 1[). x 3. Soit α R. La fonction définie sur R par f α (x) := x α, appartient à L + (R) si et seulement si α > La fonction f (x) = 1 x n appartient pas à L + (]0, 1[). 5. Les fonctions n appartiennent pas à L + (R). 1 Q [0,1], 1 ]0,1], 1 [0,1[, 1 [0,1], Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 11 / 50

12 Semi-continuité des fonctions de L + () Définition On dit qu une fonction f : R est semi-continue inférieurement sur si, pour tout x et pour toute suite (x n ) n 0 de points de qui converge vers x, on a : f (x) lim f (x n ). n + Voici une propriété de régularité des fonctions dans L + (), qu on peut voir aussi comme une condition nécessaire pour appartenir à l ensemble L + (). Proposition Toute fonction de L + () est semi-continue inférieurement (en abrégé : s.c.i.) sur. La conséquence de la semi-continuité inférieure qui va nous intéresser est le fait que si f : R { + } est une fonction s.c.i. alors pour tout λ R la préimage f 1 (]λ; + ]) est un ouvert de. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 12 / 50

13 Semi-continuité des fonctions de L + (), preuve Preuve. Soit f L + () et (f m ) m 0 une suite de Levi correspondante. Soit (x n ) n 0 qui converge vers x ; il existe une suite extraite (x ϕ(n) ) n 0 telle que lim f (x ϕ(n)) = lim f (x n ). n + n + Puisque (f m ) m 0 est croissante, on a pour tous m, n 0 : f (x ϕ(n) ) f m (x ϕ(n) ), et donc, par continuité de f m en faisant n : lim f (x n ) f m (x). n + Enfin, par passage à la limite quand m tend vers +, il vient : lim n + f (x n ) f (x). Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 13 / 50

14 Propriétés de l intégrale sur L + () À ce stade, voici quelques bonnes propriétés de la classe de fonctions L + () et de l intégrale définie ci-dessus. 1. On a : C c () L + () et l intégrale définie sur L + () coïncide avec l intégrale usuelle définie sur C c (). 2. Si a, b 0 et f, g L + (), alors af + bg L + () et (af (x) + bg(x)) dx = a f (x) dx + b g(x) dx. 3. Si f, g L + (), alors max(f, g) et min(f, g) L + () et si f g, alors f (x) dx g(x) dx. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 14 / 50

15 Problèmes de l intégrale sur L + () Mais voici aussi quelques problèmes qu il faut surmonter pour définir une théorie de l intégration satisfaisante. Problèmes. 1. L ensemble L + () n est pas un espace vectoriel : si f L + (), la fonction f n appartient pas forcément à L + (). 2. Si f L + () alors f est à valeurs dans R {+ }. Comment peut-on définir f g aux points où f et g valent +? L idée sous-entendue dans 2 est qu on veut étendre l intégrale aux différences de fonctions dans la classe L + (). Pour ce faire, on a besoin de donner un sens précis à l énoncé ci-dessous : Observation-clef : Si f L + () alors f (x) = + très rarement. C est l objet de la section qui vient. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 15 / 50

16 3. Ensembles négligeables ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 16 / 50

17 Définition d un ensemble négligeable Définition On dit que Z est négligeable s il existe une fonction f L + () telle que f (x) = + pour tout x Z. Exemple : si x 0, l ensemble {x 0 } est négligeable. En effet, pour simplifier, prenons = R et x 0 = 0. On note f n (x) := n j=1 j (1 j 3 x ) + et f (x) := lim n + f n(x). Premièrement, on a f L + () car n j (1 j 3 x ) + dx j=1 R j 1 Deuxièmement on a f (x) = + si et seulement si x = 0. j 2 < +, Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 17 / 50

18 Dénombrabilité et topologie de R La définition des ensembles négligeables en termes de fonctions n est pas immédiatement intuitive. Nous allons en donner une caractérisation géométrique. Pour cela, on doit utiliser un lien entre la topologie des ouverts de R et la dénombrabilité. Proposition Un ouvert U de R est une réunion dénombrable d intervalles ouverts deux à deux disjoints. Preuve. Si x U, on note I x le plus grand intervalle ouvert qui est inclus dans U et qui contient x (ce I x, ainsi défini, existe car la réunion d intervalles ouverts d intersection non vide est un intervalle ouvert). Si I x I y alors I x = I y. On note F := {I x : x U}. Alors U = I. I F Si I F, choisissons r I Q I et définissons f (I ) = r I. L application f : F Q est injective donc l ensemble F est dénombrable. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 18 / 50

