Concours National - MAROC

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1 Cocors Naoal - MAROC - 99 ] Moros o d abord qe S A {} : s S A,, doc Par allers, o edomorhsme e s écrre : ( ) ( ) aec ( ) S ( ) A, ce q more qe ( E) S A L ] NON : o érfe aséme qe S N N coea S A, l coedra doc ( S A) A o e déd qe s N éa sos-esace ecorel de ( E) Vec S A S A L( E) o ara L( E) N Or cec es fax : oe marce e comme as aec sa rasosée ( o lse le fa qe ma( B) ma( B) B es orhoormée ) ar exemle M, MM, M M L,, sqe Le déb d rasoeme c-desss a moré qe Vec ( N ) Vec( S A) L( E) doc ( N) L( E) Vec 3] Soe S, ( ) le cas : dex marces symérqes e comme as écessareme doc S s seleme s comme, ce q es as ojors core-exemle :, Soe A, ( ) ( ) ( ) doc A s seleme s, ce q es as ojors le cas : dex marces asymérqes acomme as écessareme l sff de roer dex marces asymérqes q comme ( les mêmes! ) do le rod es as l core-exemle : E coclso S A e so as sables or la lo de comoso des edomorhsmes 4] O a qe les edomorhsmes symérqes asymérqes coee Marcelleme a b M M M M aec M ma( B) c d doe b ² c² ab cd ac bd,

2 c es à dre ( c)( b ) b c ab cd ac bd O obe doc c ε b aec ε ±, s a d ε a d ε so ( )( a d) ε or ε, b c a, d qelcoqes doe M de la forme a b b d or ε, c b a d doe M de la forme a b b a q coee q coee 5] NON : das le cas arcler d, d arès la qeso 4], so les marces d élémes de N, relaeme à la base caoqe ( ces marces so symérqes ) oyos ler rod a as l e des dex formes sohaées 6] So C côe coexe C es o de sable ar mllcao ar réel osf soe x, y C : la coexé erm d affrmer qe x y C, s la sablé ar mllcao ar réel osf qe x y x y C Récroqeme, so C e are o de de F, sable ar addo ar mllcao ar réel osf C es côe de F Moros qe C es e are coexe de F Soe x, y C, so [,] R comme ( ), x ( ) y C, s x ( ) y C 7] La réflexé de la relao d ordre more qe D doc qe D es as de D es sable ar mllcao ar réel osf : soe D es sable ar addo : soe x D x y D R x y R ( x y), R R x R x x D s R y y R ( x y) ( rasé ) R x y doc x y D D es be côe coexe So x D ( D) : x ( D) se rad ar x x aec R x d où ( x ) R ( x x ) c es à dre x R Ef, o a be ar allers R x, sqe x D : ar asymére x D, s D ( D) So C côe coexe de F el qe ( C) { } C ( o remarqera qe o côe de F coe le ecer l orqo? ) défssos R sr F ar x R y y x C moros qe l o déf as e relao d ordre comable sr F :

3 réflexé : x F, x x C, doc x R x rasé : soe x, y, z F sosos x R y y R z, c es à dre y x C z y C, alors ( z y) ( yx) zx C, doc x R z asymére : soe x, y F sosos x R y y R x, c es à dre y x C x y C alors ( C) x y C, doc x y comablé : soe x, y, z F sosos x R y, c es à dre y x C x z R y z alors ( y z) ( x z) C, doc soe x, y F R sosos x R y, c es à dre y x C alors ( y x) y x C, doc x R y 8] Il s ag d coceré d exercces classqes! Noos or commodé P { S}, P { S/ x E, ( () x / x) } P { les alers roresde so oses o lles } 3 S / Commeços ar morer P P3 ( c es d cors ) : Soe P λ e aler rore de ( es dagoalsable ), x ecer rore assocé o a ( () x / x) ( λ x/ x) λ x aec x, d où λ o e cocl P3 So P3 so ( e,,e ) e base orhoormale de E cosée de ecers rores de or o [,] e es assocé à la aler rore λ so x ( () ) ( ) x x x e / xj ej x e / xj ej j j, j, x e, ecer qelcoqe de E, o a alors : / λ λ x x ( e / e ) λ x, sqe les alers rores de so oses O e cocl P j j P P es o e e ls classqe! : so P s écr o a ( ) ( () ) () () aec L( E) x E, ( () x / x) ( x) / x ( x )/ x ( x / x ) ( x) P 3 P : so P3 M ma( B) Q Dag(,, )Q λ λ aec λ,, Q O λ o e écrre M Q Dag(,, ) Dag(,, ) Q m m λ λ λ λ aec m Dag( λ,, λ )Q d où ma ( B) ma( B) m, B éa orhoormale aec ( B) m ma, sqe l o a be O a moré à ce sade qe P P P3 Moros P 3 P : so P S ( o oera qe P S ) soe λ S() x ecer rore assocé :

