École des Hautes Études Commerciales de Montréal Affiliée à l Université de Montréal

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1 Éole des Hautes Études Commeriales de Montréal Affiliée à l Université de Montréal Un modèle d évaluation d options amériaines sur ontrats à terme énergétiques Sébastien Moniaud Mémoire présenté en vue de l obtention du grade de maître ès sienes (M.S.) Mai 00 Sébastien Moniaud, 00

2 II SOMMAIRE Dans e travail de reherhe, nous développons un modèle opérationnel d'évaluation d'options amériaines sur ontrat à terme pour produits énergétiques. Les prix des produits énergétiques présentant empiriquement des signes marqués de disontinuité, notre modèle a été établi sur la base d'un proessus mixte de diffusion ave sauts pour l'évolution de l'atif sous-jaent. En outre, omme des études antérieures l'ont déjà prouvé, il existe aussi pour es mêmes produits énergétiques un bénéfie à leur détention qui influene la relation entre leurs prix au omptant et leurs prix à terme. C'est pourquoi une deuxième variable d'état a été introduite dans notre modèle, à savoir un bénéfie de détention stohastique. Les investissements dans la plupart des atifs onditionnels aux produits énergétiques se faisant surtout dans un but de ouverture à ourt terme, terme pour lequel la volatilité du taux d'intérêt n'a que peu d'influene, notre modèle onsidère don en onséquene tout au long de notre analyse le taux d'intérêt omme étant onstant. Le modèle est développé autour d'une approximation quadratique permettant de réduire fortement les temps de aluls par rapport à d'autres modèles numériques, et ainsi de le rendre diretement fontionnel dans n'importe quelle salle de négoiation. Nous avons montré que l'erreur d'approximation du modèle est tout à fait aeptable dans le adre d'ativités quotidiennes de négoiation sur les marhés énergétiques. Nous avons estimé ertains des paramètres du modèle à l'aide d'un filtre de Kalman basé sur les prix à terme de gaz naturel, et avons effetué une analyse de sensibilité du modèle par rapport aux paramètres ainsi obtenus. Cette analyse de sensibilité nous à permis de démontrer que le modèle répondait parfaitement aux attentes que l'on pouvait avoir par rapport à haque modèle d'évaluation de biens onditionnels, mais que toutefois elui-i possédait un ertain nombre de aratéristiques inattendues venant ainsi modifier la dynamique lassique du prix des options sur ontrat à terme.

3 III REMERCIEMENTS Je tiens tout d'abord à remerier mes direteurs de reherhes, Messieurs Pierre Larohe et Bruno Rémillard pour leur soui d'exellene, leur onfiane, leurs enouragements, leurs onseils, leurs reommandations et leur disponibilité. Meri pour m'avoir enadré tout au long de e travail et m'avoir permis de le mener à bien. Veuillez trouver dans e mémoire toute ma reonnaissane et mon respet. Je tiens également à remerier Messieurs Pierre Fortin et James Mott d'hydro- Québe pour le temps qu'ils m'ont onsaré et le soutien tehnique qu'ils m'ont prouré durant ette reherhe. Je tiens finalement à remerier mon père et ma mère pour le soutien moral et matériel qu'ils m'ont apporté tout au long de ma vie et qui m'ont permis d'aller jusqu'au au bout de mes rêves. Je vous suis infiniment reonnaissant. Sans oublier Valérie et tous mes amis qui n'ont essé de m'enourager et qui m'ont permis d'affronter nombre de moments diffiiles. Meri à vous tous.

4 IV TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION GÉNÉRALE 1 CHAPITRE I : REVUE DE LA LITTÉRATURE 3 Introdution Les atifs énergétiques 3 1. Les options sur ontrats à terme Le modèle de Blak pour l'évaluation d'options sur ontrat à terme Conlusion 14 CHAPITRE : LE MODÈLE D'HILLIARD ET REIS 16 Introdution 16.1 Résumé de l'artile d'hilliard et Reis (1998) 16. Les hypothèses de base du modèle 17.3 Évaluation de ontrats à terme ave un modèle à deux fateurs 18.4 Modèle de diffusion à trois fateurs ave sauts 0.5 Conlusion 3 CHAPITRE 3 : LE DÉVELOPPEMENT DU MODÈLE D'ÉVALUATION 6 Introdution Les hypothèses de base du modèle 6 3. L'évaluation des ontrats à terme Le modèle d'évaluation d'options européennes sur ontrat à terme Le modèle d'évaluation d'options amériaines sur ontrat à terme Conlusion 58 CHAPITRE 4 : MÉTHODOLOGIE ET ANALYSE DES RÉSULTATS 59 Introdution Estimation de paramètres : espae état et filtre de Kalman L'espae État-Mesure Filtre de Kalman La base de données Proessus d'optimisation et résultats Évaluation de la performane du modèle d'évaluation d'options amériaines sur ontrat à terme Le modèle d'évaluation d'amin (1993) Implantation du modèle et résultats Analyse de sensibilité Les indies lassiques de sensibilité 90

5 V 4.3. Les indies de sensibilité par rapport aux paramètres de sauts Conlusion 98 CONCLUSION GÉNÉRALE 100 ANNEXES 101 Annexe 1 : Le modèle d'évaluation en temps disret d'amin (1993) 10 Annexe : Les graphiques relatifs à l'analyse de sensibilité du modèle 111 BIBLIOGRAPHIE 134

6 VI LISTE DES TABLES ET FIGURES Table I : Paramètres du modèle des prix à terme estimés à partir du prix de ontrats à terme sur le gaz naturel...7 Table II : Valeurs théoriques d'options sur ontrat à terme dont les prix au omptant suivent un proessus mixte de diffusion ave sauts en présene d'un bénéfie de détention stohastique Table III : Valeurs théoriques d'options d'ahat sur ontrat à terme lors d'une augmentation importante des prix à terme 85 Table IV : Temps de alul et préision du modèle d'évaluation d'options d'amin...86 Figure 1 : Graphique du prix à terme de déembre 001 pour le gaz naturel NYMEX livraison Henry Hub 9 Figure : Représentation d'ensemble de la méanique du filtre de Kalman.66 Figure 3 : Représentation d'ensemble du proessus d'estimation des paramètres du modèle des prix à terme.70 Figure 4 : Graphique des variables d'états estimées et du prix du ontrat à terme d'otobre Figure 5 : Graphique des erreurs de prédition pour les ontrats à terme d'otobre et de novembre Figure 6 : Espae d'états ( n) de l'approximation disrète de la distribution des prix à terme pour un paramètre de disrétisation n fixe..104

