p. 1 Commun à tous les candidats. Les parties A et B sont indépendantes Partie A.

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1 Eercice 1 Commun à tous les candidats Les parties et B sont indépendantes Partie Un site de jeu vidéo en ligne possédait, en 21, milliers d abonnés dans le monde Un administrateur remarque que, chaque année, 2 mille nouvelles personnes s abonnent tandis que 1% ne se réabonnent pas On note, pour tout entier naturel, le nombre d abonnés en 21 insi = 1 et 2 car diminuer de 1% c est multiplier par,9 et chaque année on ajoute 2 mille personnes 3 On note, pour tout entier naturel, a) soit pour terminer Ce qui prouve que la suite est géométrique de raison,9 et de premier terme b) Comme la suite est géométrique, alors c) On a l égalité donc soit pour terminer 4 a) La suite est une suite géométrique de raison comprise entre et 1 (strictement) donc elle est décroissante ; d autre part donc la suite est décroissante (ou bien étude de et conclusion) Cela signifie que le nombre d abonnés au site de jeu vidéo diminue avec les années b) La suite est une suite géométrique de raison comprise entre et 1 et de premier terme positif, donc sa limite à l infini est Par suite Etudier la limite de la suite et interpréter le résultat Cela signifie que le nombre d abonné va se stabiliser à 2 milliers sur le long terme Partie B lgorithme 1 Se reporter à l annee 2 Que fait cet algorithme? Cet algorithme calcule les termes consécutifs d une suite arithmético-géométrique d epression et de premier terme = 1 et retourne l indice du premier terme dont la valeur est supérieure à 12 Eercice 2 Commun à tous les candidats On étudie le trafic sur un tronçon d autoroute de contournement d une grande ville On constate que la moitié des véhicules empruntant cette autoroute sont des camions et que 4% sont des voitures particulières Les autres sont des motos La société eploitant cette autoroute propose des abonnements au usagers Parmi les conducteurs de voitures particulières, 6% n ont pas souscrit d abonnement 2% des conducteurs de motos et 2% des conducteurs de camions se sont abonnés Un véhicule se présente au péage On note les événements suivants : : «le véhicule est une moto» ; «le véhicule est un camion» ; : «le véhicule est une voiture particulière» ; : «le conducteur a souscrit un abonnement» 1 a) Traduction de l énoncé à l aide d un arbre pondéré p 1

2 ,2 M, C,2,4 V,6 b) ( car 2% des conducteurs de moto se sont abonnés) 2 a) La probabilité que le conducteur arrivant au péage ait souscrit un abonnement est : avec et b) Sachant que le conducteur est un abonné, la probabilité que son véhicule soit une moto est 3 Douze véhicules arrivent au péage, indépendamment les uns des autres Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de véhicules dont le conducteur a souscrit un abonnement a) La loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X est une loi binomiale de paramètres n = 12 et p =,28 car la situation équivaut à 12 épreuves successives et indépendantes b) La probabilité que di véhicules eactement soient ceu de di abonnés est : d où c) La probabilité qu au moins un véhicule soit celui d un abonné est soit encore à 1-2 près à 1 près Eercice 3 Pour tous les candidats Partie Soit la fonction définie sur par : 1 équivaut à soit, ce qui équivaut encore à Par factorisation ou par résolution de l équation du second degré on trouver les solutions : et 4 2 a) La dérivée de -2 est et on utilise la dérivée de pour obtenir b) est du signe de car une eponentielle est toujours positive est donc positive sur et négative sur On dresse le le tableau de variation de suivant : 2 6 f () f(2) f() -1 f(-6) vec ; ; p 2

3 3 a) Sur l intervalle, la fonction f est continue et strictement croissante, de plus donc est dans l intervalle des images ( ) D après le théorème de la valeur intermédiaire, l équation admet une unique solution (dans l intervalle ) b) et, donc avec une d amplitude,1 On admet que l équation admet une autre solution appartenant à l intervalle Partie B Une usine produit chaque mois entre et 6 kilogrammes de poudre de perlimpinpin et vend toute sa production Le bénéfice, en milliers d euros, est donné par la fonction, la production est donnée en centaines de kilogrammes Déterminer la production pour laquelle l usine a un déficit de 1 euros, c est chercher les solutions de l équation Les solutions sont et 4 d après le 1 c est à dire si la machine casse avant de produire ou bien si la machine produit plus de de 4 kilogrammes produits Pour que l usine soit bénéficiaire, il faut D après la question 3, cela est réalisé pour une production entre et, soit entre 38 kilogrammes et 362 kilogrammes produits, au kilogramme près Le bénéfice de l usine est maimal quand la fonction f est maimale, c est à dire d après le tableau de variations du 2 pour 2 kilogrammes produits Ce bénéfice est alors de 389 euros à l euro prés ( ) Eercice 4 Pour les non spécialistes Toutes les réponses seront justifiées 1 La tangente passe par le point K et a une pente de (on avance de 4 et on descend de 3 à partir de K) La tangente T est construite sur la feuille annee 2 f() est positif quand la courbe est au-dessus de l ae des abscisses et négatif dans le cas contraire Puis on dresse le tableau de variation de f f () 3 f () est positif quand la courbe de f est croissante et négative dans le cas contraire Puis on dresse le tableau de signe de f -1 3 f () 4 f () est positif quand la courbe de f est convee (après le point d infleion K) et négative dans le cas contraire Puis on dresse le tableau de signe de f 1 f () On énonce le sens de variation (phrases!) de f à partir du signe de f () de la question 4 6 f (-2)est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point B Cette tangente passe aussi par le point de coordonnées (1 ;9) On trouve donc f (-2)= 7 L affirmation proposée est fausse car la courbe décroît donc le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse, f () est négatif 8 Les solutions sont les abscisses des points pour lesquels la courbe de f est croissante Puis on donne les intervalles des solutions p 3

4 Eercice 4 Pour les spécialistes p 4

5 nnee à rendre avec la copie Eercice 1 Commun à tous Partie B = 12 Valeur de n Valeur de u_n Condition à vérifier Initialisation 1 1 1<12 vrai Etape <12 vrai Etape <12 vrai Etape <12 fau Etape 4 «la valeur de n est» 4 FIN DU PROGRMME FIN DU PROGRMME Eercice 4 pour les non spécialistes Question 1 K p

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