THÈSE. En vue de l'obtention du DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ DE TOULOUSE. Délivré par l Université Toulouse III Paul Sabatier. Spécialité : Génie Civil

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1 THÈSE En vue de l'obtention du DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ DE TOULOUSE Délivré par l Université Toulouse III Paul Sabatier Spécialité : Génie Civil Présentée et soutenue par M. Fabrice DEBY Le 30 Octobre 2008 Approche probabiliste de la durabilité des bétons en environnement marin JURY M. Ahmed LOUKILI M. Jean-Michel TORRENTI M. Christian CREMONA M. Lars-Olof NILSSON M me Myriam CARCASSES M. Alain SELLIER M. Abdellah CHOUKIR M. Mustapha HAFIDI Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Examinateur Examinateur Membre invité Membre invité Ecole doctorale : Mécanique Energétique Génie civil Procédés Unité de recherche : Laboratoire Matériaux et Durabilité des Constructions

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3 Remerciements Cette thèse a été réalisée entre 2005 et 2008 au Laboratoire Matériaux et Durabilité des Constructions de Toulouse (LMDC). Je tiens, tout d abord, à remercier mes directeurs de thèse, Myriam CARCASSES et Alain SELLIER, pour leurs grandes compétences scientifiques, les valeurs humaines que nous partageons, leur soutien dans les moments difficiles, mais aussi pour la confiance, l autonomie et la liberté qu ils m ont accordées dans la conduite de mes recherches. Je leur dois beaucoup dans la réussite de ce travail. Je souhaite exprimer mes remerciements aux directeurs du LMDC, Ginette ARLIGUIE et son successeur Gilles ESCADEILLAS, pour m avoir accueilli au sein du laboratoire et soutenu pendant ces trois années de thèse. Je remercie mes rapporteurs de thèse, Jean-Michel TORRENTI et Ahmed LOUKILI, dont les remarques pertinentes et constructives feront avancer mes travaux de recherche. Merci également à Christian CREMONA et Lars-Olof NILSSON pour leur participation à mon jury de thèse et leurs éclairages de spécialistes sur mon travail. Ce travail de thèse a été motivé par deux collaborations. Je tiens à remercier Abdellah CHOUKIR et Mustapha HAFIDI, du Laboratoire Public d Etudes et d Essais (LPEE) du MA- ROC, d avoir initié une coopération scientifique mais également d avoir été présents à mon jury du thèse. Je remercie également toute l équipe du LPEE, rencontrée à Casablanca, pour leur accueil et leur disponibilité. La seconde collaboration, au sein du projet ANR APPLET, me permet de remercier l ensemble des participants du GT1 pour leur sympathie et leur professionnalisme. Je voudrais remercier les membres du LMDC, le personnel technique et administratif, ainsi que les doctorants. Un merci tout particulier au service chimie. Un grand merci à mes collègues de bureau, devenus des amis au fil de ces années. Des années d études pour arriver jusque là... Une grande aventure humaine commencée à

4 ii Remerciements Brive puis Limoges, Marseille, Rennes, Paris et enfin, Toulouse. Une histoire de rencontres. Du fond du coeur, merci à vous tous, mes amis. Enfin, je tiens à exprimer mes remerciements à toute ma famille. Un immense merci à ma famille la plus proche qui a toujours été présente et avec laquelle je partage tant de bonheur : mes parents, Jacques et Patricia, qui m ont offert l opportunité de poursuivre des études, mon frère Alexandre, pour avoir toujours été un exemple, Anne et Baptiste. Mes derniers remerciements vont à Sandra, avec qui j ai déjà tellement partagé, mon premier soutien dans ce travail. L avenir est à nous. Une pensée émue à ceux qui ne sont plus là et qui n auraient pas été peu fiers de lire ce manuscrit... For those about to rock (I salute you)...

5 Table des matières Introduction générale 1 1 Connaissances préliminaires Introduction Aspects physico-chimiques et modélisation de la pénétration des chlorures dans le béton La corrosion des armatures par les ions chlorures Dépassivation des armatures Seuil d amorçage de la corrosion Description phénoménologique de la pénétration des chlorures La diffusion moléculaire La diffusion ionique Interactions des chlorures Equation de conservation en milieu saturé Prédiction de la durabilité Modèles fondés sur la loi de Fick Modèles fondés sur la relation de Nernst-Planck Récapitulatif Mesure du coefficient de diffusion des chlorures Mesure en diffusion naturelle Essai de diffusion en régime stationnaire Essai de diffusion en régime transitoire Mesure sous champ électrique Essai de migration en régime stationnaire Essai de migration en régime transitoire Les approches probabilistes Les variables aléatoires Caractéristiques statistiques Exemples Problème de base Probabilité de défaillance Méthodes de justifications de la sécurité Les méthodes de niveau Espace réduit Indice de fiabilité Les réseaux bayésiens Principes généraux Phase de construction Phase d utilisation

6 iv TABLE DES MATIÈRES Remarques sur les réseaux bayésiens Exemple d application Identification des variables aléatoires Construction du réseau bayésien Utilisation du réseau bayésien Développement de la méthodologie Introduction Algorithme probabiliste Méthode du gradient projeté avec contrôle d erreur Présentation Mise en oeuvre et résultats Validation Exemple 1 : durabilité en milieu marin Benchmark 1 : oscillateur dynamique Benchmark 2 : cylindre nervuré Modèle déterministe Immersion Présentation Mise en oeuvre et résultats Validation Comparaison avec un modèle physique multi-espèces Validation expérimentale Les variables aléatoires Introduction Détermination des densités de probabilité Coefficient de diffusion Ciment CEM I Ciment CEM I avec additions Isotherme d interaction des chlorures Ciment CEM I Ciment CEM I avec additions Compléments Autres variables aléatoires Porosité Enrobage Actualisation bayésienne des densités de probabilité Présentation du réseau bayésien Construction du réseau Modèle de diffusion associé Méthodes d actualisation Actualisation directe par le coefficient de diffusion Actualisation indirecte par les profils expérimentaux Application probabiliste Introduction Aspects réglementaires Dimensionnement Classe d exposition et durée d utilisation

7 v TABLE DES MATIÈRES Etat limite et indice cible Matériau Formulation Enrobage Exemple Données d étude Matériau Paramètres physiques et réglementaires Variables aléatoires, fonction performance Résultats Indice de fiabilité et facteurs d importance Amélioration de la qualité, détermination des enrobages Discussion Outil simplifié pour l ingénierie Modèle de diffusion simplifié Développement Validation Approche semi-probabiliste Coefficients de sécurité, valeurs représentatives Application au modèle simplifié de durabilité Conclusion générale et perspectives 171 Bibliographie 174

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9 Table des figures 1 Pont Gimsøystraumen en Norvège, histogramme du coefficient de diffusion mesuré depuis des carottages en superstructure [Fluge, 2001] Conditions d exposition en environnement marin [CEB, 1989] Diagramme potentiel-ph simplifié du fer à 25 C [Pourbaix, 1963] Processus électrochimique de corrosion par les chlorures [Baron et Ollivier, 1992] loi de distribution de la concentration critique en chlorures totaux pour un béton CEM I, en immersion, de E/C=0,5 [Izquierdo et al., 2004] Allure classique d une isotherme d intéraction [Nguyen, 2006] Représentation du flux de chlorures dans le béton Exemple de prédiction de profils en chlorures dans le béton Organigramme des modèles de diffusion des chlorures Organigramme des méthodes de mesure du coefficient de diffusion des chlorures Principe de la cellule de diffusion Evolution du flux de chlorures en aval Principe de l essai d immersion Profil en chlorures dans le béton après immersion Principe de la cellule de migration Front d avancement des chlorures en migration Schéma de principe de la méthode NT Build 192 [NTBuild192, 1999] Mesure du front d avancement des chlorures [NTBuild192, 1999] Point d inflexion du front de chlorures en migration Densités de probabilité d une loi normale et log-normale de même moyenne et écart-type Représentation du problème probabiliste Illustration de la méthode de Monte-Carlo Illustration du passage de l espace physique à l espace réduit Transformation d une loi de distribution en loi normale centrée réduite Représentation de l indice de fiabilité β dans l espace réduit Correspondance β et P f Graphe causal (exemple d application d un réseau bayésien) Réseau bayésien (exemple d application d un réseau bayésien) Réseau bayésien (exemple d application d un réseau bayésien) Observation sur x r (exemple d application d un réseau bayésien) Observations sur C(x r, T ) et x r (exemple d application d un réseau bayésien) Illustration d une itération de l algorithme de Rackwitz-Fiessler Organigramme de l algorithme GPACE [Nguyen, 2007] Oscillateur non linéaire Oscillateur non linéaire

10 viii TABLE DES FIGURES 2.5 Discrétisation spatiale de l élément de béton Profils en chlorures obtenus par Immersion et MsDiff après 200 jours d immersion Profil en chlorures totaux expérimentaux et obtenus par Immersion pour un mortier de CEM I Plateforme offshore Brent B Profils expérimentaux en chlorures totaux et profil obtenu par Immersion pour un béton de CEM I Profils en chlorures totaux obtenus par Immersion avec variation du coefficient de diffusion Evolution du coefficient de diffusion apparent en migration en fonction du rapport E/C pour un béton de ciment CEM I [Tang, 1997] Degré d hydratation final d un CEM I pour diverses valeurs de E/C [Waller, 1999] Loi d évolution du coefficient de diffusion effectif des chlorures pour une pâte de ciment CEM I en fonction de sa porosité p pâte Loi d évolution du coefficient de diffusion effectif sur pâte en fonction de la porosité de la pâte de ciment p pâte pour un ciment CEM I, et comparaison avec les résultats expérimentaux Histogramme de l erreur du modèle élémentaire sur le calcul du coefficient de diffusion effectif des chlorures Err D pour un matériau de CEM I Evolution relative du coefficient de diffusion effectif en fonction du taux de remplacement de ciment CEM I en fumées de silice [Song et al., 2007] Histogramme de l erreur du modèle élémentaire sur le calcul du coefficient de diffusion effectif des chlorures Err Dfs pour un matériau de CEM I avec fumées de silice Isothermes de fixation des chlorures obtenues sur des hydrates synthétisés [Hirao et al., 2005] Comparaison entre les quantités mesurées de chlorures fixés et le modèle élémentaire proposé pour l isotherme de fixation Histogramme de l erreur du modèle élémentaire sur le calcul des chlorures fixés Err C pour un matériau de CEM I Histogramme de l erreur du modèle élémentaire sur le calcul des chlorures fixés Err Cfs pour un matériau de CEM I avec fumées de silice Pont Barra au Portugal Réseau bayésien associé à la durabilité des bétons en environnement marin Histogramme du coefficient de diffusion effectif du béton C50/60 mesuré en régime transitoire sous champ électrique pour le projet APPLET Réseau bayésien associé au béton C50/60 du projet APPLET Vraisemblance d observation de l histogramme du coefficient de diffusion effectif béton C50/60 du projet APPLET Comparaison de l actualisation effectuée avec le béton C50/60 du projet APPLET suivant la confiance accordée aux résultats Histogramme du coefficient de diffusion apparent du béton F6 mesuré en régime transitoire sous champ électrique Profils expérimentaux du béton 1-40L exposé à l eau de mer [Tang, 1997] et prédiction du modèle simplifié Réseau bayésien associé au béton 1-40L Vraisemblance des observations sur les profils en chlorures à l abscisse 1,5 cm.. 131

11 ix TABLE DES FIGURES 3.22 Comparaison des histogrammes de Err D et Err C avant et après actualisation sur les profils en chlorures du béton 1-40L Organigramme général de la méthodologie probabiliste Evolution de la corrosion des aciers dans le béton [Tuuti, 1982] Série chronologique de variation de la salinité [Petrie et al., 1996] Lois de distribution des erreurs Err D Err Dfs des modèles élémentaires de calcul du coefficient de diffusion effectif des chlorures Lois de distribution des erreurs Err C Err Cfs des modèles élémentaires de calcul des chlorures fixés Evolution dans le temps de l indice de fiabilité pour les bétons de CEM I et CEM I avec fumées de silice Evolution dans le temps de l indice de fiabilité pour le béton de CEM I, fabriqué en qualité courante ou améliorée Evolution dans le temps de l indice de fiabilité pour le béton de CEM I avec fumées de silice, fabriqué en qualité courante ou améliorée Evolution de l indice de fiabilité à 50 ans en fonction de l enrobage nominal moyen pour les bétons de CEM I et CEM I avec fumées de silice Evolution de l indice de fiabilité à 50 ans en fonction du seuil d amorçage de la corrosion pour le béton de CEM I Profil de prédiction du béton 1-40L exposé à l eau de mer et seuils d amorçage de la corrosion Comparaison entre l isotherme de fixation des chlorures complète (équation 3.20) et des isothermes linéaires Comparaison entre des profils en chlorures totaux calculés par Immersion et par le modèle simplifié Représentation graphique des coefficients de sécurité pour les approches semiprobabilistes

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13 Liste des tableaux 1.1 Concentrations critiques en chlorures totaux pour un béton de CEM I [Izquierdo et al., 2004] Etapes de la construction d un réseau bayésien [Naïm et al., 2007] Distributions a priori (exemple d application d un réseau bayésien) Résultats expérimentaux sur la concentration en chlorures totaux à l enrobage (exemple d application d un réseau bayésien) Paramètres des variables aléatoires du problème de durabilité pour la validation de la méthode GPACE Paramètres de la variable intermédiaire pour le problème de durabilité pour la validation de la méthode GPACE Résultats de l algorithme GPACE pour le problème de durabilité Caractéristiques des variables aléatoires de l oscillateur dynamique Résultats de l algorithme GPACE pour l oscillateur dynamique Caractéristiques des variables aléatoires du cylindre nervuré Résultats de l algorithme GPACE pour le cylindre nervuré Composition du béton d étude pour comparaison Immersion-MsDiff Composition de Bogue du ciment CEM I 52,5 R pour comparaison Immersion- MsDiff Données d entrée des modèles pour la comparaison Immersion-MsDiff Composition du mortier pour comparaison entre Immersion et les données expérimentales Composition chimique du ciment CEM I 52,5 PM ES pour comparaison entre Immersion et les données expérimentales Données d entrée du mortier de CEM I pour la prédiction avec Immersion Composition du béton pour comparaison entre Immersion et les données expérimentales Données d entrée du béton de CEM I pour la prédiction avec Immersion Composition des bétons de CEM I étudiés [Tang, 1997] Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de bétons de CEM I [Tang, 1997] Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de pâtes ciment de CEM I [Richet et al., 1996] Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de pâtes de ciment de CEM I [Mejlhede Jensen et al., 1999] Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de pâtes de ciment de CEM I [Ngala et al., 1995] Composition des bétons de CEM I avec fumées de silice étudiés [Tang, 1997]

14 xii LISTE DES TABLEAUX 3.7 Composition des bétons de CEM I avec fumées de silice étudiés [Hooton et al., 1997] Composition des bétons de CEM I avec fumées de silice étudiés [Baroghel-Bouny et al., 2002] Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de bétons de CEM I avec fumées de silice [Tang, 1997] Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de bétons de CEM I avec fumées de silice [Hooton et al., 1997] Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de bétons de CEM I avec fumées de silice [Baroghel-Bouny et al., 2002] [Djerbi, 2007] Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de pâtes ciment de CEM I avec fumées de silice [Bentz et al., 2000] Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de pâtes ciment de CEM I avec fumées de silice [Mejlhede Jensen et al., 1999] Composition chimique des ciments CEM I 52,5 PM ES [Nguyen, 2006], 42,5 [Bigas, 1994], «HS65» et «EZ375» [Larsen, 1998], 52,5 N [Arliguie et Hornain, 2007] Composition des matériaux de CEM I étudiés [Nguyen, 2006] [Bigas, 1994] [Larsen, 1998] [Arliguie et Hornain, 2007] Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de matériaux de CEM I [Nguyen, 2006] [Bigas, 1994] [Larsen, 1998] [Arliguie et Hornain, 2007] Composition des matériaux de CEM I avec fumées de silice étudiés [Larsen, 1998] [Dizayee et al., 2007] Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de matériaux de CEM I avec fumées de silice [Larsen, 1998] [Dizayee et al., 2007] Composition du béton C50/60 du tunnel de l autoroute A86 pour le projet APPLET Constantes du réseau bayésien sur le béton C50/60 du tunnel de l autoroute A86 pour le projet APPLET Composition du béton F6 pour le chantier de rénovation à Casablanca Composition du béton 1-40L exposé à l eau de mer [Tang, 1997] Composition minéralogique du ciment CEM I du béton 1-40L [Tang, 1997] Constantes du réseau bayésien associées au béton 1-40L Chlorures totaux mesurés dans le béton 1-40L à 1,5 cm après un an d exposition Classes d exposition XS1, XS2 et XS3 [AFNOR, 2004] Définition des classes de conséquences [AFNOR, 2003] Indice de fiabilité β minimum / Probabilité de défaillance P f maximum, selon la classe de fiabilité [AFNOR, 2003] Spécifications relatives aux bétons immergés dans l eau de mer Spécifications relatives aux ciments CEM I PM et CEM II/A PM [AFNOR, 2001] Modulation de la classe structurale pour la classe d exposition XS2 [AFNOR, 2005] Valeurs de c min,dur pour la durabilité en classe d exposition XS2 [AFNOR, 2005] Composition du béton de CEM I étudié dans l exemple d application de la méthodologie probabiliste [Codina et al., 2008] Composition chimique du ciment CEM I 52,5 PM ES CP2 pour l exemple d application de la méthodologie probabiliste Caractéristiques des bétons à l état durci [Codina et al., 2008] Propriétés physico-chimiques des bétons pour l exemple d application de la méthodologie probabiliste

15 xiii LISTE DES TABLEAUX 4.12 Test d adéquation du χ 2 pour la variable aléatoire Err Dfs Lois de distribution des variables aléatoires Coefficients d importance des variables aléatoires Comparaison entre les coordonnées du point de conception dans l espace physique et les valeurs moyennes des variables aléatoires pour les bétons de CEM I avec ou sans fumées de silice après 10 ans d exposition Indices de fiabilité à 50 ans obtenus avec le critère d amorçage de la corrosion à 1 % de chlorures totaux en masse de ciment, pour les bétons de CEM I avec ou sans fumées de silice Evolution des coefficients d importance des variables aléatoires en fonction du seuil d amorçage de la corrosion Comparaison des indices de fiabilité obtenus avec l algorithme GPACE couplé au modèle de diffusion Immersion ou au modèle simplifié Composition chimique des ciment CEM I 52,5 PM ES CP2 (a) et CEM I 52,5 PM ES (b) pour la détermination des coefficients de sécurité Composition des bétons de CEM I et paramètres physico-chimiques pour la détermination des coefficients de sécurité Coefficients de sécurité sur les bétons de CEM I étudiés, pour l indice de fiabilité cible β = 1, 5 à 50 ans Composition des bétons de CEM I avec fumées de silice et paramètres physicochimiques pour la détermination des coefficients de sécurité Coefficients de sécurité sur les bétons de CEM I étudiés, pour l indice de fiabilité cible β = 1, 5 à 50 ans

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17 Introduction générale La durabilité constitue l une des préoccupations essentielles dans la conception, la réalisation ou l entretien des ouvrages de génie civil. La corrosion des armatures est la principale cause de dégradation des structures en béton armé et la plus importante en termes de coûts de réparation. La pénétration d agents agressifs dans le béton, notamment les chlorures en environnement marin, conduit à l amorçage et au développement du processus de corrosion. Afin d assurer une durabilité minimum, la nouvelle norme NF EN établit des prescriptions réglementaires de formulation des bétons en fonction de l agressivité des conditions environnementales définies sous forme de classes d exposition. Compte tenu des nouvelles exigences de durée de vie des ouvrages d importance économique et stratégique, la prédiction de la durée de vie des ouvrages est un véritable enjeu. Les outils de prédiction permettent de quantifier la longévité des futures réalisations et d aider à la formulation des bétons en exigeant des performances sur ses caractéristiques physico-chimiques. Fig. 1 Pont Gimsøystraumen en Norvège, histogramme du coefficient de diffusion mesuré depuis des carottages en superstructure [Fluge, 2001] Cependant, les conditions de fabrication et de mise en oeuvre sur chantier conduisent inévitablement à observer une fluctuation des propriétés de durabilité du béton, comme l illustre

18 2 Introduction générale l histogramme des valeurs expérimentales de coefficient de diffusion sur la figure 1 [Fluge, 2001]. La variabilité des actions ou encore des paramètres géométriques du matériau, comme l enrobage, doit également être prise en compte. Les modèles de durabilité utilisent des valeurs fixes comme données d entrée. Ces valeurs sont, la plupart du temps, issues d une moyenne sur deux ou trois essais afin de déterminer des témoins de durée de vie, comme par exemple un profil en chlorures. Ces modèles déterministes ne tiennent pas compte de la variabilité observée et n expliquent donc pas l apparition progressive de dégradations. D un point de vue mécanique, les concepteurs d ouvrages préviennent les dangers socioéconomiques liés aux différentes sources d aléa (résistance des matériaux, charges, géométrie...) en leur associant des valeurs de références et des coefficients partiels de sécurité proposés dans les règlements de calcul semi-probabilistes. La calibration de ces règles communes provient d une approche théorique plus complète issue des méthodes de la mécanique probabiliste. Elles s articulent suivant quatre étapes pluri-disciplinaires successives [Lemaire, 2008] : 1. la fiabilité identifie les différents scénarios de défaillance à explorer, 2. la mécanique, transformée ici en physico-chimie, analyse le comportement des matériaux et des structures pour dégager un modèle de comportement, l implanter numériquement, identifier les données nécessaires et construire une fonction de performance associée, 3. la statistique extrait des données pour les modéliser sous forme de variables aléatoires, 4. et les probabilités gèrent le transfert des incertitudes en proposant des méthodes de calcul du risque et des outils d interprétation. En constante amélioration, les techniques employées font largement leurs preuves dans la modélisation de l incertain. Les outils simplifiés semi-probabilistes en découlant sont également familiers aux ingénieurs des bureaux d études. Dans ce contexte, l objectif du présent travail de thèse est de développer et transposer à la durabilité des bétons en environnement marin cette méthodologie en quatre points permettant d aboutir à un dimensionnement probabiliste complet en proposant des règles de calcul simplifiées. Dans cette perspective, le premier chapitre de ce manuscrit est consacré à une revue bibliographique des connaissances nécessaires à la mise en place de la méthodologie. A cet effet, les phénomènes physico-chimiques de pénétration des chlorures et les essais de mesure des grandeurs

19 3 Introduction générale physiques associées sont rappelés. Les outils fondamentaux de probabilité, classés en quatre niveaux, sont développés en vue de déterminer la méthode la plus adaptée à l objectif. Enfin, outre les éléments de statistique habituels, la méthode d actualisation par réseau bayésien est présentée. Le modèle de diffusion des chlorures et l algorithme probabiliste, présentés dans le chapitre 2 de cette étude, sont développés pour être suffisamment robustes mais également économiques. Leur couplage fait en effet appel à des temps de calcul qui peuvent s avérer très longs. Les données d entrée du modèle de diffusion sont réduites et sélectionnées pour leur signification physique. La méthode probabiliste proposée sollicite a minima le modèle de diffusion. Le chapitre 3 est consacré aux variables aléatoires, et notamment à leur collecte, leur interprétation et leur traitement, afin de proposer une base de données réaliste. Le réseau bayésien associé au problème de diffusion est construit pour offrir un outil d actualisation des données recueillies. Enfin, après un bilan sur la réglementation, le dernier chapitre est consacré à l application de la méthodologie. Un modèle simplifié est proposé avec les valeurs représentatives et les coefficients de sécurité associés. En plus de la modélisation physico-chimique et probabiliste, l acquisition de données réalistes pour les variables aléatoires constitue un point important du développement. Ce travail de thèse s inscrit dans une participation au projet ANR APPLET et une collaboration avec le Laboratoire LPEE du Maroc qui ont permis d explorer également les aspects probabilistes expérimentaux. L objectif principal de cette étude est d appliquer les méthodes de la mécanique probabiliste, jusqu aux outils semi-probabilistes pour une utilisation en ingénierie. L avancement des connaissances sur la physico-chimie des bétons en environnement marin a permis d envisager un tel travail. La complexité des phénomènes mis en jeu et les recherches toujours actives conduisent néanmoins à réduire le champ d application de la méthodologie. La restriction la plus importante concerne la classe d environnement : seules les parties immergées dans l eau de mer sont concernées. Toutes les étapes sont, en revanche, franchies afin de prouver la faisabilité complète de la méthodologie et la transposition des outils probabilistes de mécanique à la durabilité.

