Puissance électrique en régime sinusoïdal
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- Huguette Benoît
- il y a 4 ans
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1 CP Puissance électrique en régime sinusoïdal Sommaire. Puissance reçue par un dipôle Puissance instantanée et puissance moyenne Valeur efficace Cas usuel des dipôles Puissance en régime sinusoïdal Impédance complexe Facteur de puissance Optimisation d une installation électrique appels : représentation de Fresnel Facteur de puissance d une installation électrique Optimisation du facteur de puissance Questions de cours : Facteur de puissance : définition, calcul pour une installation simple. Pertes en ligne : définition et optimisation du facteur de puissance. Capacités exigibles du BO : Définir le facteur de puissance, faire le lien avec la représentation des tensions et des courants sur un diagramme de Fresnel. Citer et exploiter la relation P = U eff I eff cos ϕ Citer et exploiter les relations P = e(z)ie = e(y )U e. Justifier qu un dipôle purement réactif n absorbe aucune puissance en moyenne.
2 . Lycée Clémenceau PSI E. Van Brackel
3 Avant de chercher à comprendre les enjeux de la conversion de puissance électrique, mécanique, magnétique, voyons comment on la calcule, en particulier dans le cas de circuits électriques. I. Puissance reçue par un dipôle I. Puissance instantanée et puissance moyenne La puissance instantanée reçue par un dipôle en convention récepteur est définie par : P (t) = u(t)i(t) (.) En régime périodique, c est-à-dire lorsque courant et tension sont périodiques de période T, on peut alors calculer la valeur moyenne : P = T ˆ t0+t u(t)i(t)dt (.) avec quelconque. I. Valeur efficace On rappelle la définition de la valeur efficace I e d un signal i(t) périodique» ˆ I e = i t0+t (t) = i T (t)dt (.3) Si i est une intensité, le sens physique associé est que I e est l intensité du courant continu qui produirait le même effet Joule moyen qu avec le signal i(t) périodique : I e = i (t) (.4) Notons que cette grandeur n est pas spécifique aux signaux sinusoïdaux, même si on rappelle que pour i(t) = I m cos(ωt + ϕ), la valeur efficace associée est : I.3 Cas usuel des dipôles Exercice I e = Im (.5) Justifier qu un condensateur de capacité C ou une bobine d inductance L consomment une puissance moyenne nulle, en régime périodique. P c = T ˆ t0+t uidt = C T ˆ t0+t u(t) du dt dt = C T car u est une fonction T -périodique. Il en est de même pour une bobine. ï ò t0+t u (t) = 0 (.6) Pour une résistance, la puissance moyenne est non nulle et vaut P = Ie. Enfin notons qu un interrupteur idéal ne consomme pas de puissance : soit il est fermé, la tension à ses bornes est nulle ; soit il est ouvert, et l intensité le traversant est nul, donc la puissance reçue est toujours nulle. II. Puissance en régime sinusoïdal Dans toute la suite, on se place en régime sinusoïdal forcé, c est-à-dire que les signaux sont tous sinusoïdaux de fréquence f = ω π. II. Impédance complexe appelons qu une impédance est définie en régime sinusoïdal forcé par Z = U I (.7) Chapitre CP - Puissance électrique en régime sinusoïdal 3
4 avec U la tension complexe aux bornes du dipôle et I l intensité le traversant. On la décompose comme suit : Z = + jx (.8) avec la partie réelle de Z ou résistance du dipôle et X la partie imaginaire de Z encore appelée réactance du dipôle. On peut aussi l écrire Z = Z e jϕ avec ϕ l argument de Z. appelons les caractéristiques usuelles des dipôles : Dipôle Impédance ésistance éactance ϕ ésistance 0 0 Condensateur idéal jcω 0 Cω Bobine idéale jlω 0 Lω On définit également l admittance Y : Y = Z π π (.9) II. Facteur de puissance Soit un dipôle quelconque d impédance complexe Z. Exprimons la puissance moyenne consommée en régime sinusoïdal. On écrit pour cela la tension à ses bornes u(t) = U m cos(ωt) = U e cos(ωt). Comme u = Zi, l intensité a pour forme i(t) = I e cos(ωt ϕ), où ϕ est le déphasage de la tension par rapport au courant, et I e = U e Z. La puissance moyenne consommée est alors : soit en développant : P = U ei e T P = T ˆ t0+t U e I e cos(ωt) cos(ωt ϕ)dt (.0) ˆ t0+t ( ) cos(ωt