19 Caractérisation géométrique des ensembles négligeables Pour tout a R N et r > 0, on note C(a, r) l (hyper)cube ouvert de centre a R N et de côtés de longueur 2r > 0. On a : C(a, r) := volume du cube C(a, r) = (2r) N. Remarque : avec les notions des cours précédents, le cube C(a, r) est la boule de centre a et de rayon r pour la norme sur R N. Théorème Un sous-ensemble Z R N est négligeable si, et seulement si, pour tout ε > 0 il existe une famille dénombrable (C i ) i I de cubes de R N telle que Z i I C i et C i ε. i I Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 19 / 50

20 Caractérisation géométrique des ensembles négligeables, preuve Preuve. On fait la preuve pour N = 1. Preuve de l implication. Soient Z et f L + (R) tels que f (x) = + pour tout x Z et f 0 sur R. Pour tout n N, on a : Z f 1 ({+ }) f 1 (]n, + ]). La fonction f est semi-continue inférieurement, donc f 1 (]n, + ]) est un ouvert de R. Par la proposition qui précède, f 1 (]n, + ]) est donc une réunion dénombrable d intervalles ouverts disjoints de R, disons (I n k ) k K n. Ainsi : Z f 1 (]n, + ]) = k K n I n k. Il s agit de voir que la somme des volumes Ik n tend vers 0 quand n. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 20 / 50

21 Caractérisation géométrique des ensembles négligeables, preuve (suite) Par définition, on a f > n sur f 1 (]n, + ]) et donc 0 (x) n) 1 I n k K R(f k (x) dx = f (x) 1 I n k (x) dx n k K R k K pour tout sous-ensemble fini K K n. Comme f 0 sur R, on a : n Ik n f (x) 1 I n k (x) dx k K k K R R R f (x) dx. 1 I n k (x) dx On en déduit que Ik n 1 n k K n R f (x) dx. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 21 / 50

22 Caractérisation géométrique des ensembles négligeables, preuve (fin) Preuve de l implication. Soit Z R tel que, pour tout n 0, il existe une suite (I n k ) k N d intervalles ouverts de R satisfaisant Z Ik n et Ik n < 2 2n. k 0 k 0 On construit une fonction convenable en posant f := n 0 2 n k 0 1 I n k L + (R). En effet, on vérifie que f (x) dx = R n 0 pour tout x Z. 2 n Ik n 2 et f (x) = 2 n = + k 0 n 1 Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 22 / 50

23 Exemples et non-exemples fondamentaux d ensembles négligeables Proposition Toute réunion dénombrable d ensembles négligeables est négligeable. 1. Un sous-ensemble dénombrable de R N (par exemple Q dans R, ou plus généralement Q N dans R N pour N 1) est négligeable. 2. Un ouvert non vide de R N n est pas négligeable dans R N. 3. Un ensemble négligeable de R N est d intérieur vide. 4. Le complémentaire d un ensemble négligeable de est dense dans. 5. Dans R N avec N > 1, les sous-espaces affines de dimension d < N sont des sous-ensembles négligeables de R N. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 23 / 50

24 Ensembles négligeables et dimension, preuve Justification. Montrons d abord que [0, 1] {0} est négligeable dans R 2 : On a besoin de n carrés C 1,..., C n de côté 2/n alors i C i = 4/n. Ensuite, remarquons que R {0} = n Z[n, n + 1] {0}, donc R {0} est négligeable dans R 2. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 24 / 50

25 Propriétés vraies presque partout Définition Une propriété P(x), dépendant du point x, est dite vraie pour presque tout x, ou encore vraie presque partout sur, si l ensemble {x : P(x) est fausse} est négligeable. En outre, on abrège presque partout en p.p.. Exemples. 1. La fonction 1 Q est nulle p.p. sur R. 2. On notera f 0 p.p. sur si l ensemble des x tels que f (x) < 0 est négligeable. 3. On notera lim f n = f p.p. sur n + converge pas vers f (x) est négligeable. si l ensemble des x tels que (f n (x)) n 0 ne Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 25 / 50