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21 Chapitre 1 Connaissances préliminaires 1.1 Introduction Les connaissances préliminaires au développement de la méthodologie de dimensionnement probabiliste de la durabilité des bétons sont développées au cours de ce chapitre. Les aspects physico-chimiques fondamentaux de la pénétration des chlorures dans le béton sont récapitulés dans une première partie. Une synthèse et une classification des modèles associés sont proposées pour faciliter le choix du modèle déterministe le plus adapté à une utilisation probabiliste. Face à leur nombre important, les techniques de mesure du coefficient de diffusion des chlorures sont également inventoriées dans la deuxième partie. Un récapitulatif est présenté pour comprendre quelle grandeur est mesurée et comment. Cette étape est nécessaire afin de synthétiser correctement les données expérimentales, construire une base de données cohérente et proposer des lois de distribution réalistes. Les deux parties suivantes sont consacrées à la présentation des outils de fiabilité pour mener des prédictions probabilistes, avec une étude plus détaillée des méthodes dites de niveau 2. Pour la gestion et l actualisation des bases de données, un outil statistique adapté est exposé dans son fonctionnement et ses applications : les réseaux bayésiens. 1.2 Aspects physico-chimiques et modélisation de la pénétration des chlorures dans le béton L objet de cette partie est de présenter succinctement les phénomènes physico-chimiques de la pénétration des chlorures dans le béton. Le rôle des chlorures sur la dépassivation des

22 6 Connaissances préliminaires armatures est tout d abord exposé. Les aspects théoriques de la pénétration des chlorures sont ensuite étudiés. Une revue rapide des différents modèles de prédiction existants est également effectuée La corrosion des armatures par les ions chlorures Dépassivation des armatures Les ions chlorures constituent un facteur important de risque pour le béton armé : ils pénètrent, en effet, dans le béton et peuvent provoquer la corrosion des armatures. Ces chlorures, d origine externe, sont présents dans les ouvrages en environnement marin ou lorsque des sels de déverglaçage sont utilisés. Les conditions d exposition de la structure sont des éléments prépondérants dans le mécanisme de dégradation. Suivant le type d exposition, différents mécanismes de transports des ions chlorures sont considérés. En environnement marin par exemple(figure 1.1), on distingue les zones submergées, pour lesquelles le béton est saturé ce qui conduit à un transport des chlorures uniquement par diffusion, de celles où le transport se fait par diffusion et convection lorsque le béton n est que partiellement saturé (zone de marnage par exemple). Fig. 1.1 Conditions d exposition en environnement marin [CEB, 1989] Dans des conditions normales, les armatures enrobées de béton sont protégées de la corrosion par un phénomène de passivation qui résulte de la création, à la surface du métal, d une pellicule de ferrite Fe 2 O 3. En effet, grâce aux réactions d hydratation du ciment, le ph de la

23 7 Connaissances préliminaires solution interstitielle du béton sain est de l ordre de 13 à 13,5, ce qui maintient l acier dans un état de passivation. La passivation des armatures s illustre par le diagramme de Pourbaix (figure 1.2) pour le système Fe-H 2 O. Trois domaines thermodynamiques sont présents en fonction du potentiel électro-chimique de l acier et du ph environnant : immunité, corrosion (formation des ions Fe 2+ ) et passivation (correspondant à un film passif de Fe 3 O 4 ou Fe 2 O 3 ). Fig. 1.2 Diagramme potentiel-ph simplifié du fer à 25 C [Pourbaix, 1963] En présence de trop d ions chlorures dans le béton, la corrosion des aciers est observée (figure 1.3). Ils modifient la morphologie de la couche passive en donnant des ions FeCl 3 ou FeCl 2 (Fe + 3Cl FeCl3 + 2e ou/et Fe Cl FeCl 2 ) qui consomment les ions OH présents (FeCl 3 + 2OH Fe(OH) 2 + 3Cl ou/et FeCl 2 + 2H 2 O Fe(OH) 2 + 2HCl). Les électrons libérés par la réaction d oxydation se déplacent à travers le métal jusqu aux sites cathodiques. D après les réactions précédentes, le processus conduit à une diminution du ph et à un recyclage des ions chlore. Fig. 1.3 Processus électrochimique de corrosion par les chlorures [Baron et Ollivier, 1992]

24 8 Connaissances préliminaires Les produits de corrosion occupent un volume plusieurs fois supérieur au volume initial de l acier. Leur formation, lorsqu elle a atteint un volume suffisant, peut alors entraîner une fissuration du béton (généralement, un faciès caractéristique est observé, parallèlement à la direction du lit d armatures) puis son éclatement ou son feuilletage. En termes de caractéristiques mécaniques, la corrosion crée une diminution de la section d acier mais surtout une perte d adhérence acierbéton Seuil d amorçage de la corrosion Le processus de dépassivation des aciers est amorcé lorsque le front de pénétration des chlorures a traversé le béton d enrobage et atteint le premier lit d armatures : la corrosion devient alors possible lorsque leur concentration dépasse un certain seuil, appelé concentration critique. Il est difficile de définir précisément cette concentration critique susceptible d amorcer la corrosion des armatures. Les données publiées par différents auteurs montrent que ce seuil peut varier de façon importante, de l ordre de 0,35 à 3 % de chlorures totaux par rapport à la masse de ciment [Alonso et al., 2000], [Glass et Buenfeld, 1997]. L influence de différents facteurs comme la composition du béton, la teneur en C 3 A, le rapport E/C, l humidité relative, la température, la microstructure en contact avec l acier et l état de surface de l acier sont autant de facteurs à cette variabilité. Nous verrons dans la partie que les chlorures se décomposent en trois types : les chlorures libres, les chlorures liés (ceux qui se fixent à la matrice cimentaire) et les chlorures totaux. Remarquons que les critères retenus concernent souvent la concentration en chlorures totaux. Un critère exprimé en chlorures libres serait plus pertinent puisque ce sont eux qui conduisent à la corrosion des armatures. Les ciments fixant beaucoup de chlorures peuvent notamment être discriminés par un critère en chlorures totaux alors qu ils seront favorisés par un seuil en chlorures libres. Cependant, la mesure expérimentale des chlorures libres est plus délicate que celle des chlorures totaux (incertitude importante sur le type de chlorures mesurés sauf pour les chlorures totaux), d où un critère en chlorures totaux plus fiable et, par conséquent, plus utilisé. Compte tenu de ces observations, l utilisation de la borne inférieure (0,4 % de chlorures totaux par rapport à la masse de ciment) est la plus souvent retenue. Cependant, pour une approche plus fine, différentes valeurs de concentrations critiques ont été également proposées,

25 9 Connaissances préliminaires grâce à une large revue bibliographique, en fonction des conditions environnementales et du type de béton [Izquierdo et al., 2004]. Ainsi, une concentration critique plus importante est obtenue en immersion (1,5 % pour un béton CEM I de E/C=0,5) qu en condition aérienne ou avec l utilisation de sels de déverglaçage (0,5 % pour le même béton). Un autre critère d amorçage de la corrosion utilisé est le rapport [Cl ]/[OH ] 0.6 [Haussman, 1967]. Plus ce rapport est élevé, plus la vitesse de corrosion est grande. Un rapport compris entre 0,6 et 1 conduit généralement à la concentration critique en chlorures. Cette relation permet de prendre en compte les interactions entre la carbonatation (diminution du ph) et la pénétration des chlorures (augmentation de la concentration en chlorures libres). D un point de vue statistique, un coefficient de variation de 30 % est estimé [Izquierdo et al., 2004] pour ce dernier critère. Des lois de distribution pour les concentrations limites en chlorures ont été également proposées. En immersion par exemple, pour un béton CEM I et un rapport E/C de 0,5, une loi log-normale de valeur moyenne 1,5 % (chlorures totaux en masse de ciment) et de coefficient de variation 35 % est présentée sur la figure 1.4. Ces résultats ont été obtenus par simulation de Monte-Carlo sur une loi empirique identifiée entre le potentiel électrochimique des armatures et la concentration critique en chlorures totaux dans des mortiers [Izquierdo et al., 2004]. Fig. 1.4 loi de distribution de la concentration critique en chlorures totaux pour un béton CEM I, en immersion, de E/C=0,5 [Izquierdo et al., 2004] Ces mêmes traitements statistiques de mesures potentiostatiques ont permis un classement en fonction de l environnement et de la composition de matériaux de CEM I [Izquierdo et al., 2004].

26 10 Connaissances préliminaires Les lois de distribution sont récapitulées dans le tableau 1.1. Environnement E/C Moyenne Coefficient de Distribution (% de ciment) variation (%) Immersion 0,5 1,5 35 Log-normale Immersion 0,4 2,0 35 Log-normale Immersion 0,3 2,2 35 Log-normale Autres 0,5 0,5 30 Log-normale Autres 0,4 0,6 30 Log-normale Autres 0,3 0,8 30 Log-normale Tab. 1.1 Concentrations critiques en chlorures totaux pour un béton de CEM I [Izquierdo et al., 2004] Description phénoménologique de la pénétration des chlorures La pénétration des chlorures nécessite la présence d une phase liquide. En milieu saturé, ou partiellement saturé mais avec interconnection de la phase liquide du béton poreux, les ions chlorures pénètrent dans le béton par diffusion. La diffusion résulte de l agitation aléatoire d espèces soumises à un gradient de potentiel chimique. Pour les parements soumis à des cycles d humidification et de séchage (zone de marnage ou sels de déverglaçage), les chlorures pénètrent tout d abord par absorption capillaire et migrent avec la phase liquide par convection dans la zone concernée. Leur progression se fait ensuite par diffusion dans la partie à saturation constante La diffusion moléculaire L approche classique de la diffusion dans les matériaux poreux commence par la loi de Fick. Pour une solution contenant une espèce chimique, le déplacement naturel se fait des régions de forte concentration vers les régions à concentration plus faible jusqu à un éventuel équilibre pour lequel la solution redevient homogène. La loi mathématique décrivant ce phénomène est formalisée par Adolf Fick en 1855 qui définit le flux unidimensionnel J (mol/m 2.s) comme suit : J = D c x (1.1) avec D le coefficient de diffusion de l espèce considérée (m 2 /s), c sa concentration (mol/m 3 ) et x la position (m). C est donc le gradient de concentration qui est le moteur de la diffusion, le signe négatif indiquant que le flux est dirigé dans la direction des faibles concentrations. Cette

27 11 Connaissances préliminaires relation s écrit pour le transport moléculaire dans la solution contenue dans un pore du béton : J = D c x (1.2) A priori, D est relié à D par la géométrie du pore dont la complexité conduit à des paramètres difficiles à quantifier et à mesurer, comme la tortuosité. Il est donc préférable d utiliser un flux d espèce global à l échelle du matériau poreux, qui s écrit alors : J e = D e c x (1.3) où J e est le flux effectif (mol/m 2.s) et D e le coefficient de diffusion effectif (m 2 /s). Le coefficient de diffusion effectif dépend donc de l espèce diffusante, du solide poreux et de la solution contenue dans les pores. Rappelons les deux hypothèses permettant d écrire le flux de chlorures à travers le béton par la loi de Fick : la solution des pores est idéale (infiniment diluée) et les espèces chimiques sont considérées comme des particules électriquement neutres La diffusion ionique Il est largement reconnu maintenant que la loi de Fick est une simplification du transport des chlorures puisque la solution interstitielle des bétons est fortement concentrée en différentes espèces ioniques. Un champ électrique local se forme entre les différentes espèces ioniques. La combinaison entre le potentiel chimique d une espèce et le potentiel électrostatique formé est appelée potentiel électrochimique, qui s applique aux espèces électriquement chargées, et s écrit pour une espèce i : µ i = µ i + z i F ϕ = µ 0 i + RT ln(a i ) + z i F ϕ (1.4) où µ i est le potentiel chimique qui s exprime par le potentiel chimique standard µ 0 i et l activité chimique a i, R la constante des gaz parfaits (8,31 J/mol.K), T la température (K), z i la valence, F la constante de Faraday (9, C/mol), et ϕ le potentiel électrique (Volt). Le flux de l espèce ionique s exprime par le gradient du potentiel électrochimique : J i = D i RT c i µ i (1.5)

28 12 Connaissances préliminaires où D i est son coefficient de diffusion et c i sa concentration. Dans le cas unidimensionnel on obtient : J i = c id i RT ( RT ln(a i) + z i F ϕ ) ( ci D i a i = D i x x a i x + z ic i F RT ) ϕ x (1.6) Or, l activité a i est reliée à la concentration c i par le coefficient d activité γ i (a i =γ i c i ). L équation 1.6 devient par conséquent : ( c i J i = D i 1 + ln(γ ) i) z i F ϕ c i D i x ln(c i ) RT x (1.7) Ou encore : ( ci J i = D i x + c ln(γ i ) i + z ) if x RT c ϕ i x (1.8) Dans l équation 1.8, le flux est lié à trois termes : le gradient de diffusion, l activité chimique et le gradient de potentiel électrique, tous n influant pas dans le même sens. L influence de l activité chimique (solution non idéale) reste négligeable sur le flux ionique [Tang, 1999] [Truc, 2000]. En conservant cette dernière hypothèse, l équation 1.8, plus connue sous le nom de relation de Nernst-Planck, peut s écrire pour un milieu poreux saturé : ( ci J e,i = D e,i x + z ) if RT c ϕ i x (1.9) où J e,i est le flux effectif de l espèce i, D e,i son coefficient de diffusion effectif. On remarque que si le potentiel électrique est négligé, la première loi de Fick est retrouvée. Le champ électrique local E (volt/m), créé par le mouvement des différentes espèces ioniques, dérive du potentiel électrique ϕ : E = ϕ x (1.10) L équation de courant et la condition d électroneutralité permettent de le calculer : c ϕ x = RT zi D i i x F z 2 (1.11) i D i c i D une façon différente, en utilisant l équation de Poisson grâce à la permittivité diélectrique

29 13 Connaissances préliminaires ɛ du béton (ne donnant a priori pas la même solution), le calcul devient : 2 ϕ 2 x + F ɛ ( ) zi c i = 0 (1.12) Interactions des chlorures Lors de la diffusion des chlorures dans le béton, une partie des ions chlorures réagit avec les hydrates de la pâte de ciment. Il convient en conséquence de distinguer trois types de chlorures : les chlorures libres (c) sous forme ionique dans la solution interstitielle, les chlorures liés (c b ), fixés par le béton, et enfin les chlorures totaux (c t ) qui constituent la somme des chlorures libres et liés. Dès lors, on a : c t = c + c b (1.13) A priori, seuls les chlorures libres peuvent diffuser et jouer un rôle actif dans le processus de dépassivation et de corrosion des armatures. Cependant, comme nous l avons vu précédemment, les seuils d amorçage de la corrosion sont souvent exprimés en chlorures totaux pour des commodités expérimentales et plus rarement en chlorures libres ([Cl ]/[OH ] 0.6). Il apparaît que la fixation des chlorures est très importante puisqu elle reflète la capacité du béton à piéger les chlorures et conditionne donc la quantité de chlorures libres disponibles pour initier la dégradation. En travaillant avec les chlorures libres ou totaux pour les critères d amorçage, il faut quoiqu il en soit connaître la capacité de fixation par le matériau. Les chlorures liés dans un matériau cimentaire sont soit adsorbés sur les parois solides dans les pores (fixation physique), soit liés chimiquement dans la matrice cimentaire par réaction avec certains composés (fixation chimique). Parmi les principaux composants d un ciment Portland, les aluminates tricalciques (C 3 A) et les aluminoferrites tetracalciques (C 4 AF) sont responsables de la fixation chimique. Ils forment, en effet, respectivement des monochloroaluminates de calcium hydratés (ou sel de Friedel C 3 A.CaCl 2.10H 2 O) et des monochloroferrites de calcium hydratés (C 3 F.CaCl 2.10H 2 O) [Taylor, 2004]. La quantité de sulfates présents dans le ciment tend à réduire cette fixation chimique. En réagissant avec les aluminates par formation de sulfoaluminates de calcium, la fixation des chlorures est diminuée. La fixation physique est caractérisée par la surface offerte par les pores et la nature des hy-

30 14 Connaissances préliminaires drates : les silicates de calcium hydratés (CSH, produits de l hydratation des silicates tricalciques et bicalciques C 3 S et C 2 S). Ainsi, la capacité de fixation physique dépend du rapport CaO/SiO 2 des CSH : un rapport faible conduit à une plus faible fixation car la charge positive à la surface des pores est plus petite [Beaudoin et al., 1990]. Les chlorures liés (C b ) sont fonction des chlorures libres (c) suivant une courbe appelée isotherme d interaction : C b =f(c). Conventionnellement, les concentrations sont rapportées aux quantités qui les contiennent : en mol/kg de solide pour C b et en mol/m 3 de solution interstitielle pour c. D un point de vue expérimental, la détermination de l isotherme d interaction peut se faire de plusieurs façons. La première consiste à mesurer la quantité de chlorures consommés par des morceaux de béton concassés (entre 0 et 2,5 mm) et immergés dans des solutions de chlorures à différentes concentrations [Tang et Nilsson, 1993]. A l obtention de l équilibre chimique, le dosage des solutions permet de connaître la nouvelle concentration et d en déduire par différence la concentration en chlorures fixés. Une autre méthode consiste à établir deux profils en chlorures après immersion d un échantillon dans une solution chlorée. Après grignotage, le profil en chlorures totaux est établi par attaque à l acide nitrique et celui en chlorures libres par une attaque à l eau. Fig. 1.5 Allure classique d une isotherme d intéraction [Nguyen, 2006] Du point de vue mathématique, les interactions sont souvent exprimées par la somme de deux fonctions, l isotherme de type Langmuir corrigée par une fonction puissance de type Freundlich : C b = α 1β 1 c 1 + β 1 c + α 2c β 2 (1.14)

31 15 Connaissances préliminaires où α 1, α 2, β 1 et β 2 sont des coefficients déterminés par calage aux résultats expérimentaux. La figure 1.5 représente l allure classique d une isotherme d interaction obtenue sur un mortier de CEM I par calage sur les points expérimentaux entre 0 et 20 g/l [Nguyen, 2006]. Certains auteurs considèrent également que l isotherme est linéaire pour une simplification ultérieure des calculs de prédiction comme nous le verrons dans la partie Equation de conservation en milieu saturé Considérons un élément de volume dv de béton saturé, de section S et d épaisseur dx, soumis à un flux de chlorures unidimensionnel. Pour écrire l équation de conservation des chlorures, il est possible de travailler avec les chlorures libres ou les chlorures totaux. Fig. 1.6 Représentation du flux de chlorures dans le béton Si l on raisonne en termes de chlorures totaux C t (mol/m 3 de béton), il n existe pas de terme source dans ce volume élémentaire, donc la variation de concentration en chlorures totaux dans le temps est égale à la différence entre le flux effectif entrant J e x et le flux effectif sortant J e x+dx (mol/m 2.s)(figure 1.6). L équation de conservation de chlorures totaux s écrit par conséquent : Ce qui permet de poser alors : C t t Sdx = (J e x J e x+dx ) S (1.15) C t t = J e x (1.16) Si on exprime la quantité de chlorures totaux C t (mol/m 3 de béton) en fonction des chlorures liés C B et des chlorures libres C, et en introduisant les notations déjà respectivement proposées

32 16 Connaissances préliminaires C b (mol/kg de solide) et c (mol/m 3 de solution), on obtient : C t = C B + C = ρ d C b + pc (1.17) où ρ d est la masse volumique sèche du béton (kg/m 3 ) et p sa porosité. L équation de conservation devient : ( ) c C b p + ρ d = J e t c x (1.18) Dans le cas de la diffusion moléculaire, le flux de chlorures s exprime par l équation 1.3 et il peut être déduit : c t = D e p + ρ d C b c 2 c x 2 = D 2 c a x 2 (1.19) L équation 1.19 est la seconde loi de Fick, qui fait apparaître le coefficient de diffusion apparent D a (m 2 /s). D a est fonction du coefficient de diffusion effectif et de l isotherme de fixation des chlorures. Cette isotherme n étant pas linéaire, elle dépend donc de la concentration en chlorures Prédiction de la durabilité Nous avons vu précédemment que la dépassivation des aciers est amorcée lorsque les chlorures traversent le béton d enrobage. Au fur et à mesure du temps, les chlorures progressent dans le béton et atteignent le premier lit d armatures à hauteur d un certain seuil, appelé concentration critique. Si l état limite considéré est l initiation de la corrosion, prédire la durabilité consiste à connaître la durée d exposition aux chlorures nécessaire pour que la concentration critique soit atteinte au niveau des aciers. La figure 1.7 illustre la prédiction d évolution du profil en chlorures dans le temps d un béton immergé dans l eau de mer. Les modèles de prédiction permettent de calculer un profil en chlorures à un temps d exposition donné. Ils peuvent être classés suivant la description physique du transport des chlorures retenue, comme exposé dans la partie précédente, à partir de la loi de Fick ou de la relation de Nernst-Planck. Un bref passage en revue de différents modèles existants va être effectué dans le paragraphe suivant. Pour plus de détails sur les références complètes et la nature des

33 17 Connaissances préliminaires modèles cités, notamment sur les données d entrée exactes, les résultats en sortie ou encore les solutions mathématiques employées, des revues détaillées ont déjà été effectuées [AFGC, 2004], [ChlorTest, 2004], [Khitab, 2005]. Fig. 1.7 Exemple de prédiction de profils en chlorures dans le béton Modèles fondés sur la loi de Fick Ces modèles sont décrits par la première loi de Fick. Ceci signifie que les autres espèces chimiques présentes dans la solution interstitielle du béton n influencent pas le flux des chlorures. La résolution mathématique se fait alors par la seconde loi de Fick (voir équation 1.19). C est le coefficient de coefficient apparent D a qui conditionne la résolution ; il dépend du coefficient de diffusion effectif, de la porosité, de la masse volumique et de la pente de l isotherme d interaction. Tous ces paramètres dépendent a priori du temps t (évolution de la microstructure pendant l hydratation), de la position dans le béton x (effet du béton de peau pour les trois premiers, évolution de la concentration en chlorures libres donc changement de pente pour l isotherme d interaction), de la température T. Les modèles fondés sur la loi de Fick se distinguent les uns des autres suivant la méthode de résolution retenue, analytique ou numérique, et la dépendance à t, x, et T des paramètres physiques du béton. Ces modèles peuvent en conséquence être classés suivant leur degré de complexité. Le modèle le plus simple consiste à définir tous les paramètres constants ainsi que les conditions aux limites. En considérant également le béton comme un milieu semi-infini, l équation 1.19 possède alors une solution analytique qui s exprime par la fonction erreur complémentaire erfc.

34 18 Connaissances préliminaires L équation de prédiction du profil en chlorure est la suivante : C(x, t) = C i + (C s C i ) erfc ( ) x 2 D a (t t ex ) (1.20) où C est la concentration en chlorures, C s la concentration à la surface du béton, C i la concentration initiale dans le béton, t l âge du béton et t ex l âge de mise en exposition aux chlorures. Cette relation peut s exprimer en chlorures libres ou totaux (valable car D a est constant donc l isotherme de fixation est linéaire). En 1970, Collepardi [Collepardi et al., 1970] proposa ce modèle qui fut largement appliqué jusqu en 1990 pour la facilité de son utilisation et sa transparence pour n importe quel utilisateur. Cependant, il a été constaté par le retour d expériences que ce modèle surestime la pénétration des chlorures puisque le coefficient de diffusion apparent diminue dans le temps, ce qui constitue le point le plus critiquable du modèle. Il reste néanmoins largement utilisé sous des formes plus ou moins évoluées pour lesquelles D a est dépendant du temps ainsi que C s au travers de divers termes correctifs. Ces modèles sont souvent qualifiés d empiriques puisque la fonction erf c n est alors plus une solution mathématique correcte de la seconde loi de Fick. Pour les modèles les plus sophistiqués, la signification et l utilisation des paramètres correctifs n est pas toujours facile à comprendre et ils doivent donc être clairement définis pour que l utilisateur tire parti au mieux de ces modèles. Peuvent être cités dans les modèles empiriques : False ERFC, Meljbro-Poulsen, Hetek, LEO, DuraCrete, SELMER et JSCE. La résolution de l équation 1.19, en prenant en compte la dépendance temporelle et/ou spatiale des paramètres physiques, des conditions aux limites ou encore la non-linéarité de l isotherme de fixation des chlorures, peut être obtenue par méthodes numériques. Plusieurs modèles proposent ce type de résolution suivant différents schémas numériques. Notons alors que le nombre de paramètres physiques nécessaires à l entrée du modèle augmentent notamment si l isotherme d interaction est prise en compte. Cependant, les données d entrée restent des paramètres directement mesurables par des essais (porosité à l eau, coefficient de diffusion effectif ou apparent, isotherme de fixation des chlorures) ayant fait l objet de nombreuses études et dont les protocoles expérimentaux sont connus. Ainsi, les données d entrée ont une signification physique et leur nombre n est pas si important en regard des termes correctifs et des paramètres de calage nécessaires aux modèles empiriques. Seront cités pour ces modèles numériques : Life-365,

35 19 Connaissances préliminaires ClinConc, LERM Modèles fondés sur la relation de Nernst-Planck Pour une description plus complète des phénomènes mis en jeu et notamment la création d un champ électrique dans la solution interstitielle par les espèces ioniques, le flux de chlorures peut être décrit par la relation de Nernst-Planck. L utilisation de cette relation nécessite alors une approche multi-espèces pour la résolution du problème puisqu il existe un terme de couplage dans l équation 1.9, le champ électrique. Il est créé par les espèces ioniques de signes opposés, de telle sorte que les ions les plus rapides sont ralentis et les plus lents accélérés. La sortie du modèle n est plus uniquement le profil en chlorures, mais également le profil de toutes les espèces retenues. Ces profils sont obtenus par résolution numérique de l équation de conservation de chaque espèce. Les espèces prises en compte sont au minimum les ions les plus présents dans la solution interstitielle : Na +, K +, Cl et OH. Peuvent être également ajoutées les réactions de dissolution et précipitations des hydrates en présence en utilisant leur constante d équilibre pour rendre le problème encore plus complet. Bien que proposant la description physique la plus juste des phénomènes physiques des mécanismes de diffusion, le nombre de données d entrée pour ces modèles est très important et de nombreux paramètres ne sont plus mesurés mais évalués grâce à certaines hypothèses. Par exemple, il semble, en effet, difficile de mesurer les coefficients de diffusion de toutes les espèces en présence. Ces modèles sont donc très complexes et restent difficilement utilisables actuellement dans un autre contexte que celui de la recherche. De nombreux détails sont traités ce qui rend l évaluation de l exactitude et de la pertinence des résultats difficile pour la majorité des utilisateurs. Au titre de ces modèles numériques fondés sur la relation de Nernst-Planck seront cités notamment : MsDiff, Stadium, Johannesson, Li and Page, ou encore celui développé au LEPTAB de La Rochelle Récapitulatif Tous les types de modèles existants ont été présentés rapidement du plus simple au plus complexe suivant la description physique et l approche de résolution retenue. De façon générale, ces modèles sont valables en milieu saturé bien que la prise en compte de la non-saturation soit utilisée dans certains modèles où un terme de convection a été ajouté (modèles du LERM ou du

36 20 Connaissances préliminaires LEPTAB). Ces modèles peuvent être également classés d un autre point de vue : les modèles empiriques basés uniquement sur la résolution de la seconde loi de Fick et les modèles physiques où le transport des chlorures est complété par des équations provenant des mécanismes physiques (isotherme d interaction, champ électrique, équilibres chimiques...). La figure 1.8 propose un organigramme récapitulatif des modèles de diffusion existants. Fig. 1.8 Organigramme des modèles de diffusion des chlorures 1.3 Mesure du coefficient de diffusion des chlorures En plus des propriétés physiques élémentaires, la porosité et la masse volumique par exemple, le coefficient de diffusion est un paramètre fondamental pour décrire la pénétration des chlorures dans les matériaux cimentaires comme le béton. De nombreuses méthodes expérimentales ont été développées ces dernières années pour comprendre les phénomènes de transport des chlorures, mesurer le coefficient de diffusion et prédire la durabilité potentielle d une structure. La complexité des paramètres physico-chimiques du béton et le besoin des ingénieurs d un outil

37 21 Connaissances préliminaires de mesure toujours plus rapide sont à l origine du développement de nouvelles méthodes ou de l amélioration des anciennes. Il est important de définir correctement la grandeur mesurée et de connaître précisément ses conditions de mesure expérimentale. Selon les processus utilisés de diffusion et de migration, avec intégration ou non des intéractions chimiques, deux types de coefficients de diffusion ont été ainsi définis, le coefficient de diffusion apparent D a, et le coefficient de diffusion effectif D e. Les essais sont systématiquement réalisés en conditions saturées et sans gradient de pression pour que seul le phénomène diffusif intervienne. La solution de saturation contient généralement de l eau de chaux ou de l hydroxyde de sodium et de l hydroxyde de potassium (NaOH et KOH) pour limiter la modification du ph et des équilibres chimiques. De plus, les différents dispositifs de mesure utilisent des compartiments contenants, hormis les chlorures, une solution support à base de NaOH et/ou KOH pour éviter au maximum la lixiviation des alcalins du béton. Le schéma suivant 1.9 propose une synthèse des méthodes de mesure et des coefficients de diffusion obtenus, découpée en quatre axes, correspondants à la diffusion seule, la diffusion et la migration, le régime stationnaire ou le régime transitoire. L objet de cette partie est de présenter rapidement les différentes méthodes de mesure des deux coefficients de diffusion. Fig. 1.9 Organigramme des méthodes de mesure du coefficient de diffusion des chlorures Mesure en diffusion naturelle Essai de diffusion en régime stationnaire Un échantillon de béton saturé est disposé entre deux compartiments de concentrations en chlorures différentes, le plus souvent nulle dans le compartiment aval. Sous l effet du gradient

38 22 Connaissances préliminaires de concentration de part et d autre de l éprouvette, les chlorures diffusent au travers de celle-ci de l amont vers l aval. Cet essai est plus communément appelé essai de diffusion. Le gradient de concentration est maintenu constant en renouvelant régulièrement les solutions dans les compartiments. Le dispositif est présenté schématiquement sur la figure Fig Principe de la cellule de diffusion Par dosages chimiques réguliers du compartiment aval, le flux de chlorures au travers de l échantillon est mesuré. La figure 1.11 présente la courbe d évolution avec le temps de la quantité cumulée W (mol) de chlorures ayant pénétré dans le compartiment aval (A est la surface exposée de l échantillon (m 2 ), L son épaisseur (m), et c up la concentration en chlorure à l amont (mol/m 3 )). Fig Evolution du flux de chlorures en aval Le régime permanent apparaît au bout d un certain temps d essai et se traduit par la partie linéaire de la courbe. Le flux constant ( W /A. t) permet de calculer le coefficient de diffusion effectif en utilisant la première loi de Fick : J e = D e c up L (1.21)