ϕ) + cos(ϕ) dt = U e I e cos(ϕ) (.) Facteur de puissance La puissance moyenne reçue par un dipôle en régime sinusoïdal est : P = U e I e cos(ϕ) (.) où cos(ϕ) est appelé facteur de puissance du dipôle, avec ϕ le déphasage de la tension par rapport au courant. On peut également faire intervenir l impédance dans le calcul de la puissance moyenne : soit en fonction de l intensité efficace, comme U e = Z I e et e(z) = Z cos ϕ : P = Z I e cos ϕ = e(z)i e (.3) soit en fonction de la tension efficace, comme Y = Z e jϕ : P = Z Ue Z cos ϕ = e(y )U e (.4) Dans le cas de dipôles purement réactifs (cas des condensateurs et bobines, par exemple), cos(ϕ) = 0 et la puissance moyenne est nulle. 4 Lycée Clémenceau PSI E. Van Brackel
5 En utilisant notations complexes, la puissance moyenne s écrit simplement : u(t) = Ue ejωt, les i(t) = Ie ej(ωt ϕ). Ainsi : u i = Ue Ie ejϕ = Ue Ie (cos(ϕ) j sin(ϕ)) (.5) <e(ui ). (Attention néanmoins à ne pas manipuler de grandeurs complexes sans précautions pour des opérations non linéaires telles que les produits!). D où hp i = III. Optimisation d une installation électrique III. appels : représentation de Fresnel Afin de conduire des raisonnements graphiques, nous allons utiliser dans la suite la représentation vectorielle de Fresnel des nombres complexes. Elle est particulièrement utile lorsqu on est amené à sommer différentes grandeurs complexes (tensions ou courants) car on somme des vecteurs. On associe aux tensions u(t) et i(t) en régime sinusoïdal forcé des vecteurs U et I ayant pour norme les valeurs I efficaces (ou les amplitudes). On choisit par convention de tracer horizontalement le vecteur U (origine de la phase), et ϕ U de représenter les autres vecteurs avec un angle dépendant du déphasage avec u(t). L exemple ci-contre est illustré avec u(t) = Ue cos(ωt) et i(t) = Ie cos(ωt + ϕ). Notons que la projection de I sur l axe horizontal Ip nous donne accès facilement à la puissance moyenne hp i = Ue Ip. III. Facteur de puissance d une installation électrique a) Calcul d un facteur de puissance i Considérons une installation électrique avec deux dipôles (D ) et (D ) branchés en parallèle à l alimentation générale et consommant une puissance moyenne P et P. Leurs facteurs de puissance sont respectivement cos(ϕ ) et cos(ϕ ). i u i D D Pour calculer la puissance consommée par le circuit, il faut calculer Ieff et le facteur de puissance global de l installation cos(ϕ). Bien que la loi des nœuds s applique ici, i(t) = i (t)+i (t), on ne PEUT PAS écrire Ie = Ie, + Ie, (sauf dans le cas particulier où les deux signaux sont en phase). On va recourir ici à la construction de Fresnel : à chaque intensité correspond un vecteur, et le courant total est la somme des deux vecteurs (loi des nœuds). On a choisi ici ϕ, > 0, le courant est donc en retard sur la tension. -ϕ U -ϕ I I I -ϕ Chapitre CP - Puissance électrique en régime sinusoïdal 5
6 Graphiquement, on pourrait donc lire le facteur de puissance et l intensité efficace totale. Avec I e, = P U e cos(ϕ ) et I e, = P U e cos(ϕ ) (.6) l intensité efficace totale est donc liée à la somme vectorielle de I et I :» I eff = (I e, cos ϕ + I e, cos ϕ ) + (I e, sin ϕ + I e, sin ϕ ) (.7) et le facteur de puissance total vaut : b) Pertes en lignes cos(ϕ) = P + P U e I e (.8) centrale électrique +jx i u installation électrique Z Considérons le cheminement de l électricité depuis une centrale électrique vers une installation électrique d impédance Z. On note + jx l impédance de la ligne électrique. Effectuons un bilan de puissance : la centrale délivre une puissance moyenne P g ; l installation électrique consomme une puissance moyenne P u = U e I e cos(ϕ) ; la ligne électrique consomme enfin une puissance moyenne P l = Ie : on parle de pertes en ligne. Le rendement de l installation s écrit donc : η = P u P g = + P = l P u P u + Ue cos (ϕ) (.9) La tension d alimentation est fixée (U e = 30 V sur le réseau électrique français), à puissance fixée il faut augmenter le facteur de puissance cos(ϕ) pour augmenter le rendement. En particulier, on constate bien que plus le facteur de puissance est faible, plus le courant