exemple : quelle longueur d antenne faudrait-il pour transmettre un signal de fréquence audible sur la modulation (f = 500 Hz)? (rappel : λ = c T)

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1 Ch3: modulations analogiques 1. principe de la modulation 1. nécessité de la modulation - La longueur d onde est fixée par la taille de l antenne émettrice : elle est égale au quadruple de la longueur l de l antenne. l = λ 4 exemple : quelle longueur d antenne faudrait-il pour transmettre un signal de fréquence audible sur la modulation (f = 5 Hz)? (rappel : λ = c T) - La modulation consiste à faire passer un signal d une certaine fréquence f m sur un canal de fréquence fixée f p (fréquence porteuse). Il est ainsi possible d envoyer plusieurs signaux à la fois en utilisant des porteuses de fréquences différentes (principe de multiplexage en fréquence).. vocabulaire le signal basse fréquence que l'on cherche à transmettre s'appelle le modulant. Il est de la forme : u(t) = U sin(ω m t) le signal haute fréquence utilisé pour transporter le signal s'appelle la porteuse. Elle est de la forme : p(t) = P sin(ω p t) = P sin(φ p (t)) m(t) s(t) f p il existe deux types de modulation : la modulation d'amplitude : l'amplitude de la porteuse p(t) est modulée par le signal à transmettre. la modulation de fréquence : c'est la phase instantanée de la porteuse qui est modulée par le signal à transmettre relation entre la phase instantanée et la fréquence de la porteuse : ω p = πf p = dφ p dt

2 . Modulation d'amplitude 1. principe de la MAPC Le signal modulé s(t) s'obtient en ajoutant une composante continue E au modulant, puis le multipliant par la porteuse : s(t) = (u(t) + E) p(t) = (E+ U sin(ω m t)) P sin(ω p t) s(t) = S (1 + m sin(ω m t)) sin(ω p t) avec S = P E m = U E : indice de modulation 3. représentation fréquentielle évaluation de l'indice de modulation : Pour mesurer m à l'oscilloscope, il faut mesurer l'amplitude minimum du signal A m, et son amplitude maximale A M. A m A M A m = 1 m sin ω m t A M = 1 + m sin ω m t m = A M A m A M + A m problème de la sur-modulation : S'il y a sur-modulation (m>1), on ne pourra pas retrouver le signal de départ m(t) lors de la démodulation. Ex 1 p 54. réalisation pratique La solution la plus simple consiste à utiliser un circuit multiplieur : S(t) = k*e(t)*p(t) p(t) correspond à la porteuse, et e(t) au signal à transmettre augmentée d'une composante continue choisie en fonction du taux de modulation requis : e(t) = U sin(ω m t) + E.

3 3. spectre du signal modulé on peut écrire s(t) sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux : s(t) = A(1 + m sin(ω m t)) sin(ω p t) = A sin(ω p t) + A m sin(ω m t) sin(ω p t) sin a sin b = 1 (cos(a-b) - cos(a+b)) s(t) = A sin(ω p t) + Am cos((ω p-ω m ) t) Am cos((ω p + ω m ) t) Le signal modulé possède donc 3 composantes fréquentielles : celle de la porteuse f p une composante à gauche et à droite de f p, correspondant à la fréquence du modulant (f p -f m et f p +f m ) Pour un signal réel, le spectre de départ s'étend sur une bande de fréquence plus large (f min < f m < f MAX ) : Ex 11 p 54 Ex 19- p 6 4. puissance d'émission (HP) Si on note R a la résistance de l antenne, la puissance totale émise s écrit : P T = <s t > R a = 1 R a A + 1 (Am )² P T = A 1 + m R a La puissance utile du signal correspond au terme m. Pour m = 1, les /3 de la puissance émise sont donc dus à la porteuse. 3