39 23 Connaissances préliminaires avec J e le flux effectif en régime stationnaire (mol/m 2.s) et D e le coefficient de diffusion effectif (m 2 /s). Le coefficient de diffusion est, en conséquence, la pente de la partie linéaire de la courbe figure Il s agit d une simplification puisque l expression du flux par la première loi de Fick est incomplète. Il faudrait connaître le champ électrique local créé par les espèces ioniques en présence pour l exprimer avec l équation de Nernst-Planck. Les valeurs obtenues dépendent donc de la concentration c up et du cation associé à Cl. La durée de cet essai est fonction de l épaisseur de l échantillon et des caractéristiques du béton comme le type de ciment (la capacité de fixation augmente la durée du régime transitoire), le rapport E/C, la taille des granulats... Cependant, le délai d obtention du régime permanent est très long, plus d un an pour un échantillon d un béton ordinaire de 3 cm d épaisseur Essai de diffusion en régime transitoire Pour diminuer la durée de l essai de diffusion, deux possibilités sont envisageables : évaluer le coefficient de diffusion en régime transitoire et/ou augmenter le gradient de concentration en augmentant c up. Un échantillon de béton saturé est placé en immersion dans une solution à forte concentration en chlorures. La différence fondamentale avec l essai précédent provient de la mesure : au lieu d étudier le flux de chlorures, c est le profil de concentration en chlorures dans l échantillon qui est déterminé à un instant donné. Cet essai est souvent appelé essai d immersion. Le principe est décrit sur la figure Fig Principe de l essai d immersion Pour mener cet essai, un échantillon de béton, généralement cylindrique, est rendu étanche sur toutes les surfaces sauf une des bases par laquelle la diffusion des chlorures va intervenir. Cette étanchéité est nécessaire pour assurer une pénétration unidimensionnelle des chlorures. La

40 24 Connaissances préliminaires surface accessible est exposée à une solution salée pendant une durée déterminée. La méthode nordique NT Build 443 [NTBuild443, 1995] recommande une immersion minimale de 35 jours dans une solution de chlorures de sodium à 165g/l, tandis que la procédure AASHTO T259 [AASHTOT259, 1980] prévoit une durée de 90 jours et une solution de NaCl à 3 % (30g/l). A la fin de la période d exposition, le profil de concentration en chlorures est déterminé comme indiqué sur la figure De la poudre de l échantillon est collectée à différentes profondeurs par grignotage puis les chlorures totaux sont mesurés par dosage titrimétrique de la solution contenant les chlorures solubles à l acide. Fig Profil en chlorures dans le béton après immersion A partir de ce profil, la solution analytique de la seconde loi de Fick en milieu semi infini est ajustée au profil expérimental (figure 1.13) où trois paramètres de calage sont nécessaires dont le coefficient de diffusion recherché : C(x, t) = C i + (C s C i ) erfc ( ) x 2 D a (t t ex ) (1.22) avec C(x, t) la quantité de chlorures totaux (mol/kg de béton) au temps t (s) et à l abscisse x (m), C s la concentration en surface de l échantillon (mol/kg de béton), C i la concentration initiale dans l échantillon (mol/kg de béton), D a le coefficient de diffusion apparent (m 2 /s), et t ex la durée de l immersion (s). Le coefficient de diffusion mesuré n est donc pas le même que dans l essai de diffusion précédent, où il s agissait du coefficient de diffusion effectif D e, puisqu il prend en compte non seulement la microstructure du béton mais aussi la capacité de fixation des chlorures. La loi

41 25 Connaissances préliminaires de Fick est utilisée avec la limite qu elle sous-tend : une description incomplète des transferts ioniques. De plus, le coefficient de diffusion apparent est considéré comme constant ce qui est vrai seulement si le matériau est homogène, non-évolutif et l isotherme de fixation linéaire ; ce dernier point étant le plus discutable. L avantage principal de cet essai est d être une bonne simulation des conditions d exposition réelles avec une durée d essai acceptable. Cependant, la procédure d obtention du profil en chlorures par grignotage et dosages chimiques est très longue et fastidieuse Mesure sous champ électrique Le processus de diffusion reste un processus lent pour lequel l essai de diffusion et l essai d immersion ne sont pas satisfaisants pour un béton au jeune âge (évolution de la microstructure pendant la durée de l essai) ou encore en cas de besoin d un résultat rapide (nombreux essais, comparaison de différents bétons...). Des essais de migrations ont été développés afin d accélérer le transport des chlorures. Il s agit d appliquer une différence de potentiel de part et d autre de l échantillon de béton par l intermédiaire d électrodes. Sous l influence du champ électrique créé, le mouvement des chlorures, ainsi que celui des autres espèces ioniques, est accéléré vers l électrode de signe opposé Essai de migration en régime stationnaire Le principe de l essai est identique à celui de la cellule de diffusion avec en plus la mise en place des électrodes fixées sur les deux faces de l échantillon et reliées à un générateur de tension. L éprouvette de béton saturé est placée entre les deux compartiments amont, contenant la solution salée et la cathode (signe négatif), et aval, sans chlorures et contenant l anode (signe positif). Sous l effet du champ électrique, les chlorures migrent de la cathode vers l anode. Le dispositif est présenté schématiquement sur la figure Le générateur de tension est réglé le plus souvent dans ce type d essai afin d obtenir un champ électrique de l ordre de 4 V/cm (soit 12 V pour un échantillon de 3 cm). Cette valeur reste suffisante pour obtenir une bonne accélération du mouvement des chlorures mais n est pas trop élevée afin d éviter une augmentation excessive de la température et l apparition de perturbations au niveau des électrodes, notamment la formation d hypochlorite [Prince et al., 1999]. L exploitation se fait là aussi en régime stationnaire comme pour l essai de diffusion. Par

42 26 Connaissances préliminaires dosage régulier du compartiment aval, la quantité de chlorures ayant traversé l échantillon est calculée. Les résultats obtenus sont du même type que ceux de la figure 1.11, l échelle de temps étant beaucoup plus courte puisque le régime devient permanent au bout de quelques jours. Fig Principe de la cellule de migration Dès que ce régime est atteint, c est-à-dire que le flux devient constant, le coefficient de diffusion peut être déterminé à partir de la relation de Nernst-Planck. En écartant le terme diffusif, et en considérant que le potentiel électrique local n est dû qu à la différence de potentiel appliquée à l éprouvette, le coefficient de diffusion flux de chlorures s écrit : J e = D e c up F U RT L (1.23) où J e est le flux effectif en régime stationnaire mesuré dans le compartiment aval (mol/m 2.s), D e le coefficient de diffusion effectif (m 2 /s), c up la concentration en chlorure en amont (mol/m 3 ), F la constante de Faraday (96500 J/V.mol), T la température (K), U la différence de potentiel entre les deux surfaces de l éprouvette (V), et L son épaisseur (m). Une autre exploitation de l essai consiste à suivre l appauvrissement en chlorures dans le compartiment amont, le coefficient de diffusion étant calculé à partir du flux amont [Truc et al., 2000]. Cette méthode présente l avantage de réduire encore plus la durée de l essai puisque le régime permanent est atteint plus rapidement dans le compartiment amont, et de rendre possible la mesure du coefficient de diffusion sur des bétons déjà contaminés par les chlorures. Afin d éviter les opérations fastidieuses de dosage des chlorures, en amont ou en aval, on pourra exploiter l évolution des courants électriques durant l essai d électrodiffusion, à condition de mener l essai en deux étapes : une chronoampérométrie avec la solution de base (NaOH+KOH) et une autre après ajout de NaCl à l amont de la cellule [Amiri et al., 2001]. La démarche consiste

43 27 Connaissances préliminaires à extraire le courant dû au transport des chlorures et d en calculer le flux en régime stationnaire, donc le coefficient de diffusion [Arliguie et Hornain, 2007]. Néanmoins, les inconvénients de durée d essai subsistent puisque l exploitation se fait en régime stationnaire Essai de migration en régime transitoire Le dernier essai présenté ici est le plus rapide puisqu il combine à la fois l utilisation d un champ électrique et l exploitation en régime non permanent. Il présente le principal avantage de fournir un résultat au bout de 24 heures. Le principe est de mettre en place une éprouvette de béton saturé entre deux compartiments de solution amont et aval avec deux électrodes disposées sur chaque face du béton. Sous l influence du champ électrique créé, les chlorures se déplacent par migration de la cathode à l anode. Pendant le régime transitoire, les chlorures traversent l échantillon en formant un front avançant à vitesse constante. Le régime permanent est atteint lorsque la concentration en chlorures est constante dans l échantillon. La figure 1.15 illustre le profil de concentration en chlorures dans l échantillon pendant l essai de migration. Fig Front d avancement des chlorures en migration L essai exposé ici a été développé par Tang et Nilsson [Tang et Nilsson, 1992] et fait l objet de la norme NT Build 492 [NTBuild192, 1999]. La figure 1.16 présente le matériel utilisé. Le compartiment amont contient une solution de chlorure de sodium à 10 % en masse (environ 2 M ou 110 g/l) et en aval une solution d hydroxyde de sodium à 0,3 M. L éprouvette de béton est saturée à l eau de chaux. Au début de l essai, une différence de potentiel de 30 V est appliquée à l échantillon de 5 cm d épaisseur. La tension est ensuite ajustée en fonction de la qualité du béton de telle sorte qu au bout de 24 heures (temps de l essai), le front de pénétration n atteigne pas l extrémité de sortie

44 28 Connaissances préliminaires de l éprouvette. La qualité du béton est évaluée sur la base de la mesure du courant traversant l échantillon à l application des 30 V. Fig Schéma de principe de la méthode NT Build 192 [NTBuild192, 1999] A la fin de l essai, l éprouvette est rompue par fendage et la profondeur de pénétration des chlorures, notée x d, est mesurée par pulvérisation d un révélateur, le nitrate d argent. La figure 1.17 présente le calcul de x d, moyenne de 7 mesures x di, après pulvérisation de l AgNO 3. Fig Mesure du front d avancement des chlorures [NTBuild192, 1999] La théorie pour l exploitation du résultat est un peu plus complexe et sous-entend un certain nombre d hypothèses. Rappelons l équation de conservation des chlorures dans le béton saturé à l échelle d un volume élémentaire représentatif, où p, ρ d, c et C b sont respectivement la porosité ouverte, la masse volumique sèche (kg/m 3 ), la concentration en chlorures libres (mol/m 3 ) et la quantité de chlorures fixés (mol/kg de matériau sec) : (ρ d C b ) t + (pc) t = J e x (1.24)

45 29 Connaissances préliminaires Le flux de chlorures J e (mol/m 2.s) s exprime dans sa forme la plus complexe par la relation de Nernst-Planck : ( c J e = D e x + z Cl F ) RT c ϕ x + c lnγ Cl x (1.25) avec z Cl et γcl la valence et le coefficient d activité chimique des ions chlorures, et ϕ le potentiel électrique. On considère que les réactions chimiques et les chlorures fixés sont négligés, ce qui se justifie en partie par le fait que le champ électrique rend la vitesse de transport des chlorures très rapide et atténue donc grandement l influence de ces réactions. Il n y a donc plus d évolution de la microstructure et, par conséquent, la porosité reste constante dans le temps. De plus, on émet l hypothèse que le champ électrique appliqué est suffisamment fort pour que l activité chimique et le couplage électrochimique entre les différents ions soient négligés. Cette dernière simplification nous permet de prendre en compte une variation linéaire du potentiel électrique de telle sorte que son gradient soit constant : ϕ x = ϕ ext L = U L = E ext = cste (1.26) où U est la tension appliquée dans l échantillon (V), L l épaisseur de béton (m) et E ext le champ électrique local correspondant (V/m). L équation de bilan 1.25 devient : ( c 2 t = D c nssm x 2 z Cl F E ) ext c RT x (1.27) où D nssn est le coefficient de diffusion apparent (m 2 /s) obtenu en migration et régime transitoire (Non Steady State Migration), égal à De p, compte tenu des hypothèses émises. Une première façon simple de résoudre l équation 1.27 consiste à négliger le flux diffusif. L équation 1.27 s écrit : ( ) c F t = D Eext c nssm RT x (1.28) La solution de l équation 1.28 est alors la suivante : D nssm = RT x f F E ext t (1.29) où x f (m) est l abscisse du point d inflexion du front de chlorures en migration après un essai

46 30 Connaissances préliminaires de durée t (s). La profondeur de pénétration, ou position du front de chlorures que l on mesure, notée x d, est égale à x f si l on est en migration pure puisque le front théorique est vertical. Or le profil expérimental obtenu, si la diffusion n est pas négligée, est présenté sur la figure Fig Point d inflexion du front de chlorures en migration Un terme correctif empirique, obtenu par ajustement numérique, pour prendre en compte ces écarts est proposé [Tang et Nilsson, 1992]. On a alors : x f = x d 1, 061x d 0,589 (1.30) Pour une analyse plus approfondie, une solution analytique complète à l équation 1.27 où le terme diffusif n est pas négligé [Tang, 1996] peut être recherchée. Pour un milieu semi-infini, la solution est la suivante : ( c = c 0 2 (erfc c 02 (e z Cl F E ext RT x erfc )) x 2 D z Cl F E ext Dnssmt nssmt 2RT + ( x 2 D + z Cl F E ext Dnssmt nssmt 2RT ) ) (1.31) Il est avancé que lorsque le champ électrique local E ext et la profondeur de pénétration x d sont suffisamment grands (utilisation en l occurrence de 600 V/m comme champ électrique), le deuxième terme de l équation 1.31 tend vers 0 et l expression au point x d deviendrait : c = c 0 2 ( ( x erfc 2 D nssm t z Cl F E ext Dnssm t 2RT )) (1.32) ou encore, x d 2 Dt z Cl F E ext Dnssm t 2RT ( = erf 1 1 2c ) d c 0 (1.33)

47 31 Connaissances préliminaires où c d est la concentration correspondant à la mesure de x d par le révélateur coloré. La valeur de c d est bien évidemment très faible mais on ne peut pas faire l hypothèse c d = 0 à ce niveau là puisque l équation 1.33 ne nous permettrait pas de conclure comme erf 1(1). Posons deux constantes a = z Cl F E ext /RT et ξ = erf 1 (1 2c d /c o ), l équation 1.33 peut dès lors s écrire : ( D nssm ) 2 + 2ξ a Dnssm x d t at = 0 (1.34) La seule solution positive de cette équation du second degré est : D nssm = 1 at ( 2ξ 2 a + x d 2ξ ) ξ 2 a a + x d (1.35) Après une revue sur l évaluation de la profondeur de pénétration des chlorures par nitrate d argent, la concentration en chlorures libres c d 0,07 M est proposée. De ce fait, et dans les conditions de la procédure NT Build 492 (T=295 K, U=30 V, L=0.05 m, c o =2 M), le paramètre a vaut m 1 et ξ a une valeur de 1,28. a étant largement supérieur à ξ 2, on peut écrire : D nssm = 1 at ( x d 2ξ a xd ) (1.36) L équation 1.36 peut être mise sous la forme : D nssm = RT L z Cl F U ( ) xd αx 0.5 d t (1.37) où, α est une constante de l essai, α = 2 RT L 1 erf z Cl F U ( 1 2c ) d c 0 (1.38) C est la forme finale de l équation 1.37 qui est utilisée dans la norme NT Build 492 pour évaluer en migration le coefficient de diffusion apparent en régime transitoire. La rapidité de l essai permet d obtenir le coefficient de diffusion en 24 heures, sans intervention quelconque pendant cette durée, contrairement aux essais en régime permanent qui nécessitent des prélèvements pour dosage. De plus l obtention du résultat est lui aussi très simple puisqu il n est effectué qu un fendage de l éprouvette, une pulvérisation de AgNO 3 et la mesure du front d avancement des

48 32 Connaissances préliminaires chlorures, contrairement aux autres méthodes où soit des dosages chimiques, soit des suivis de courant sont nécessaires. Cette méthode est clairement la plus efficace et la plus économique devant le nombre d opérations réduites et l absence de dosages chimiques. L économie est également réalisée avec le matériel, puisque il n y a pas besoin d utiliser des électrodes de bonne qualité, car là encore sans dosage, la propreté des solutions anodiques et cathodiques n est pas nécessaire. D un point de vue théorique, rappelons les principales hypothèses : les isothermes d interaction des chlorures avec le matériau ne sont pas prises en compte ainsi que les effets multi-espèces. Le coefficient de diffusion obtenu est D nssm. Ce coefficient de diffusion apparent permet de calculer le coefficient de diffusion effectif, le plus utile pour les modèles de prédiction, uniquement grâce à la porosité compte tenu de la première hypothèse rappelée et en négligeant également les effets de tortuosité et de constrictivité [Van Brakel et Heertjes, 1974] : D e = D nssm p (1.39) Cette dernière relation a été validée par d autres auteurs [Castellote et al., 1999] en migration pour de faibles concentrations en chlorures, environ 50 g/l, ce qui correspond sensiblement aux conditions de cet essai (c o 70 g/l). 1.4 Les approches probabilistes Au travers des modèles de pénétration des chlorures et de la mesure du coefficient de diffusion, la durée de vie des ouvrages en environnement marin est évaluée. A l heure actuelle, et il en est ainsi pour tous les problèmes de durabilité, les modèles utilisent généralement des valeurs déterministes des données physiques pour les paramètres d entrée. Le résultat obtenu, par exemple le front de pénétration des chlorures, est, par conséquent, déterministe. Cependant, ces modèles ne tiennent pas compte de la variabilité des paramètres physiques. Comment procéder alors à un dimensionnement probabiliste de la durabilité, c est-à-dire prendre en compte l incertain dans un processus prédictif? Dans ce développement, nous allons revenir sur quelques notions statistiques préliminaires sur les variables aléatoires puis définir le problème de base permettant de répondre à la question posée. Enfin, la méthode la plus appropriée au problème de durabilité en environnement marin sera détaillée.

49 33 Connaissances préliminaires Les variables aléatoires Quelques éléments de vocabulaire nécessaires au développement des approches probabilistes à suivre sont précisés rapidement dans cette partie Caractéristiques statistiques En probabilité, si l on considère une variable aléatoire X, on définit la fonction de répartition associée F X telle que : F X (x) = P [X x] (1.40) Cette fonction de répartition d une variable aléatoire continue est la primitive de la densité de probabilité notée f X : F X (x) = x Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes : f X (ξ)dξ (1.41) F X ( ) = 0 et F X (+ ) = 1 (1.42) + f X (ξ)dξ = 1 (1.43) Dans le cas d une variable aléatoire discrète, les intégrales sont transformées par une somme sur l ensemble des probabilités de ses valeurs (probabilités cumulées). Une variable aléatoire est alors caractérisée par trois grandeurs principales : sa valeur moyenne µ (premier moment : espérance mathématique E) : E(X) = µ = + ξf X (ξ)dξ (1.44) son écart-type σ (second moment : racine de la variance V ) : V (X) = σ 2 = + (ξ µ) 2 f X (ξ)dξ (1.45)

50 34 Connaissances préliminaires son coefficient de variation c v : c v (X) = µ σ (1.46) Des moments d ordre supérieur comme le coefficient d asymétrie (ordre trois) ou la kurtosis (ordre quatre, indicateur d aplatissement des extrêmes des distributions) peuvent être utiles pour caractériser la loi de distribution d une variable aléatoire Exemples La loi normale (ou gaussienne) est une des principales distributions de probabilité. Une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne µ, d écart-type σ et de fonction de répartition F X a la densité de probabilité suivante, dont la représentation graphique est une courbe en cloche : f X (ξ) = 1 σ (ξ µ) 2 2π e 2σ 2 (1.47) La loi normale centrée réduite est la loi normale pour laquelle la moyenne est nulle (µ=0) et l écart-type est égale à un (σ=1). Sa fonction de répartition φ s écrit donc : φ(x) = 1 2π x e ξ2 2 dξ (1.48) Elle peut également s exprimer à partir de la fonction erreur erf comme étant : φ(x) = 1 2 ( ( )) x 1 + erf 2 (1.49) Ses deux principales propriétés sont les suivantes : ( ) x µ F X (x) = φ σ (1.50) φ( x) = 1 φ(x) (1.51) Une autre loi fréquemment observée est la loi log-normale qui vient en complément de loi normale pour décrire des variables à valeurs strictement positives. Une variable aléatoire X suit une loi log-normale de paramètres λ et η si la variable Y = ln(x) suit une loi normale de

51 35 Connaissances préliminaires moyenne λ et d écart-type η. Ainsi, elle possède cette densité de probabilité : f X (ξ) = Sa moyenne µ et son écart-type σ sont : 1 ξη (lnξ λ) 2 2π e 2η 2 (1.52) µ = e λ+η2 /2 (1.53) σ = µ e η2 1 (1.54) La figure suivante illustre les densités de probabilité d une loi normale et d une loi log-normale de même moyenne et écart-type (µ = 3 et σ = 1) : Fig Densités de probabilité d une loi normale et log-normale de même moyenne et écarttype Compte tenu de la moyenne et de l écart-type, les paramètres de la loi log-normale sont λ = 1, 046 et η = 0, 325. On remarque, sur la figure 1.19, que les mesures de la tendance centrale sont différentes : pour la loi normale, moyenne et mode (maximum de la densité de probabilité) sont identiques alors que pour la loi log-normale, on observe que le pic (2,56) est inférieur à la moyenne. La loi log-normale est, en effet, dissymétrique Problème de base Les grandeurs influentes associées au problème physique sont considérées maintenant comme des variables aléatoires. Le risque est évalué sous la forme d une probabilité et non plus sous la forme d un jugement binaire, à savoir le dimensionnement est acceptable ou non. C est

52 36 Connaissances préliminaires évidemment une approche plus riche mais qui peut conduire à de nombreuses difficultés car il faut, dans un premier temps, identifier les sources d incertitudes, et, dans un deuxième temps, leur attribuer une distribution statistique, ce qui est parfois peu aisé. Néanmoins, au travers de ces questions, la réflexion et l analyse du problème n en deviennent que plus complètes Probabilité de défaillance L objectif est de déterminer la probabilité P f qu un événement indésirable se produise sur une période spécifiée a priori [Leporati, 1977], généralement un état limite (typiquement, l Etat Limite de Service et l Etat Limite Ultime). Du point de vue probabiliste, l atteinte de cet état limite, défini conventionnellement de ruine (par exemple l amorçage de la corrosion), est conditionnée par le caractère aléatoire d une variable de «résistance» R (l enrobage du béton) et d une variable de «sollicitation» S (la profondeur de pénétration des chlorures). Le problème consiste ainsi à estimer que les facteurs résistants soient supérieurs aux sollicitations. Il est à noter que ces théories ont été développées dans le cadre de la fiabilité des structures et que le vocabulaire associé à ce contexte est donc issu de la mécanique [Lemaire, 1992] [Ditlevsen et Madsen, 1996]. Dans le formalisme mathématique, les variables aléatoires (X i, i = 1... n) sont représentées par le vecteur X. En fonction des réalisations de ces variables, l état d une structure peut appartenir à deux domaines : un domaine de ruine et son complémentaire appelé domaine de sûreté. La frontière entre ces deux domaines est appelée surface d état limite ou de défaillance. Fig Représentation du problème probabiliste

53 37 Connaissances préliminaires Pour chaque type de défaillance, une fonction d état limite G( X) est définie dans l espace des variables aléatoires. La fonction G est une fonction déterministe (décrite par une équation ou un schéma numérique) pour laquelle les variables sont aléatoires. L équation de défaillance s écrit alors : G( X) = R S (1.55) Ainsi, le domaine de sécurité est représenté par l ensemble des valeurs prises par les variables aléatoires pour lesquelles G( X) > 0 et le domaine de défaillance par G( X) 0, comme représenté sur la figure L équation G( X) = 0 est la surface d état limite. La probabilité de défaillance P f est donc, pour n variables aléatoires : P f = P De la même façon, la fiabilité est alors définie par : [ G( X) ] 0 = f X (x)dx 1... dx n (1.56) G( X) 0 P r = 1 P f = P [ G( X) ] > 0 = f X (x)dx 1... dx n (1.57) G( X)>0 Du point de vue probabiliste, la justification du dimensionnement se fait par une probabilité cible P fcible, c est-à-dire un risque de défaillance acceptable. La probabilité de défaillance P f et la quantification de la sécurité s écrivent alors : P f = P [R S] P fcible (1.58) La valeur cible de P f peut-être choisie suivant plusieurs critères dont notamment : la durée de vie exigée de l ouvrage, son importance économique et stratégique, les conditions environnementales. Dans le domaine de la construction, cette valeur est souvent relativement faible (10 1 à 10 4 ) car, pour un Etat Limite Ultime, les critères sociaux et économiques de la défaillance ne sont peu ou pas acceptables (par exemple pour l effondrement d un pont, les éventuelles victimes et les coûts d interruption du trafic).

54 38 Connaissances préliminaires Méthodes de justifications de la sécurité Les méthodes existantes de justification de la fiabilité sont généralement regroupées en quatre niveaux [Madsen et al., 1986] : Niveau 0 : Approche déterministe. Il correspond aux approches purement déterministes, c est-à-dire que les sollicitations et les résistances ont des valeurs strictement fixées. La sécurité et les incertitudes sont couvertes par un facteur de sécurité global. Niveau 1 : Approche semi-probabiliste. La sécurité est introduite par l intermédiaire de coefficients partiels de sécurité et de valeurs représentatives judicieusement choisies. Les valeurs représentatives (ou caractéristiques) tiennent compte de la dispersion statistique observée par un fractile de la loi de distribution. Les coefficients de sécurité sont déterminés en fonction du choix des valeurs représentatives et des modèles structuraux employés, à partir de méthodes plus complètes décrites dans les niveaux suivants. Niveau 2 : Analyse probabiliste simplifiée. Le niveau correspond aux analyses probabilistes pour lesquelles la fiabilité est quantifiée par un indice de fiabilité. Des hypothèses simplificatrices permettent de calculer une probabilité de défaillance approchée (linéarisation de la surface d état limite). Niveau 3 : Méthodes probabilistes. Il est fondé sur des méthodes purement probabilistes pour lesquelles les variables aléatoires sont caractérisées par leur loi conjointe. La probabilité de défaillance est alors déterminée de façon mathématiquement exacte en calculant une intégrale multiple sur le domaine de défaillance. Dans bien des cas, les distributions conjointes ne sont pas connues ou l intégrale n est pas calculable sauf dans le cas de fonctions d état limite linéaires. On a alors recours à des méthodes d intégration numériques de type Monte-Carlo. Il est à noter que les méthodes de niveau 1 sont utilisées dans les codes de calcul réglementaires comme les Eurocodes (béton, acier...), et que les coefficients partiels de sécurité peuvent être évalués à partir des méthodes de niveau 2 [AFNOR, 2003]. Ainsi, afin de développer une méthodologie à caractère réglementaire, les approches de niveau 2 vont être détaillées dans la partie suivante. Les méthodes de niveau 3 permettent, quant à elles, une détermination précise de la probabilité de défaillance [Rubinstein, 1981]. Les simulations de Monte-Carlo font appel à de nombreux

55 39 Connaissances préliminaires tirages des variables aléatoires, et pour chaque tirage, la valeur de la fonction performance indique si l on se trouve dans le domaine de défaillance (figure 1.21). Fig Illustration de la méthode de Monte-Carlo La probabilité de défaillance s exprime alors simplement comme le rapport entre le nombre de tirages pour lesquels la défaillance est atteinte (n f ) et le nombre total de tirages (n) : P f = n f n (1.59) Cette méthode est efficace et ne pose pas de contrainte particulière sur la fonction à évaluer ou les variables aléatoires (type de loi). Cependant, elle converge lentement : pour des probabilités de défaillance de 10 4, on a besoin d environ un million de tirages pour une erreur tolérée de 10% sur le résultat (pour P f =10 k, environ 10 k+2 tirages). Les temps de calcul peuvent devenir extrêmement longs. Cette méthode reste toutefois utilisée, notamment comme méthode de référence pour l évaluation précise de P f. On a alors recours à des algorithmes optimisés pour améliorer la performance de cette méthode (Monte-Carlo conditionnée, Monte-Carlo par tirages d importances [Sellier, 1995]) Les méthodes de niveau 2 Les méthodes de niveau 2 sont des méthodes approchées d évaluation de la probabilité de défaillance par un indice de fiabilité que nous allons définir ici et relier à P f.