26 Fonctions définies presque partout Soient f 1,..., f N des fonctions définies p.p. sur et Φ : R N R. Alors est définie p.p. sur. x Φ(f 1 (x),..., f N (x)), Exemple : Φ(f 1, f 2 ) = f 1 f 2 ou Φ(f 1, f 2 ) = f 1 + f 2. Plus généralement, les opérations élémentaires mettant en jeu une famille finie (voire dénombrable) de fonctions définies p.p. sur fournissent des fonctions définies p.p. sur. Proposition Si f, g L + () et si f g p.p. sur, alors on a : f (x) dx En particulier si f, g L + () et si f = g p.p. sur, alors on a : g(x) dx. f (x) dx = g(x) dx. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 26 / 50

27 4. Fonctions Lebesgue-intégrables ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 27 / 50

28 Notion de fonction Lebesgue-intégrable Définition Une fonction f définie p.p. sur et à valeurs dans R est intégrable au sens de Lebesgue (ou sommable) s il existe g, h L + () telles que f = g h p.p. sur. On définit alors l intégrale de Lebesgue de f sur en posant : f (x) dx := g(x) dx h(x) dx. On note L 1 () l ensemble des fonctions intégrables sur à valeurs réelles. La définition est indépendante du choix de la décomposition f = g h : pour f = g 1 h 1 = g 2 h 2 p.p. sur avec g 1, g 2, h 1, h 2 L + (), on a : g 1 + h 2 = g 2 + h 1 p.p. sur. D après la proposition précédente, g 1(x) dx + h 2(x) dx = g 2(x) dx + h 1(x) dx. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 28 / 50

29 Propriétés élémentaires de l intégrale de Lebesgue Voici quelques faits importants sur l intégrale de Lebesgue des fonctions à valeurs réelles. 1. L ensemble L 1 () est un R-espace vectoriel. 2. L application f f (x) dx est une forme R-linéaire sur L 1 (). 3. On a l inclusion : C c () L 1 () et l intégrale de Lebesgue coïncide avec l intégrale usuelle sur C c (). 4. Si f, g L 1 () et f g p.p. sur, alors f (x) dx g(x) dx. 5. Pour toutes f, g L 1 (), on a : f, max(f, g), min(f, g) L 1 () et f (x) dx f (x) dx. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 29 / 50

30 Propriétés élémentaires de l intégrale de Lebesgue, preuves Justification. Pour 4, écrire f = a b p.p. et g = c d p.p. où a, b, c, d L + (). Si f g p.p. alors a + d b + c p.p. donc (a + d) dx (b + c) dx. Ainsi : f (x) dx = (a b) dx (c d) dx = g(x) dx. Pour 5, écrire f = g h p.p. avec g, h L + (). On sait que max(g, h), min(g, h) L + (). Donc f = g h = max(g, h) min(g, h) L 1 (). Comme ±f f p.p. sur, on a : ± f (x) dx f (x) dx. On a : max(f, g) = 1 2 (f + g + f g ) et min(f, g) = 1 2 (f + g f g ). Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 30 / 50

31 Fonctions Riemann-intégrables, du point de vue de Lebesgue Voici le résultat qui caractérise les fonctions intégrables au sens de Riemann dans le contexte de notre construction. Théorème Une fonction f, bornée sur [a, b], est intégrable au sens de Riemann sur [a, b] si, et seulement si, l ensemble des points où f est discontinue est un ensemble négligeable. Exemple : la fonction 1 Q n est pas intégrable au sens de Riemann sur [0, 1] mais elle ne pose pas de problème particulier dans le cadre de la théorie de l intégration de Lebesgue : son intégrale est nulle car elle est nulle sauf sur un ensemble dénombrable donc négligeable. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 31 / 50

32 Un exemple de fonction non Lebesgue-intégrable Il y a quand même des fonctions non Lebesgue-intégrables pour lesquels on doit revenir à des passages à la limite et à la notion d intégrale impropre (voir cours suivants). Exemple : on sait (ou on verra) que + 0 sin x x R sin x dx := lim dx = π R + 0 x 2, mais le membre de gauche n est pas une intégrale au sens de Lebesgue. En effet, la fonction x sin x x R lim R + 0 n est pas intégrable sur R +, puisque sin x x dx = +. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 32 / 50