7 VII Figure 7 : Graphique de l'évolution du prix d'une option d'ahat amériaine sur ontrat à terme en fontion du prix à terme sous-jaent..111 Figure 8 : Graphique de l'évolution du prix d'une option de vente amériaine sur ontrat à terme en fontion du prix à terme sous-jaent..111 Figure 9 : Graphique de l'évolution du prix d'une option d'ahat amériaine sur ontrat à terme en fontion de l'éoulement du temps 11 Figure 10 : Graphique de l'évolution du prix d'une option de vente amériaine sur ontrat à terme en fontion de l'éoulement du temps 11 Figure 11 : Graphique de l'évolution du prix d'une option d'ahat amériaine sur ontrat à terme en fontion de l'éoulement du temps et du prix à terme sous-jaent Figure 1 : Graphique de l'évolution du prix d'une option de vente amériaine sur ontrat à terme en fontion de l'éoulement du temps et du prix à terme sous-jaent Figure 13 : Graphique de l'évolution du prix d'une option d'ahat amériaine sur ontrat à terme en fontion de la date d'éhéane de l'option.114 Figure 14 : Graphique de l'évolution du prix d'une option de vente amériaine sur ontrat à terme en fontion de la date d'éhéane de l'option.114 Figure 15 : Graphique de l'évolution du prix d'une option d'ahat amériaine sur ontrat à terme en fontion du taux d'intérêt sans risque 115 Figure 16 : Graphique de l'évolution du prix d'une option de vente amériaine sur ontrat à terme en fontion du taux d'intérêt sans risque 115

8 VIII Figure 17 : Graphique de l'évolution du prix d'une option d'ahat amériaine sur ontrat à terme en fontion de la moyenne de la variane du rendement des prix à terme sous-jaents Figure 18 : Graphique de l'évolution du prix d'une option de vente amériaine sur ontrat à terme en fontion de la moyenne de la variane du rendement des prix à terme sous-jaents Figure 19 : Graphique de l'évolution du prix d'une option d'ahat amériaine sur ontrat à terme en fontion de l'éart-type du rendement des prix au omptant sous-jaents aux prix à terme Figure 0 : Graphique de l'évolution du prix d'une option de vente amériaine sur ontrat à terme en fontion de l'éart-type du rendement des prix au omptant sous-jaents aux prix à terme..117 Figure 1 : Graphique de l'évolution du prix d'une option d'ahat amériaine sur ontrat à terme en fontion de l'éart-type des hangements du bénéfie net de détention Figure : Graphique de l'évolution du prix d'une option de vente amériaine sur ontrat à terme en fontion de l'éart-type des hangements du bénéfie net de détention Figure 3 : Graphique de l'évolution du prix d'une option d'ahat amériaine sur ontrat à terme en fontion de la vitesse d'ajustement vers le niveau d'équilibre à long terme du bénéfie net de détention.119 Figure 4 : Graphique de l'évolution du prix d'une option de vente amériaine sur ontrat à terme en fontion de la vitesse d'ajustement vers le niveau d'équilibre à long terme du bénéfie net de détention. 119

9 IX Figure 5 : Graphique de l'évolution du prix d'une option d'ahat amériaine sur ontrat à terme en fontion du oeffiient de orrélation entre les prix au omptant sous-jaents aux prix à terme et le bénéfie net de détention.10 Figure 6 : Graphique de l'évolution du prix d'une option de vente amériaine sur ontrat à terme en fontion du oeffiient de orrélation entre les prix au omptant sous-jaents aux prix à terme et le bénéfie net de détention.10 Figure 7 : Graphique de l'évolution du prix d'une option d'ahat amériaine sur ontrat à terme en fontion de la date d'éhéane du ontrat à terme sous-jaent...11 Figure 8 : Graphique de l'évolution du prix d'une option de vente amériaine sur ontrat à terme en fontion de la date d'éhéane du ontrat à terme sous-jaent...11 Figure 9 : Graphique de l'évolution du prix d'une option d'ahat amériaine sur ontrat à terme en fontion de la fréquene moyenne des sauts de Poisson ajustée pour le risque 1 Figure 30 : Graphique de l'évolution du prix d'une option de vente amériaine sur ontrat à terme en fontion de la fréquene moyenne des sauts de Poisson ajustée pour le risque 1 Figure 31 : Graphique de l'évolution du prix d'une option d'ahat amériaine sur ontrat à terme en fontion de l'amplitude aléatoire moyenne des sauts de Poisson ajustée pour le risque.13 Figure 3 : Graphique de l'évolution du prix d'une option de vente amériaine sur ontrat à terme en fontion de l'amplitude aléatoire moyenne des sauts de Poisson ajustée pour le risque.13

10 X Figure 33 : Graphique de l'évolution du prix d'une option d'ahat amériaine sur ontrat à terme en fontion de l'éart-type de la distribution de l'amplitude aléatoire des sauts de Poisson ajustée pour le risque..14 Figure 34 : Graphique de l'évolution du prix d'une option de vente amériaine sur ontrat à terme en fontion de l'éart-type de la distribution de l'amplitude aléatoire des sauts de Poisson ajustée pour le risque..14 Figure 35 : Graphique de l'évolution du prix d'une option d'ahat amériaine sur ontrat à terme en fontion de la fréquene moyenne et de l'amplitude aléatoire moyenne des sauts de Poisson ajustées pour le risque.15 Figure 36 : Graphique de l'évolution du prix d'une option de vente amériaine sur ontrat à terme en fontion de la fréquene moyenne et de l'amplitude aléatoire moyenne des sauts de Poisson ajustées pour le risque.15 Figure 37 : Graphique de l'évolution de l'éart-type du rendement des prix à terme en fontion de l'éart-type du rendement des prix au omptant sous-jaents aux prix à terme.16 Figure 38 : Graphique de l'évolution de la moyenne de la variane du rendement des prix à terme sur la durée de vie de l'option en fontion de l'éart-type du rendement des prix au omptant sous-jaents aux prix à terme...16 Figure 39 : Graphique de l'évolution de l'intégrale de la variane du rendement des prix à terme le long de la durée de vie de l'option en fontion de l'éart-type du rendement des prix au omptant sous-jaents aux prix à terme..17 Figure 40 : Graphique de l'évolution de la moyenne de la variane du rendement des prix à terme sur la durée de vie de l'option en fontion de l'éart-type des hangements du bénéfie net de détention.17