56 40 Connaissances préliminaires Espace réduit Pour résoudre le problème posé et tenter de calculer la probabilité de défaillance P f, une modification du problème est opérée. Elle consiste à effectuer un changement de base des variables aléatoires pour se ramener dans une nouvelle base où une conduite des calculs est possible et l intégration de certaines formes du domaine de défaillance est connue. C est le principe des méthodes de niveau 2 qui nécessitent de travailler dans un espace probabiliste réduit, c est-à-dire un espace dans lequel toutes les variables aléatoires sont transformées en lois normales centrées réduites et indépendantes, que nous représenterons par le vecteur U (figure 1.22). L origine du repère est centré sur les valeurs moyennes des variables réduites. Ainsi, les difficultés liées à une différence trop importante entre les ordres de grandeur des variables aléatoires du problème sont évitées. Fig Illustration du passage de l espace physique à l espace réduit La transformation du vecteur X de l espace physique au vecteur U de l espace réduit est nécessaire pour la détermination de l indice de fiabilité. Si les variables sont indépendantes et les fonctions de répartition connues, on utilise la transformation T ( U = T ( X)) sur chaque variable comme suit : u i = φ 1 {F Xi (x i )} (1.60) où φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite qui est décrite dans la partie précédente. Cette transformation est illustrée sur la figure 1.23 : pour chaque valeur de x i, on dispose de la probabilité cumulée F Xi (x i ) qui, reportée sur la fonction de répartition φ, conduit au u i associé. Ce schéma permet de procéder de façon numérique lorsque, pour certaines

57 41 Connaissances préliminaires lois de distribution, la transformation ne s exprime pas de manière analytique. Fig Transformation d une loi de distribution en loi normale centrée réduite En revanche, pour une variable aléatoire normale de moyenne µ et d écart-type σ, la transformation probabiliste est connue analytiquement et s écrit : x = µ + σ u (1.61) Pour une loi log-normale de moyenne µ et d écart-type σ, la transformation est elle aussi connue et se traduit par : x = ( ( ) ) µ exp u ln 1 + σ2 1 + σ2 µ 2 (1.62) µ 2 Cependant, si les variables sont dépendantes, on ajoute une étape préliminaire à la transformation pour les rendre indépendantes, en exprimant la répartition d une variable conditionnellement aux autres (équation 1.63). C est le principe de la transformation de Rosenblatt [Rosenblatt, 1952]. u i = φ 1 {F Zi (x i )} et F Zi (x i ) = F Xi (x i x 1,..., x i 1 ) (1.63) Enfin, quand la densité de probabilité conjointe n est pas connue, on a alors recours aux transformations, plus complexes, de Nataf [Nataf, 1962]. Les variables aléatoires sont transformées en variables intermédiaires normales selon la relation 1.60, puis ces dernières sont décorrélées pour les rendre indépendantes.

58 42 Connaissances préliminaires Indice de fiabilité Dans cet espace réduit, la sécurité peut être exprimée par l indice de fiabilité d Hasofer- Lind [Hasofer et Lind, 1974], noté β. Il est défini comme étant la distance minimale de l origine de l espace réduit à un point de la surface d état limite dit point de conception et noté P (figure 1.24). Fig Représentation de l indice de fiabilité β dans l espace réduit Le point P est le point où la défaillance est la plus probable puisque la valeur de la densité de probabilité conjointe est la plus forte. De plus, un indice de fiabilité élevé correspond à une probabilité de défaillance faible puisque les coordonnées du point de conception sont éloignées des valeurs moyennes (origine du repère) des lois de distribution. Inversement, pour un indice de fiabilité faible, les coordonnées de P sont proches des valeurs moyennes, donc la probabilité de défaillance est importante. Une fois l indice de fiabilité déterminé, une probabilité de défaillance conventionnelle lui est associée. Elle s exprime selon la fonction de répartition de loi normale : P f = φ ( β) (1.64) La correspondance est donnée sur la figure Dans ce calcul, la surface d état limite est approximée par un hyperplan tangent au point de conception(figure 1.24), c est-à-dire qu il est

59 43 Connaissances préliminaires procédé à une approximation linéaire de la surface d état limite (méthode FORM, First Order Reliability Method). On parle de probabilité conventionnelle puisque la probabilité de défaillance est elle aussi approximée. Par exemple, sur la figure 1.24, dans le cas d une surface d état limite concave par rapport au domaine de défaillance, P f est sur-estimée, tandis que si la surface est convexe, P f est sous-estimée. Fig Correspondance β et P f Pour gagner en précision, il est possible d avoir recours à une approximation plus fine de la fonction d état limite en remplaçant la fonction d état limite au point de conception par une surface quadratique (hyperparaboloïde) ayant même courbure en ce point (méthode SORM, Second Order Reliability Method). En pratique, la méthode SORM est moins utilisée que la méthode FORM dont l approximation est suffisante dans la plupart des cas. En résumé, dans l espace réduit des variables aléatoires, la connaissance de l indice de fiabilité β nous renseigne en lui-même sur le niveau de sécurité et permet également de calculer plus ou moins finement la probabilité de défaillance P f. Il reste donc à déterminer β, ce qui est un problème d optimisation sous contrainte au sens où l on cherche la distance minimum entre l origine du repère et la courbe d état limite L u : β = min ( U T U ) 1/2, U Lu (1.65) Pour converger vers P associé à β, différentes méthodes existent. La plus utilisée est celle s appuyant sur l algorithme de Rackwitz-Fiessler [Rackwitz et Fiessler, 1979] car il est facile d utilisation et donne d assez bons résultats en pratique. C est une méthode itérative générant une suite de points qui convergent vers une solution optimale. Ainsi, le point de défaillance le plus probable est obtenu par itérations successives, k, lorsque la précision ɛ b souhaitée sur

60 44 Connaissances préliminaires l indice de fiabilité est obtenue, à savoir : β k+1 β k = ɛ b (1.66) L indice de fiabilité β k+1 est la norme du vecteur des variables aléatoires dans l espace réduit U k+1, déduit de U k par l itération suivante : U k+1 = Uk T αk + ( ) G Uk G ( Uk ) α k (1.67) où α k est le vecteur unitaire normal à la surface définie par G( U) = G( U k ), c est-à-dire parallèle au gradient de la fonction d état limite G( U) : ( ) G Uk α k = ( ) G Uk (1.68) Il est à noter que l évaluation du gradient se fait dans l espace réduit alors que la fonction d état limite est définie dans l espace physique. Il faut procéder au calcul du gradient dans l espace physique pour revenir ensuite dans l espace réduit par les transformations probabilistes déjà évoquées. De plus, il convient de vérifier que le point de conception obtenu n est pas un minimum local en ayant recours à plusieurs points initiaux de la séquence itérative. Pour s assurer de la pertinence de l indice β, il est usuel de procéder à une évaluation de P f en niveau 3 par tirages conditionnés au voisinage de P [Sellier, 1995]. Enfin, la détermination de l indice de fiabilité β est le point phare des méthodes de niveau 2, finalement plus que le calcul exact de la probabilité de défaillance associée. En effet, les probabilités de défaillance sont des grandeurs très faibles et difficiles à comparer (de 10 4 à 10 8 ), et, pour un problème donné, l utilisation de l indice de fiabilité est plus propice à la comparaison de cas ou à l étude de l influence d une variable. 1.5 Les réseaux bayésiens Les méthodes probabilistes précédemment décrites nécessitent l acquisition et l utilisation d une base de données afin de caractériser les paramètres physiques aléatoires définis sous forme

61 45 Connaissances préliminaires de lois de distribution des variables aléatoires définies. L acquisition peut se faire de manière directe à partir de mesures obtenues par l expérimentateur sur les grandeurs étudiées permettant de construire la loi de probabilité associée. Cependant, l acquisition de la connaissance doit pouvoir continuer après la constitution de cette première base de données. Le statisticien peut proposer alors des solutions pour actualiser ces données et les lois de distribution. Selon le type d application, l utilisation de réseaux bayésiens peut être envisagée. L intérêt principal est de permettre une actualisation contrôlée de la connaissance suivant la confiance liée aux diverses sources d information, contrairement à la statistique non bayésienne Principes généraux Le domaine des réseaux bayésiens a la particularité d associer deux domaines mathématiques pour représenter l incertitude : la théorie des graphes qui permet une modélisation qualitative de la connaissance, la théorie des probabilités pour traiter de manière quantitative les connaissances. Ainsi, les réseaux bayésiens rassemblent et fusionnent les connaissances de diverses natures dans un même modèle sous plusieurs formes : le retour d expérience grâce aux données empiriques déjà obtenues et l expertise exprimée sous formes de règles logiques, d équations ou encore de probabilités subjectives Phase de construction Ces réseaux utilisent un graphe causal (noeuds reliés par des arcs de relations de dépendance) dans lequel une observation introduite sur une variable se répercute sur l état des autres variables. La construction du réseau s effectue en trois étapes présentées dans le tableau 1.2. Dans la première étape, l utilisateur définit l ensemble des variables du système, en précisant l espace d états de chaque variable, à savoir l ensemble de ses valeurs possibles. En général, les variables considérées sont aléatoires mais il est possible d introduire des valeurs déterministes liées à des observations particulières ou simplement pour la compréhension globale du système. Dans le cas de grandeurs physiques, les variables seront définies sur une plage d observations probables donnée par l expert. Il est à noter que la plupart des logiciels de réseaux bayésiens fonctionnent avec des variables discrètes : les variables continues devront donc être judicieuse-

62 46 Connaissances préliminaires ment discrétisées pour un optimum entre précision des observations et saturation de l espace mémoire machine dans le traitement du réseau. 1. Identification des variables et de leurs espaces d états 2. Définition de la structure du réseau bayésien 3. Définition de la loi de probabilité conjointe des variables Tab. 1.2 Etapes de la construction d un réseau bayésien [Naïm et al., 2007] Dans la structure du réseau, l utilisateur identifie les liens entre les différentes variables, là encore sous le contrôle de l expert. Il s agit simplement de relier des causes et des effets par des flèches orientées. Cependant s il existe une relation causale de A vers B, toute information sur A peut modifier la connaissance sur B et réciproquement. L information ne circule pas uniquement dans le sens des flèches. L ensemble des noeuds et des flèches forme la structure du réseau bayésien : c est donc la représentation qualitative de la connaissance. La dernière étape de construction consiste à affecter à chaque noeud une table de probabilité qui représente la distribution locale de probabilité. Suivant le type de noeuds, deux cas de figure se présentent : si la variable n a pas de cause, l expert définit alors la loi de probabilité marginale associée (lui-même ou à partir d observations). Si la variable possède différentes causes, l expert doit préciser la dépendance en fonction de ces causes par une table de probabilités conditionnées qu il exprime directement, ou par des relations déterministes qui conduisent au calcul de cette table, grâce à des simulations de Monte-Carlo notamment. Cette dernière étape constitue la représentation quantitative de la connaissance Phase d utilisation L utilisation d un réseau bayésien est le calcul de la probabilité d une hypothèse connaissant certaines observations. Il n y a pas vraiment d entrées ni de sorties dans un réseau bayésien au sens où il peut très bien servir à déterminer la valeur la plus probable d un noeud en fonction

63 47 Connaissances préliminaires d informations données (prévoir, au sens entrées vers sorties), mais également pour connaitre la cause la plus probable d une observation (expliquer, au sens sorties vers entrées). L utilisation repose sur la propagation de l information au sein du réseau (des calculs de probabilités), appelée l inférence. Une fois le réseau construit et les observations sur une variable recueillies, quelles sont les répercutions sur les autres variables, comment les informations sont-elles mises à jour? Le principe général d apprentissage peut être décrit par la règle générale suivante [Naïm et al., 2007] : a posteriori vraisemblance a priori (1.69) La modification de l information dans le réseau par de nouvelles observations est ainsi conditionnée : la connaissance a priori est transformée a posteriori en fonction de la vraisemblance de l observation des études selon la connaissance initiale. Cela se traduit encore par le fait que plus les exemples observés s éloignent de la connaissance initiale du réseau, plus il faut modifier celle-ci. D un point de vue mathématique, cette règle, appliquée ici à la connaissance, se traduit par le théorème de Bayes sur les lois de probabilité [Fienberg, 2005] : P (A i B) = P (B A i)p (A i ) j P (B A j)p (A j ) (1.70) Le terme P (A i ) est la probabilité a priori de A i ou encore appelée probabilité marginale de A. Elle est antérieure à toute information sur B. Le terme P (A i B) est appelé la probabilité a posteriori de A i sachant B. Elle est postérieure, au sens où elle dépend directement de l observation sur B. Le terme P (B A i ), pour un B observé, est appelé la fonction de vraisemblance de A i. L utilisation des réseaux bayésiens au travers d un exemple sera mis en évidence dans la partie suivante Remarques sur les réseaux bayésiens Les réseaux bayésiens ne sont pas les seuls outils statistiques permettant la mise en forme de la connaissance : ils peuvent être utilisés tout comme celle d autres modèles comme les réseaux de neurones, les arbres de décisions, l analyse de données ou les systèmes experts.

64 48 Connaissances préliminaires Tout d abord, par rapport aux systèmes déterministes comme les systèmes experts, les réseaux bayésiens permettent une prise en compte de l incertitude dans le raisonnement. Ils sont donc adaptés aux problèmes pour lesquels l incertitude est présente, soit dans les observations, soit dans les règles de décision. De plus, en termes d utilisation du modèle, l avantage essentiel est de permettre un formalisme complet de la connaissance sur un sujet sous forme de graphe causal contrairement aux techniques d analyse de données. En conséquence, la représentation graphique explicite, intuitive et compréhensible permet l utilisation par un non spécialiste du domaine d étude. Enfin, la place de l expert marque la différence avec les réseaux de neurones ou les arbres de décisions puisque le physicien peut associer des équations au modèle statistique ou encore accorder un degré de confiance aux observations en fonction de son avis (probabilités subjectives). Les réseaux bayésiens, pour l étude probabilisée du béton en environnement marin, paraissent donc être les outils les plus adaptés pour l actualisation des données. Ils vont permettre la gestion des variables aléatoires dans un graphe causal utilisable par d autres chercheurs non initiés au traitement statistique. La construction du réseau pourra faire place aux connaissances maintenant nombreuses du domaine pour intégrer la physico-chimie sous forme de relations déterministes par exemple. De plus, les différents experts pourront intervenir comme garde-fou dans l analyse des résultats en leur associant un degré de confiance Exemple d application Dans cette partie, l utilisation d un réseau bayésien est illustrée par un exemple simple de diffusion des chlorures dans le béton. Ce réseau est construit pour synthétiser la connaissance en tenant compte de l avis d un expert, pour prendre en compte les incertitudes sur les paramètres physiques et pour enrichir la connaissance à partir de mesure de profils en chlorures obtenus sur des bétons in situ Identification des variables aléatoires L expert associe comme cause de la pénétration des chlorures dans le béton le coefficient de diffusion. Grâce à sa connaissance, il propose comme modèle de durabilité le modèle de pénétration des chlorures en milieu saturé fondé sur la solution analytique de la deuxième loi de Fick (équation 1.20) où la concentration initiale en chlorures dans le béton est considérée

65 49 Connaissances préliminaires comme nulle et la durée d exposition est notée T : ( ) x C(x, t) = C s erfc 2 D a T (1.71) Les grandeurs physiques à prendre en considération sont donc le coefficient de diffusion apparent D a et la concentration en chlorures C(x, T ) à une profondeur de béton x et un temps d exposition T. Pour le problème de corrosion, l expert souhaite en plus ajouter un aléa sur la position de l armature x r car son retour d expérience sur chantier lui a montré que les enrobages et les prescriptions réglementaires n étaient pas toujours respectés. Variable aléatoire D a x r Loi de distribution Normale (moyenne : 1, ; écart-type : 0, ) [m 2 /s] Normale (moyenne : 0,05 ; écart-type : 0,005) [m] Tab. 1.3 Distributions a priori (exemple d application d un réseau bayésien) Trois variables aléatoires sont ainsi identifiées : D a, x r, et C(x r, T ). Pour le béton étudié, les distributions a priori des variables causes sont proposées par l expert et récapitulées dans le tableau 1.3. La condition aux limites en chlorures totaux est C s =0,2 % en masse de béton. Le temps d exposition T est égal à 25 ans Construction du réseau bayésien Les liens de cause à effet ayant été identifiés précédemment, un réseau composé de trois noeuds est obtenu, tel que représenté sur la figure Fig Graphe causal (exemple d application d un réseau bayésien) Il reste à déterminer la loi de probabilité marginale de C(x r, T ). Il est nécessaire de calculer la

66 50 Connaissances préliminaires table des probabilités conditionnelles associée, c est-à-dire les probabilités qu une concentration C(x r, T ) soit égale à certaines valeurs pour un x r et un D a donnés : cette table peut-être obtenue par des simulations de Monte-Carlo avec application de la relation analytique 1.71 et des tirages aléatoires dans les deux variables D a et x r. Puis, à partir des probabilités marginales des variables de cause et de cette table, la loi de distribution de la concentration en chlorures au niveau des armatures pour un temps d exposition de 25 ans est déterminée comme il suit : p (C(x r, T )) = p (C(x r, T ) D a, x r ) p(d a )p(x r ) (1.72) D a,x r Pour ce faire, un logiciel de modélisation des réseaux bayésiens est utilisé : Netica, développé par la société NORSYS [Netica, 2008]. Cet outil a été privilégié par rapport à d autres logiciels existants car il est disponible en version libre ; la seule limitation concerne la taille réduite à 15 noeuds. Il est de conception simple, puissant et doté d une interface graphique conviviale permettant de s initier rapidement aux réseaux bayésiens. Les calculs de probabilité précédemment décrits et les calculs d actualisation qui vont suivre sont automatisés, ce qui permet de déployer une solution opérationnelle de réseau bayésien assez facilement. En revanche, comme pour les autres logiciels, les variables aléatoires ne peuvent pas être intégrées de façon continues. La discrétisation proposée est la suivante : D a [ ; ](m 2 /s), avec un pas constant de m 2 /s entre et 2, m 2 /s, x r [2,5 ; 7,5](cm), avec un pas constant de 3 mm entre 2,9 et 7,1 cm, C(x r, T ) [0 ; 0,2](% en masse de béton) avec un pas constant de 0,1 % entre 0 et 0,15 %. Pour C(x r, T ), dont on ne connaît initialement pas la distribution, le choix des bornes est simple puisqu elles correspondent aux deux conditions aux limites en amont au contact de la solution et en aval au coeur du béton. Le réseau ainsi construit est proposé sur la figure Le graphe causal est repris sur lequel des précisions supplémentaires sont apportées pour les trois variables aléatoires. Pour chaque intervalle, la probabilité associée est indiquée en pourcentage et représentée sous forme d une barre d histogramme. Les informations statistiques élémentaires, moyenne et écart-type, sont également mentionnées.

67 51 Connaissances préliminaires Fig Réseau bayésien (exemple d application d un réseau bayésien) Utilisation du réseau bayésien En premier lieu, le réseau nous renseigne sur la loi de probabilité de la variable C(x r, T ) : la moyenne est de 0,059 % et l écart-type de 0,019 %. De plus, pour le béton étudié, l expert précise le seuil d amorçage de la corrosion qu il estime à 0,07 % en masse de béton. On observe donc que la probabilité d amorçage de la corrosion est environ de 30 %. L expert souhaite maintenant prendre en compte des résultats de profils en chlorures obtenus sur des bétons de même formulation et ayant été exposés aux chlorures pendant 25 ans. L ensemble des concentrations en chlorures au niveau des armatures ont été réunies et les données statistiques sont proposées dans le tableau 1.4 : les valeurs observées sont plus faibles que celles prédites. C(x r, T )(% en masse de béton) Probabilité (%) 0,01-0,02 5 0,02-0, ,03-0, ,04-0, ,05-0, ,06-0, ,07-0,08 5 Tab. 1.4 Résultats expérimentaux sur la concentration en chlorures totaux à l enrobage (exemple d application d un réseau bayésien)

68 52 Connaissances préliminaires Ces observations vont permettre d actualiser les lois de distribution des variables d entrée. Les distributions a posteriori des deux variables causes sont calculées par le théorème de Bayes : p (D a C(x r, T )) = p (C(x r, T ) D a ) p(d a ) p (C(x r, T )) (1.73) p (x r C(x r, T )) = p (C(x r, T ) x r ) p(x r ) p (C(x r, T )) (1.74) La figure 1.28 illustre les lois de distribution a posteriori après les observations (variable grisée dans Netica) sur les concentrations en chlorures. On observe ainsi que la moyenne et l écart-type de D a sont devenus respectivement 1, et 0, m 2 /s et pour x r, 5,2 et 0,49 cm. Fig Réseau bayésien (exemple d application d un réseau bayésien) Ces résultats semblent cohérents puisqu une dimininution globale des quantité de chlorures par rapport au cas précédent s explique par une diminution du coefficient de diffusion et/ou une augmentation de l enrobage. En outre, l utilisation de ce réseau bayésien nous renseigne d un point de vue probabiliste sur l importance relative des variables puisqu une modification de C(x r, T ) entraîne une actualisation plus «forte»de D a que de x r. Au travers de cette étude, des propriétés des réseaux bayésiens que l on retrouve intuitivement peuvent être mises en évidence. Par exemple, le fait d observer un enrobage faible n a aucun lien a priori avec le coefficient de diffusion : dans notre réseau, pour un enrobage fixé à 3,4 cm, la

69 53 Connaissances préliminaires même densité de probabilité est obtenue sur D a (figure 1.29). Fig Observation sur x r (exemple d application d un réseau bayésien) En revanche, si une corrosion forte est observée, c est-à-dire que la concentration en chlorures au niveau de l enrobage est très élevée (ici 0,1 %), on pourrait croire que le béton est de mauvaise qualité, c est-à-dire que le coeffient de diffusion est élevé. Si toutefois, nous réalisons également que l enrobage est trop faible (ici 3,5 cm), alors la qualité du béton n est plus en cause. La figure 1.30 illustre bien que le coefficient de diffusion, au vu de ces observations, est proche de sa valeur moyenne a priori, à savoir 1, m 2 /s. Fig Observations sur C(x r, T ) et x r (exemple d application d un réseau bayésien) La propriété mise en évidence est que l information ne peut circuler de x r vers D a que si

70 54 Connaissances préliminaires C(x r, T ) est connue, ce qui reste vrai dans un réseau bayésien pour toute connexion convergente (deux causes reliées à une conséquence). Pour les noeuds en série où à connexion convergente, d autres propriétés s appliquent comme la D-séparation. Grâce à cet exemple simple, l utilisation des réseaux bayésiens et certaines de leurs caractéristiques ont pu être identifiées. Les propriétés graphiques peuvent être mises en correspondance avec les propriétés d indépendance de l espace probabilisé associé. Ainsi, les algorithmes utilisés dans les logiciels de modélisation par réseaux bayésiens s appuient sur ces propriétés et bien d autres encore (conditionnement, arbre de jonction...) associées à des méthodes approchées (Monte-Carlo...) ou d autres outils de statistique (méthode de descente du gradient...) pour propager l information [Naïm et al., 2007].

71 Chapitre 2 Développement de la méthodologie 2.1 Introduction Dans le chapitre précédent, les connaissances préliminaires nécessaires au traitement du problème probabiliste de la durabilité des bétons en environnement marin ont été détaillées. La méthode probabiliste retenue parmi celles existantes est une méthode de niveau 2. Le calcul de l indice de fiabilité β fait intervenir une fonction performance qui est définie en fonction du problème à traiter, dans notre cas, la diffusion des chlorures dans le béton conduisant à l amorçage de la corrosion. Ainsi, pour développer la méthodologie de dimensionnement associée, il reste à mettre en oeuvre et à détailler les deux outils essentiels : l algorithme probabiliste de niveau 2 fondé sur la méthode du gradient projeté pour le calcul de l indice de fiabilité β est présenté dans la première partie. Le modèle déterministe qui lui est couplé, nécessaire au calcul de la fonction performance appelée dans les algorithmes probabilistes, est exposé dans la deuxième partie. Le modèle de diffusion est un compromis entre la description physico-chimique des phénomènes, le temps de calcul et l acquisition réaliste des données d entrée. 2.2 Algorithme probabiliste L objet de cette partie est de présenter l algorithme probabiliste de niveau 2 pour le calcul de l indice de fiabilité. L algorithme de Rackwitz-Fiessler pour lequel des améliorations ont été effectuées est présenté puis validé sur deux exemples : un problème mécanique et un problème

72 56 Développement de la méthodologie de durabilité Méthode du gradient projeté avec contrôle d erreur Présentation Dans les méthodes de niveau 2 nous travaillons dans l espace probabiliste réduit : la sécurité peut être exprimée par l indice de fiabilité β d Hasofer-Lind qui correspond à la distance minimale entre l origine du repère et la surface d état limite, sur laquelle est alors défini P le point de conception. Le calcul de β est donc un problème d optimisation sous contrainte. Pour déterminer P, l algorithme de Rackwitz-Fiessler génère une suite de vecteurs qui convergent vers la solution optimale. Le schéma de progression est proposé sur la figure 2.1. Fig. 2.1 Illustration d une itération de l algorithme de Rackwitz-Fiessler A l itération k, la surface G( U) = G( U k ) est remplacée par le plan tangent à celle-ci en U k. Le vecteur α k est le vecteur unitaire normal à ce plan, c est-à-dire parallèle au vecteur gradient de la fonction d état limite G( U) : G( U) = ( G( U) ),..., G( U) U 1 U n (2.1)

73 57 Développement de la méthodologie Il est dirigé vers le domaine de défaillance : Le vecteur suivant ( ) G Uk α k = ( ) G Uk (2.2) U k+1 se trouve sur la droite issue de l origine et parallèle à la direction de α k. Il est obtenu par la somme de deux vecteurs : ( ) T Uk αk α k, résultat de la projection de U k sur la droite précédente, G( U et k ) G( U k ) α qui permet de corriger la projection en tenant compte de la valeur de k G(U k ). Ainsi, formulé : ( ) T U k+1 = Uk αk α k + ( ) G Uk G ( Uk ) α k (2.3) Le vecteur U est déterminé comme la limite de cette séquence itérative. Le vecteur U est donc proportionnel à α, vecteur unitaire normal à la surface d état limite en P, le point de conception : U = β α = OP (2.4) Numériquement, l algorithme cesse les itérations lorsque la précision sur l indice de fiabilité ɛ b est obtenue : β k+1 β k = ɛ b (2.5) Dans l équation 2.1, l évaluation du gradient se fait dans l espace réduit alors que la fonction d état limite est définie dans l espace physique. Il faut donc procéder au calcul des dérivées partielles de l espace réduit à partir de celles de l espace physique. Le changement de variables permet d écrire : G( U) = G( X) X G( X) X n U i X 1 U i X n U i = G( X) X U i (2.6) Tel qu examiné dans le chapitre précédent, le passage de l espace physique à l espace réduit se

74 58 Développement de la méthodologie fait par une transformation probabiliste T. Celle applicable dans tous les cas est la transformation de Nataf. X/ U i peut être calculé par différences finies (la méthode et les équations sont explicités dans la partie sur le modèle déterministe) : X = T ( U + u i e i ) T ( U) (2.7) U i u i où e i est le vecteur unitaire de la base réduite pour la variable U i. De la même façon, le calcul de chaque composante du gradient peut se faire par différences finies : G( X) X i = G( X) x i = G( X + x i Ei ) G( X) x i (2.8) où E i est le vecteur unitaire de la base physique pour la variable X i. Dans quelques cas, les dérivées partielles du gradient et les transformations probabilistes peuvent s exprimer de manière analytique lorsque la fonction d état limite et la transformation sont explicites, mais ceci est rare en pratique. Ainsi, le schéma numérique en différences finies permet de couvrir tous les cas. Comme pour toutes les résolutions numériques, des problèmes de précision et de convergence peuvent se poser. Le point central de ces méthodes porte sur la discrétisation effectuée, à savoir le choix des incréments, ici u i et x i. Pour le choix de u i, les transformations utilisées, et notamment la transformation de Nataf, sont numériquement exactes on peut lui attribuer une valeur très fine, par exemple En revanche, le choix de x i est plus délicat. Une première idée, fréquemment utilisée, est de retenir une valeur en fonction de l écart-type σ Xi de la variable X i dans l espace physique : x i = ɛ σ Xi (2.9) où ɛ est un coefficient de réduction, par exemple 10 4, choisi arbitrairement pour un optimum entre vitesse de convergence et précision du calcul du gradient. Cependant, si cet incrément conduit à une variation de la réponse sur la fonction G inférieure à la précision sur le résultat de cette fonction, le calcul du gradient par l équation 2.8 peut générer une erreur puis une non convergence de la série U 1... U n. Il faut donc adopter un x i compatible avec la précision du modèle déterministe (qui conditionne la fonction G).

