Nombres complexes Forme trigonométrique & exponentielle 2ème partie

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1 Lycée Marcel Pagnol 08/09 TS Cours Nombres complexes Forme trigonométrique & exponentielle ème partie Contents Module et argument d un nombre complexe. Module Argument Forme trigonométrique Notation exponentielle. Définition de l exponentielle complexe Application à la géométrie Droite Cercle Utilisation du module et de l argument Module et argument d un nombre complexe. Module Définition On appelle module d un nombre complexe z = a + ib le réel positif a + b ou zz, noté z ; on a zz = z. Si z a pour image M, alors z = OM et si z est l affixe du vecteur AB, alors z = AB. Propriété : On a les propriétés suivantes : z = z = z zz = z z z z = z z z + z z + z inégalité triangulaire n N, z n = z n

2 Remarques : Soient A et B d affixes z A et z B, alors AB = AB = z A z B. z = r M est sur le cercle de centre O et de rayon r. Donc z = M est sur le cercle trigonométrique. On peut donc conclure que pour tout complexe z non nul, le complexe z z de module. Il est donc sur le cercle trigonométrique. est d un complexe. Argument Définition Soit z un nombre complexe et M le point d affixe z. b Mz Un argument du complexe non nul z, et noté arg z est une mesure de l angle orienté : i ; OM j z arg z O i a Remarque : Les arguments sont définis à π près. Le réel 0 n a pas d argument car l angle n est pas défini si le point M est en O.

3 Propriété : Tout réel strictement positif a un argument égal à 0. Tour réel strictement négatif a un argument égal à π. Tout nombre imaginaire pur, de partie imaginaire strictement positive, a un argument égal à π. Tout nombre imaginaire pur, de partie imaginaire strictement négative, a un argument égal à π. Pour tout points A et B distincts d affixes z A et z B : i ; AB = arg z B z A + kπ k Z Propriété : Pour tout nombre complexe z non nul : Mz arg z = arg z + kπ k Z arg z = arg z + π + kπ k Z arg z + π j arg z arg zz = arg z + z + kπ z arg = arg z arg z + kπ z O i arg z arg z n = n arg z + kπ M z Mz

4 Propriété Rappel Le cercle ci-dessous donne les valeurs des cosinus et sinus des principaux angles dans le cercle trigonométrique : y,,, 5π π 50 π 0 0, π 90 0 π, 0 π π,,, 0, 0 π π x, 7π, 0 5π, π π 0, 5π 0 7π π,,,. Forme trigonométrique Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O; i ; j. Définition Pour tout nombre complexe z non nul, z = r cosθ + i sinθ avec r = z et θ = argz. Cette écriture est appelée forme trigonométrique d un nombre complexe.

5 Exemple i = cos π + sinπ car i = et argi = i ; j = π. Remarque : i = cosπ + sinπ car = et arg = ; i = π. Comme l écriture d un nombre complexe sous forme algébrique est unique, il existe un lien entre forme algébrique et forme trigonométrique. L écriture sous forme trigonométrique exprime le même nombre complexe! Ce sont juste deux écritures différentes. Elles expriment cependant des propriétés différentes. Propriété : Soit z un nombre complexe non nul de forme algébrique z = a + ib avec z = r et θ = argz. Alors : r = a + b cosθ = a r et sinθ = b r équivaut à a = r cosθ b = r sinθ Méthode On passe d une forme à une autre de la façon suivante : De la forme trigonométrique à la forme algébrique : Il suffit de développer l expression en remplaçant les valeurs du cosinus et du sinus. Si z = cos π + isin π = i = i De la forme algébrique à la forme trigonométrique :. On calcule z. On exprime z sous forme algébrique, et on cherche le réel θ tel que cosθ z soit égal à la partie réelle et sinθ soit égal à la partie imaginaire. Si z = + i :. z = + = + = z. z = + i = + i cosθ =. On cherche θ tel que sinθ =, on trouve alors θ = π. 5