11 XI Figure 41 : Graphique de l'évolution de l'intégrale de la variane du rendement des prix à terme le long de la durée de vie de l'option en fontion de l'éart-type des hangements du bénéfie net de détention.18 Figure 4 : Graphique de l'évolution de la moyenne de la variane du rendement des prix à terme sur la durée de vie de l'option en fontion de la vitesse d'ajustement vers le niveau d'équilibre à long terme du bénéfie net de détention 18 Figure 43 : Graphique de l'évolution de l'intégrale de la variane du rendement des prix à terme le long de la durée de vie de l'option en fontion de la vitesse d'ajustement vers le niveau d'équilibre à long terme du bénéfie net de détention.19 Figure 44 : Graphique de l'évolution de la moyenne de la variane du rendement des prix à terme sur la durée de vie de l'option en fontion du oeffiient de orrélation entre les prix au omptant sous-jaents aux prix à terme et le bénéfie net de détention.19 Figure 45 : Graphique de l'évolution de l'intégrale de la variane du rendement des prix à terme le long de la durée de vie de l'option en fontion du oeffiient de orrélation entre les prix au omptant sous-jaents aux prix à terme et le bénéfie net de détention.130 Figure 46 : Graphique de l'évolution de la variane du rendement des prix à terme en fontion de l'éoulement du temps.130 Figure 47 : Graphique de l'évolution de la moyenne de la variane du rendement des prix à terme sur la durée de vie de l'option en fontion de l'éoulement du temps.131 Figure 48 : Graphique de l'évolution de l'intégrale de la variane du rendement des prix à terme le long de la durée de vie de l'option en fontion de l'éoulement du temps 131

12 XII Figure 49 : Graphique de l'évolution de la moyenne de la variane du rendement des prix à terme sur la durée de vie de l'option en fontion de la date d'éhéane de l'option..13 Figure 50 : Graphique de l'évolution de l'intégrale de la variane du rendement des prix à terme le long de la durée de vie de l'option en fontion de la date d'éhéane de l'option..13 Figure 51 : Graphique de l'évolution de la moyenne de la variane du rendement des prix à terme sur la durée de vie de l'option en fontion de la date d'éhéane du ontrat à terme sous-jaent..133 Figure 5 : Graphique de l'évolution de l'intégrale de la variane du rendement des prix à terme le long de la durée de vie de l'option en fontion de la date d'éhéane du ontrat à terme sous-jaent...133

13 INTRODUCTION GÉNÉRALE Les modèles d'évaluation d'options et l'univers log-normal de Blak et Sholes Depuis la publiation en 1973 du modèle de Blak et Sholes (1973) pour l'évaluation d'options, nous avons assisté à l'élosion d'un nombre important de modèles de la sorte. Ces nouveaux modèles d'évaluation d'options possèdent omme base ommune la modifiation des hypothèses restritives du modèle de Blak et Sholes, et tentent de justifier les biais de prix observés empiriquement lors de l'utilisation de e même modèle, que e soit en rapport ave la maturité ou le degré d'enjeu des options. En effet, on onstate empiriquement que les distributions impliites des rendements d'atifs possèdent une asymétrie négative et un degré de kurtose supérieur à e qui serait permis dans l'univers de la distribution log-normale du modèle de Blak et Sholes. Guidée par ette onstatation, la reherhe de modèles alternatifs d'évaluation d'options s'est don onentrée sur la formulation d'hypothèses et le développement de modèles de distribution qui dériraient mieux la dynamique de l'atif sous-jaent. Chaque modèle d'évaluation d'options repose sur trois hypothèses de base, à savoir le proessus de distribution des prix de l'atif sous-jaent, le proessus des taux d'intérêt et en dernier lieu le prix de marhé des fateurs de risque. Pour haune de es hypothèses, il existe un ertain nombre de hoix possibles. Par exemple, le prix de l'atif sous-jaent peut suivre un proessus en temps disret ou en temps ontinu. Parmi les hoix possibles pour un proessus en temps ontinu, elui-i peut être markovien ou non markovien, à diffusion ou sans diffusion, ave sauts ou non, un mélange entre des omposantes de saut et des omposantes de diffusion ave ou sans volatilité stohastique, et. Pour la struture à terme des taux d'intérêt, des hoix similaires peuvent être faits. Un grand nombre de modèles d'évaluation d'options peuvent ainsi être onsidérés.

14 Constatant que la reherhe pour un modèle parfait d'évaluation d'options pourrait s'avérer sans fin, Bakshi, Cao et Chen (1997) tentent plutôt de répondre à un ertain nombre de questions telles que : Quel est le gain apporté par haque modèle? Le gain, si gain il y a, amené par un proessus plus réaliste suffit-il à ompenser la omplexité additionnelle du modèle et les oûts d'implantation? Est-e que haque modifiation des hypothèses de Blak et Sholes aide à expliquer le biais empirique assoié à leur modèle, tel que la struture de volatilité par exemple? Pour e faire, ils ont onduit une étude empirique sur les mérites relatifs de quelques modèles d'évaluation d'options de type européen. Les modèles qu'ils ont onsidérés sont le modèle de Blak et Sholes, un modèle ave taux d'intérêt stohastique, un modèle ave volatilité stohastique, un modèle ave taux d'intérêt stohastique et volatilité stohastique, un modèle ave volatilité stohastique et sauts aléatoires, et finalement un modèle ave taux d'intérêt stohastique, volatilité stohastique et sauts aléatoires, développé par leurs soins, qui est assez rihe pour ontenir tout les autres modèles en tant que as spéiaux. En se basant sur des prix d'options d'ahat pour l'indie S&P 500, ils en arrivent à la onlusion qu'un modèle ave volatilité stohastique et sauts aléatoires est une meilleure alternative au modèle de Blak et Sholes, non seulement pare que le premier est plus performant que le deuxième, mais également pare que elui-i est faile à implanter et à utiliser en pratique. Consient de la onlusion de Bakshi, Cao et Chen (1997), nous allons don dans e mémoire proposer, dans le adre des marhés énergétiques, un modèle d'évaluation d'options sur ontrat à terme alternatif au modèle de Blak (1976), et qui intègre la possibilité d'exerie antiipé des options amériaines.