75 59 Développement de la méthodologie C est sur la base de cette constatation, et l étude de la non convergence liée à l imprécision dans le calcul du gradient de la fonction d état limite, que des améliorations ont été proposées par le LMDC [Nguyen, 2007]. Il s agit ici d une procédure de choix automatique de l incrément x i en tenant compte de la précision du modèle de défaillance pour calculer la taille minimale des incréments à utiliser afin d estimer le gradient. Pour la première itération, la sensibilité du modèle aux différentes variables aléatoires X n est pas connue. L incrément est choisi arbitrairement très grand : x i = k 1 ɛ m x i (2.10) La précision relative du modèle numérique est notée ɛ m, k 1 est un facteur d amplification (k 1 > 1, par exemple k 1 = 10), et x i une réalisation de la variable aléatoire X i. Pour les itérations suivantes, x i est choisi afin que la variation de la fonction G( X) selon x i soit supérieure à la précision numérique du modèle. x i est calculé (voir équation 2.8) à l itération k (k > 1) en fonction de la réalisation des variables aléatoires à l itération précédente, représentée par le vecteur X k 1 : ( x i ) k = k G( X k 1 ) 2 G( X k 1 ) X i (2.11) où k 2 est un coefficient de précision (k 2 > 1, par exemple k 2 = 10) et G( X) est l erreur numérique maximale possible sur la fonction d état limite. Par ailleurs, selon la définition de cette fonction de défaillance en fiabilité, l erreur maximale peut s écrire : G = R S = ɛ R R + ɛ S S (2.12) R et S sont respectivement les erreurs sur l évaluation de la résistance R et de la sollicitation S, et ɛ R est la précision numérique sur R et ɛ S la précision numérique sur S. Ainsi, ( x i ) k est évalué par : ( x i ) k = k (ɛ R R + ɛ S S) k 1 2 G( X k 1 ) X i (2.13) De plus, deux points consécutifs de la procédure itérative peuvent se trouver à une distance

76 60 Développement de la méthodologie inférieure à celle requise pour évaluer correctement la dérivée partielle. Dans ce cas, la dérivée partielle n est pas réactualisée tant que la distance parcourue est inférieure à celle requise pour évaluer la dérivée partielle. Ce critère permet d économiser les évaluations de la fonction d état limite selon les variables pour lesquelles l optimum est atteint. Cette condition d actualisation d une composante i du vecteur gradient se formalise alors : k ) ((x i ) j (x i ) j 1 > ( x i) k (2.14) j=k 0 (x i ) j (x i ) j 1 est la distance mesurée suivant la variable X i entre deux itérations j et j + 1 de l algorithme, k 0 l itération à laquelle la dernière actualisation de la dérivée partielle suivant X i a eu lieu, et k l itération actuelle. Finalement, l amélioration proposée ici de l algorithme de Rackwitz-Fiessler, appelée GPACE (Gradient Projeté Avec Contrôle d Erreur) [Nguyen, 2007], favorise et accélère la convergence de deux façons : choix des incréments en fonction de l erreur possible, limitation du nombre de réévaluations des dérivées partielles Mise en oeuvre et résultats L organigramme de l algorithme GPACE est présenté sur la figure 2.2. Le choix du langage de programmation s est fait sur les deux principaux critères suivants d utilisation : Support de programmation libre et gratuit. En développant un outil sur la base d un support libre et gratuit, son emploi est rendu indépendant du matériel et des logiciels à licence payante. La diffusion de ce travail est ainsi largement facilitée et permet de promouvoir les approches probabilistes en durabilité. Langage de programmation rapide. Dans leur processus itératif, les algorithmes probabilistes font appel très souvent à la fonction d état limite G. Même si l algorithme utilisé dans ce cas est optimisé pour minimiser ces appels, le modèle déterministe associé à G peut conduire à des temps de calcul très longs, d autant que les durées de vie spécifiées en terme de durabilité sont importantes. Parmi les langages informatiques existants, les plus adaptés au calcul scientifique sont le FORTRAN (FORmula TRANslator) et MATLAB (MATrix LABoratory).

77 61 Développement de la méthodologie 1 " ; β " # $ ε $ε $ε $ε,""! β " % " " &$ 'ε ε ' & " &$ * & & + ' + &$ &", & + ' & & + ' & & & = & '& & [ & ' & & ] ' - β & & ε ε ε β ε! = ( ()& &$ * ( & ) = "!"#$""" % % $"&$" " # &../ * * ε' & + ε' & - (+%"$ (")" %&"*% &..0ε < ε & Fig. 2.2 Organigramme de l algorithme GPACE [Nguyen, 2007]

78 62 Développement de la méthodologie Les langages informatiques peuvent se classer en deux catégories : les langages interprétés et les langages compilés. Un programme écrit dans un langage interprété a besoin d un programme auxiliaire (l interpréteur) pour traduire au fur et à mesure les instructions du programme. MAT- LAB fait partie des langages interprétés. Un programme écrit dans un langage compilé va être traduit une fois pour toutes par un programme annexe, appelé compilateur, afin de générer un fichier exécutable autonome. C est le cas du langage FORTRAN. Contrairement au compilateur, l interprète exécute les instructions du programme au fur et à mesure de leur lecture pour interprétation. Du fait de cette phase sans traduction préalable, l exécution d un programme interprété est généralement plus lente que le même programme compilé, surtout si le programme comporte des boucles, comme dans notre cas. Pour des raisons de rapidité, c est le langage FORTRAN qui a été choisi. Le FORTRAN se décline sous différentes formes qui correspondent à leurs dates de mise à jour : du FORTRAN 66 au FORTRAN 03. Le FORTRAN, créé à l époque des cartes perforées, a longtemps gardé une certaine rigidité dans la mise en page du fichier source, le code devant, par exemple, commencer à partir de la 7ème colonne et ne pas dépasser la 72ème (les colonnes 73 à 80 sont réservées à la numérotation des cartes perforées). Le FORTRAN 90 est une mise à jour importante dans l évolution du langage puisque les restrictions concernant la mise en forme des programmes disparaissent. De plus, il existe des extensions libres, basées sur GCC pour compiler le FORTRAN 77. GCC, abréviation de GNU Compiler Collection, est le compilateur créé par le projet GNU, premier projet de production de logiciels libres lancé en La programmation a donc été effectuée en FORTRAN 77 puisque les deux critères retenus de rapidité et de gratuité sont satisfaits. Le résultat obtenu est l indice fiabilité β. Deux autres résultats intéressants sont également à mentionner : les coordonnées de P et les facteurs d importance des variables aléatoires. Les coordonnées du point de conception P sont obtenues dans l espace des variables aléatoires réduites. Par la transformation probabiliste associée T, les coordonnées seront données dans l espace physique. Elles nous renseignent sur le point le plus probable de défaillance, c està-dire les valeurs des variables aléatoires pour lesquelles l amorçage de la corrosion est le plus probable.

79 63 Développement de la méthodologie L indice de fiabilité β étant la norme minimale du vecteur U associé à un point de la courbe d état limite, cette définition permet d écrire : β U i = n U i j=1 u 2 j 1/2 U = α i (2.15) La valeur de α i est une mesure de la sensibilité de l indice de fiabilité pour des variations de la valeur de U i au point de distance minimum U. α i est appelée facteurs de sensibilité de la variable X i. Ces facteurs vérifient la condition suivante : n αi 2 = 1 (2.16) i=1 Les facteurs α 2 i sont interprétés comme les facteurs d importance normés des variables aléatoires associées. Ainsi, la distance d une coordonnée u i de P par rapport à sa valeur moyenne indique l importance de la variable aléatoire X i : plus cette distance est grande, plus l importance relative de la variable X i sur les autres est importante. Par exemple, si l initiation de la corrosion est obtenue pour un enrobage de 3 cm et une porosité de béton de 10,3 %, et que les valeurs moyennes associées sont respectivement 5 cm et 10,5 %, l enrobage aura une importance relative plus forte que la porosité Validation L algorithme du GPACE programmé sous FORTRAN 77 est validé dans cette partie au travers de trois exemples : l exemple simple de durabilité en milieu marin, déjà utilisé pour illustrer l utilisation du réseau bayésien, et deux benchmarks issus de la littérature fiabiliste concernant des problèmes de mécanique Exemple 1 : durabilité en milieu marin Considérons le problème d une structure en béton armé semi-infinie au contact d une solution de chlorures. Pour le cas où le béton est saturé, la diffusion des chlorures dans le béton peut s exprimer par l équation 1.20, solution de la seconde loi de Fick comme nous l avons vu dans le chapitre précédent.

80 64 Développement de la méthodologie Si, de plus, le béton est initialement sain, la concentration en chlorures totaux dans le béton pour une durée d exposition T s exprime (équation 1.71) : ( ) x C(x, t) = C s erfc 2 D a T (2.17) Les données utilisées dans cet exemple sont les suivantes : C s = 2 % par kg de ciment, durée de l exposition T = 50 ans, concentration critique en chlorures C r = 0,4 % par kg de ciment. On note x r, profondeur critique, la profondeur dans le béton à laquelle C = C r pour un temps d exposition T = t dv = 50 ans. Cette «durée de vie» correspond à une période où l apparition de la corrosion n est pas souhaitée. L équation précédente peut s écrire : ( ) C r x r = erfc C s 2 D a t dv (2.18) x r s exprime alors par l inverse de la fonction erreur complémentaire erfc 1 : ( ) x r = 2 erfc 1 Cr D a t dv (2.19) C s ( ) En posant C 0 = 2 erfc 1 C r C s t dv, la profondeur critique x r se formule : x r = C 0 D a (2.20) Enfin, l enrobage des aciers est noté e. Afin d étudier le problème de corrosion du point de vue probabiliste, il reste à définir les variables aléatoires et la fonction d état limite associée. Sa définition peut être : G = e x r = e C 0 D a (2.21) L état du béton est dit défaillant si la profondeur critique est supérieure à l enrobage, c està-dire si G 0. Supposons maintenant que les variables aléatoires du problème sont l enrobage e et le coefficient de diffusion D a et que ces deux variables suivent des lois de distribution lognormales. Les paramètres λ et η de ces lois peuvent être définis par leurs moyennes µ et leurs

81 65 Développement de la méthodologie écart-types σ, et calculés selon le système d équations 1.53 et 1.54 d où l on tire : λ = ln (µ) 0, 5 ln ( 1 + ( ) ) η = σ 2 ln (1 + µ ( ) ) σ 2 µ (2.22) (2.23) L enrobage e est caractérisé par une valeur moyenne de 50 mm et un écart-type 10 mm. Le béton de la structure est un Béton Haute Performance dont le coefficient de diffusion apparent a une moyenne de 7 mm 2 /an ( 0, m 2 /s) et un écart-type de 2,5 mm 2 /an. Les données correspondantes pour les variables aléatoires sont récapitulées dans le tableau 2.1. Variable aléatoire Type de loi µ σ λ η D a Log-normale 7 mm 2 /an 2,5 mm 2 /an 1,89 0,35 e Log-normale 50 mm 10 mm 3,89 0,20 Tab. 2.1 Paramètres des variables aléatoires du problème de durabilité pour la validation de la méthode GPACE Le paramètre C 0 est une constante qui dépend de la concentration critique C r, de la concentration C s de la solution de chlorures et de la durée de vie t dv. Les valeurs correspondantes précédemment définies donnent C 0 = 12,73 ans 1/2. La fonction d état limite, les paramètres du problème et les variables aléatoires sont couplés à l algorithme du GPACE pour déterminer l indice de fiabilité du béton à 50 ans. La fonction d état limite étant explicite, la précision numérique dans cet exemple est donc choisie fine, ɛ m = La valeur obtenue est β = 1, Le problème ainsi posé permet de calculer la valeur exacte de l indice de fiabilité. En effet, posons une variable intermédiaire γ = e/x r, le domaine de défaillance est défini par : G 0 e x r 0 γ 1 (2.24) La probabilité de défaillance P f se calcule par : P f = P (γ 1) (2.25) En outre, la fonction de répartition de γ est connue puisque D a et e suivent des lois log-

82 66 Développement de la méthodologie normales, ce qui implique que ln(d a ) et ln(e) suivent des lois normales. En calculant le logarithme, on obtient : ln (γ) = ln (e) ln (x r ) = ln (e) 1 2 ln (D a) ln (C 0 ) (2.26) ln(γ) étant une combinaison linéaire de lois normales, ln(γ) est une loi normale, donc γ suit une loi log-normale. Pour toute combinaison linéaire de n variables aléatoires X i indépendantes, qui suivent des lois normales, la variable Z = a i X i est une loi normale de moyenne µ Z et d écart-type σ Z tels que : µ Z = n a i µ Xi (2.27) i=1 σ Z 2 = n 2 a i2 σ Xi i=1 (2.28) λ Da, η Da, λ e et η e étant respectivement les moyennes et écarts-types des lois normales ln(d a ) et ln(e), λ γ et η γ sont définis par : λ γ = λ e 1 2 λ D a λ C0 (2.29) η γ = η e η D a 2 (2.30) Les valeurs obtenues sont présentées dans le tableau 2.2 où la moyenne et l écart-type sont calculés selon les relations 1.53 et Variable aléatoire Type de loi µ σ λ η γ Log-normale 1,55 0,42 0,41 0,26 Tab. 2.2 Paramètres de la variable intermédiaire pour le problème de durabilité pour la validation de la méthode GPACE Compte tenu de ces résultats, la fonction de répartition de γ est entièrement déterminée. La valeur de la probabilité de défaillance calculée selon l équation 2.25 vaut P f = 6,164 %. L indice de fiabilité, déterminé par la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite Φ selon

83 67 Développement de la méthodologie l équation 1.64, est β = 1,5411. L algorithme du GPACE permet donc de retrouver la valeur exacte de l indice de fiabilité, à la précision numérique sur β prêt. Des comparaisons similaires sont effectuées pour des durées de vie t dv de 25 et 100 ans qui correspondent respectivement à des valeurs de C 0 de 9 et 18 ans 1/2. Tous les résultats obtenus par la méthode GPACE sont récapitulés dans le tableau 2.3. La valeur de β issue du calcul exact de la probabilité de défaillance P f est retrouvée dans les trois cas. t dv (ans) β GPACE β par P f exacte 25 2,8590 2, ,5411 1, ,2246 0,2246 Tab. 2.3 Résultats de l algorithme GPACE pour le problème de durabilité Cet exemple reste malgré tout simple car le nombre de variables aléatoires est limité et la fonction d état limite G est relativement linéaire. La méthode GPACE sera donc testée avec des exemples de fiabilité non linéaires et comportant plus de variables aléatoires, issus de problèmes mécaniques de référence pour la littérature fiabiliste Benchmark 1 : oscillateur dynamique Le problème étudié est un oscillateur dynamique non linéaire [Gayton et al., 2003] illustré sur la figure 2.3, composé du système classique masse m et ressorts (ici deux ressorts de raideurs respectives k 1 et k 2 ). Ce système est non linéaire car la plastification du ressort 2 est possible si l allongement du ressort atteint la valeur d. L excitation du système se fait par une force F (t), appliquée de façon constante égale à F 1 pendant une durée t 1. Le mouvement du système est caractérisé par son déplacement X(t). Fig. 2.3 Oscillateur non linéaire

84 68 Développement de la méthodologie La pulsation propre du système ω 0 est définie par : ω 0 = k1 + k 2 m (2.31) Le déplacement maximum du système, noté x m, s écrit : x m = 2F 1 mω 2 0 sin ( ) ω0 t 1 2 (2.32) Pour l étude probabiliste de ce problème, les variables aléatoires sont indépendantes et représentées par des lois log-normales dont les moyennes et écarts-types sont mentionnés dans le tableau 2.4. Variable Loi de distribution Moyenne Ecart-type m log-normale 1 0,05 k 1 log-normale 1 0,10 k 2 log-normale 0,1 0,01 d log-normale 0,5 0,05 F 1 log-normale 1 0,20 t 1 log-normale 1 0,20 Tab. 2.4 Caractéristiques des variables aléatoires de l oscillateur dynamique La fonction d état limite dépend de ces six variables aléatoires et s établit : k 1 +k 2 G = 3 d x m = 3 d 2F 1 m sin k 1 + k 2 2 t 1 (2.33) Cette fonction est explicite et la précision numérique pour cet exemple est prise très fine, ɛ m = Les résultats obtenus par l algorithme GPACE, valeur de l indice de fiabilité et coordonnées du point de conception P dans la base réduite, sont récapitulés dans le tableau 2.5. Résultats β u m u k 1 u k 2 u d u F 1 u t 1 GPACE 1,832-0,138-0,330-0,034-0,640 1,271 1,098 Référence 1,832-0,145-0,330-0,036-0,633 1,257 1,117 Tab. 2.5 Résultats de l algorithme GPACE pour l oscillateur dynamique Les résultats de référence [Gayton et al., 2003] sont également comparés dans le tableau 2.5.

85 69 Développement de la méthodologie L indice de fiabilité et les coordonnées du point de conception sont similaires Benchmark 2 : cylindre nervuré Le dernier problème étudié est celui d un cylindre nervuré (figure 2.4) soumis à une pression externe p 0 [Gayton et al., 2003]. Sous l effet de cette pression, le cylindre, simplement appuyé en ses extrémités, peut céder par instabilité au voilement. Fig. 2.4 Oscillateur non linéaire Les caractéristiques géométriques du cylindre permettent de calculer sa résistance au voilement p n, suivant le mode n. Toutes ces grandeurs sont récapitulées dans les équations suivantes : p n = Ee [ ( ) ] 2 [ R n , 5 πr L c n ( 2 L c ) 2 ] 2 + n2 1 R 3 EI c (2.34) L s πr + 1 I c = e3 L e 3 + I s + A s ( e 2 + R R s) 2 Ac X 2 c (2.35) L e = R 1 + n4 2 1, 56 e R ( e R) 2 + n 2 3 ( e R ) (2.36) I s = e wh 3 ( w 12 + e wh w R e + h ) 2 w R s + w f e 3 ( f w f e f R h w e ) f + e 2 R s (2.37) 2

86 70 Développement de la méthodologie A s = e w h w + w f e f (2.38) A c = A s + el e (2.39) X c = 1 A c [ e 2 2 L e + A s ( e 2 + R R s ) ] (2.40) R s = 1 [ ( h w e w R e + h ) ( w + w f e f R h w e )] f + e A s 2 2 (2.41) La pression externe p 0 correspond à une pression hydrostatique pour une profondeur de 700 m, soit p 0 = Pa. Le mode 2 d instabilité est étudié. La longueur du tube L c est de 15 m et son rayon R est 2,488 m. Les paramètres géométriques liés aux nervures et le module d élasticité E du tube sont considérés comme aléatoires et leurs caractéristiques sont reprises dans le tableau 2.6. Variable Loi de distribution Moyenne Ecart-type E (Pa) Normale e (mm) Normale 24 0,72 L s (mm) Normale h w (mm) Normale 156 4,68 e w (mm) Normale 10 0,3 w f (mm) Normale 119,7 3,59 e f (mm) Normale 24 0,72 Tab. 2.6 Caractéristiques des variables aléatoires du cylindre nervuré L expression suivante caractérise la fonction performance : G = p n (e, L s, h w, e w, w f, e f, E) p 0 (2.42) L exemple à traiter fait intervenir sept variables aléatoires dans le calcul des paramètres géométriques nécessaires à la détermination de la pression élastique de voilement au mode n. La précision numérique pour cet exemple est très fine, ɛ m = Les résultats obtenus par l algorithme GPACE, valeur de l indice de fiabilité et coordonnées du point de conception P

87 71 Développement de la méthodologie dans la base réduite, sont identifiés dans le tableau 2.7, et comparés avec les valeurs de référence proposées [Gayton et al., 2003]. Résultats β u E u e u L s u h w u e w u w f u e f GPACE 1,208-0,447-0,485 0,429-0,804-0,032 0,282-0,336 Référence 1,217-0,450-0,488 0,428-0,814-0,032 0,283-0,338 Tab. 2.7 Résultats de l algorithme GPACE pour le cylindre nervuré Les résultats obtenus par l algorithme GPACE sont similaires aux résultats de référence. Les trois exemples étudiés ont permis de valider l algorithme GPACE et sa programmation en FORTRAN. Il reste à proposer un modèle de durabilité et à le coupler avec ce programme pour établir une prédiction probabiliste de la durabilité. 2.3 Modèle déterministe Les modèles de diffusion existants ont été présentés dans la revue bibliographique. Ils se classent en trois grandes catégories : les modèles empiriques, les modèles physiques en diffusion moléculaire fondés sur la loi de Fick, les modèles physiques en diffusion ionique fondés sur la relation de Nernst-Planck. Dans l approche probabiliste et le couplage avec l algorithme du GPACE, le modèle de diffusion des chlorures choisi se révèle être un compromis entre trois critères : Robustesse du modèle. Le modèle retenu doit pouvoir décrire correctement les phénomènes physiques mis en jeu et proposer des prédictions avec une précision suffisante. Complexité du modèle. Les temps de calcul ont souvent été un frein à l utilisation des méthodes probabilistes. Malgré les moyens de calcul actuels, le modèle ne doit pas être chronophage et utiliser trop de paramètres d entrée. Les durées de vie spécifiées en durabilité restent souvent très longues et les algorithmes probabilistes, même optimisés comme celui du GPACE, font souvent appel au modèle déterministe. Signification physique des paramètres d entrée du modèle. Les paramètres associés au modèle doivent être quantifiables à partir d essais en laboratoire pour prétendre proposer des lois de distribution réalistes des variables aléatoires retenues dans le problème.

88 72 Développement de la méthodologie Immersion Présentation Les modèles empiriques nécessitent des données in situ pour calibrer la solution analytique de la seconde loi et obtenir les paramètres nécessaires à la prédiction du profil en chlorures dans le matériau. Ces modèles sont simples mais ne sont pas retenus dans la méthodologie probabiliste car ils demandent une calibration pour chaque nouveau cas étudié, rendant la portée du développement limitée. Les modèles physiques fondés sur la loi de Fick sont les plus complets. Cependant, la quantité de données d entrée qu ils requièrent rend l analyse statistique associée fastidieuse. De plus, les schémas numériques sont trop longs pour que ces modèles puissent être appelés régulièrement par l algorithme probabiliste sans engendrer un temps de calcul global exorbitant. La méthodologie est développée dans le cas d un béton immergé dans l eau de mer. Le modèle proposé est un modèle physique non linéaire qui utilise l équation de conservation des chlorures dans un milieu poreux saturé. La description du flux de chlorures est unidimensionnelle et se fait par l intermédiaire de la première loi de Fick. L équation 1.19, établie dans le premier chapitre, et citée à nouveau ici, permet de calculer la concentration en chlorures c (mol/m 3 ) pour une abcisse x (m) et un temps d exposition t (s) : c t = D e p + ρ d C b c 2 c x 2 = D 2 c a x 2 (2.43) Les paramètres physico-chimiques associés sont le coefficient de diffusion effectif D e (m 2 /s), la porosité p, la masse volumique sèche ρ d (kg/m 3 ), et l isotherme d interaction des chlorures C b (c) (mol/kg de solide). L équation différentielle à résoudre est non linéaire car la forme de l isotherme de fixation est prise en compte explicitement, contrairement aux modèles empiriques où l isotherme est considéré linéaire (c est-à-dire que D a est constant, ce qui permet une résolution analytique par la seconde loi de Fick). Ce modèle permet de prendre en compte de façon complète les paramètres mesurables qui influencent directement la pénétration des chlorures : la porosité, le coefficient de diffusion et l isotherme de fixation des chlorures. Les interactions varient en fonction de la concentration en chlorures libres dans la solution interstitielle suivant la somme de deux fonctions, l isotherme type Langmuir corrigé par

89 73 Développement de la méthodologie une fonction puissance type Freundlich, déjà explicitées dans le premier chapitre. L expression mathématique est rappelée ici : C b = α 1β 1 c 1 + β 1 c + α 2c β 2 (2.44) où C b (mol/kg de solide) est la quantité de chlorures fixés sur la matrice cimentaire, c (mol/m 3 de solution interstitielle) est la quantité de chlorures libres, et α 1, α 2, β 1, β 2 sont des coefficients déterminés par calage aux résultats expérimentaux d isotherme de fixation. L équation de continuité 2.43 présentée est une équation aux dérivées partielles. La solution analytique ne peut plus être appliquée au vu de l hypothèse présentée pour l isotherme de fixation et une résolution numérique est proposée. La méthode par différences finies est retenue pour le calcul des dérivées partielles. Le développement en série de Taylor permet d écrire, sous conditions de dérivabilité, les approximations des dérivées au premier et au deuxième ordre d une fonction u(x) lorsque h tend vers 0 : du (x) dx u (x + h) u (x) h (2.45) d 2 u (x) u (x + h) 2u (x) + u (x h) dx 2 h 2 (2.46) Le schéma numérique utilisé est une formulation en différences finies semi-implicite, selon une θ-méthode. Pour une équation à résoudre de type du dt = f(u, t), l approximation est la suivante : f ( u n+θ, t n+θ) = (1 θ) f (u n, t n ) + θ f ( u n+1, t n+1) (2.47) où u n est la valeur (connue) de u à la date t n et u n+1 la valeur (encore inconnue) de u à la date t n+1. Pour le modèle Immersion, l évaluation est faite au temps t+1/2dt selon la méthode de Cranck Nicolson [Crank et Nicolson, 1947], c est-à-dire θ = 1/2. Ainsi, en combinant ces approximations, l équation 2.43 discrétisée en temps et en espace s écrit, avec τ le pas en temps, h le pas d espace, n l indice de temps et i l indice d espace : c n+1 i c n i τ = 1 2 ( ci+1 n+1 D 2cn+1 i + c n+1 i 1 c n i+1 a h 2 + D 2cn i + ) cn i 1 a h 2 (2.48)

90 74 Développement de la méthodologie Les inconnues sont les concentrations aux temps n+1 en chaque noeud i. L isotherme de fixation dépend du temps puisque la quantité de chlorures fixés dépend de la concentration en chlorures libres. Le coefficient de diffusion apparent D a dépend donc du temps ainsi que le coefficient λ. Une hypothèse est retenue dans l équation 2.48 : D a est exprimé au temps n dans les deux termes du schéma de Cranck Nicolson alors qu il devrait être exprimé au temps n+1 dans le premier terme. Le schéma obtenu n est plus tout à fait conforme à la formulation semi-implicite complète, mais cette simplification permet d obtenir le résultat sans avoir à itérer à chaque pas de temps pour converger vers la solution c n+1. En effectuant des calculs avec différents pas de temps, il apparaît que l erreur commise par l approximation explicite sur l isotherme n a pas d incidence sur le profil en chlorures [Deby, 2005]. Ceci permet un gain de temps de calcul compatible avec la méthode probabiliste. Enfin, il est montré [Nougier, 1987] que le schéma numérique de Cranck Nicolson est inconditionnellement stable pour les équations aux dérivées partielles de type diffusion comme la nôtre. Cependant, ce critère n est pas des plus importants puisque la forme des profils en chlorures n est pas sujette à l instabilité Mise en oeuvre et résultats La diffusion est considérée unidirectionnelle. La résolution étant effectuée numériquement, l élément de béton, d épaisseur L, est décomposé en N +2 noeuds, d espacement h constant (h=l/n +1), comme représenté sur la figure 2.5. Fig. 2.5 Discrétisation spatiale de l élément de béton

91 75 Développement de la méthodologie A chaque noeud i, pour un temps d exposition donné, les concentrations en chlorures libres et totaux sont déterminées. Les noeuds 1 à N sont les noeuds internes au maillage, pour lesquels les concentrations sont obtenues par résolution d un schéma numérique. Les noeuds 0 et N +1 sont les noeuds où interviennent les conditions aux limites et leurs concentrations seront notées par la suite respectivement c amont et c aval. La réorganisation de l équation 2.48 fait apparaître un schéma explicite pour lequel le système matriciel à résoudre est repris dans l équation 2.49, où λ = Da τ 2 h 2. A chaque pas de temps, l inversion du système est effectuée et les inconnues des noeuds au temps n+1 sont déduites en fonction des valeurs des concentrations en chaque noeud au temps précédent n λ 1 λ λ λ 2 λ λ i 1 + 2λ i λ i λ N λ N 1 λ N λ N 1 + 2λ N b 1 = 2λ 1 c amont + (1 2λ 1 ) c n 1 + λ 1c n 2 b 2 = λ 2 c n 1 + (1 2λ 2) c n 2 + λ 2c n 3. = b i = λ i c n i 1 + (1 2λ i) c n i + λ ic n i+1. b N 1 = λ N 1 c n N 2 + (1 2λ N 1) c n N 1 + λ N 1c n N c n+1 1 c n+1 2. c n+1 i. c n+1 N 1 c n+1 N (2.49) b N = λ N c n N 1 + (1 2λ N) c n N + λ Nc aval Le problème a été adimensionnalisé pour limiter les erreurs numériques compte tenu de l ordre de grandeur des différents paramètres du problème (coefficient de diffusion environ de m 2 /s et porosité 10 2 par exemple). Les transformations suivantes sont utilisées : { cmax = max (c inter, c mer ) DT = L 2 /D e (2.50)

92 76 Développement de la méthodologie Les variables adimensionnelles, notées par un exposant 0, s écrivent alors : T 0 = T/DT L 0 = L/L c 0 = c/c max τ 0 = τ/dt h 0 = h/l D 0 = D e /D e (2.51) où T, τ, L, h, c et D e sont respectivement le temps d immersion, le pas de temps du schéma numérique, l épaisseur de l élément en béton, le pas d espace du schéma numérique, la concentration en chlorures dans le béton et le coefficient de diffusion effectif des chlorures. Toutes les résolutions numériques sont effectuées avec ces variables. A la fin du temps d immersion, suite au calcul en tout point du maillage des concentrations en chlorures, le résultat est ramené en variables réelles. La gestion des conditions aux limites est de deux types : une condition sur la concentration en amont, côté face exposé du béton, et une condition sur le flux des espèces en aval. En amont, les conditions aux limites sont indépendantes du temps : la concentration c amont en chlorures est déterminée en fonction de la salinité moyenne du milieu c mer (conditions aux limites de type Dirichlet). Cependant, le programme peut facilement évoluer pour que les conditions aux limites à l amont soient dépendantes du temps en introduisant une loi, de type sinusoïde par exemple, pour prendre en compte la variation annuelle de la salinité. A l aval, deux cas sont envisageables : la surface est également exposée aux chlorures à la même concentration qu en amont. L élément de béton est alors divisé en deux parties et le profil complet est obtenu par symétrie. Sur le demi-élément, la symétrie impose le flux sortant nul à l extrémité non exposée, définie comme le noeud aval. La surface est considérée non-exposée à une solution. Le maillage est effectué sur l élément complet et le flux sortant est nul. Dans les deux cas, le flux des chlorures à l aval est nul (conditions aux limites de type Neumann). Numériquement, la concentration c aval est donc égale à la concentration au noeud N, quel que soit le temps n. Les conditions initiales sont telles que, en tout point du maillage, la concentration en chlorures est égale à la composition de la solution interstitielle c inter au début de l immersion (typiquement pour un échantillon sain, la concentration en chlorures est nulle).