4 3. Autres types de modulation d'amplitude Nous n'avons jusqu'ici envisagé qu'un type de modulation : la modulation à porteuse conservée (MAPC), où la porteuse accapare au minimum /3 de la puissance du signal. Des solutions existent pour augmenter la puissance utile de l'émission 1- modulation à porteuse supprimée (MAPS) II est possible de supprimer la composante spectrale de la porteuse en multipliant directement le signal à émettre u(t) par la porteuse : s(t) = U P sin(ω m t) sin(ω p t) étude fréquentielle : s(t) = S O ( cos((ω p ω m ) t) cos((ω p +ω m ) t) ) il n y a plus que les deux composantes (ω p ω m ) et (ω p +ω m ) attention : l enveloppe de s(t) ne correspond plus dans ce cas au signal modulant. La démodulation sera donc plus difficile. Ex 11 p 55 - modulation à bande latérale unique (BLU) Le principe de la modulation BLU consiste à augmenter le rendement de l émission en ne conservant que la bande spectrale supérieure du signal modulé. spectre bilatéral du modulant spectre du signal émis en BLU La porteuse et la bande de gauche ne sont pas émises, d'où un gain en puissance utile. 4-ANNEXE (Hors Programme) : La démodulation 1. par détection d enveloppe (voir TP) Elle consiste à ne conserver que l enveloppe supérieure de s(t), qui correspond au signal modulant u(t) pour une modulation classique (à porteuse conservée). Le détecteur d enveloppe est réalisé par une diode, suivi d un filtrage RC : 4

5 Principe de fonctionnement : - si le condensateur est déchargé, la diode est passante, donc d(t) = s(t). - arrivé au maximum de s(t), la diode se bloque, et le condensateur se décharge à travers la résistance (exponentielle décroissante de constante de temps τ = RC) Il faut donc choisir convenablement R et C de telle sorte que la constante de temps soit inférieure à la période du modulant, et très supérieure à celle de la porteuse : T p << τ < T m Sous cette condition, on retrouve la forme du signal u(t) initial en sortie de filtre.. démodulation cohérente (ou démodulation synchrone) Elle consiste à multiplier le signal modulé par un signal p (t) de même fréquence que le porteuse. Le signal s (t) obtenu peut donc s écrire : s (t) = s(t) p (t) = *A sin(ω p t) + Am cos((ω p-ω m ) t) Am cos((ω p + ω m ) t)] B sin(ω p t) sin a sin b = 1 (cos(a-b) - cos(a+b)) cos a sin b = 1 (sin(a+b) - sin(a-b)) = AB 1 cos ω p t + ABm 4 = AB + ABm sin(ω m t) AB {sin ( ω p ω m t) + sin (ω m t)} ABm {sin ω p + ω m t sin ω m t } cos(ω p t) + ABm 4 {sin ω p ω m t sin ( ω p + ω m t)} 4 Afin de retrouver le signal initial de pulsation ω m, il suffit de filtrer le signal obtenu avec un passe-bas pour supprimer les pulsations supérieures à ω p - ω m ( Il subsistera une composante continue, que l on peut à son tour supprimer avec un filtre passe-haut). 3. rapport signal sur bruit (SNR) Lors de la démodulation, le signal modulé s r (t) reçu est souvent entaché de bruits parasites. On peut écrire ceci sous la forme: s r (t) = s(t) + b(t) ( où b(t) est un signal aléatoire) Le rapport signal sur bruit permet de rendre compte de la puissance du signal utile par rapport à la puissance du bruit, dans la gamme de fréquence considéré ( f p -f m < f < f p +f m ) : Nous avons vu que P S = A 1 + m SNR = P s P b en prenant R a = 1Ω pour la puissance normalisée. Si on considère que la puissance du bruit vaut B, le SNR vaut alors : A B² 1 + m 5

6 5. Modulation de fréquence 1. phase instantanée Un signal sinusoïdal peut s'écrire s(t) = S sin(φ s (t)), avec φ s (t) = πf s t (f s désignant la fréquence) φ s est appelé la phase instantanée du signal s(t) : elle augmente avec t. relation entre la phase instantanée et la fréquence : La pulsation ω correspond à la dérivée par rapport au temps de la phase instantanée ω s = πf s = dφ s dt. principe de la modulation de fréquence soit u(t) le signal à transmettre (modulant). Ce signal est appliqué en entrée d'un oscillateur commandé en tension (Voltage Controled Output VCO) : il permet de faire varier la fréquence de la sortie s(t) en fonction du niveau de la tension d'entrée u(t). u(t) VCO s(t) = S cos(πf s t) f,k La fréquence de sortie s'écrit : f s = f + k u(t) f est la fréquence centrale de l'oscillateur (pour u = ) k est un paramètre multiplicatif propre au VCO Remarque : un oscillateur est réalisé par un dipôle L,C en résonnance (de fréquence de résonnance f = 1 π LC ) Pour modifier la fréquence, un solution consiste à utiliser des diodes polarisées en inverse, dont la capacité de jonction varie approximativement comme l'inverse de la racine carrée de la tension appliquée. 3. signal modulé En sortie du VCO, le signal modulé a donc la forme suivante : f f m f - f<f s <f + f 6

