Mines d Albi,Alès,Douai,Nantes Toutes filières - Corrigé

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1 Mines d Albi,Alès,Douai,Nanes - Toues filières - Corrigé Cee correcion a éé rédigée par Frédéric Bayar. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésiez pas à écrire à : Mos-clés : éude de foncions, développemens limiés, suies récurrenes, équaions différenielles, espace vecoriel euclidien, isomérie de l espace, base orhormale, applicaion affine Commenaires : Il s agi de deu problèmes assez faciles, du moins si l on mairise bien son cours. Le deuième problème es inéressan, car il fai eplorer des sujes parfois oubliés (comme la géomérie dans l espace) Problème d analyse. Il es d abord clair que f es coninue (e même C ) sur R {}. Au voisinage de, on sai que. Ceci enraîne que lim, f() =, e donc f es coninue sur R. En oure,si, f( ) = arcan( ) Ceci prouve que f es paire.. Il fau connaire le développemen limié d : = arcan() = + o( ). = f(). On en dédui que : = + o(). f adme un développemen limié à l ordre en : f es dérivable en, e f () =.. f es dérivable en, e clairemen aussi dérivable sur R. Si R, on a : f () = + = ()( + ) ( + )..4 Il fau êre un pei peu asucieu : on inègre w w (+w ), don une primiive es w / +w, e on dérive w w. On en dédui que, pour ou R, on a : w ( + w ) dw = [ w/ + w ] + = / + + = f (). dw + w

2 Mines d Albi,Alès,Douai,Nanes - Toues filières w Puisque (+w ) es oujours posiif, w (+w ) dw es du signe de, e la relaion précédene enraîne que f es du signe de. On en dédui que f es croissane sur ],[, e décroissane sur ],+ [..5 Pour ébaucher l allure de la courbe, en plus des élémens précédens (parié, sens de variaion), on pourra calculer la valeur en ± (ie π 4 ), e calculer les limies en ± (nulles).. Par le héorème fondamenal du calcul inégral, la foncion g : f()d es dérivable sur R, e on en dédui que φ es coninue, e même dérivable, sur R. Au voisinage de, on a le développemen limié suivan : On a donc, pour, g() = + f() + o() = + o(). φ() = + o(). Appliquan le même raisonnemen qu à la quesion., on en dédui que φ es coninue en. Finalemen, si R, en effecuan le changemen de variable u = dans l inégrale, on a : φ( ) = = ( f()d ) f( u)du = f(u)du = φ().. Si >, puisque f es décroissane sur [, + [, on a, pour [,] : f() f(). En inégran cee inégalié (les bornes son dans le bon sens), on obien : ou encore : f()d f()d f() φ(). Il suffi de diviser par > pour obenir le résula. Le cas < se dédui par parié, e le cas = es rivial. Pour ceu qui se demanden d où vien ce raisonnemen divin, le dessin de la quesion.5 pourra aider, en inerpréan l inégrale comme une aire.. Nous avons déjà prouvé que φ es dérivable sur R, e la dérivée vau : φ () = f() = (f() φ()). d, f()d Au voisinage de, remarquons qu avec les noaions uilisées en., g es deu fois dérivable sur R, avec g = f e g = f. On en dédui que g adme un développemen limié d ordre en, avec g() = g() + g () + g () + o( ) = + o( ) φ adme donc un développemen limié d ordre en, donné par φ() = + o(). hp://

3 Mines d Albi,Alès,Douai,Nanes - Toues filières Ainsi, φ es dérivable en, e φ () =. D aure par, puisque f() φ(), φ () es du signe de, e φ es décroissane sur ], + [, croissane sur ],[..4 Pour, on a : ce qui implique d Par le héorème des gendarmes, on obien que Puisqu il es clair que lim + π/ lim + π/ d = π ln, d π ln. f()d =. d =, on a donc lim φ() =. +.5 Quesion laissée au leceur.. L inégalié de gauche es évidene. Posons, pour, h() = +. h es dérivable sur [, + [, avec h () = ( + ) ( + ) = + ( + ). De sore, h es posiive sur [,] e négaive sur [, + [. h adme donc, sur [, + [, un maimum en qui vau /. D où le résula.. D après. e., si >, φ () f() φ() ( f()) Or, ( f()) = ( arcan ) = ( ) d + = + d [ 4. 4 ] Puisque φ es impaire (c es la dérivée d une foncion paire), l inégalié rese vraie si <, e elle es aussi vraie si = (cf quesion.). hp://