15 CHAPITRE I : REVUE DE LA LITTÉRATURE Introdution Dans e premier hapitre, nous passons en revue un ertain nombre d'artiles ayant un lien ave notre reherhe, et desquels notre modèle d'évaluation d'options est inspiré. Nous introduisons, en premier lieu, les marhés énergétiques et les aratéristiques qui leurs sont propres. En seond lieu, nous abordons les onepts relatifs aux options sur ontrat à terme. Puis, en dernier lieu, nous terminons e hapitre par une onlusion d'ordre générale. 1.1 Les atifs énergétiques Les marhés énergétiques sont des marhés en pleine évolution dont la dynamique des quinze dernières années a été marquée par une vague de déréglementation qui s'est propagée mondialement, en plus d'avoir été périodiquement modifiée par l'inorporation de produits dérivés et de nouvelles tehniques de gestion des risques 1. En omparaison des marhés énergétiques, les marhés finaniers font figure de marhés matures. L'analyse fondamentale nous démontre que les fateurs sous-jaents influençant l'évolution du prix des produits énergétiques diffèrent diamétralement des taux d'intérêt et autres fateurs bien établis pour les atifs finaniers. Les atifs énergétiques sont régis par les relations dynamiques entre prodution et onsommation, transfert et stokage, ahat et vente, et ultimement par la "rédution en endres" du produit physique. Les questions onernant le stokage, le transport, le limat, et les avanées tehnologiques jouent un rôle majeur ii. Chaque ateur du marhé de l'énergie, du produteur au onsommateur final, prend ses déisions en fontion de nombreux fateurs fondamentaux, qui eux mêmes affetent le omportement des marhés énergétiques. Ce qui rend les produits énergétiques si différents est le très grand nombre de fateurs sous-jaents qui omplexifient le omportement de leurs prix. 1 Voir par exemple le livre Energy desk book de la Duke Energy Corporation (1999) pp. i, ou pour un résumé de l'évolution du marhé du gaz naturel aux États Unis le hapitre 1 du livre de Sturm (1997).

16 4 Cette omplexité rend plus diffiile le développement de modèles quantitatifs permettant de dérire l'évolution de tels atifs, tout en étant assez simples pour une utilisation rapide et effiiente sur un pupitre de négoiation. Les marhés énergétiques présentent les inq prinipales aratéristiques suivantes (voir Pilipovi (1998)) : Déentralisation des marhés. Capaités de stokage limitées et oûts de transport. Caratère saisonnier des prix et existene d un niveau d'équilibre à long terme. Existene d un bénéfie de détention. Présene de sauts dans les prix. Alors que les marhés finaniers sont essentiellement entralisés en terme de loalisation, apital et expertise, les marhés énergétiques sont quant à eux fortement déentralisés. Les produteurs et les utilisateurs finaux d'énergie sont éparpillés à travers le monde. La plupart des ateurs du marhé nord amériain utilisent des ontrats à terme de la bourse de New York ou de Kansas City pour ouvrir leurs risques loaux. Cependant, es ontrats portent sur des atifs livrés à des points spéifiques et peuvent don se omporter totalement différemment de l'exposition au risque énergétique loal à ouvrir. La déentralisation introduit don un risque de base géographique qui est unique aux marhés énergétiques. Tandis qu'un dollar vaut un dollar partout au pays, les prix des atifs énergétiques dépendent de leur nature et de leur loalisation qui représentent des fateurs fondamentaux dans leur détermination. Compte tenu de e besoin de ouverture du risque loal, un grand nombre de ontrats à terme et d'options sont négoiés au omptoir.

17 5 L'offre et la demande de produits énergétiques est influenée par des fateurs fondamentaux qui n'existent pas dans le as des marhés finaniers : le stokage et les oûts de transport. Les problèmes réés par des apaités de stokage limitées onduisent la volatilité intra-quotidienne des prix énergétiques à se omporter selon différents régimes, tout en étant supérieure à la volatilité observée sur les marhés finaniers. Une autre onséquene liée à es problèmes de apaité de stokage limitées est le fait que les prix au omptant possèdent une très grande volatilité, alors que pour les prix à terme, on observe une volatilité qui déroît signifiativement ave l'augmentation du temps à faire avant l'éhéane. Effetivement, on s'attend à e que dans le long terme l'offre et la demande reviennent à une position d'équilibre. Ainsi, les prix de long terme reflètent et équilibre. En ayant une vision plus large, on peut observer que les prix des produits énergétiques possèdent des omportements différents selon le terme onsidéré. Les prix sont influenés par les onditions de stokage à ourt terme et par le potentiel futur de l'offre d'énergie dans le long terme. Les prix à terme reflètent es deux fateurs fondamentaux et possèdent don des aratéristiques différentes selon qu'on les onsidère dans le long ou le ourt terme. Conjugués aux problèmes de stokage, s'ajoutent les problèmes de oûts de transport qui représentent une variable supplémentaire venant influener la volatilité du oût des matières premières. Ces oûts de transport vont dépendre de la nature du produit énergétique onsidéré, de son lieu de livraison, ainsi que de la loalisation de l'aheteur. La demande agrégée du seteur résidentiel amène un effet de saisonnalité dans les prix des produits énergétiques, qui se traduit par exemple par une augmentation des prix de l'huile de hauffage pendant l'hiver et une baisse de eux-i durant l'été, au profit d'une augmentation des prix de l'életriité liée à l'utilisation roissante de l'air onditionné. Ces effets de saisonnalité ne se onstatent pas uniquement au travers des prix au omptant historiques, mais s'observent également dans les prix à terme.

18 6 D'une façon générale, la plupart des marhés éonomiques évoluent autour d'une sorte de niveau d'équilibre. Ce niveau d'équilibre peut être un taux d'intérêt historique, le rendement d'un atif ou le prix d'une denrée. Plusieurs études tendent à démontrer que les proessus stohastiques ave retour vers la moyenne dérivent bien la dynamique de tels marhés. Dans le as des marhés énergétiques, on observe une forte tendane au retour vers un niveau d'équilibre à long terme. En effet, les guerres, les tempêtes et autres évènements inattendus réent des déséquilibres entre l'offre et la demande d énergie. Le proessus de retour vers la moyenne mesure ave quelle rapidité es évènements vont se dissiper, ou ombien de temps ela va-t-il prendre pour que l offre et la demande retournent à un niveau d équilibre. La propriété de retour vers un niveau d'équilibre du prix des produits énergétiques et des denrées a été onsidérée dans une série d'artiles réents, tels que par exemple Besssembinder, Coughenour, Seguin, et Smoller (1995), Cortazar et Shwartz (1994), et Shwartz (1997). Plus réemment, Pilipovi (1998), et Shwartz et Smith (000) ont développé de façon indépendante un modèle de prix à deux fateurs pour les denrées, dans lequel les prix à ourt terme sont assumés retourner vers un niveau d'équilibre à long terme qui lui-même possède un omportement stohastique. Shwartz et Smith démontrent que leur modèle est formellement équivalent à elui de Gibson et Shwartz (1990b), qui lui onsidère un bénéfie de détention stohastique, tout en étant en apparene plus intuitif et naturel. L'existene d'un bénéfie de détention est une aratéristique importante propre aux marhés énergétiques, et aux denrées de façon plus générale. Selon Brennan (1990), le bénéfie de détention d'une denrée représente les bénéfies obtenus par la détention physique de la denrée qui ne peuvent être obtenus par la détention du ontrat à terme sur ette même denrée. Ces bénéfies peuvent être par exemple la possibilité de pouvoir faire fae à un ho non antiipé de l'offre ou de la demande, ou l'opportunité de pouvoir réduire ses oûts en lissant le proessus de prodution. D'une façon plus spéifique, le bénéfie de détention est le bénéfie net moins les oûts autres que finaniers, omme par exemple les oûts de stokage, d'assurane, et autres, liés à la détention d'une denrée. Voir par exemple Vasiek (1977) pour les taux d'intérêt ou Shwartz (1997) pour les prix des denrées.