93 77 Développement de la méthodologie En résumé, les conditions initiales et les conditions aux limites sont reprises par les équations 2.52 et 2.53 : CI : i [1, N], c i = c inter et c aval = c inter (2.52) { camont = c mer (Dirichlet) CL : aval = 0 (Neumann) c D e x (2.53) Finalement, les données d entrée du programme concernent le matériau, sa géométrie et les conditions d exposition : la porosité p du matériau, sa masse volumique spécifique (de solide) ρ s, le coefficient de diffusion effectif des chlorures D e, les coefficients de l isotherme d interaction des chlorures avec la matrice cimentaire α 1, α 2, β 1 et β 2, l épaisseur L de béton dans la direction de diffusion, la concentration initiale en chlorures dans la solution interstitielle, celle dans la solution d immersion (salinité moyenne) et la durée d immersion. La programmation a été effectuée en FORTRAN 77 pour les deux critères de rapidité et de gratuité précédemment retenus. Elle permet, en outre, le couplage et la compilation des algorithmes GPACE et Immersion dans un même exécutable Validation Le modèle Immersion n a pas pour but de se substituer aux modèles physiques multiespèces. Leur champ de compétences est beaucoup plus large, les résultats obtenus plus complets. Néanmoins Immersion a été développé pour répondre à une approche probabiliste en limitant les temps de calcul. Dans ce contexte, le modèle déterministe doit tout de même rester robuste pour être implanté dans la méthodologie. C est pourquoi le champ d application d Immersion va être comparé, ci-après, à un modèle physique complet MsDiff et à des résultats expérimentaux Comparaison avec un modèle physique multi-espèces La première validation est effectuée en comparaison avec un modèle physique : MsDiff MsDiff [Truc, 2000] [Khitab et al., 2005]. C est un outil permettant de décrire le transfert unidi-

94 78 Développement de la méthodologie mensionnel d espèces ioniques à travers un milieu poreux saturé, écrit sous SCILAB, équivalent libre de MATLAB. Le modèle est une approche multi-espèces fondée sur l équation 1.9 de Nernst-Planck qui donne l expression complète du flux des différents ions en solution. L équation de conservation 1.18 est résolue pour chaque espèce ionique en présence. Ces équations sont couplées via le champ électrique local calculé à partir de l équation de courant La condition d électroneutralité est supposée respectée en tout point de l espace. Enfin, la phase solide peut être réactive avec les chlorures, les réactions étant prises en compte au travers de l isotherme d interaction MsDiff détermine à chaque pas de temps et en tout point du maillage le champ électrique ainsi que les concentrations des différentes espèces. Les résultats à l issue de la simulation sont les profils de concentration et les flux des espèces ioniques, ainsi que la distribution de la différence de potentiel dans le milieu poreux. Pour cette première validation, le béton étudié est composé d un ciment CEM I 52,5 R avec un rapport E/C de 0,4. Les prédictions de concentrations en chlorures libres et totaux obtenues par MsDiff et par Immersion vont être comparées. Les tableaux 2.8 et 2.9 indiquent respectivement la formulation du béton et les caractéristiques du ciment. Composant Type Quantité (kg/m 3 ) Ciment CEM I 52,5 R 560 Sable 0/4 mm 695 Gravier 3/8 mm 825 Eau 224 Tab. 2.8 Composition du béton d étude pour comparaison Immersion-MsDiff Composant % en masse de ciment C 3 S 54 C 2 S 22 C 3 A 6 C 4 AF 9 Tab. 2.9 Composition de Bogue du ciment CEM I 52,5 R pour comparaison Immersion-MsDiff Des mesures de porosité à l eau, de coefficient de diffusion effectif et d isotherme d interaction

95 79 Développement de la méthodologie des chlorures ont été réalisées [Khitab, 2005] sur ce béton. Les paramètres d entrée nécessaires à MsDiff et Immersion pour simuler son immersion dans une solution de NaCl à 28 g/l sont récapitulés dans le tableau Les concentrations en hydroxyles, sodium et potassium à introduire dans MsDiff sont choisies pour satisfaire respectivement un ph de 7, le dosage en NaCl à 28 g/l et la condition d électroneutalité. Pour la solution interstitielle du béton, les concentrations sont obtenues pour une composition mesurée sur un matériau similaire [Nugue, 2002]. Paramètre Unité Valeur Epaisseur de l échantillon L mètres 0,05 Nombre de noeuds 100 Durée d immersion jours 200 Pas de temps τ secondes Porosité p % 16 Masse volumique spécifique ρ s kg/m Coefficients de l isotherme α 1 0,03 β 1 0,003 α 2 0,00106 β 2 0,526 Coefficient de diffusion des chlorures D e m 2 /s 0, Rapport D ion /D e (MsDiff uniquement) Na + 0,65 K + 0,96 OH 2,6 Concentration des espèces dans la solution d immersion Cl mol/m Na + (MsDiff uniquement) mol/m K + (MsDiff uniquement) mol/m 3 10 OH (MsDiff uniquement) mol/m 3 10 Concentration initiale des espèces en solution interstitielle Cl mol/m 3 0 Na + (MsDiff uniquement) mol/m 3 23 K + (MsDiff uniquement) mol/m OH (MsDiff uniquement) mol/m Courant externe appliqué (MsDiff uniquement) ma 0 Tab Données d entrée des modèles pour la comparaison Immersion-MsDiff Les profils en chlorures libres et totaux calculés à 200 jours par les deux modèles sont présentés sur la figure 2.6. Les prédictions sont sensiblement identiques : l erreur maximum observée sur les chlorures libres entre Immersion et MsDiff est de 7,5 % (1,72 et 1,6 mol/m 3 respectivement, à l abscisse 1,9 cm) et 4,5 % sur les chlorures totaux (28,12 et 26,9 mol/m 3, à

96 80 Développement de la méthodologie la même abscisse). Dans la zone de pénétration, c est-à-dire jusqu à 20 mm, l erreur moyenne observée aux différents noeuds est de 2,3 % pour les chloures totaux et 1,4 % pour les libres. Fig. 2.6 Profils en chlorures obtenus par Immersion et MsDiff après 200 jours d immersion Les différences observées pour les deux simulations sont acceptables. Pour des temps d exposition plus longs (50 ans par exemple), les écarts n évoluent pas entre les deux modèles. Si le problème se limite à l immersion en eau de mer d une structure en béton, l effet multi-espèces peut donc être négligé. Pour ce domaine d application, la prédiction du profil en chlorures et la précision obtenue avec le modèle Immersion sont satisfaisantes et justifient ainsi l utilisation de ce modèle simplifié dans la méthodologie probabiliste et le couplage avec l algorithme GPACE. Les résultats obtenus avec MsDiff sont en revanche plus complets : profils des autres espèces ioniques et distribution de la différence de potentiel dans le béton. Ces informations sont utiles en recherche pour une analyse plus fine et une meilleure compréhension des mécanismes physicochimiques. Son champ d application est également plus large puiqu il permet de simuler et d exploiter les essais de migration sous champ électrique. L utilisation probabiliste de MsDiff pourrait s envisager si le critère d amorçage de la corrosion [Cl ]/[OH ] est appliqué. Cependant, la vérification expérimentale du profil en hydroxyles reste délicate [Deby, 2005], rendant ce critère difficilement utilisable Validation expérimentale Les deux validations suivantes concernent des comparaisons avec des résultats expérimentaux sur mortier et sur béton. Un mortier immergé en conditions de laboratoire est traité dans le

97 81 Développement de la méthodologie premier cas. Le deuxième cas étudié concerne une plateforme offshore en mer du Nord, le but étant de confronter les prédictions avec des données in situ. Pour ce premier exemple, le mortier étudié est composé d un ciment CEM I 52,5 PM ES dont le rapport E/C est de 0,43. Les tableaux 2.11 et 2.12 renseignent sur la formulation et les caractéristiques du ciment. Composant Type Quantité (kg/m 3 ) Ciment CEM I 52,5 R 617,7 Sable 0/4 mm 1365 Superplastifiant Glénium 27 7,72 Eau 264 Tab Composition du mortier pour comparaison entre Immersion et les données expérimentales Composant S i O 2 Al 2 O 3 Fe 2 O 3 CaO MgO SO 3 K 2 O Na 2 O Perte au feu % en masse 21,2 3,5 4,6 64,6 0,6 2,65 0,63 0,17 1,1 Tab Composition chimique du ciment CEM I 52,5 PM ES pour comparaison entre Immersion et les données expérimentales Ce mortier a notamment fait l objet d une étude sur l influence de la température sur le transport dans les matériaux cimentaires [Nguyen, 2006]. De nombreux essais de caractérisation sur la porosité, l isotherme de fixation et le coefficient de diffusion ont été effectués, et les paramètres nécessaires à Immersion pour mener les prédictions sont récapitulés dans le tableau Paramètre Valeur Epaisseur de l échantillon L 5 cm Durée d immersion 180 jours Porosité p 19,2 % Masse volumique spécifique ρ s 2734 kg/m 3 Coefficients de l isotherme : α 1, β 1, α 2, β 2 0,068, 0,0028, 0,011, 0,262 Coefficient de diffusion des chlorures D e 1, m 2 /s Concentration en chlorures dans la solution d immersion 564 mol/m 3 Tab Données d entrée du mortier de CEM I pour la prédiction avec Immersion Le matériau a également subi des essais d immersion dans une solution en chlorures à 20 g/l pendant 6 mois. Les chlorures totaux ont été extraits par grignotage, attaque acide puis dosés

98 82 Développement de la méthodologie par titration potentiométrique pour aboutir au profil de pénétration expérimental. Cinq séries d éprouvettes ont été analysées et l ensemble des point expérimentaux sont réunis sur la figure 2.7. Les résultats de la prédiction obtenue par Immersion pour les chlorures totaux sont également reportés sur la figure 2.7. Fig. 2.7 Profil en chlorures totaux expérimentaux et obtenus par Immersion pour un mortier de CEM I La concordance avec les points expérimentaux est correcte, notamment quant à l allure générale du profil. Un léger décalage par une sous-estimation de la pénétration dans le mortier est toutefois noté. Cette erreur peut-être imputée aux temps d immersion et à la maturité du matériau. L essai de détermination du coefficient de diffusion est effectué sur le mortier mature à 10 mois, tandis que l essai d immersion débute sur le mortier âgé de 1 mois. Une loi d évolution temporelle du coefficient de diffusion permet affiner la prédiction pour des matériaux jeunes dans les premiers temps d immersion. Cependant, cette différence est rapidement gommée pour des durées d immersion supérieures à un an [Khitab, 2005]. L erreur de modélisation commise n est donc pas préjudiciable puisque les prédictions à effectuer dans la méthodologie probabiliste concerneront des temps beaucoup plus longs. Pour le deuxième exemple, des données expérimentales ont été collectées après 20 ans d exploitation de la plateforme offshore Brent B située en mer du Nord [Sengul et Gjorv, 2007]. Cet ouvrage, illustré sur la photo 2.8, fait partie des plateformes en béton de type «embase poids» construites dans la période pour l exploitation pétrolière en mer du Nord. Elles se distinguent des «jackets» métalliques classiques par leur positionnement sous poids

99 83 Développement de la méthodologie propre à l aide d un système de ballast. Fig. 2.8 Plateforme offshore Brent B Le béton utilisé pour la réalisation de cette plateforme est composé d un ciment de type CEM I. Son rapport E/C est de 0,4 et la répartition du squelette granulaire est de 50/50 entre le sable et le gravier. La composition du béton est résumée dans le tableau Composant Type Quantité (kg/m 3 ) Ciment CEM I 425 Sable 0/10 mm 910 Gravier 10/32 mm 930 Superplastifiant Lignosulphonate 3 Eau 170 Tab Composition du béton pour comparaison entre Immersion expérimentales et les données Parallèlement à des travaux menés sur la plateforme en 1994, des carottes de béton ont été prélevées dans un puits de service, dont une série en dessous du niveau de la mer à -11,5 mètres de profondeur. Des mesures de masse volumique et porosité ont été effectuées sur le béton et le coefficient de diffusion fourni est obtenu par ajustement aux profils mesurés. La salinité en chlorures est de 11 g/l. Ces données sont mentionnées dans le tableau Pour la prédiction avec le modèle Immersion, la capacité de fixation du ciment étant inconnue, des coefficients d isothermes mesurées sur des bétons de CEM I avec le même pourcentage volumique de pâte sont utilisées [Truc, 2000]. Les profils expérimentaux en chlorures après 20 ans d immersion ont été mesurés par grignotage puis analyse spectrophotométrique. Ils sont reportés sur la figure 2.9 ainsi que la prédiction

100 84 Développement de la méthodologie obtenue par Immersion. Paramètre Valeur Durée d immersion 20 ans Porosité p 11,6 % Masse volumique sèche ρ d 2276 kg/m 3 Coefficients de l isotherme : α 1, β 1, α 2, β 2 (hypothèse) 0, 0, 0,002, 0,5 Coefficient de diffusion des chlorures D e 0, m 2 /s Concentration en chlorures de l eau de mer 310 mol/m 3 Tab Données d entrée du béton de CEM I pour la prédiction avec Immersion En s éloignant des conditions de laboratoire, où les temps d exposition sont assez faibles en comparaison avec les durées de vie préconisées, et pour lesquelles la mise en oeuvre et l exposition aux chlorures sont maîtrisées, les profils de pénétration des bétons immergés in situ montrent une forte variabilité. Le profil obtenu avec Immersion concorde cependant avec ces observations expérimentales et reste représentatif. Fig. 2.9 Profils expérimentaux en chlorures totaux et profil obtenu par Immersion pour un béton de CEM I Pour tenter de comprendre les différences entre les profils mesurés, le coefficient de diffusion est soumis à une variation de plus ou moins 50 % dans la modélisation. Les résultats sont présentés sur la figure Le fuseau obtenu permet d englober ou de se rapprocher de la plupart des points expérimentaux. Si la porosité et l isotherme de fixation des chlorures sont également modifiées, l ensemble des résultats in situ pourraient être alors approchés. Le modèle Immersion est donc capable de prédire les profils mesurés sur le long terme.

101 85 Développement de la méthodologie Fig Profils en chlorures totaux obtenus par Immersion avec variation du coefficient de diffusion Au travers de cet exemple, la question générale soulevée par ce travail sur la variabilité des indicateurs de durabilité est illustrée. Les données mesurées en laboratoire ne traduisent pas le réalisme des observations sur ouvrage. Un modèle déterministe reste donc insuffisant pour espérer prédire correctement la durée de vie des ouvrages en béton. Les trois exemples traités ont permis de valider l utilisation du modèle Immersion pour un couplage avec l algorithme GPACE. Les schémas numériques étant allégés, les temps de calcul du modèle sont plus courts. L atout majeur est de proposer des prédictions fondées uniquement sur des indicateurs de durabilité mesurables, sans l aide d autres paramètres inaccessibles. La constitution d une base de données réaliste et la définition des lois de distribution associées sera donc facilitée.

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103 Chapitre 3 Les variables aléatoires 3.1 Introduction Le modèle déterministe de pénétration des chlorures développé dans le cadre de la méthodologie probabiliste s appuie sur des grandeurs mesurables, retenues pour leur signification physique. Dans les paramètres nécessaires à la prédiction de la durabilité, la géométrie est également prise en compte puisque l enrobage est le facteur réglementaire à respecter. En résumé, les paramètres physico-chimiques et géométriques déterminants sont : la porosité p, le coefficient de diffusion effectif D e, l isotherme d interaction entre les chlorures et la matrice cimentaire C b (c), et l enrobage e. La construction des densités de probabilité de ces quatre variables aléatoires est une étape importante de la méthodologie. Il convient de porter le plus grand soin à rassembler des données réalistes sous peine d obtenir une prédiction probabiliste n ayant plus aucun sens. Pour un matériau donné, une campagne d essais peut être menée afin d acquérir un nombre représentatif de mesures pour effectuer un traitement statistique. Ce travail est réalisé, par exemple, pour la validation d une formulation de béton. De nombreuses éprouvettes de contrôle sont détruites en compression et la résistance caractéristique (fractile à 95 % de l ensemble des valeurs) est ainsi mesurée. Cette démarche peut être appliquée aux indicateurs de durabilité mais les mesures associées sont beaucoup plus fastidieuses à mettre en oeuvre qu un simple essai de compression. La revue

104 88 Les variables aléatoires bibliographique a montré que les protocoles expérimentaux, le matériel nécessaire et la durée de l essai sont autant de contraintes à une utilisation en dehors des laboratoires de recherche. Malgré le développement de techniques accélérées et simplifiées, ceci reste vrai pour le coefficient de diffusion et particulièrement pour l isotherme d interaction. Dans cette méthodologie, compte tenu des raisons évoquées d accessibilité aux données, seules la formulation du béton, la composition chimique du ciment et une mesure de porosité à l eau sont retenues afin de caractériser le béton. En partant de ces informations fondamentales, deux modèles élémentaires, présentés dans ce chapitre, sont proposés en vue d estimer le coefficient de diffusion et l isotherme de fixation pour un béton de CEM I et un béton de CEM I avec additions pouzzolaniques. En comparant les valeurs calculées à des données expérimentales issues de la bibliographie, l acquisition et la construction d une base de données sont proposées dans ce chapitre. L utilisation de ces modèles élémentaires confère une portée plus générale à la méthodologie. Une campagne expérimentale est cependant nécessaire pour confronter la variabilité des indicateurs de durabilité mesurée sur un matériau à la variabilité obtenue par les modèles élémentaires. Le travail de thèse s est donc appuyé sur un projet ANR et une collaboration sur cette comparaison en apportant une cohérence générale à la démarche. Le projet ANR APPLET (Approche Prédictive PerformantielLE et probabiliste), labélisé par le pôle de compétitivité advancity dans la thématique ville et aménagement, s inscrit dans la perspective de proposer une démarche rigoureuse d évaluation et de quantification de la performance des structures en béton armé quant à leur durabilité. Débuté en 2006 pour une durée de trois ans, un des objectifs est de quantifier les sources de variabilité matérielle et structurelle. Les études du groupe de travail GT1-1, placé sous la responsabilité de VINCI Construction France, correspondent à l acquisition de données sur un béton utilisé en fabrication réelle sur chantier. Les différents laboratoires partenaires ont en charge d effectuer les essais au fur et à mesure que les prélèvements de matériau sont effectués. Conjointement à cette thèse, des essais de migration en régime transitoire ont été effectués au LMDC afin de mesurer le coefficient de diffusion des chlorures. En collaboration avec le Laboratoire Public d Etude et d Essais (LPEE) au Maroc, une approche performantielle et probabiliste a été développée et mise en place sur un chantier de rénovation en front de mer à Casablanca. Pendant toute la durée de travaux, le LPEE a mesuré

105 89 Les variables aléatoires des indicateurs de durabilité sur des éprouvettes de contrôle. Le lien entre les informations obtenues lors de ces deux campagnes expérimentales et la base de données initialement construite autour des modèles élémentaires est effectué dans le présent chapitre. Le développement d un réseau bayésien permet une actualisation des densités de probabilité en fonction des nouvelles observations. 3.2 Détermination des densités de probabilité Les modèles élémentaires d estimation du coefficient de diffusion et de l isotherme de fixation sont exposés. Leur variabilité est étudiée en définissant une erreur multiplicative de modèle qui permet de comparer les valeurs de calculs à des résultats expérimentaux issus de la bibliographie. Cette approche permet de «normaliser» les comparaisons effectuées et de les regrouper sous un histogramme unique. Pour un indicateur de durabilité donné I, l écart normalisé par rapport à la prédiction, Ecart I, est défini entre sa valeur expérimentale I exp et sa valeur calculée I cal par la relation suivante : La variable erreur multiplicative, Err I, s exprime par : Ecart I = I exp I cal I cal (3.1) Err I = 1 + Ecart I = I exp I cal (3.2) En utilisant une telle approche où l indicateur de durabilité est calculé, la variabilité est reportée non plus sur l indicateur de durabilité lui-même, mais sur l erreur multiplicative du modèle. Err I devient donc la nouvelle variable aléatoire de la méthodologie de dimensionnement probabiliste et I s écrit ainsi : I = Err I I cal (3.3) Les deux autres variables, porosité et enrobage, sont également présentées avec les incertitudes associées. Elles ne font pas l objet d une prédiction par un modèle élémentaire mais des erreurs multiplicatives Err p et Err e, à appliquer aux valeurs moyennes retenues p m et e m, sont également définies pour uniformiser les notations sur les variables aléatoires de la méthodologie.

106 90 Les variables aléatoires Coefficient de diffusion Ciment CEM I Le modèle élémentaire permettant d estimer le coefficient de diffusion effectif des chlorures est une approche macroscopique fondée sur la porosité de la pâte de ciment. Une relation entre le coefficient de diffusion et la porosité est développée dans un premier temps pour les bétons de ciment CEM I. Cette loi est établie de manière empirique à partir de nombreux résultats obtenus sur des bétons exposés in situ aux chlorures sur la côte ouest de la Suède, à Träslövsläge [Tang, 1997]. Au total, 39 formulations avec différents ciments et rapports E/C ont été étudiées. Les formulations à base de CEM I, séparées suivant le ciment utilisé, sont récapitulées dans le tableau 3.1 avec la fraction volumique de pâte correspondante v p. Formulation Ciment (kg/m 3 ) Granulats (kg/m 3 ) E/C v p ,35 0, ,40 0, ,50 0, ,75 0, ,35 0, ,40 0, ,50 0, ,60 0, ,75 0, ,35 0, ,40 0, ,75 0, ,35 0, ,40 0, ,50 0, ,60 0, ,75 0,29 H ,3 0,30 H ,3 0,31 Ö ,4 0,36 Tab. 3.1 Composition des bétons de CEM I étudiés [Tang, 1997] En plus des profils en chlorures, les coefficients de diffusion des chlorures ont été mesurés sous champ électrique en régime transitoire (D nssm ), pour les bétons non exposés, âgés de six mois. L ensemble de ces résultats bruts sont présentés sur la figure 3.1 et dans la deuxième colonne

107 91 Les variables aléatoires du tableau 3.2. Fig. 3.1 Evolution du coefficient de diffusion apparent en migration en fonction du rapport E/C pour un béton de ciment CEM I [Tang, 1997] En vue de construire le modèle et retrouver ces résultats expérimentaux, la relation suivante est utilisée : D e = D pâte v 3/2 p (3.4) Ce modèle élémentaire est fondé sur une approche macroscopique : le coefficient de diffusion effectif des chlorures est calculé d abord sur la pâte de ciment, D pâte, en fonction de sa porosité p pâte également calculée, puis le coefficient de diffusion effectif du béton est déduit en utilisant un terme de dilution, vp 3/2, où v p est la fraction volumique de pâte de ciment. Ce dernier terme tient compte de l effet combiné de la dilution et de la tortuosité associée à l ajout de granulat. Il a été établi pour la résolution du problème d homogénéisation des propriétés conductrices d un milieu hétérogène biphasique [Bruggeman, 1935], pâte et granulat dans cette application. Cette relation constitue certes l une des approches les plus simples pour déterminer la diffusivité du béton connaissant celle de la pâte de ciment mais elle ne fait intervenir que la fraction volumique de pâte renseignée par la formulation du béton. La porosité de la pâte p pâte est calculée par le modèle de Powers [Taylor, 2004]. Rappelons que ce modèle est fondé sur un bilan massique et volumique des constituants (phases hydratées

108 92 Les variables aléatoires et anhydres résiduels) d une pâte de CEM I et fournit à l équilibre, lorsque l hydratation est terminée, la composition finale de la pâte et sa porosité p pâte : p pâte = ( ) E/C E/C 0, 53 α 1 E/C + 0, 32 E/C + 0, 32 (3.5) Ce calcul nécessite le degré d hydratation final α. Les observations réalisées sur des pâtes de CEM I conservées de façon endogène à 20 C avec diverses valeurs de E/C initiales (figure 3.2) permettent d obtenir la relation suivante [Waller, 1999] : ( α = 1 exp 3, 3 E ) C (3.6) Fig. 3.2 Degré d hydratation final d un CEM I pour diverses valeurs de E/C [Waller, 1999] La porosité des pâtes de CEM I estimée par Powers est une porosité totale généralement supérieure à la porosité mesurée à l eau ou au mercure [Lovera, 1998]. Or, l observation montre qu à très long terme des grains anhydres subsistent et le ciment n atteint jamais une hydratation complète, notamment pour de faibles rapports E/C. La relation 3.6, construite sur ces remarques, permet d évaluer de façon plus juste la porosité par l équation 3.5. La porosité d une pâte de ciment CEM I est calculée simplement par deux relations retenues pour leur signification physique. Les résultats obtenus sont repris dans la troisième colonne du tableau 3.2. La porosité du béton peut être maintenant déterminée par simple dilution : p = p pâte v p (3.7)