4 Mines d Albi,Alès,Douai,Nanes - Toues filières. Posons v() = φ(). v es dérivable sur R, e la quesion précédene prouve que, pour ou de R, v () 4. En oure, lim v = + e lim + v =. v es donc une bijecion (sricemen décroissane) de R sur R. En pariculier, il eise un unique α de R el que v(α) = φ(α) = α. Puisque v() = e v() = φ() (voir.), on en dédui que α ],]..4 C es classique! On a : u n+ α = φ(u n ) φ(α). L inégalié des accroissemens finis associée à l inégalié obenue en. donne le résula demandé. Par récurrence, il vien que u n α 4 u n α ( ) u n α 4... ( ) n u α. 4 On en dédui que (u n ) converge vers α. 4. Résolvons d abord cee équaion différenielle sur ],[, où elle es équivalene à y + y = arcan. On résoud d abord l équaion sans second membre. Les soluions homogènes son données par : y h () = C e d = C e ln = C. On résoud l équaion avec second membre par la méhode de variaion de la consane, en posan y() = C(). L équaion différenielle es alors équivalene à C () = arcan. On en dédui qu une soluion pariculière es donnée par e donc la soluion générale sur ],[ es : y p () = φ(), y () = φ() + C. De même, les soluions sur ], + [ son données par : y () = φ() + C. 4. Si y es soluion de l équaion différenielle sur R, il eise des consanes C e C elles que y coïncide avec y sur ], + [ e avec y sur ], + [. Puisque y doi êre coninue en (elle es même dérivable), il es nécessaire que les foncions y e y admeen des limies finies en. Ceci n es possible que si C = C = : φ es la seule soluion de l équaion sur R. Problème d algèbre hp:// 4

5 Mines d Albi,Alès,Douai,Nanes - Toues filières. Soi B la marice 4 A, qui es la marice relaivemen à B de l endomorphisme ϕ = 4 ψ. Il es facile de vérifier que la marice B es orhogonale, ou bien en calculan B B e en monran que l on obien I, ou bien en monran que les veceurs colonnes de B formen une base orhonormale de l espace (on calcule alors les normes e les différens produis scalaires). Ainsi, ϕ es une isomérie de E. En oure, de B =, ce qui prouve que ϕ es une roaion. L ae de cee roaion es donnée par l ensemble des poins invarians. Or,. On a Ma(ϕ Id E ) = On résoud alors le sysème produi par l équaion ϕ(,y,z) Id E (,y,z) = (,y,z). Les soluions de cee équaion son les veceurs (,,) = (e + e + e ). L ae de la roaion es donc la droie R(e + e + e ). Il rese à prouver qu il s agi d un demi-our. Le veceur e e es orhogonal à l ae de la roaion. En oure, ϕ(e e ) = (e e ). ϕ es donc bien un demi-our. ψ = 4 ϕ = ( 4 Id E. ) ( ) ϕ = ϕ 4 Id E. ψ es donc la composée du demi-our précéden, e de l homohéie vecorielle de rappor /4.. ψ es une bijecion car c es la composée de deu bijecions. En oure, puisque 4 ψ es une isomérie, pour ou de E, on a : 4 ψ() =. On en dédui que ψ() 4. Ainsi, ψ S GL(E).. Non, car Id E () =!. Si ϕ, ϕ S, les consanes associées éan respecivemen k, k, alors ϕ ϕ () k ϕ () k k, e on a bien k k [,[. Pour auan, S GL(E) n es pas un sous-groupe de (GL(E), ), car cee parie ne conien pas l élémen neure..4 Si ker(ϕ Id E ), on a ϕ() = e ϕ() k. On a donc k. Ceci n es possible que si =. Puisque ϕ Id E es un endomorphisme de dimension finie, ϕ Id E GL(E)..5 Le sens direc es éviden. Pour la réciproque, si E,, on pose y =. On a Par linéarié, on obien y = = ϕ(y) k. ϕ() k. Cee égalié rese vraie si =, e donc ϕ S.. Soi (u,u,u ) cee base orhonormée, e λ,λ,λ les élémens diagonau. On pose k = ma( λ, λ, λ ) [,[. hp:// 5