19 7 Ce bénéfie de détention dépend de l'identité de la personne détenant la denrée et les prix d'équilibre futurs de elle-i vont eux-mêmes dépendre d'un bénéfie de détention d'équilibre déterminé par la ompétition entre ses détenteurs potentiels. L'information onernant les préférenes de onsommation et les tehnologies de prodution du marhé est impliitement inlue dans le bénéfie de détention d'équilibre. Il existe ertaines évidenes empiriques qui prêhent en faveur d'un bénéfie de détention stohastique. Entre autres, Fama et Frenh (1987) déelèrent des variations saisonnières du bénéfie de détention marginal pour la plupart des produits agrioles et animaliers. Fama et Frenh (1988) démontrèrent également l'existene d'un proessus de retour vers la moyenne pour le bénéfie de détention des métaux. Brennan (1990) déela lui aussi l'existene d'un proessus de retour vers la moyenne pour le bénéfie de détention du bois ontre-plaqué, du bois de harpente, de l'huile de hauffage, du uivre, du platine, de l'argent et de l'or. Gibson et Shwartz (1990a) trouvèrent qu'un bénéfie de détention onstant n'était pas approprié pour l'évaluation d'obligations indexées sur le pétrole et suggérèrent que le bénéfie de détention soit expliitement onsidéré lors de la détermination de modèles d'évaluation pour des biens onditionnels. C'est pourquoi Gibson et Shwartz (1990b) utilisèrent dans un autre artile, un proessus stohastique de retour vers la moyenne pour modéliser le bénéfie lié à la détention du pétrole, dans le but d évaluer la valeur de biens finaniers et réels onditionnels aux prix de e même pétrole. Plus réemment, Shwartz (1997), Miltersen et Shwartz (1998), et Hilliard et Reis (1998) ont développé des modèles d'évaluation de ontrats à terme et d'options pour les denrées, qui tiennent ompte d'un bénéfie de détention et d un taux d'intérêt tous deux stohastiques. Dans son artile, Shwartz (1997) ompare trois modèles d'évolution du prix des denrées qui tiennent ompte respetivement et de façon additive d'un retour vers la moyenne, d'un bénéfie de détention stohastique et d'un taux d'intérêt stohastique. Il analyse l'impliation de es modèles dans l'évaluation d'atifs réels et de déisions d'alloations d'investissements. Shwartz détermine les paramètres des différents modèles pour le pétrole, le uivre, et l'or à l'aide de la méthodologie du filtre de Kalman. Son analyse onlut entre autre à un fort retour vers la moyenne des prix du pétrole et du uivre.

20 8 Miltersen et Shwartz (1998) de leur oté fournissent un adre d'analyse général pour un modèle d'évaluation à trois fateurs utilisant la méthodologie de Heath, Jarrow et Morton (199), et une diffusion ave absene d'opportunité d'arbitrage pour le bénéfie de détention et les taux d'intérêt. Ils font également la distintion entre un bénéfie de détention pour les ontrats de gré à gré et pour les ontrats à terme boursiers, hose rarement envisagée dans la littérature. Leur modèle ne demande auune estimation de primes de risque puisque elles-i sont impliitement inlues dans les prix au omptant. De plus, assumant une volatilité qui dépend uniquement du temps, e modèle leur permet d'obtenir des solutions analytiques pour l'évaluation d'options européennes dans la même tradition que le modèle de Blak et Sholes. Hilliard et Reis (1998) quant à eux introduisent, en plus des deux proessus stohastiques pour le bénéfie de détention et le taux d'intérêt, un proessus mixte de diffusion ave sauts régissant l'évolution des prix au omptant des denrées. Ils en arrivent entre autres à la onlusion que l'hypothèse d'un proessus mixte de diffusion ave sauts pour les prix au omptant des denrées n'affete pas leurs prix à terme, mais peut avoir un effet non négligeable lors de l'évaluation d'options sur ontrats à terme. Nous reviendrons par la suite plus en détail sur et artile. Finalement le dernier point à retenir, qui n'est pas uniquement propre aux marhés énergétiques mais qui est partiulièrement prononé dans leur as, est la présene de sauts dans les prix. Cette disontinuité des prix souvent observée ave l'arrivée sur le marhé de nouvelles informations non antiipées est le résultat onjugué d'un déséquilibre entre l'offre et la demande d énergie et des apaités de stokage limitées. La figure 1 i-dessous nous donne un aperçu des sauts qui peuvent affeter les prix à terme du gaz naturel.

21 9 4,4 4, Prix du gaz naturel ($/MMBtu) 4 3,8 3,6 3,4 3, Contrat de déembre 3, Périodes de 10 minutes pour le mois d'août 001 Figure 1. Graphique du prix à terme de déembre 001 pour le gaz naturel NYMEX livraison Henry Hub. Cette figure illustre l'évolution intraquotidienne (fréquene de dix minutes) du prix du ontrat à terme de déembre 001 pour le gaz naturel durant le ourant du mois d'août 001. On y onstate de façon distinte la présene de sauts dans les prix 3. Merton (1976) est le premier à postuler un modèle où le hangement total du prix d'un atif se ompose de deux parties : de petites variations normales de prix modélisées par un mouvement brownien géométrique et de larges variations anormales dues à l'arrivée d'informations importantes modélisées par des sauts suivant une distribution de Poisson. Les larges hangements de prix modélisés par le proessus de sauts produisent des probabilités supérieures aux probabilités de la loi normale dans la queue de la distribution de prix. Ce phénomène s'observe fréquemment lorsqu'on onsidère des rendements d'atifs. Le modèle de Merton fait l'hypothèse d'un risque de saut diversifiable, don non systématique. Malheureusement dans le as des denrées omme dans le as de la monnaie, les prix sont systématiquement reliés à des variables maroéonomiques ou autres fateurs, onduisant ainsi à un risque de saut non diversifiable. 3 L'unité de otation utilisée pour le prix du gaz naturel est le dollar par million d'unités thermiques britanniques ($/MMBtu), où une unité thermique britannique représente la quantité de haleur néessaire pour élever la température d'une livre d'eau d'un degré Fahrenheit.