4 ( () x x) ( ( ( x )/ x) () x / () x ( ) () x / () x ( ) ( x) ( x/ x) / λ λ x, doc λ P P3 so maea P3 aec λ,, O λ o a déjà lsé c-desss qe l o e écrre M ma( B) Q Dag(,, )Q Q s M Q( Dag( λ,, λ ) Q Q Dag( ) ( Q) ² m aec m Q Dag( )Q q es clareme symérqe d où aec S doc P P3 P λ λ ( B) m ma 9] P es as de sq l coe l edomorhsme l So Soe P R : o a S( ) { λ λ S( ) } R, doc P P P ar exemle, x E, (( )( x) / x) ( ( x) / x) ( ( x) / x), doc P P Ef s P ( P) 3, ses alers rores so à la fos oses égaes ( P P3 ), doc lles comme es dagoalsable, es l ] L exsece a éé roée das la derère are de la qeso 8] l rese l cé Soe P, w P els qe ² w² comma ( 3 ) éa os dex dagoalsables ( cf résla adms a déb d Pb ), adme e base comme de ecers rores : s x es l d ere ex, assocé à λ or à µ or, o a () x λ x () xµ x, doc µ λ, sqe µ : o e cocl qe w o or alers rores les races carrées de celles de, assocées ax mêmes ecers rores Faleme adme e base comme de ecers rores assocés ax mêmes alers rores : w so os dex dagoalsables, Remarqe : c es ecore exercce classqe qe de morer l cé e qeso, sas admre le résla raelé e déb de roblème soe ojors P, w P els qe ² w² les alers rores de ( ) s S() w so les races carrées des alers rores de : µ s x es ecer rore assocé, o a () x () xµ x la race carrée d e aler rore de ( ) s λ S() aec λ >, oos λ µ aec µ > alors ker ( λ e) ker( µ e) ker( µ e) ker( µ e) ker( µ e), doc µ S() µ es be (décomoso des oyax ) sqe adm as de aler rore srceme égae o a doc ker( e) { } s S(), es as jecf car so le sera doc ker() {} µ µ λ S() S() So µ S () S( w) s µ es as lle c es à dre µ > : o a ker( e) ker µ e ker w µ e d où, ar le héorème de décomoso des oyax, µ ( ) ( ) ( µ e) ker( µ e) ker( w µ e) ker( w e) or ker ( e) ker( w µ e) { } ker µ µ, car w o as de alers rores srceme égaes o e déd ker ( e) S µ, l e ( so os dex dagoalsables ) : µ ker ( µ e) ker( w µ e)

5 E ker() ker( µ e) ker ker µ e ker() ker( µ e) µ S (), µ () ( ) µ S (), µ µ S(), µ doc ar e cosdérao de dmeso sqe ker() ker() ( o d orhogoalé ), () ker() De même ( w) ker( ) ker ker Faleme, w so os dex dagoalsables, de mêmes alers rores de mêmes sos-esaces rores : w E résmé, o a moré qe s P aec, alors les alers rores de so les races carrées des alers rores de or oe aler rore µ de, ker( µ e) ker( µ e) ] Les dfférees formles qe doe érfer O a ( ) ( ) 4 s ma( B) Q Dag(,, )Q λ λ, aec O qe ma( B) Q Dag(,, )Q Faleme, 4, mose ( d où l cé ) : ( ) ( ) Q, l es clar qe ma( B) Q Dag( λ,, λ )Q, s λ λ ( as déf marcelleme coe l y a cé de la race carrée ) De même O a be sûr dagoalse das e même base doc comme : o e déd Il rese à morer qe as défs so des élémes de P : ls so symérqes sqe S es sos-esace ecorel de L ( E) de même P ls so osfs : o a ma( B) Q Dag(,, )Q ] éa symérqes, l e es de même de λ λ λ λ, doc P3 P D arès la qeso récédee, l sff de morer qe Or ( ) l os rese à morer qe ( ) es osf, ce q es mméda sqe le so qe P es côe coexe 3] so e symére orhogoale e es l qe edomorhsme symérqe osf el qe e or e coe, doc e s ( ) ( e ) aec e ( désge le rojecer orhogoal assocé à ), d où Ef, e q, aec q e A A I 4] so ma( B) A I A A A 5] so ma( B) 3 A 3 3 o obe A Q (,, )Q A Q (,,)Q A Q (,,)Q A Q (,,)Q aec Q O, qe l o récsera