6 Mines d Albi,Alès,Douai,Nanes - Toues filières Soi E, que l on décompose en = u + u + u. Rappelons que l on a = + +. On a : ϕ() = ϕ(u ) + ϕ(u ) + ϕ(u ) = λ u + λ u + λ u On en ire : ϕ() = λ + λ + λ k ( + + ) k. On obien ϕ() k, e ϕ S.. On vérifie aisémen que e = e = e =. D aure par,. On a : (e e ) = ( ) =. On monre de même que les aures produis scalaires son nuls, ce qui achève de prouver que la base es orhonormale. = On a donc µ(e ) = e. De même, µ(e ) = e e µ(e ) =. On en dédui que la marice de µ dans B es / /. Le résula obenu en. enraîne que µ S. 4. On a : α On en dédui que = α +.. ϕ α () = α ( ( ) + ( + ) + ( ) ) = α ( + ( ) ). 4. Les formules de changemen de base (avec les marices de passage) permeen d eprimer facilemen,, en foncion de, e : = + + = + = +. On en ire : =. hp://

7 Mines d Albi,Alès,Douai,Nanes - Toues filières Ceci donne ϕ α () = α ( + ). Puisque B es une base orhonormée, e que es de norme, on a. On en dédui que : ϕ α () α. On a égalié si, e seulemen si, = ±, c es-à-dire si, e seulemen si, = ±e. 4. D abord, si α < /, la quesion précédene prouve clairemen que ϕ α S. D aure par, si α /, pour = e, on a ϕ α (), ce qui empêche ϕ α d apparenir à S. 5. Puisque f es une applicaion affine, f(o)f(m) = ϕ( OM). On a donc : f(m) = M f(o)m = ϕ( OM) f(o)o + OM = ϕ( OM) f(o)o = (ϕ Id E )( OM). 5. D après la quesion.4, ϕ Id E es inversible. Il eise donc un unique veceur u el que f(o)o = (ϕ Id E )( u ). Il eise donc un unique poin Ω invarian par f, donné par OΩ = u. 5. On a : Ωf(M) = f(ω)f(m) = ϕ( ΩM) Comme dans le problème d analyse, on prouve par récurrence sur n que : On en dédui (oujours par récurrence) que On a donc 5.4. Soi f l applicaion affine définie par ΩM n = ϕ n ( ΩM). ΩM n k n ΩM. lim ΩM n =. n + f() = (,/,). La parie linéaire de f es ϕ /4 en uilisan les noaions de la quesion 4. On défini la suie de poins (M n ) par M = (,y,z ) e M n+ = f(m n ). Les coordonnées de M n son eacemen les suies ( n ), (y n ) e (z n ) données par l énoncé. D après la quesion précédene, f possède un unique poin fie Ω = (a,b,c) e ΩM n end vers. En pariculier, les suies ( n ), (y n ) e (z n ) convergen respecivemen vers a,b e c. Rese à rouver les coordonnées de Ω qui son soluions du sysème : = 4 4 y + y = 4 y + 4 z + z = 4 4 z + Par le pivo de Gauss, on rouve aisémen que la seule soluion du sysème es (,,) : les suies ( n ), (y n ) e (z n ) convergen donc vers. hp:// 7