22 10 C'est pourquoi Bates (1991) développa un modèle mixte de diffusion ave sauts admettant des sauts asymétriques et surtout permettant de onsidérer le risque de saut omme étant systématique. Afin d'obtenir le proessus de diffusion risque neutre de son modèle, Bates impose des restritions sur la tehnologie et les préférenes. A partir de e modèle de diffusion, il développe une approximation quadratique lui permettant de déterminer les prix d'options amériaines. Plus réemment, Bates (1996b) a raffiné son modèle de base en y inorporant une volatilité stohastique. 1. Les options sur ontrats à terme Une option sur ontrat à terme donne le droit, et non l'obligation, à son détenteur de prendre position sur un ontrat à terme à une date future pour un prix onvenu à l'avane. Plus spéifiquement, une option d ahat sur ontrat à terme est un droit d aheter un ontrat à terme à un prix fixé alors qu'une option de vente est un droit de vendre un tel ontrat. L'atif sous-jaent d'une telle option est don un ontrat à terme. Lorsque l'option est exerée, il y a deux éhanges de flux monétaires éhelonnés dans le temps. Le premier flux est lié à l'exerie de l'option en tant que tel, il orrespond à la différene entre le prix d'exerie de l'option et le plus réent prix de règlement du ontrat à terme. Puis va suivre un deuxième flux monétaire lié quant à lui au règlement du ontrat à terme, orrespondant à la différene entre le prix du ontrat à terme à la date de règlement de elui-i et le prix de règlement onsidéré lors de l'exerie de l'option (i.e. son prix de levée). La plupart des options sur ontrat à terme sont de type amériain, 'est-à-dire qu'elles peuvent être exerées à n'importe quel moment avant leur éhéane. Sur les marhés, elles sont référenées par le mois durant lequel le ontrat sous-jaent arrive à maturité, et non par leur mois d'éhéane. Généralement l'option vient à éhéane quelques jours avant ou au moment de la première date de livraison du ontrat à terme sous-jaent. Des options sur ontrat à terme sont maintenant disponibles pour la plupart des atifs pour lesquels des ontrats à terme sont transigés. Il existe plusieurs raisons à leur popularité, dont la prinipale est le fait que les ontrats à terme sont souvent plus liquides et plus failes à transiger que l'atif sous-jaent lui-même, onduisant alors à des oûts de transation inférieurs. Par exemple dans le as des denrées, il est plus faile et plus ommode d'aheter ou de vendre des ontrats à terme sur le bétail vivant plutôt que de transiger diretement le bétail.

23 11 De plus, les prix à terme sont onnus immédiatement en transigeant sur les marhés à terme, alors que les prix au omptant des atifs sous-jaents ne sont pas si failement disponibles. Un autre point à retenir est le fait que l'exerie des options sur ontrat à terme ne onduit généralement pas à la livraison de l'atif sous-jaent au ontrat puisque dans la plupart des as la position sur le ontrat à terme est annulée avant l'éhéane. Ainsi, les options sur ontrat à terme sont généralement réglées de façon monétaire. Cette situation semble don attrative pour bien des investisseurs, partiulièrement eux limités finanièrement qui se verraient dans l'impossibilité de lever les fonds néessaires à l'ahat de l'atif sous-jaent lorsque la date d'éhéane du ontrat à terme serait atteinte Le modèle de Blak pour l'évaluation d'options sur ontrat à terme Une analogie peut être faite entre une option sur ontrat à terme et une option sur une ation payant un taux de dividende ontinu. En effet, les prix des ontrats à terme se omportent de façon similaire à une ation payant un taux de dividende ontinu égal au taux d'intérêt domestique sans risque. Cei s'explique aisément en notant que les ontrats à terme ne requièrent auun investissement initial. Dans un monde neutre au risque, le profit espéré lié à la détention d'un atif dont le oût initial est nul doit être égal à zéro, ela afin d'éviter toute opportunité d'arbitrage. Le profit espéré d'un ontrat à terme dans un monde sans risque doit don être de zéro. En onséquene, le taux de roissane espéré du prix d'un ontrat à terme doit être nul. Sahant que, toujours dans un monde neutre au risque, une ation payant un taux de dividende ontinu d possède un taux de roissane espéré égal à la différene r-d entre le taux d'intérêt domestique sans risque r et son taux de dividende ontinu d, il est faile de montrer que le taux de roissane espéré de l'ation sera nul lorsqu'on aura égalisé le taux de dividende ontinu d au taux d'intérêt domestique sans risque r. Le prix de l'ation se omportera ainsi omme le prix d'un ontrat à terme.

24 1 Blak (1976) est le premier à utiliser ette relation entre les ontrats à terme et les ations payant un taux de dividende ontinu afin de démontrer que les options européennes sur ontrat à terme peuvent être évaluées en modifiant légèrement le modèle d'évaluation développé par Merton (1973). Il démontre pour ela qu'il suffit de remplaer dans la formule de Merton le taux de dividende ontinu par le taux d'intérêt domestique sans risque et le prix de l'ation sous-jaente par le prix du ontrat à terme. La seul hypothèse néessaire est de supposer que la volatilité du prix des ontrats à terme est onstante, 'est-à-dire que le prix des ontrats à terme possède la même propriété de log-normalité que elle assumée pour le prix des ations dans le monde de Blak et Sholes. Le modèle de Blak pour l'évaluation d'options européennes sur ontrat à terme s'énone don de la façon suivante : [ ] ( F, τ, X ) = e F( t, T ) N( d ) XN( d ) (1.1) -rτ [ ] p( F, τ, X ) = e XN( d ) F( t, T ) N( d ) (1.) -rτ où ln( F( t, T1 ) / X ) + σ τ 0 / d1 = σ τ 0 d ln( F( t, T ) / X ) σ τ / 1 0 = = d1 σ τ 0 σ τ 0 ave (F, 0, X) : Valeur au temps t d'une option d'ahat européenne qui expire au temps T 0 sur un ontrat à terme qui lui expire au temps T 1 p(f, 0, X) : Valeur au temps t d'une option de vente européenne qui expire au temps T 0 sur un ontrat à terme qui lui expire au temps T 1 F(t, T 1 ) : Valeur au temps t d'un ontrat à terme de maturité T 1 X : Prix d'exerie de l'option r : Taux d'intérêt sans risque t : Temps d'observation T 0 : Date d'éhéane de l'option T 1 : Date d'éhéane du ontrat à terme (T 1 T 0 )