appelé sur le réseau P u électrique I e = est grand. EDF impose par exemple cos(ϕ) > 0,93 pour limiter les pertes U e cos(ϕ) en lignes sur son réseau. Cela explique également l utilisation de très hautes tensions pour le transport de l énergie électrique (et donc en bout de chaîne un transformateur pour abaisser la tension), car cela permet d augmenter le rendement également! III.3 Optimisation du facteur de puissance La plupart des appareils électriques ont un comportement inductif, du fait de l omniprésence des moteurs. Par conséquent, le facteur de puissance est tel que ϕ > 0. Une solution peut consister à rajouter un composant tel qu on puisse ramener le vecteur I total aligné avec U (ainsi i(t) est en phase avec u(t) et le facteur de puissance vaut cos ϕ = ). Il faut donc un dipôle purement réactif tel que le déphasage soit de +π/ entre la tension et le courant. Or pour un condensateur, i = jcωu. Ainsi si on ajoute un condensateur en parallèle, cela peut régler effectivement le problème : 6 Lycée Clémenceau PSI E. Van Brackel
7 i i i u C D D U -ϕ jcωu I I -ϕ Il faut donc que la capacité vérifie, par projection selon l axe vertical : CωU e = I e, sin ϕ + I e, sin ϕ (.0) Chapitre CP - Puissance électrique en régime sinusoïdal 7
8 Exercices. Valeurs efficaces Déterminer la valeur efficace des intensités suivantes :. Signal triangulaire symétrique d amplitude I m et de période T.. Signal rectangulaire entre I m et I m de période T et de rapport cyclique α (i(t) = I m pour t [0, αt ], i(t) = I m pour t [αt, T ]). 3. Signal rectangulaire entre 0 et I m de rapport cyclique α (i(t) = I m pour t [0, αt ], i(t) = 0 pour t [αt, T ]). t. Calculons la valeur efficace en considérant qu entre t = 0 et t = T/, la fonction s écrit i(t) = I m + 4I m T. Étant donné la symétrie du signal, la valeur efficace est identique que l on intègre entre 0 et T ou entre 0 et T/ : I e = T ˆ T / 0 ( ) t I I m + 4I m dt = m T T ï( 4t T ) 3 T 4 3 ò T / 0 = I m 3 (.) Donc I e = Im 3.. Entre 0 et T, i(t) = I m, donc : 3. On calcule en appliquant la définition : I e = T ˆ T 0 I mdt = I m = I e = I m (.) I e = T ˆ T 0 i (t)dt = T ˆ αt 0 I mdt = αi m = I e = αi m (.3). Puissance consommée par un groupe de dipôles passifs On considère le groupement de dipôles ci-contre, entre A et B, sous la tension u(t) sinusoïdale et parcouru par un courant d intensité i(t). Exprimer la puissance moyenne consommée en fonction de r,, C, ω et de l intensité efficace I e. On utilise la formule démontrée dans le cours : P = e(z)i e. Or l impédance de l ensemble vaut : donc la puissance moyenne vaut : Z = r + jlω + P =. 3 Étude énergétique d un circuit jcω + jcω Å r + = r + jlω + jcω Considérons le circuit ci-contre, alimenté par une tension sinusoïdale u de fréquence f et de valeur efficace U. La résistance est réglable. On note P la puissance moyenne consommée par le circuit. u On constate que la puissance est maximale (P = P M ) pour = 0, et que pour = > 0, le facteur de puissance est égal à et P à P. Donnés numériques : U = 0 V, f = 50 Hz, L =,0 H, 0 = Ω, P = 800 W. Calculer numériquement P M, L, et C. (.4) ã I + (Cω) e (.5) Utilisons un diagramme de Fresnel. On note I le courant traversant le condensateur, I la bobine d inductance L et I 3 l association série. Comme ces dipôles sont en parallèle, leur somme donne l intensité efficace délivrée par le générateur. Exprimons ces vecteurs dans un repère cartésien, avec U selon + e x : C L L 8 Lycée Clémenceau PSI E. Van Brackel
9 u = i donc i = jcωu, d où I = +Cω e y ; jcω u = jlωi donc I = e y ; Lω u = ( + jl ω)i 3 donc : Å ã u i 3 = + jl ω = u + (L ω) j L ω + (L ω) donc I 3 = U e + (L ω) ex L ω ey + (L ω) L allure ci-dessous est donnée dans un cas quelconque, et dans le cas d un facteur de puissance égal à. (.6) I e cosϕ U I I I I 3 U I I I I 3 Traitons d abord du cas de la puissance maximale. On la détermine en projetant le vecteur I selon l axe des abscisses, car alors U e P = U e + (L ω) = U e (.7) + (L ω) On peut montrer que cette fonction est maximale lorsque = L ω = 0 donc L = 0 ω = 3,8 0 H. La puissance maximale vaut alors P M = U e 0 =,0 kw. Dans le cas où =, la puissance est connue et nous permet de déterminer : P = P = U e + (L ω) = U e + 0 (.8) permettant d aboutir au polynôme U e P + 0 = 0 de solutions =,5 Ω ou = 58 Ω > 0. Enfin une projection selon l axe vertical permet d en déduire la valeur de la capacité : Cω = Lω + L ω + (L ω) C = Lω + 0 ω(0 + = µf (.9) ). 