109 93 Les variables aléatoires Les résultats expérimentaux D nssm utilisés ici, mesurés en migration et régime transitoire, sont des coefficients de diffusion apparents. L équation 1.39, établie dans le chapitre bibliographique, fait le lien avec le coefficient de diffusion effectif expérimental du béton D e par l intermédiaire de la porosité du béton p : D e = D nssm p (3.8) L objectif étant de proposer une loi d évolution du coefficient de diffusion effectif des chlorures sur pâte de ciment CEM I, l équation 3.4 permet de déduire le coefficient de diffusion de la pâte D e,p en fonction de celui du béton : D e,p = D e v 3/2 p (3.9) Les résultats sont reportés dans la quatrième colonne du tableau 3.2 et les couples de points (p pâte calculé ; D e,p ) sont représentés sur la figure 3.3. Fig. 3.3 Loi d évolution du coefficient de diffusion effectif des chlorures pour une pâte de ciment CEM I en fonction de sa porosité p pâte La loi d évolution du coefficient de diffusion effectif des chlorures en fonction de la porosité pour une pâte de ciment CEM I (représentée sur la figure 3.3) est déterminée par ajustement aux points expérimentaux. L équation mathématique est ainsi proposée : D pâte = exp (13 p pâte 31) (3.10)

110 94 Les variables aléatoires Finalement, en reprenant l équation proposée 3.4, la relation obtenue pour le modèle élémentaire sur béton s écrit : D e = exp (13 p pâte 31) v 3/2 p (3.11) L erreur multiplicative de modèle correspondante Err D s exprime, comme présenté en introduction, par le ratio entre une valeur expérimentale et sa valeur de calcul : Err D = D e exp D e cal (3.12) La valeur calculée sur pâte et l erreur de modèle correspondante sont identifiées respectivement dans les deux dernières colonnes du tableau 3.2. Formulation D nssm p pâte calculée D e,p D pâte calculé Erreur (10 12 m 2 /s) (%) (10 12 m 2 /s) (10 12 m 2 /s) ,9 34,9 4,01 3,21 1, ,2 38,3 7,79 4,99 1, ,9 44,3 14,68 10,86 1, ,6 55,6 86,06 47,28 1, ,6 34,9 2,09 3,21 0, ,1 38,3 4,53 4,99 0, ,2 44,3 13,43 10,86 1, ,8 49,3 26,90 20,98 1, ,4 55,6 47,79 47,28 1, ,3 34,9 2,74 3,21 0, ,3 4,54 4,99 0, ,2 55,6 40,12 47,28 0, ,4 34,9 3,38 3,21 1, ,3 38,3 5,02 4,99 1, ,0 44,3 12,33 10,86 1, ,3 49,3 22,78 20,98 1, ,5 55,6 39,73 47,28 0,84 H3 2,5 31,2 1,42 1,99 0,72 H9 2,7 31,2 1,51 1,99 0,76 Ö 8,1 38,3 5,17 5,00 1,03 Tab. 3.2 Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de bétons de CEM I [Tang, 1997] Ce modèle élémentaire établi, d autres résultats expérimentaux issus de la bibliographie peuvent être comparés. Ils vont permettre d enrichir la base de données sur Err D et de proposer une densité de probabilité de cette variable aléatoire. Afin de comparer toutes ces données entre

111 95 Les variables aléatoires elles et l équation 3.10 sur un même graphique, les résultats d essais et les estimations du modèle qui vont suivre sont ramenés à la pâte de ciment si nécessaire. L étude des propriétés diffusionnelles de l eau tritiée (HTO) a été menée pour l évaluation de l influence des paramètres intrinsèques au matériau cimentaire [Richet et al., 1996]. Le coefficient de diffusion effectif D e,p (HTO) a été mesuré en cellule de diffusion (cf. partie ) sur des pâtes de ciments CEM I pour différents rapports E/C. Le coefficient de diffusion effectif des chlorures sur pâte D e,p est déduit de cette mesure en conservant le rapport entre le coefficient de diffusion propre des chlorures D 0,Cl et celui de l eau tritiée D 0,HT O. Ils sont définis pour une dilution infinie dans l eau et leur valeurs respectives sont 2, m 2 /s et 2, m 2 /s [Mills et Lobo, 1989]. Le calcul de D e,p s effectue : D e,p = D e,p (HT O) D 0,Cl D 0,HT O = D e,p (HT O) 0, 906 (3.13) L ensemble des résultats expérimentaux, les coefficients de diffusion des chlorures calculés et les erreurs du modèle sont présentés dans le tableau 3.3. Pâte E/C p pâte calculée D e,p (HTO) D e,p D pâte calculé Erreur (%) (10 12 m 2 /s) (10 12 m 2 /s) (10 12 m 2 /s) 1 0,25 22,7 0,55 0,50 1,15 0,43 2 0,30 31,2 1,20 1,09 1,94 0,56 3 0,35 34,9 2,60 2,35 3,26 0,72 4 0,38 37,0 3,50 3,17 4,22 0,75 5 0,40 38,3 4,00 3,62 4,81 0,75 6 0,42 39,6 3,80 3,44 5,48 0,63 7 0,45 41,4 5,00 4,53 7,11 0,64 8 0,50 44,3 8,00 7,25 10,50 0,69 9 0,60 49,3 15,00 13,59 20,11 0, ,65 51,6 18,00 16,31 26,08 0,62 Tab. 3.3 Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de pâtes ciment de CEM I [Richet et al., 1996] D autres résultats de pénétration des chlorures dans des pâtes de ciment CEM I sont exploités [Mejlhede Jensen et al., 1999]. Il s agit d essais d immersion pour lesquels les profils en chlorures dans le matériau sont mesurés à la microsonde (mesure de l intensité du rayonnement X produit entre des électrons incidents et les éléments constituants du matériau à analyser). Les pâtes de ciment ont subi une exposition aux chlorures (solution de NaCl à 3%) pendant 30 jours

112 96 Les variables aléatoires après une cure de 100 jours. Les coefficients de diffusion effectifs sont proposés pour plusieurs rapports E/C. Il ne s agit pas de coefficients de diffusion apparents déduits des profils en chlorures, comme expliqué dans la partie Les isothermes de fixation des chlorures étant connus, une prédiction utilisant le coefficient de diffusion effectif est utilisée. Les informations relatives au calcul de l erreur du modèle élémentaire à partir de ces résultats expérimentaux sont synthétisées dans le tableau 3.4. Pâte E/C p pâte calculée D e,p D pâte calculé Erreur (%) (10 12 m 2 /s) (10 12 m 2 /s) 1 0,2 21,8 0,80 0,58 1,36 2 0,3 31,2 3,80 1,99 1,91 3 0,4 38,3 11,0 5,00 2,20 4 0,5 44,3 22,0 10,91 2,02 5 0,6 49,3 30,0 20,90 1,43 6 0,7 53,6 36,0 36,56 0,98 Tab. 3.4 Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de pâtes de ciment de CEM I [Mejlhede Jensen et al., 1999] Une dernière série de résultats expérimentaux est exploitée. Le coefficient de diffusion effectif des chlorures est mesuré en régime permanent dans une cellule de diffusion pour des pâtes de ciment CEM I [Ngala et al., 1995]. Les résultats expérimentaux, directement comparables à ceux du modèle élémentaire, ainsi que l erreur du modèle sont repris dans la tableau 3.5. Pâte E/C p pâte calculée D e,p D pâte calculé Erreur (%) (10 12 m 2 /s) (10 12 m 2 /s) 1 0,4 38,3 3,95 5,00 0,79 2 0,5 44,3 7,80 10,91 0,71 3 0,6 49,3 12,60 20,91 0,60 4 0,7 53,6 21,46 36,56 0,59 Tab. 3.5 Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de pâtes de ciment de CEM I [Ngala et al., 1995] Tous les résultats expérimentaux et la loi d évolution du coefficient de diffusion effectif sont rappelés sur la figure 3.4, où ils sont exprimés par rapport à la pâte de ciment. La tendance décrite dans les résultats expérimentaux est bien reprise par cette loi. Néanmoins, selon les sources des résultats, le modèle sous-estime ou surestime le coefficient de diffusion effectif. Cette différence pourrait s expliquer suivant la nature de l essai utilisé.

113 97 Les variables aléatoires Fig. 3.4 Loi d évolution du coefficient de diffusion effectif sur pâte en fonction de la porosité de la pâte de ciment p pâte pour un ciment CEM I, et comparaison avec les résultats expérimentaux Au total, quarante résultats de coefficients de diffusion effectifs ont été utilisés. L histogramme de l erreur élémentaire est construit sur la figure 3.5. Fig. 3.5 Histogramme de l erreur du modèle élémentaire sur le calcul du coefficient de diffusion effectif des chlorures Err D pour un matériau de CEM I Le nombre de classes K peut être déterminé de façon la plus simple par la relation [Lethielleux, 1999] : K = N v (3.14) où N v est le nombre de valeurs étudiées. En arrondissant à l entier supérieur, sept classes

114 98 Les variables aléatoires sont retenues. Les intervalles h de chaque classe sont définis constants en fonction des valeurs maximum et minimum (max, min), de telle sorte que : h = max min K (3.15) Dans ce cas, la largeur h vaut 0,30. Chaque classe est définie par sa borne supérieure, valeur incluse (par exemple, la classe 0,73 contient les valeurs x pour lesquelles 0, 43 < x 0, 73). La statistique de base sur l histogramme de l erreur du modèle élémentaire Err D donne une moyenne de 1,01 et un écart-type de 0, Ciment CEM I avec additions Dans le cas des ciments composés, une démarche identique à celle définie pour les CEM I peut être appliquée : proposition d un modèle élémentaire ou d une correction apportée sur le précédent, collecte de résultats expérimentaux, comparaison modèle-essais, calcul de l erreur de modèle, construction de l histogramme correspondant. Les effets bénéfiques d une substitution partielle du CEM I par des additions minérales (cendres volantes, fumées de silice et laitiers) ont été montrés ([Torii et al., 1995] [Ramezanianpour, 1995] [Osborne, 1999]) et sont maintenant admis. La meilleure résistance aux chlorures à long terme de ces ciments s explique par les réactions d hydratation secondaires des additions. Ces réactions se traduisent par un remplissage de la structure poreuse qui devient plus fine et plus tortueuse. Il est donc intéressant d intégrer ces additions dans la méthodologie générale probabiliste. Dans le cas des laitiers de haut fourneau, les mécanismes d hydratation, fondés sur des problèmes d activation, sont complexes. Le matériau, thermodynamiquement instable, fait prise en présence d eau mais le durcissement qui en résulte est très lent. Les activants interviennent alors dans les réactions et accélèrent les phénomènes. De ce fait, les laitiers permettent difficilement de proposer un modèle macroscopique simple, comme pour le CEM I seul, et l emploi d un tel modèle est écarté pour le moment.

115 99 Les variables aléatoires Pour les ciments avec additions pouzzolaniques (cendres volantes et fumées de silice), dont les mécanismes d hydratation seront développés dans la partie , deux paramètres de la composition du béton entrent directement en compte : le rapport E/C et le taux de substitution s du ciment CEM I. Les données à collecter doivent couvrir les jeux de paramètres possibles (E/C ;s) pour mener correctement l étude statistique. Des essais de diffusion sous champ électrique ont été par exemple effectués sur des bétons de plusieurs rapports E/C avec une substitution de 20% du CEM I en cendres volantes [Yang et Wang, 2004]. Les résultats montrent une diminution du coefficient de diffusion D nssm de 80 à 90% en comparaison du même CEM I pur. D autres essais avec des taux de substitution différents sont cependant nécessaires pour proposer un terme correctif adapté. Une étude expérimentale n a pas été menée, afin de se consacrer au maximum à l aspect méthodologique. Cette étude portera finalement sur les ciments CEM I avec fumées de silice, pour lesquels les données bibliographiques plus nombreuses ont permis de construire l histogramme de l erreur du modèle d estimation du coefficient de diffusion effectif des chlorures. Afin de prendre en compte l influence de la fumée de silice sur la diffusivité des chlorures, un terme correctif est proposé. Des informations sur la réduction relative du coefficient de diffusion effectif d un béton avec fumées de silice sont reprises sur la figure 3.6. Elles proviennent d un modèle de prédiction de la diffusivité des bétons avec fumées de silice et ont été validées avec des données expérimentales [Song et al., 2007]. Fig. 3.6 Evolution relative du coefficient de diffusion effectif en fonction du taux de remplacement de ciment CEM I en fumées de silice [Song et al., 2007]

116 100 Les variables aléatoires Ce modèle, plus complexe, est fondé sur les propriétés porales des hydrates de la pâte de ciment et l influence de l auréole de transition. Les CSH secondaires issus de la réaction pouzzolanique entre la fumée de silice et la portlandite ont une porosité plus faible que les CSH primaires issus de la réaction d hydratation du CEM I. Le résultat est une densification de la microstructure, notamment au niveau de l auréole de transition, indiquant que la fumée de silice améliore la durabilité des bétons en diminuant, entre autres, son coefficient de diffusion. Cette diminution est observable sur la figure 3.6 en fonction du taux de substitution s en fumées de silice, quel que soit le rapport E/C. Entre 0 et 7%, la réduction est significative, elle continue dans une moindre mesure jusqu à environ 15% pour atteindre un palier puis ne plus évoluer après 17%. Sur la base de ces observations, l expression mathématique de la correction est proposée : 11, 3 s + 1 si s 0, 07 R fs = D efs = 1, 9 s + 0, 34 si 0, 07 < s 0, 17 D e 0, 02 si s > 0, 17 (3.16) Cette relation est une «moyenne» des différentes tendances et ne dépend plus que du taux de remplacement s. La relation est plus approximative mais permettra de regrouper toutes les erreurs du modèle élémentaire calculées dans un même histogramme, indépendamment du rapport E/C. Le nombre d informations à rassembler pour le traitement statistique s en trouve de fait diminué. Pour un béton contenant un ciment de CEM I avec un taux de substitution s en fumées de silice, le modèle peut être décrit de cette façon : le coefficient de diffusion effectif est, tout d abord, calculé sur le béton de CEM I en considérant que la quantité totale C (kg/m 3 ) de ciment est uniquement du CEM I. De plus, la porosité de la pâte nécessaire au calcul reste celle d une pâte de CEM I. Enfin la correction est apportée en fonction de s suivant l équation Le modèle mathématique permettant de calculer le coefficient de diffusion effectif D efs d un béton de CEM I avec fumées de silice est formulé ainsi : D efs = R fs exp (13 p pâte 31) v 3/2 p (3.17)

117 101 Les variables aléatoires Il est donc important de noter que dans les formulations de béton qui suivent, la quantité de ciment C représente la totalité du CEM I et des fumées de silice mais que les calculs sur la pâte de ciment de CEM I pure sont effectués en considérant la quantité C. La quantité de fumées de silice SF (kg/m 3 ) se déduit par : SF = s C (3.18) Conformément au développement de la partie précédente, l erreur du modèle Err Dfs devient la nouvelle variable aléatoire pour la méthodologie de dimensionnement probabiliste. Les résultats expérimentaux suivants vont permettre de construire la base de données sur Err Dfs et proposer une densité de probabilité de cette variable aléatoire. L étude sur des bétons coulés pour une exposition aux chlorures à Träslövsläge sur la côte ouest de la Suède est utilisée [Tang, 1997]. Parmi les 39 formulations de bétons, 12 utilisent des ciments de CEM I avec fumées de silice et sont reprises dans le tableau 3.6. Formulation Ciment Fumées de silice, s Granulats E/C v p (kg/m 3 ) (%) (kg/m 3 ) ,35 0, ,40 0, ,50 0, ,75 0, ,40 0, ,35 0, ,40 0,30 H ,30 0,30 H ,30 0,30 H ,40 0,35 H ,25 0,31 H ,30 0,30 Tab. 3.6 Composition des bétons de CEM I avec fumées de silice étudiés [Tang, 1997] La résistance aux chlorures pour différents rapports E/C et taux de substitution en fumées de silice [Hooton et al., 1997] a été étudiée sur une autre série de bétons. Les formulations sont récapitulées dans le tableau 3.7. Enfin, dans le cadre d une campagne d essais croisés pour l interprétation des différents essais de diffusion-migration des chlorures, des bétons avec fumées de silice on été examinés [Baroghel-Bouny et al., 2002]. Les formulations sont présentées dans le tableau 3.8. Un

118 102 Les variables aléatoires autre béton (M75FS) dédiée à l étude de l influence de la fissuration sur les propriétés de transfert est répertorié avec ce tableau [Djerbi, 2007]. Formulation Ciment Fumées de silice, s Granulats E/C v p (kg/m 3 ) (%) (kg/m 3 ) ,35 0, ,35 0, ,40 0, ,45 0,31 Tab. 3.7 Composition des bétons de CEM I avec fumées de silice étudiés [Hooton et al., 1997] Formulation Ciment Fumées de silice, s Granulats E/C v p (kg/m 3 ) (%) (kg/m 3 ) B80-S 455 7, ,32 0,33 B80-OA ,35 0,34 B80-SN 480 6, ,28 0,30 M75FS 382 5, ,36 0,27 Tab. 3.8 Composition des bétons de CEM I avec fumées de silice étudiés [Baroghel-Bouny et al., 2002] Les coefficients de diffusion apparents D nssm mesurés en migration sur les bétons de Suède sont mentionnés dans le tableau 3.9. Le calcul du coefficient de diffusion effectif nécessite la porosité p du béton (équation 3.8), obtenue par dilution en fonction de celle de la pâte (équation 3.7). Dans le cas présent et pour la suite du développement, l hypothèse formulée réside dans la porosité de la pâte p pâte qui reste celle d une pâte de CEM I calculée par Powers et le degré d hydratation exprimé dans l équation 3.6. Le terme correctif R fs est, en effet, défini par rapport au coefficient de diffusion d un béton de CEM I seul. L ensemble des résultats expérimentaux, valeurs de calculs et erreurs du modèle élémentaire sont repris dans le tableau 3.9. La deuxième série de béton a fait l objet d une immersion dans une solution de NaCl à 2,8 M ( 100 g/l). Le résultat de ces essais est un coefficient de diffusion apparent (cf. partie ). Pour en déduire le coefficient de diffusion effectif (équation 1.19), l isotherme de fixation des chlorures est nécessaire : ( ) C b D e = D a p + ρ d c (3.19)

119 103 Les variables aléatoires Formulation D nssm p pâte cal. p cal. D e D e calculé Erreur (10 12 m 2 /s) (%) (%) (10 12 m 2 /s) (10 12 m 2 /s) ,9 34,9 12,6 0,36 0,31 1, ,4 38,3 13,8 0,61 0,45 1, ,4 44,3 15,9 2,13 0,99 2, ,9 55,6 17,8 6,03 3,73 1, ,9 38,3 12,6 0,49 0,40 1, ,6 34,9 10,5 0,17 0,23 0, ,0 38,3 11,5 0,46 0,34 1,34 H1 0,6 31,2 9,4 0,06 0,14 0,41 H2 0,3 31,2 9,4 0,03 0,05 0,59 H4 2,7 38,3 13,4 0,36 0,43 0,85 H5 0,9 27,1 8,4 0,07 0,09 0,88 H7 0,6 31,2 9,4 0,06 0,14 0,41 Tab. 3.9 Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de bétons de CEM I avec fumées de silice [Tang, 1997] Le terme ρ d C b c est de l ordre de 0,04 (kg/m3 / m 3 /kg) pour une pente linéaire de l isotherme et une concentration en surface de 30 g/l [Baroghel-Bouny et al., 2002]. Afin de calculer le coefficient de diffusion effectif, il faudrait donc multiplier par la porosité majorée de 30 à 50 % (par exemple pour une porosité de 10 %, 0,1+0,04). Cependant, dans le cas des concentrations plus importantes, la pente de l isotherme est beaucoup plus faible (la courbe s applatit dans les grandes concentrations comme illustré sur la figure 1.5), voire négligeable [Castellote et al., 1999]. La concentration dans ces essais de diffusion étant élevée, le coefficient de diffusion effectif est déduit uniquement avec la porosité p du béton. Les résultats obtenus, les valeurs de calculs et l erreur du modèle élémentaire sont indiqués dans le tableau Formulation D a p pâte cal. p cal. D e D e calculé Erreur (10 12 m 2 /s) (%) (%) (10 12 m 2 /s) (10 12 m 2 /s) ,2 34,9 8,7 0,10 0,08 1, ,0 34,9 8,7 0,09 0,04 1, ,2 38,3 11,0 0,13 0,16 0, ,6 41,4 12,7 0,20 0,31 0,26 Tab Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de bétons de CEM I avec fumées de silice [Hooton et al., 1997] Pour les derniers bétons étudiés, les résultats expérimentaux sont tous obtenus en migration. En régime transitoire, les coefficients de diffusion apparents D nssm sont transformés en D e tandis qu en régime permanent, le résultat est directement un coefficient de diffusion effectif D e

120 104 Les variables aléatoires (D nssm non renseigné). L ensemble des informations et l erreur de modèle sont exposés dans le tableau Formulation D nssm p pâte cal. p cal. D e D e calculé Erreur (10 12 m 2 /s) (%) (%) (10 12 m 2 /s) (10 12 m 2 /s) B80-S 1,2 34,9 11,5 0,14 0,12 1,17 B80-OA 1,3 36,2 12,3 0,16 0,16 1,01 B80-SN - 31,2-0,1 0,09 1,02 M75FS - 34,9-0,25 0,31 0,81 Tab Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de bétons de CEM I avec fumées de silice [Baroghel-Bouny et al., 2002] [Djerbi, 2007] Enfin, des résultats de pénétration des chlorures dans des pâtes de CEM I avec fumées de silice sont exploités [Mejlhede Jensen et al., 1999] [Bentz et al., 2000]. Immergés dans une solution saline, les profils en chlorures sont établis à la microsonde. Le coefficient de diffusion effectif est déduit par ajustement aux profils expérimentaux d un modèle intégrant la fixation des chlorures [Mejlhede Jensen et al., 1999]. Des mesures avec l eau tritiée effectuées sur cellules de diffusion en régime permanent sont également proposées. Les tableaux 3.12 et 3.13 synthétisent les données et l erreur de modèle associé. Pâte E/C Fumées de p pâte cal. D e,p (HTO) D e,p D pâte cal. Erreur silice, s (%) (%) (10 12 m 2 /s) (10 12 m 2 /s) (10 12 m 2 /s) 1 0, ,2-0,70 1,28 0,55 2 0, ,2-0,15 0,62 0,24 3 0, ,2-0,05 0,22 0,23 4 0, ,2-0,01 0,04 0,21 5 0, ,4 3,80 3,44 4,95 0,69 6 0, ,1 0,16 1,45 3,71 0,39 Tab Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de pâtes ciment de CEM I avec fumées de silice [Bentz et al., 2000] Pâte E/C Fumées de p pâte cal. D e,p D pâte cal. Erreur silice, s (%) (%) (10 12 m 2 /s) (10 12 m 2 /s) 1 0, ,3 13 6,94 1,87 2 0, ,3 4,2 3,38 1,24 3 0, ,3 1,6 1,57 1,02 4 0, ,3 0,30 0,21 1,43 Tab Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de pâtes ciment de CEM I avec fumées de silice [Mejlhede Jensen et al., 1999]

121 105 Les variables aléatoires Au total, trente résultats de coefficients de diffusion effectifs ont été recueillis. L histogramme de l erreur élémentaire est construit sur la figure 3.7. L erreur du modèle intègre tous les résultats, indépendamment du rapport E/C et du taux de substitution en fumées de silice s. Le nombre de classes K, calculé par l équation 3.13, est de six et la largeur h vaut 0,40. La statistique de base sur Err Dfs donne une moyenne de 0,98 et un écart-type de 0,47. Fig. 3.7 Histogramme de l erreur du modèle élémentaire sur le calcul du coefficient de diffusion effectif des chlorures Err Dfs pour un matériau de CEM I avec fumées de silice Pour les erreurs Err D et Err Dfs des deux modèles élémentaires de calcul des coefficients de diffusion, les écarts-types obtenus peuvent sembler importants mais traduisent la dispersion expérimentale sur cet indicateur de durabilité. Les différents protocoles de mesure, en diffusion, migration sous champ électrique, régime permanent ou transitoire, permettent de calculer le coefficient de diffusion effectif avec des hypothèses identifiées dans le chapitre bibliographique. Les écarts-types sur le coefficient de diffusion sont aussi le reflet d une non-uniformisation des techniques de mesure. La variabilité obtenue n est donc pas uniquement intrinsèque au matériau. L utilisation des écarts-types proposés, même s ils peuvent être jugés importants, permet donc de rester conforme à la réalité expérimentale observée. De plus, l écart-type du modèle avec fumées de silice est légèrement plus élevé que celui du CEM I seul. La correction proposée R fs, indépendantes du rapport E/C, intègre une variabilité supplémentaire due à l introduction de ces additions (voir figure 3.6). Néanmoins, une amélioration de ce terme correctif n est pas nécessaire compte tenu de la faible différence entre les écarts-types de Err D et Err Dfs.