25 13 τ 0 : Temps à faire jusqu'à l'éhéane de l'option de maturité T 0, ave τ 0 = T 0 t σ : Éart-type du rendement des prix à terme 4 N( ) : Fontion de densité umulative pour une variable normale standardisée Malheureusement omme nous l'avons mentionné en introdution, il existe un ertain nombre d'évidenes empiriques allant à l'enontre de l'hypothèse d'une distribution log-normale du rendement des atifs. Cei étant également onfirmé dans le as des prix à terme sur les marhés énergétiques, il apparaît don que le modèle de Blak induit un biais systématique dans l'évaluation d'options sur ontrat à terme. Hilliard et Reis (1999) semblent penser que et éart observé par rapport à la loi normale soit ausé par de larges hangements de prix sur les marhés des denrées, hangements oasionnés par l'arrivée de nouvelles informations importantes. Aussi suggèrent-ils qu'un proessus mixte de diffusion ave sauts pourrait être un bon ompromis pour modéliser le proessus stohastique des prix à terme des denrées, proessus sous-jaent aux prix des options sur ontrats à terme. Dans leur artile, ils omparent don la performane de versions amériaines des modèles de Blak (1976) et de Bates (1991) pour l'évaluation d'options sur ontrats à terme. La version amériaine du modèle de Blak utilisée est une approximation analytique développée par Barone-Adesi et Whaley (1987). Quant à la version amériaine du modèle de Bates, les auteurs utilisent une approximation quadratique développée par Bates lui-même en prolongement des travaux de MaMillian (1987) et Barone-Adesi et Whaley (1987). 4 Le terme rendement des prix à terme utilisé ii et tout au long de ette étude doit être ompris omme la variation relative des prix à terme. En effet, les ontrats à terme ne néessitant auune mise de fond initiale, il est dès lors diffiile de leur attribuer un rendement en tant que tel. On parlera alors plutôt d'une variation relative des prix à terme.

26 14 Hilliard et Reis en onluent que pour l'éhantillon analysé, le modèle mixte de diffusion ave sauts de Bates est signifiativement plus performant que le modèle de diffusion pure de Blak. Le adre d'évaluation d'option onsidérant un proessus mixte de diffusion ave sauts expliquerait don le biais obtenu ave le modèle de Blak. Leur étude démontre que les paramètres relatifs à la taille moyenne des sauts, ainsi qu à leur fréquene, sont signifiativement positifs pour haque jour d'estimation. Ainsi ave des valeurs positives pour es deux paramètres, la distribution logarithmique des prix à terme serait plus positivement asymétrique et plus leptokurtique que la distribution normale, e qui expliquerait les larges erreurs de surévaluation et de sous-évaluation du modèle de Blak dans les as respetivement d'options de vente et d'ahat hors-jeu 5. Toutefois, Hilliard et Reis onstatent également que les paramètres estimés ne sont pas stables, et que la performane des modèles augmente onsidérablement lorsque es paramètres sont réestimés quotidiennement. Il apparaît don, à la vue de leur analyse, que l'inorporation de sauts dans le proessus de diffusion des prix à terme pour les denrées permet de dérire de façon plus vraisemblable la réalité, et ainsi de onduire à des modèles d'évaluation d'atifs onditionnels aux denrées possédant des degrés de préision supérieurs à eux observés ave des modèles plus simpliste n'inorporant auun saut. 1.3 Conlusion Il apparaît don qu un ertain nombre de fateurs fondamentaux influenent de façon prépondérante la dynamique des marhés de denrées ainsi que elle des marhés énergétiques, rendant elles-i toutes deux omplexes. Parmi es prinipaux fateurs, nous pouvons retenir l'existene d un bénéfie de détention stohastique, la présene de sauts et d'un niveau d'équilibre à long terme pour les prix, et finalement une volatilité des prix qui semble être dépendante du temps, voir même omplètement stohastique. La représentation la plus fidèle possible de es dynamiques de marhés est une des lés ouvrant la porte à une évaluation toujours plus préise des biens qui leur sont onditionnels. 5 Hilliard et Reis aboutissent, à partir de prix d'options d'ahat et de vente sur ontrat à terme pour les germes de soja obtenus sur le Chiago Board of Trade, à des erreurs relatives moyennes de prix de l'ordre de 0.15 pour les options d'ahat et de 0.18 pour les options de vente. (Voir la table 4 de leur artile (1999) pp. 80).

27 15 C'est e à quoi se sont attelés les herheurs au fil des ans, améliorant le degré de raffinement de leurs modèles en y inorporant toujours plus de paramètres dans le but de représenter le plus fidèlement possible la réalité. C'est une voie enore bien ouverte, et le hemin qu'il reste à parourir est une soure de motivation pour bien des individus.

28 CHAPITRE : LE MODÈLE D'HILLIARD ET REIS Introdution Dans e deuxième hapitre, nous allons aborder plus en détail l'artile d'hilliard et Reis (1998) : " Valuation of ommodity futures and options under stohasti onveniene yields, interest rates, and jump diffusion in the spot", elui-i onstituant effetivement la pierre angulaire de toute notre analyse..1 Résumé de l'artile d'hilliard et Reis (1998) Hilliard et Reis présentent dans leur artile une étude sur l'évaluation de ontrats de gré à gré, de ontrats à terme et d'options sur ontrat à terme, haun portant sur des denrées, dans un ontexte de bénéfie de détention stohastique, de taux d'intérêt stohastique et de sauts dans les prix au omptant du sous-jaent. Leur investigation diffère selon deux voies bien signifiatives des analyses de Shwartz (1997), et de Miltersen et Shwartz (1998). Premièrement, ils postulent que les prix au omptant du sous-jaent suivent un proessus mixte de diffusion ave sauts permettant des sauts asymétriques, 'est-à-dire de moyenne non nulle, de façon similaire au modèle de Bates (1991). Cei étant somme toute assez intuitif puisque omme nous l'avons déjà mentionné, l'arrivée de nouvelles informations ou autres évènements inattendus ausent de larges hangements dans les prix des denrées. Deuxièmement, ils utilisent un proessus de diffusion d'équilibre pour le bénéfie de détention et un proessus de diffusion ave absene d'opportunités d'arbitrage pour le taux d'intérêt. Les auteurs justifient e hoix en nous faisant remarquer que la struture à terme des taux d'intérêt peut être obtenue failement. Il existe en effet un bon nombre d'obligations ave des maturités différentes éhelonnées jusqu'à trente ans. Aussi, des produits dérivés de n'importe quelle maturité peuvent être évalués puisque les paramètres d'une diffusion ave absene d'opportunité d'arbitrage peuvent être déterminés à partir de la struture à terme des taux.