7 Expression mathématique de s(t) : donc dφ s dt s(t) = S cos(φ s (t)) avec f s = 1 dφ s π dt t = πf + πku(t) φ s = πf t + πk u x dx ) t s(t) = S cos (ω t + πk u x dx ) On veut transmettre un signal sinusoïdal, de fréquence f m : u(t) = U cos(ω m t) la fréquence du signal modulé vaut alors f s (t) = f + ku cos(ω m t) ku est appelé l'excursion en fréquence et dépend de l'amplitude du signal à transmettre. On la note f. La fréquence du signal modulé f s est donc comprise entre : f f f s (t) f + f Indice de modulation : c'est la rapport entre l'excursion en fréquence f et la fréquence du modulant f m (fréquence du signal à transmettre). β = f f m avec f: excursion de fréquence ( f = ku ) pour u(t) sinusoïdal : dφ s dt = πf + πku cos(πf m t) donc φ s = πf t + πk U sin ω πf m t m s(t) = S cos(ω t + ku f m sin ω m t ) Le signal modulé en fréquence s'écrit donc sous la forme s(t) = S cos(ω t + β sin ω m t ) 4. étude spectrale Ex13p55 On peut également écrire s(t) = S cos(ω t) cos(βsin(ω m t)) - S sin(ω t) sin(βsin(ω m t)) cos(a+b) = cosa.cosb sina.sinb cas se présentent : β 1: modulation à bande étroite si l'indice de modulation est faible, cos(βsin(ω m t)) 1 et sin(βsin(ω m t)) βsin(ω m t) s(t) S cos(ω t) - S sin(ω t) β sin(ω m t) = S cos(ω t) - S β Le signal modulé comporte donc 3 fréquences (comme en AM) S(f) S (cos( ω + ω m t) (cos( ω ω m t)) S β f -f m f f +f m 7

8 β 1: modulation à bande large Les approximations ne sont plus possibles, mais s(t) étant périodique, on peut le décomposer en séries de Fourier. Rappel : la décomposition d'un signal périodique s(t) de pulsation ω m est de la forme s(t) = A + A 1 cos(ω m t) + A cos(ω m t) + + A n cos(nω m t) si u est pair A n = T HP : on développe d'abord u(t)=cos(βsin(ω m t) périodique de période T = π T cos (βsin ω m t cos nω m t dt = 1 T T cos(βsin ω T m t nω m t dt + cos(βsin ω m t + nω m t dt on pose = ω m t 1 T cos(βsin ω T m t nω m t dt = 1 π cos(βsin n d = J π n (β) ω m : Le signal modulé peut donc s'écrire : n=+ s t = S J n β cos π f nf m t n= avec J n x = 1 π π cos (n xsin ) d fonction de Bessel pour n entier On observe donc une infinité de fréquences f - nf m centrées autour de la fréquence porteuse f. Leurs amplitudes dépendent de l'indice de modulation β. Spectre du signal modulé avec A p = S : amplitude de la porteuse L amplitude des raies de rang n sont donnée par la fonction de Bessel J n (β). Les harmoniques finissent par devenir négligeables au bout d'un certain rang n. Le nombre de fréquences non négligeables dépend de l'indice de modulation β : il est fixé par la règle de Carson. règle de Carson : le spectre du signal modulé avec une excursion f occupe la bande de fréquence appelée Bande de Carson B c = ( f + f m ) = f m (β+1) (centrée en f ) 8

9 remarque : dans le cas d un modulant u(t) quelconque, la bande de Carson dépend de la fréquence maximale F max de u(t) : B c = F max (β+1) Ex p