4 Méthode des trois ampèremètres On peut déterminer le facteur de puissance d un dipôle (Z quelconque) alimenté en régime sinusoïdal par le montage des trois ampèremètres utilisant une résistance étalon (cf. figure). Les ampèremètres donnent les trois intensités efficaces I e, I e et I 3e.. En utilisant la loi des nœuds, déterminer le facteur de puissance du dipôle d impédance Z en fonction des trois intensités efficaces.. En déduire la puissance moyenne consommée par ce dipôle en fonction de et des intensités efficaces.. Par un tracé vectoriel, I = I + I 3 avec I 3 horizontal dans une représentation de Fresnel. Il vient donc en norme : I e = (I e cos(ϕ ) + I 3e) + (I e sin ϕ ) I e = I e cos(ϕ ) + I 3e + I ei 3e cos ϕ + (I e( cos(ϕ ) ) (.30) soit après simplification : cos ϕ = I e I e I 3e I ei 3e (.3) Chapitre CP - Puissance électrique en régime sinusoïdal 9
10 . La puissance moyenne consommée par ce dipôle vaut alors : P = U ei e cos ϕ = I 3eI e I e Ie I3e = ( I e Ie I3e) I ei 3e (.3). 5 Adaptation d impédance On considère un dipôle D d impédance Z = + jx alimenté par un générateur de fem e(t) = E cos(ωt) et d impédance interne Z g = g + jx g.. Calculer la puissance moyenne consommée par D.. Pour quel X cette puissance est-elle maximale ( étant considéré fixe)? 3. Cette condition étant vérifiée, quel rend la puissance maximale? Quel est finalement l expression de Z en fonction de Z g rendant la puissance maximale?. La puissance moyenne consommée se calcule via la formule du cours, en fonction du courant efficace : Déterminons l intensité du courant efficace : P = e(z)i e = I e (.33) e = (( + g) + j(x + X g))i (.34) conduisant à : I e = E ( + g) + (X + X g) (.35) Donc la puissance moyenne consommée en fonction des données de l énoncé vaut : P = E ( + g) + (X + X g) (.36). Si est fixé, g et X g aussi (lié au générateur), il faut choisir X = X g pour avoir la puissance maximale (on minimise le dénominateur). 3. Cette condition étant vérifiée, il faut donc maximiser. On trouve sans peine = g pour annuler la dérivée ( + g) x de f(x) = (x +, à savoir f (x) = (x + g) x(x + g). Ainsi Z = g) (x + g) g jx g rend la puissance maximale, c est-à-dire encore Z = Z g. 6 Amélioration d un facteur de puissance Un moteur électrique est alimenté par un courant alternatif de fréquence 50 Hz sous une tension efficace U eff = 0 V. Sa puissance est P = 0 kw et son facteur de puissance est cos ϕ = 0,7. Le moteur est modélisé par l association en série d une bobine d inductance L et d un résistor de résistance.. Quelle est la valeur de l intensité efficace parcourant le moteur?. Déterminer la valeur de à partir de la valeur du facteur de puissance. 3. Donner l expression de l impédance du moteur. En déduire l expression de tan ϕ en fonction de, L et ω, puis en déduire la valeur de l inductance L. On souhaite améliorer le facteur de puissance. Pour cela on place un condensateur de capacité C en parallèle avec le moteur. On note cos ϕ le nouveau facteur de puissance. 4. Donner l expression de l admittance de l ensemble et en déduire tan ϕ. 5. Quelle doit être la valeur de C pour que cos ϕ = 0, 9?. I eff = P = 64,9 A. U eff cos ϕ 0 Lycée Clémenceau PSI E. Van Brackel
11 . À partir de la puissance P = I eff : Ieff = U eff I eff cos ϕ = U eff cos ϕ = (U eff cos ϕ) =,4 Ω (.37) I e P 3. Z = + jlω donc ϕ = arg(z) = arg( + jlω) = arctan L = tan ϕ = 7,8 mh. ω 4. L admittance de l ensemble, étant donné les éléments en parallèle, vaut : ( ( Or arg(y ) = ϕ = arg + L ω + j Y = = jcω + Z eq + jlω Cω ( ) Lω. Ainsi après calcul numérique ϕ = 0,80 rad et donc )) Lω, donc + L ω (.38) tan(ϕ ) = Lω Cω( + L ω ) (.39) 5. La capacité doit vérifier : C = ( ) tan ϕ tan ϕ = 3,5 0 4 F (.40) ω( + L ω ) Chapitre CP - Puissance électrique en régime sinusoïdal
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