33 Fonctions intégrables et ensembles négligeables Modifier une fonction intégrable sur un ensemble négligeable ne change pas son intégrale. En particulier φ = 0 p.p. sur φ(x) dx = 0, Exemple : on vient de voir que Q est négligeable dans R, donc 1 Q = 0 p.p. sur R. Ainsi on a 1 Q L 1 (]0, 1[) et 1 Q (x) dx = 0. ]0,1[ Réciproquement, on peut chercher à savoir quelles sont les fonctions (positives p.p.) d intégrale nulle. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 33 / 50

34 Fonctions d intégrale nulle Classiquement : si f C c (R) et si R f (x) dx = 0, alors f = 0 sur R. Dans le cadre des fonctions Lebesgue-intégrables, on sait déjà que si f L 1 () alors f < + p.p. sur. En fait, on a le résultat suivant : Proposition Si f L 1 () et si f (x) dx = 0, alors f = 0 p.p. sur. Preuve. Soient u, v L + () telles que f = u v p.p. sur et (v n ) n 0 une suite de Levi qui converge simplement vers v sur. La fonction v 0 est bornée et u = f + v f + v 0 sur Z où Z est négligeable. Donc {x : f (x) = + } Z {x : u(x) = + }, est négligeable. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 34 / 50

35 5. Théorèmes de convergence ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 35 / 50

36 Théorème de la convergence monotone de Beppo Levi Voici un premier théorème de convergence (ou d interversion limite-somme) ; sa condition essentielle est une hypothèse de monotonie (presque partout) de la suite de fonctions. Théorème (théorème de convergence monotone) Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions de L 1 () qui est croissante p.p. sur et telle que f n (x) dx < +. sup n 0 Alors, il existe f L 1 () telle que f n f p.p. sur et f n (x) dx = f (x) dx. lim n Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 36 / 50

37 Sur l hypothèse de monotonie L hypothèse de monotonie dans l énoncé précédent est cruciale, comme l indique l exemple qui suit. Exemple : On considère la suite de fonctions f n (x) = 2 n x (1 x 2 ) n 1 définies sur ]0, 1[. On vérifie que lim f n(x) = 0, pour tout x ]0, 1[. Cependant : n + 0 = 1 0 lim f n(x) dx < n f n (x) dx = 1. L inégalité qui subsiste est expliquée par le lemme suivant, très utile en pratique. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 37 / 50

38 Lemme de Fatou Le résultat suivant fournit une inégalité, et non pas exactement une interversion limite-somme. Lemme (lemme de Fatou) Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions de L 1 () telles que f n 0 p.p. sur. On suppose que f n (x) dx < +. Alors, lim f n L 1 () et n + lim n + sup n 0 f n (x) dx lim f n (x) dx. n + Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 38 / 50

39 Théorème de la convergence dominée de Lebesgue Théorème (théorème de convergence dominée) Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions de L 1 (). On suppose que : (i) on a : f n f p.p. sur ; (ii) il existe F L 1 () telle que f n F p.p. sur. Alors, f L 1 () et lim f n (x) dx = f (x) dx. n + Il s agit d un énoncé très important, utile dans de nombreux calculs de limite impliquant une opération d intégration. Une des importantes applications théoriques de ce célèbre théorème sera un énoncé très souple de dérivation sous le signe somme. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 39 / 50

40 Phénomènes de concentration et d évanescence Nous allons examiner deux cas typiques de non validité de l interversion limite-somme. Pour cela, donnons-nous φ C c (R) telle que φ(x) dx = 1 et φ 0. Exemple : on peut prendre φ(x) = (1 x ) +. R Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 40 / 50

41 Phénomène de concentration Phénomène de concentration : pour tout n 0, on note f n (x) = n φ(n x). Alors on a : 1 = lim f n (x) dx = φ(y)dy > n + R R R lim f n(x) dx = 0. n + Phénomène de concentration Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 41 / 50