6 o a doc 6] so N GL( E) a] o sose qe w, o a aec ( w) P O o e déd qe écessareme Ef, l e w, sqe ww P ( cf qeso ] ) : e eff d( ) ( d() ) d( ) d () E coclso, o a démoré q l exse a ls cole ( w) ( ) aec d() more qe GL( E), P O el qe w b] oyos doc s w coee effeceme : ( ) es clareme das GL( E) P ( alers rores srceme oses ) ( ) w w ( ) ( ) ( ) ( ) faleme w w e aec w O, doc ( ) o a be sûr w ( ) l rese à morer qe w w : le roblème es de morer qe w, c es à dre qe solo : erm de morer qe comme, c es à dre qe comme So λ e aler rore de la remarqe fae à l sse de la qeso ] erm d affrmer qe ker ( λ e) ker( λ e) So maea x ecer rore de, assocé à la aler rore λ o a ( () x) ( ( x ) ( λ x) λ () x doc () x ker( λ e) ker( λ e) ( () x ) λ ( x) ( λ x) ( ( x ) : cec more qe comme sqe ecer rore de qe es dagoalsable o e déd coïcde sr o solo : Commeços ar récser le résla de la qeso ] : so P Moros q l exse R olyôme R el qe () S ma( B) Q Dag(,, )Q λ λ aec O Q, o a qe ma( B) Q Dag( λ,, λ )Q,, R Or, l exse olyôme el qe [ ] ( λ ) λ o a alors R( Q Dag( λ,, λ ) Q) Q Dag( R( λ ),, R( λ )) Q Q Dag( λ,, λ )Q d où R ( ma( B) ) ma( R( ) B) ma( B) doc R () Reeos à la qeso osée : erm de morer qe comme ( orqo? ) où ( ) R faleme comme doc R( ) comme 7] a] ( ) O a raleme Im( ) Im so alors / Im o a ker ker Im ker ( ker ) { }, d où rg() rg( ) rg( ) or rg ( ) rg(), doc rg ( ) rg() faleme Im Im( ) ( ) O a raleme ker ( ) ker or dm( ker( ) dme rg( ) dme rg() dme rg( ) dm( ker ) o e déd ker ( ) ker

7 ( ) ( ) b] o a Im Im( ) de même Im Im ( ) Im d où o a ass ker ( ) ker ker( ) ker ( ) Ef ( ker ) Im Im Im Im, sqe ( ) ( ) ker ker, d arès la qeso récédee, Im ( ker ) cec erm d affrmer qe la resrco de 8] sqe N à Im es aomorhsme de Im sqe ker ker Im ker ( ker ) { } D arès la qeso 6], l exse (, w ) P O aec O groe orhogoal de Im, P se des edomorhsmes symérqes osfs ( ersble ) de Im, els qe w w das e BON adaée à la décomoso e slémeares orhogoax E ker Im, la marce de e s écrre sos la forme ( ) ma ( ) ( ) I ma ma w q doe la décomoso ole ( l y a commaé ) e reassa ax edomorhsmes Il y a as cé : ar exemle ma ( ) ( ) I ma ma( w ) coe égaleme 9] Das e décomoso ( qe o o ) w, aec P w O, o a qe écessareme d où o a doc w relaeme à e base orhoormale de dagoalsao de, l e Dag( ) Dag(,, )W W,, λ λ λ λ Dag( ε,, ε ) aec ε s > λ, ε s λ < ε ± s λ, coe ] () So w, aec P w O o a w w Or, E {} wx ( ) x x /, more qe w o e déd qe Ef, à arr de w O w, o obe de même ( o a as lsé le fa qe P c-desss ) () Commeços ar morer qe : N, So ( e,,e ) e base orhoormale de E cosée de ecers rores de or o [,] e es assocé à la aler rore λ so x () x x λ e λ x ( max λ ) x x e, ecer qelcoqe de E, o a alors : ce q more qe max λ, E lsa le fa qe ( e,,e ) es ojors e base orhoormale de E cosée de ecers rores de or o [,], e assocé à la aler rore Précséme, o a ( max ) λ λ, o obe comme c-desss max λ aec Ef, or o, ( ) N w w, sqe w comme Or w O more ( cf () ) qe O cocl doc ar :

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