6 Notation exponentielle. Définition de l exponentielle complexe Soit f la fonction définie sur R et à valeurs dans C par : f θ = cosθ + isinθ. On peut prouver que cette fonction vérifie certaines relations fonctionnelles que la fonction exponentielle :. Pour tout nombres réels θ et θ, f θ + θ = fθfθ. Preuve : Formule d addition de S avec le produit scalaire... La fonction f est dérivable et f θ = ifθ : Preuve : En utilisant les dérivées des fonctions trigonométriques : cos = sin et sin = cos. Cette propriété est analogue à celle de la dérivée de la fonction x e kx. Définition - Formule d Euler Pour tout réel θ, on pose : e iθ = cosθ + i sinθ Remarque : e iθ est le nombre complexe de module et d argument. Exemple e i0 =, e iπ, e i π = i et e i π = i Remarque : L égalité + e iπ = 0 est appelée identité d Euler. C est une relation qui lie plusieurs constantes fondamentales des mathématiques : e, i et π. Définition et théorème Tout nombre complexe non nul z s écrit sous forme exponentielle cas particulier de la forme trigonométrique : z = r e iθ où r = z et θ = argz. Réciproquement, si z = r e iθ avec r et θ réels et r > 0, alors z = r et θ = argz + kπ. Propriété : Pour tout nombres réels θ et θ et pour tout entier naturel n :. e iθ e iθ = e iθ+θ. e iθ n Moivre.. e iθ = e iθ = e iθ e iθ e iθ = e iθ θ = e inθ formule de 5. e iθ = e iθ θ = θ modπ. r e iθ r e iθ = rr e iθ+θ. r e iθ n = r n e inθ formule de Moivre.. r e iθ = r e iθ = r eiθ r e iθ r e iθ = r r e iθ θ

7 . Application à la géométrie Le plan est muni d un repère orthonormé... Droite A, B et Mx; y sont des points du plan. On note la droite AB. Propriété : Caractérisation d une droite par les vecteurs : M M, A et B sont alignés AM et AB sont colinéaires k R tel que AM = k AB Caractérisation d une droite par les angles : M M, A et B sont alignés Médiatrice d un segment : A, B et M sont des points d affixes z A, z B et z. AM; AB = kπ k Z M appartient à la médiatrice du segment [AB] AM = BM z z A = z z B.. Cercle A, B et Mx; y sont des points du plan. On note Γ le cercle de centre I x I ; y I et de rayon R. Caractérisation analytique d un cercle : M Γ IM = R IM = R x x I + y y I = R x x I + y y I = R est une équation du cercle de centre I et de rayon R. Remarque : Tout cercle possède une équation de la forme x + y + ax + by + c = 0 mais toute équation de ce type n est pas nécessairement celle d un cercle. Dans un exercice, si l on rencontre une équation du type x + y + ax + by + c = 0 on cherche à la mettre sous la forme x x I + y y I = R, ce qui permet de prouver que le point Mx; y appartient au cercle de centre I x I ; y I et de rayon R. 7

8 Propriété : Caractérisation d un cercle par les modules : M est le point d affixe z et I le point d affixe z I. M Γ I; R IM = R z z I = R Caractérisation d un cercle par les angles : M appartient au cercle de diamètre [AB] { M = A ou M = B ou AMB est rectangle en M { AM = 0 ou BM = 0 ou MA; MB = π + kπ, k Z Caractérisation d un cercle par le produit scalaire : Le cercle de diamètre [AB] est l ensemble des points M tel que MA. MB = 0... Utilisation du module et de l argument Propriété : Si A et B sont deux points d affixes z A et z B dans un repère orthonormé O, u, v, alors AB a pour affixe z B z A et AB = z B z A. De plus, si A B, arg z B z A = u ; AB Si A, B, C et D sont quatre points d affixes z A, z B, z C et z D dans un repère orthonormé O, u, v, alors si C D et A B, zd z C arg = AB; CD z B z A 8