42 Phénomène d évanescence Phénomène d évanescence : pour tout n 0, on note g n (x) = φ(x n). Alors on a : 1 = lim g n (x) dx = φ(y)dy > n + R R R lim g n(x) dx = 0. n + Phénomène d évanescence Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 42 / 50

43 Fonctions mesurables Définition Une fonction f : [, + ] est dite mesurable s il existe une suite (f n ) n 0, de fonctions continues à support compact qui sont définies sur, qui converge vers f p.p. sur. Si f, g : R sont mesurables et si λ, µ R, alors λf + µg, fg, max(f, g) et min(f, g) sont des fonctions mesurables. En particulier f + := max(f, 0), f := min(f, 0) et f sont mesurables. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 43 / 50

44 Fonctions mesurables Voici quelques exemples ou énoncés de stabilité pour la mesurabilité des applications. 1. Si f 1,..., f N, définies sur, sont mesurables et si Φ : R N R est continue, alors Φ ( f 1,..., f N )(x) := Φ(f 1 (x),..., f N (x) ) est mesurable. 2. Si f (x) 0 p.p. sur, alors x 1/f (x) est mesurable. 3. Toute fonction continue sur est mesurable. 4. Toute fonction continue par morceaux sur un intervalle I R est mesurable. 5. Toute fonction appartenant à L 1 () est mesurable. 6. Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions mesurables, définies sur et f telles que f n f p.p. sur. Alors, f est mesurable. Remarque : Il existe des fonctions non mesurables (leur construction repose toujours sur l axiome du choix). Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 44 / 50

45 Intégration et fonctions mesurables Étant donnée une fonction f définie p.p. sur, comment vérifie-t-on que f L 1 ()? Théorème Soit f une fonction mesurable sur. Supposons qu il existe g L + () telle que f g p.p. sur. Alors f L 1 (). Preuve. Soit f n C c () telles que f n f p.p. sur. On note h n := max (min(f n, g), g), Par construction h n L 1 (). De plus, h n f et h n g p.p. sur. Donc par convergence dominée) f L 1 (). Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 45 / 50

46 Le cas des séries de fonctions positives Soit f : [0, + ] une fonction mesurable définie p.p. sur. Alors, avec la convention de poser f (x) dx := + si f L 1 (), on peut reformuler comme suit le théorème de convergence monotone : Théorème (théorème de convergence monotone pour les séries) Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions mesurables sur, à valeurs dans [0, + ]. Alors, on a : ( ) f n (x) dx = f n (x) dx [0, + ]. n=0 n=0 Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 46 / 50

47 6. Fonctions à valeurs complexes ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 47 / 50

48 Intégration des fonctions à valeurs dans C Nous avons très lourdement utilisé la relation d ordre sur R pour définir la notion d intégrale de Lebesgue. Pour revenir à la notion d intégrale de fonction à valeurs complexes, il suffit de travailler séparément sur les parties réelles et imaginaires des fonctions. Définition On dit que f, définie p.p. sur, à valeurs dans C, est intégrable si Rf et If sont intégrables. Si tel est le cas, on définit : f (x) dx := Rf (x) dx + i If (x) dx. On note L 1 (; C) l ensemble des fonctions intégrables à valeurs dans C. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 48 / 50

49 Intégration des fonctions à valeurs dans C Voici quelques faits importants sur l intégrale de Lebesgue des fonctions à valeurs complexes. 1. L ensemble L 1 (; C) est un C-espace vectoriel. 2. L application f f (x) dx est une forme C-linéaire sur L 1 (; C). 3. On a l inclusion : C c (; C) L 1 (; C) et l intégrale de Lebesgue coïncide avec l intégrale usuelle sur C c (; C). 4. Pour toute f L 1 (; C), on a f L 1 () et f (x) dx f (x) dx. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 49 / 50

50 Intégration des fonctions à valeurs dans C Justification. La fonction f = Rf 2 + If 2 est mesurable et on a : f Rf + If L 1 (), donc f L 1 (). Choisissons ξ C tel que ξ = 1 et ξ f (x) dx = f (x) dx. Alors Finalement : f (x) dx = ξ f (x) dx f (x) dx = R(ξf (x)) dx ξf (x) dx = R(ξf (x)) dx. f (x) dx. Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 50 / 50

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