29 17 Inversement, une struture à terme générale pour le bénéfie de détention est diffiile à onstruire prinipalement à ause d'un manque d'instruments de longue maturité. Une diffusion ave absene d'opportunités d'arbitrage pour le bénéfie de détention n'est don généralement pas disponible pour l'évaluation de produits dérivés à long terme. C'est pourquoi les auteurs optent pour un proessus de diffusion d'équilibre dans le as du bénéfie de détention. Hilliard et Reis partent d'un modèle simple de diffusion ave une seule variable d'état et améliorent e modèle tout au long de leur analyse pour finalement atteindre un modèle mixte de diffusion ave sauts à trois variables d'état. En utilisant les propriétés du lemme d'itô, le théorème de Feynman-Ka, ainsi que la fontion génératrie de moments d'une loi normale, ils obtiennent à haque étape de leur analyse une solution analytique pour l'évaluation de trois types d'atifs onditionnels aux prix des denrées, à savoir des ontrat de gré à gré, des ontrats à terme, et des options européennes sur ontrat à terme. Nous allons résumer i-dessous les prinipales étapes de leur heminement se rapportant à l'évaluation d'options.. Les hypothèses de base du modèle Tout d'abord, Hilliard et Reis postulent un ertain nombre d'hypothèses de base, dont voii les prinipales : A1. Les transations se déroulent sur une base temporelle ontinue. A. Il n'y a pas de oûts de transation, de taxes, ou de restrition onernant les ventes à déouvert. A3. Le taux d'intérêt sans risque r est onstant.

30 18 A4. La dynamique des prix au omptant du bien sous-jaent est donnée par l'équation stohastique différentielle suivante : ds = µ sdt + σ sdzs (.1) S ave µ s : Taux de rendement instantané espéré des prix au omptant s : Éart-type instantané du rendement des prix au omptant dz s : Inrément d'un proessus de Wiener standard.3 Évaluation de ontrats à terme ave un modèle à deux fateurs Dans un premier temps, les auteurs s'attahent à onsidérer le bénéfie de détention omme étant stohastique et non onstant omme dans le as du modèle de Blak. En onséquene, ils introduisent alors une nouvelle hypothèse onernant le bénéfie de détention, qui est défini de la façon suivante : A5. Le bénéfie net de détention, elui-i étant défini omme le bénéfie de détention moins les oûts d'entreposage, suit le proessus de retour vers la moyenne suivant : dδ = κ ( α δ ) dt + σ dz (.) ave : Vitesse d'ajustement vers le niveau d'équilibre à long terme du bénéfie net de détention ( > 0) α : Niveau d'équilibre à long terme du bénéfie net de détention σ : Éart-type des hangements du bénéfie net de détention dz : Inrément d'un proessus de Wiener standard De plus, ov(dz s, dz ) = s dt où s représente le oeffiient de orrélation entre le prix au omptant de la denrée et son bénéfie net de détention.

31 19 Hilliard et Reis utilisent dès lors une approhe similaire à Hull et White (1987) et Sott (1987) afin de onstruire un portefeuille d'arbitrage ontenant deux ontrats à terme de différentes maturités et la denrée. Cette approhe leur permet d'obtenir l'équation différentielle partielle des prix à terme. Une version du théorème de Feynman-Ka est alors invoquée afin de résoudre ette équation différentielle partielle. A partir de ette solution pour les prix à terme et à l'aide du lemme d'itô ainsi que de la fontion génératrie de moments d'une loi normale, Hilliard et Reis obtiennent la solution pour une option d'ahat européenne sur ontrat à terme. Cette solution s'exprime de la façon suivante : [ ] ( F, τ, X ) = B( t, T ) F( t, T ) N( d ) XN( d ) (.3) où d 1 = ln( F( t, T1 ) / X ) + 0.5ν F ν F d = d ν 1 F ν F est la solution de l'intégrale de la variane du rendement des prix à terme le long de la durée de vie de l'option, soit du temps t au temps T 0 : ν σ τ τ κ ( T1 T0 ) κ τ1 σ sσ ρs ( e e ) F ( t, T0, T1 ) = s 0 0 κ κ σ κ κ κ ( 1 0 ) 1 ( 1 0 ) 1 τ κ T T κ τ κ T T κτ 0 ( e e ) ( e e ) (.4) ave B(t,T 0 ) : Valeur au temps t d'une obligation sans risque à oupons détahés d'éhéane T 0 1 : Temps à faire jusqu'à l'éhéane du ontrat à terme ( 1 = T 1 t)

32 0 L'équation (.3) est similaire à la solution de Blak de l'équation (1.1) lorsqu'on remplae la solution de l'intégrale de la variane du rendement des prix à terme le long de la durée de vie de l'option ν F par σ s (T 0 - t), 'est-à-dire lorsque l'éart-type des hangements du bénéfie net de détention σ est nul. Hilliard et Reis démontrent don que la volatilité des prix au omptant ne peut généralement pas être utilisée, tel que dans la formule de Blak, omme une approximation de la volatilité des prix à terme. En effet, l'équation (.3) dépend de la struture à terme de la volatilité des prix à terme, struture qui est assumée plate dans la formule de Blak..4 Modèle de diffusion à trois fateurs ave sauts Dans ette étape de leur développement, Hilliard et Reis se onentrent simultanément sur deux hypothèses, à savoir l'hypothèse des taux d'intérêt onstants et l'hypothèse onernant le proessus de diffusion des prix du sous-jaent, tout en gardant pour aquis l'hypothèse d'un bénéfie de détention stohastique. Le modèle à deux fateurs préédent est don maintenant étendu à un monde où les taux d'intérêt sont stohastiques, et où des sauts sont inorporés dans le proessus de diffusion des prix du sous-jaent. A6. Le taux d'intérêt sans risque r n'est don plus onsidéré omme étant onstant, mais suit plutôt le proessus stohastique ajusté pour le risque suivant : g( t, υ) σ r κ r ( υ t ) dr( υ) = + κ g( t, υ) + ( 1 e ) κ r( υ) dt + σ dz υ κ r r r r r (.5) ave r : Vitesse d'ajustement vers le niveau d'équilibre à long terme du taux d'intérêt sans risque r r : Éart-type instantané de la variation relative du taux d'intérêt sans risque dz r : Inrément d'un proessus de Wiener standard Le terme g(t, ) orrespond au taux à terme instantané au temps t pour la date, ave > t.