122 106 Les variables aléatoires En conclusion, le coefficient de diffusion reste un indicateur de qualité qu il est conseillé malgré tout de mesurer sur chantier avec un essai de migration par exemple. Ceci permettrait d ajuster si besoin la valeur moyenne obtenue par les modèles élémentaires développés Isotherme d interaction des chlorures Le modèle élémentaire de prédiction de l isotherme d interaction des chlorures se décompose en deux étapes : estimation des quantités d hydrates de la pâte de ciment, calcul des quantités de chlorures fixés pour chaque hydrate concerné Ciment CEM I Conformément à la partie du chapitre bibliographique, la fixation des chlorures est constituée d une fixation chimique, dépendant de la quantité d aluminates présents (C 3 A, C 4 AF) dans le ciment, et d une fixation physique sur les CSH. Fig. 3.8 Isothermes de fixation des chlorures obtenues sur des hydrates synthétisés [Hirao et al., 2005] La capacité de fixation a été examinée pour des hydrates synthétisés [Hirao et al., 2005] :

123 107 Les variables aléatoires portlandite CH, silicate de calcium hydraté CSH, ettringite AFt, et monosulfoaluminate AFm. Pour chaque hydrate, une isotherme de fixation est proposée par exposition à des solutions de chlorures à différentes concentrations [Tang et Nilsson, 1993]. L étude est complétée par des observations au microscope électronique à balayage. Il apparaît que la portlandite et l ettringite n ont aucune capacité de fixation contrairement aux AFm, responsables de la formation des sels de Friedel, et aux CSH. Les isothermes obtenues sont présentées sur la figure 3.8. La relation suivante [Hirao et al., 2005] permet de calculer la quantité de chlorures fixés par les hydrates C b (mmol/g de ciment) en fonction de la concentration en chlorures libres c (mol/l). Elle est définie comme la somme des chlorures fixés par les CSH et les AFm dont les proportions sont exprimées en pourcentage de la masse de ciment : C b = 0, 62 2, 65 c 1 + 2, 65 c %CSH , 38 c 0,58 %AF m 100 (3.20) Le reste de l étude retiendra cette forme mathématique de l isotherme de fixation. Elle suppose cependant la détermination des quantités d hydrates de la pâte de ciment. L hypothèse selon laquelle la pâte de ciment est principalement composée de CSH, CH, AFm et AFt (ou hexahydrates C 3 AH 6 ) [Adenot, 1992] est adoptée. L estimation des quatre phases hydratées d un ciment CEM I à partir de la composition en oxydes du ciment utilise ce système [Bary et Sellier, 2004], écrit en nombre de moles : CaO = CH + 1, 65 CSH + 4 AF m + 6 AF t (ou 3 C 3 AH 6 ) SiO 2 = CSH 2 Al = 2 AF t (ou 2 C 3 AH 6 ) + 2 AF m SO 3 = 3 AF t (ou0 C 3 AH 6 ) + AF m (3.21) La résolution est effectuée en supposant la présence d AFt. Néanmoins, si la quantité de sulfates SO 3 dans le ciment est insuffisante pour que les quantités calculées soient positives, la présence prédominante d hexahydrates C 3 AH 6 est retenue. Les calculs étant effectués sur un béton mature, les résultats obtenus sont pondérés par le degré d hydratation final, calculé par la relation 3.6 valable pour un ciment CEM I à 28 jours. Ce modèle élémentaire est implanté dans un tableur de type EXCEL de Microsoft, ou CALC d OpenOffice. Les paramètres nécessaires à l obtention de l isotherme sont : la composition chimique du CEM I,

124 108 Les variables aléatoires la formulation du matériau et notamment son rapport E/C. Ainsi déterminés, les résultats sont confrontés à des données expérimentales issues de la bibliographie pour évaluer l erreur de modèle : Err C = C b(c) exp C b (c) cal (3.22) Les isothermes sont mesurées sur deux mortiers de CEM I 52,5 PM ES CP2 [Nguyen, 2006] du Val d Azergues (Lafarge) et 42,5 [Bigas, 1994] de Ciment d Origny (Holcim), et deux bétons de rapport E/C différents à base de CEM I 52,5 N [Arliguie et Hornain, 2007] de Couvrot (Calcia). Trois autres bétons sont étudiés à base de ciments CEM I désignés «HS65» et «EZ375» [Larsen, 1998], le premier ciment (High-Strength low-alkali) étant très utilisé en Norvège et le second en Australie. Le tableau 3.14 indique les compositions chimiques des ciments CEM I présentés. Les formulations des bétons et mortiers sont reprises dans le tableau 3.15 ainsi que le degré d hydratation final calculé par la relation 3.6. Composant (% en masse) S i O 2 Al 2 O 3 Fe 2 O 3 CaO MgO SO 3 K 2 O Na 2 O Perte au feu Désignation 52,5 PM ES 21,2 3,5 4,6 64,6 0,6 2,65 0,63 0,17 1,1 42,5 19,6 4,8 3,2 64,1 0,9 3,3 0,6 0,2 2,6 «HS65» 21,41 5,57 3,34 63,27 1,4 2,8 0,79 0,33 0,98 «EZ375» 19,41 4,93 2,86 61,55 1,85 3 1,79 0,32 0,69 52,5 N 20,3 5,26 2,24 63,71 1,12 3,49 1,1 0,08 2,2 Tab Composition chimique des ciments CEM I 52,5 PM ES [Nguyen, 2006], 42,5 [Bigas, 1994], «HS65» et «EZ375» [Larsen, 1998], 52,5 N [Arliguie et Hornain, 2007] Formulation Désignation Ciment Granulats E/C α ciment (kg/m 3 ) (kg/m 3 ) M1 52,5 PM ES 617, ,43 0,76 M2 42, ,50 0,81 C1 «HS65» ,40 0,73 C2 «HS65» ,60 0,86 C7 «EZ375» ,60 0,86 B30 52,5 N ,65 0,88 B60 52,5 N ,40 0,73 Tab Composition des matériaux de CEM I étudiés [Nguyen, 2006] [Bigas, 1994] [Larsen, 1998] [Arliguie et Hornain, 2007]

125 109 Les variables aléatoires Les points expérimentaux, correspondants aux chlorures fixés pour une certaine concentration en chlorures, sont obtenus pour un matériau donné selon la méthode la plus couramment utilisée. Des morceaux d échantillon M1, M2, B30 et B60 sont concassés puis exposés aux chlorures à différentes concentrations [Tang et Nilsson, 1993]. Une autre technique de mesure des isothermes est appliquée à C1, C2 et C7. Des disques de béton de diamètre 100 mm et d épaisseur 4 à 5 mm ont été exposés aux chlorures. La solution interstitielle est extraite (dispositif de piston actionné par une presse afin de recueillir la solution dans le matériau [Larsen, 1998]) afin d obtenir les chlorures dans les pores du matériau. Les chlorures totaux sont mesurés par attaque à l acide nitrique puis dosage potentiométrique. Formulation CSH AFm c C b C b calculé Erreur (kg/kg ciment ) (kg/kg ciment ) (g/l) (0,01 kg/kg ciment ) M1 0,456 0, ,813 0,518 1,57 M1 0,456 0, ,978 0,792 1,23 M1 0,456 0, ,276 1,145 1,11 M2 0,450 0, ,303 0,196 1,54 M2 0,450 0, ,560 0,602 0,93 M2 0,450 0,207 9,5 0,833 0,878 0,95 M2 0,450 0, ,913 1,312 0,70 M2 0,450 0, ,303 1,822 0,71 C1 0,446 0, ,883 0,744 1,19 C1 0,446 0, ,801 1,086 0,74 C2 0,524 0, ,813 0,876 0,93 C2 0,524 0, ,163 1,277 0,91 C7 0,475 0, ,451 1,329 1,09 B30 0,509 0, ,231 0,327 0,71 B30 0,509 0,239 3,5 0,500 0,527 0,95 B30 0,509 0, ,769 0,971 0,79 B30 0,509 0,239 17,5 1,270 1,410 0,90 B30 0,509 0, ,000 1,970 1,01 B60 0,422 0, ,326 0,271 1,20 B60 0,422 0, ,326 0,271 1,12 B60 0,422 0, ,326 0,271 0,94 B60 0,422 0, ,326 0,271 0,97 B60 0,422 0, ,326 0,271 1,03 Tab Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de matériaux de CEM I [Nguyen, 2006] [Bigas, 1994] [Larsen, 1998] [Arliguie et Hornain, 2007] Le tableau 3.16 référence dans l ordre pour chaque formulation, les CSH et AFm calculées par le système d équation 3.21 pondérée par le degré d hydratation, les valeurs expérimentales des chlorures libres c et fixés C b, les quantités de chlorures fixés calculées par l équation 3.20 et

126 110 Les variables aléatoires l erreur de modèle Err C. Vingt trois résultats de chlorures fixés ont été recueillis. Une représentation graphique est proposée sur la figure 3.9 afin d appréhender la dispersion. Pour cela, les quantités mesurées de chlorures fixés sont normalisées en divisant dans chaque cas le résultat obtenu par la totalité des hydrates (CSH et AFm) estimés. Une isotherme théorique unique est tracée en considérant une mole de CSH et d AFm dans l équation Fig. 3.9 Comparaison entre les quantités mesurées de chlorures fixés et le modèle élémentaire proposé pour l isotherme de fixation L histogramme de l erreur élémentaire est construit sur la figure Le nombre de classes K est de six et la largeur h vaut 0,17. La statistique de base sur l histogramme de l erreur du modèle élémentaire Err C conduit à une moyenne de 1,01 et un écart-type de 0,23. Fig Histogramme de l erreur du modèle élémentaire sur le calcul des chlorures fixés Err C pour un matériau de CEM I

127 111 Les variables aléatoires Le nombre de résultats utilisés dans la construction de Err C est plus faible que pour le coefficient de diffusion. Le protocole expérimental de mesure des isothermes étant délicat (préparation des échantillons et dosages chimiques), la bibliographie est souvent moins fournie. Néanmoins, l écart-type obtenu sur Err C atteste d une bonne adéquation entre les phénomènes physiques retenus, leurs équations et les résultats expérimentaux Ciment CEM I avec additions Dans le modèle élémentaire de calcul du coefficient de diffusion effectif des chlorures, seules les fumées de silice ont été traitées comme addition minérale. Une correction est donc apportée aux isothermes de fixation des chlorures pour les ciments de CEM I avec fumées de silice uniquement. Une réaction secondaire se produit puisque la silice réagit avec la portlandite du clinker et forme des CSH différents de ceux apparus lors de la réaction primaire du clinker. Ils présentent en général un rapport C/S de l ordre de 1,1 à 1,2 [Adenot, 1992]. Pour simplifier, la réaction pouzzolanique considérée s écrit en nombre de moles : CH + SiO 2 = CSH (3.23) L estimation de la composition de la pâte de ciment suppose l utilisation d une chronologie dans l ordre d hydratation [Buffo-Lacarrière, 2007] : calcul des hydrates primaires par le système d équation 3.21, calcul des CSH secondaires par l équation 3.23 (consommation de la silice en fonction de la portlandite disponible calculée à l étape précédente), pondération par le degré d hydratation final α fs. Le degré d hydratation final pour un ciment CEM I avec fumées de silice α fs est modifié par rapport à celui du CEM I seul car les composés présentent une demande en eau différente. L équation 3.24 apporte une correction [Waller, 1999] pour le calcul de α fs : [ α fs = 1 exp 3, 3 ( E { δ = 0, 6 min F S C CEMI ; CH α fs 1,3 C CEMI } exp )] δ CH = 0, 42 C 3 S + 0, 13 C 2 S ( ) E 1, 6 C CEMI (3.24) où CH (kg/kg de CEM I) est la portlandite estimée dans le cas du CEM I seul, C CEMI et FS les quantités de CEM I et de fumées de silice (kg/m 3 ). C 3 S et C 2 S (kg/kg de CEM I) sont

128 112 Les variables aléatoires déterminés par la composition de Bogue [Bogue, 1952] appliquée au clinker seul lorsqu ils ne sont pas proposés dans les références bibliographiques. Le calcul de α fs, introduit dans la feuille de calcul du tableur, est implicite mais la convergence est obtenue rapidement au bout de trois ou quatre itérations. La quantité totale de CSH dans la pâte de ciment augmente en comparaison du CEM I seul. Toutefois, la création de CSH secondaires rend les CSH primaires inaccessibles à la fixation des chlorures pour cause de densification de la microstructure [Dizayee et al., 2007] [Bentz et al., 2000]. Tous les CSH ne sont donc pas pris en compte en calculant les chlorures fixés dans l équation La relation suivante est proposée en vue d estimer la quantité de CSH disponibles (CSH dispo ) pour fixer les chlorures : CSH dispo = CSH primaires 0, 5 CSH secondaires (3.25) Dans les calculs, la fumée de silice est considérée composée d une quantité massique constante en SiO 2 de 95 %. Une fois obtenus, les résultats sont confrontés à des données expérimentales bibliographiques afin d évaluer l erreur de modèle Err Cfs. Le coefficient 0,5 de l équation 3.25 a été obtenu par ajustement aux premiers résultats puis conservé par la suite. Les isothermes sont déterminées sur un béton C5 de CEM I «HS65» avec 10 % de fumées de silice et, en proportions identiques, une pâte P12 du même ciment et une pâte P16 de CEM I «EZ375» [Larsen, 1998]. Trois mortiers M10FS, M30FS et M50FS utilisent un CEM I 52,5 N avec respectivement 10, 30 et 50 % de fumées de silice [Dizayee et al., 2007]. Formulation Ciment Fumées de silice, s Granulats E/C α fs (kg/m 3 ) (%) (kg/m 3 ) C ,6 0,79 P ,6 0,79 P ,6 0,79 M10FS ,42 0,65 M30FS ,42 0,71 M50FS ,42 0,79 Tab Composition des matériaux de CEM I avec fumées de silice étudiés [Larsen, 1998] [Dizayee et al., 2007] La composition chimique du CEM I 52,5 N des trois mortiers n étant pas précisée, celle déjà utilisée pour ce type de ciment est reprise [Arliguie et Hornain, 2007]. Les formulations des

129 113 Les variables aléatoires bétons, pâtes et mortiers sont indiquées dans le tableau 3.17 ainsi que le degré d hydratation final α fs calculé par la relation Il est à souligner que la quantité de ciment C comprend le CEM I et les fumées de silice. Le tableau 3.18 reprend dans l ordre, pour chaque formulation, les CSH calculés dans le système d équation 3.21, pondérés par le degré d hydratation et corrigés avec l équation 3.25, les AFm, les valeurs expérimentales des chlorures libres c et fixés C b, les quantités de chlorures fixés calculée par l équation 3.20 et l erreur de modèle Err Cfs. Formulation CSH dispo AFm c C b C b calculé Erreur (kg/kg ciment ) (kg/kg ciment ) (g/l) (0,01 kg/kg ciment ) C5 0,289 0, ,253 0,874 1,69 C5 0,289 0, ,911 1,301 1,47 C5 0,289 0, ,468 1,747 1,41 C5 0,289 0, ,987 1,756 1,13 C12 0,289 0, ,253 0,874 1,43 C12 0,289 0, ,999 0,903 1,11 C12 0,289 0, ,253 1,464 0,86 C12 0,289 0, ,126 1,472 0,76 P16 0,242 0,166 18,5 1,278 0,866 1,48 P16 0,242 0, ,873 0,881 0,99 P16 0,242 0,166 52,5 1,456 1,443 1,01 P16 0,242 0,166 56,5 0,873 1,490 0,59 M10FS 0,182 0, ,159 0,184 0,86 M10FS 0,182 0,160 3,5 0,227 0,289 0,78 M10FS 0,182 0, ,545 0,509 1,07 M10FS 0,182 0, ,681 0,751 0,91 M10FS 0,182 0,160 35,5 0,704 1,073 0,66 M30FS 0,148 0, ,091 0,196 0,61 M30FS 0,231 0,135 3,5 0,182 0,196 0,78 M30FS 0,406 0, ,341 0,196 0,84 M30FS 0,599 0, ,522 0,196 0,87 M30FS 0,862 0,135 35,5 0,568 0,196 0,66 M50FS 0,101 0, ,091 0,118 0,77 M50FS 0,101 0,107 3,5 0,182 0,184 0,98 M50FS 0,101 0, ,341 0,323 1,05 M50FS 0,101 0, ,499 0,478 1,05 M50FS 0,101 0,107 35,5 0,545 0,686 0,79 Tab Comparaison entre le modèle élémentaire et les données expérimentales issues de matériaux de CEM I avec fumées de silice [Larsen, 1998] [Dizayee et al., 2007] Les résultats du tableau 3.18 indiquent que plus la quantité de fumées de silice est importante, moins les CSH dispo et les AFm sont nombreux. C est la conséquence directe de l équation 3.25

130 114 Les variables aléatoires qui réduit les CSH disponibles pour fixer les chlorures, d autant plus que les CSH secondaires sont importants. Cette relation n est cependant pas linéaire car si la proportion de fumées de silice augmente, la quantité de CEM I diminue et par conséquent, celle de portlandite nécessaire à la réaction pouzzolanique également. De même, avec la réduction de la proportion en CEM I, les AFm de l hydratation primaire deviennent moins répandus. Vingt sept résultats de chlorures fixés ont été rassemblés. L histogramme de l erreur élémentaire est proposé sur la figure Le nombre de classes K est de six et la largeur h de 0,22. La statistique de base sur l histogramme de l erreur du modèle élémentaire Err Cfs conduit à une moyenne de 0,99 et un écart-type de 0,29. Fig Histogramme de l erreur du modèle élémentaire sur le calcul des chlorures fixés Err Cfs pour un matériau de CEM I avec fumées de silice L écart-type obtenu dans cette étude est supérieur à celui de Err C. La correction proposée fait intervenir un coefficient 0,5 pour la réduction des CSH disponibles par ajustement aux premiers résultats expérimentaux. Une meilleure prédiction peut être envisagée en améliorant cette correction. Les écarts-types (autour de 25 %) et les moyennes (centrées sur 1) obtenus sur les erreurs multiplicatives Err C et Err Cfs des modèles élémentaires de calcul des chlorures fixés témoignent d une prédiction satisfaisante. L utilisation d une telle méthode dans le cas des ciments de CEM I avec ou sans fumées de silice permet d économiser des essais d isotherme d interaction souvent longs et fastidieux.

131 115 Les variables aléatoires Compléments Le modèle Immersion développé dans le chapitre précédent fait intervenir explicitement l isotherme de fixation des chlorures. Les coefficients α 1, α 2, β 1 et β 2, déterminés par calage aux résultats expérimentaux, sont introduits sous la forme mathématique classique de l isotherme (équation 1.14). L équation 3.20 [Hirao et al., 2005] utilisée dans l isotherme du modèle élémentaire peut maintenant être intégrée au modèle Immersion en lieu et place de la précédente. Ainsi, les quatre coefficients α i, β i disparaissent pour laisser place aux quantités de CSH et d AFm estimées. Le nombre de données d entrée s en trouve encore diminué et remplacé par de nouveaux paramètres dont la signification physique est plus parlante. De plus, en adaptant le modèle Immersion avec l équation 3.20, une nouvelle procédure d exploitation des essais de diffusion en régime transitoire est envisageable : calcul des AFm et CSH de la pâte de ciment hydratée à partir de la composition chimique du ciment et de la formulation du béton, ajustement du coefficient de diffusion effectif dans le but de caler la prédiction d Immersion au profil expérimental en chlorures totaux. Finalement, toutes les lois phénoménologiques utilisées pour les modèles élémentaires, en plus de leur simplicité compatible avec l approche probabiliste (en termes de temps de calcul), ont été choisies pour leur signification physique, permettant de les utiliser sur différents matériaux et de confronter les résultats avec différentes techniques de mesure. En conséquence, un nombre significatif de matériaux de CEM I avec ou sans fumées silice ont pu être testés, facilitant la caractérisation réaliste de la variabilité des modèles élémentaires. La même approche sera utilisée pour les ciments avec d autres additions minérales, comme les cendres volantes et les laitiers, quand les informations suffisantes auront été réunies Autres variables aléatoires Les autres variables aléatoires de la méthodologie probabiliste qu il reste à caractériser sont : la porosité, l enrobage.

132 116 Les variables aléatoires La porosité est un indicateur de premier ordre dans l évaluation et la prévision de la durabilité. Il apparaît alors intéressant dans cette méthodologie de conserver une mesure de porosité à l eau, simple à obtenir, qui servira de «garde fou» afin de s assurer, par exemple, de l ordre de grandeur du coefficient de diffusion effectif calculé. En outre, la porosité pilote partiellement d autres indicateurs et intervient directement dans le modèle Immersion pour le calcul du coefficient de diffusion apparent. Contrairement au béton et à ses caractéristiques, l enrobage ne pourra pas quant à lui être testé ou mesuré en amont de la prédiction. L enrobage constitue une donnée de la méthodologie probabiliste, définie réglementairement. Il s agit de s assurer que pour une durée de vie, un matériau et un enrobage fixés, la probabilité de défaillance soit acceptable. En revanche, il faut tenir compte de sa variabilité et lui affecter un écart-type réaliste, établi à partir du retour d expériences sur chantier Porosité La porosité est déterminée suivant une mesure de porosité accessible à l eau par pesée hydrostatique selon le mode opératoire AFPC-AFREM [AFPC, 1997]. Avec trois essais permettant de mesurer p 1, p 2 et p 3, la valeur moyenne p m retenue dans la méthodologie probabiliste sera p m = (p 1 + p 2 + p 3 )/3. Dans la plupart des cas, la distribution expérimentale des valeurs de porosité sur un béton donné conduit à une répartition suivant une loi normale avec un coefficient de variation inférieur à 5 % [AFPC, 1997] [Arliguie et Hornain, 2007]. Cependant, à l échelle de l ouvrage, des études de variabilité spatiale ont montré que le coefficient de variation pouvait atteindre 10 %. Par exemple, pour la plateforme offshore Brent B présentée au chapitre précédent [Sengul et Gjorv, 2007], les mesures de porosité sur les carottes prélevées conduisent à un coefficient de variation de 11,5 %. Une erreur multiplicative sur la porosité Err p peut être définie comme pour les modèles élémentaires : p = Err p p m (3.26) Le coefficient de variation affecté à la porosité est de 10 % afin d intégrer la variabilité spatiale sur l ouvrage. Ainsi, Err p possède une moyenne et un écart-type de respectivement 1 et 0,1.

133 117 Les variables aléatoires Dans les modèles élémentaires de calcul du coefficient de diffusion effectif des chlorures, les erreurs correspondantes Err D et Err Dfs ont été déterminées sur des bétons coulés en laboratoire. La variabilité spatiale sur ouvrage n est donc pas prise en compte. Ces erreurs correspondent à l incertitude sur le calcul en intégrant néanmoins la variabilité sur les essais de diffusion comme il a été discuté précédemment. La porosité de la pâte de ciment introduite pour le calcul du coefficient de diffusion dans l équation 3.4 est obtenue avec le modèle de Powers mais n est pas remplacée par la valeur p m maintenant déterminée par porosité accessible à l eau. En revanche, la porosité étant au coeur du pilotage du coefficient de diffusion, il est souhaitable que la variabilité spatiale soit intégrée dans le modèle élémentaire. Elle est introduite au travers de Err p, ce qui conduit à estimer le coefficient de diffusion de la façon suivante pour un béton de CEM I : D e = Err D exp (13 Err p p pâte 31) v 3/2 p (3.27) Dans le cas d un béton avec fumées de silice, l équation devient : D efs = Err Dfs R fs exp (13 Err p p pâte 31) v 3/2 p (3.28) Enrobage Dans la méthodologie, l enrobage est défini réglementairement. Cette valeur est logiquement retenue comme la moyenne qui lui est associée. Les conditions de réalisation sur chantier conduisent toutefois à une variabilité de l enrobage. Des études sur ouvrages ont montré qu un coefficient de variation de 20 % peut être affecté à l enrobage [Casciati et al., 1991] (par exemple pour un enrobage de 5 cm, l écart-type associé est de 1 cm). Cette valeur peut sembler importante mais traduit une qualité courante d éxecution des constructions. Ces résultats ont été confirmés plus récemment par des techniques d auscultation non destructives [Breysse et al., 2008]. Le pont en béton armé Barra au Portugal (figure 3.12) a fait l objet d une campagne d essais sur plusieurs de ses piles afin de mesurer les enrobages. Plusieurs échelles ont été retenues pour l étude : l armature, une surface d un mètre carré et une partie de l ouvrage. Le type d armatures, horizontales ou verticales, est distingué pour

134 118 Les variables aléatoires dissocier les enrobages correspondants. Les conclusions sont le suivantes : pour une armature d une pile du pont, le coefficient de variation est de l ordre de 7 %, pour une surface inspectée d un mètre carré et un type d armatures donné, le coefficient de variation évolue entre 9 et 16 %, et pour une pile de pont, le coefficient de variation peut atteindre la valeur maximum de 30 %. Fig Pont Barra au Portugal Finalement la valeur de 20 %, représentative des dispersions à l échelle de l ouvrage, est retenue pour le coefficient de variation et sera appliquée à la valeur moyenne définie réglementairement e m. Une erreur multiplicative sur l enrobage Err e peut être définie : e = Err e e m (3.29) 3.3 Actualisation bayésienne des densités de probabilité Un des points forts de l approche bayésienne est l intégration itérative des retours d expériences. Le recalcul des densités probabilité est effectué à la lumière de nouvelles observations sur les variables aléatoires. La base de données constituée pour le coefficient diffusion et l isotherme d interaction évolue et s enrichit pour affiner les prédictions probabilistes Présentation du réseau bayésien Construction du réseau Un réseau bayésien permet de représenter de manière simple et concise les liens entre les différentes variables, aléatoires ou non, du problème. Toutes les informations concernant les lois

135 119 Les variables aléatoires précédemment établies, les erreurs des modèles, les paramètres de composition du béton et les résultats de prédiction sont synthétisés sur un même graphique. La figure 3.13 représente le réseau bayésien associé à un béton de CEM I. Le logiciel Netica [Netica, 2008] est utilisé pour construire ce réseau. Deux types de variables sont implantés : les paramètres constants, représentés par leur dénomination entourée par un cercle, les variables aléatoires, représentées par leur dénomination et l histogramme correspondant. Fig Réseau bayésien associé à la durabilité des bétons en environnement marin Les constantes peuvent être modifiées en fonction de chaque cas d étude. Par exemple, pour un béton dont la composition chimique et la formulation sont données, les valeurs calculées des hydrates CSH et AFm, la fraction volumique de pâte, la teneur en ciment et la porosité de la pâte de ciment de CEM I sont introduites. La mesure de porosité accessible à l eau permet de

136 120 Les variables aléatoires renseigner la porosité du béton et sa masse volumique spécifique. Trois variables représentent les erreurs multiplicatives aléatoires : Err D, Err C et Err p. Les constantes correspondent à des valeurs particulières pour un béton donné, mais Err D, Err C et Err p, «normalisées» pour être générales, sont communes à tous les cas étudiés. La définition proposée des erreurs multiplicatives permet donc de développer un réseau bayésien unique par type de bétons (CEM I ou CEM I avec fumées de silice). Deux autres variables aléatoires sont également utilisées : le coefficient de diffusion effectif D e et la concentration en chlorures Cxt à l abscisse x et au temps d exposition t. Une fois les constantes introduites dans le réseau pour le béton étudié, les densités de probabilité de ces deux variables aléatoires sont automatiquement recalculées. Les variables aléatoires ne pouvant pas être définies de façon continue dans Netica, elles sont discrétisées. La discrétisation de Err D et Err C est effectuée avec un pas constant de façon à introduire directement les histogrammes déjà obtenus (figure 3.5 et 3.10). Les plages de valeurs possibles sont étendues pour permettre un éventuel décalage au fur et à mesure des nouvelles observations. L histogramme de Err p est défini avec un pas constant afin de suivre une loi normale centrée sur 1 avec le coefficient de variation de 10 % retenu pour intégrer la variabilité à l échelle de l ouvrage. La discrétisation du coefficient de diffusion D e labo et de la concentration en chlorures Cxt s effectue avec un pas constant suivant une plage estimée en vue de couvrir l ensemble des valeurs qui peuvent être observées. Le travail d expertise intervient à cette étape en proposant des bornes de calcul cohérentes et un pas adapté à la précision des mesures. Les bornes de l histogramme de Cxt (% en masse de béton) sont comprises entre 0 (abscence de chlorures) et 0,5 (valeur calculée à la surface du béton pour la concentration moyenne en chlorures dans l eau de mer, un ciment permettant une fixation importante et une porosité élevée). Les bornes de D e labo sont définies entre 0 et m 2 /s, couvrant ainsi les bétons dont la durabilité peut être qualifiée d élevée à faible. Les densités de probabilités sont calculées en fonction des variables causes grâce aux tables de probabilités conditionnelles obtenues par simulation de Monte-Carlo. Une remarque importante concerne le coefficient de diffusion effectif. D e, noté dans le réseau D e labo, est calculé sur un béton coulé et testé en conditions de laboratoire. Aucune variabilité

137 121 Les variables aléatoires n est ainsi appliquée à la porosité de la pâte ppate dans le calcul de D e labo. Seule la variabilité due à Err D est introduite. En revanche, dans le calcul de Cxt, la variabilité spatiale de la porosité sur ouvrage est prise en compte dans le calcul du coefficient de diffusion effectif comme mentionné dans l équation Ce calcul intermédiaire n apparaît pas sur le réseau tel qu il est présenté car le nombre de noeuds disponibles dans Netica en version libre est atteint (15 noeuds maximum). L organisation de ce réseau est fondée sur les deux méthodes d actualisation suivantes : l actualisation directe de Err D qui porte sur des observations issues d essais de diffusionmigration en laboratoire, l actualisation indirecte de Err D et de Err C qui s effectue à partir de profils expérimentaux en chlorures totaux issus de bétons in situ. Dans la cas d un béton de CEM I avec fumées de silice, le réseau bayésien possède exactement la même structure. Les histogrammes de Err D et Err C sont remplacés par ceux de Err Dfs et Err Cfs (figures 3.7 et 3.11). Le terme correctif R fs pour le coefficient de diffusion n apparaît pas sur le graphique car le nombre maximum de noeuds est atteint. Il est introduit directement dans les noeuds associés à Delabo et Cxt. L utilisateur doit être vigilant et ne pas oublier de le modifier suivant le béton étudié Modèle de diffusion associé Dans la construction du réseau bayésien, le modèle de diffusion utilisé n est pas le modèle numérique Immersion, mais un modèle simplifié fondée sur la fonction erreur erf. Deux raisons principales sont à l origine de ce choix. Le logiciel Netica ne permet pas actuellement le couplage avec un modèle numérique. Seules des équations analytiques peuvent être utilisées pour traiter les liens de dépendance. La fonction erreur erf, à la base de tous les modèles analytiques de pénétration des chlorures, est cependant disponible. Si l actualisation d un seul paramètre discret est relativement aisée, le passage à plusieurs paramètres d un système requiert l utilisation d outils numériques coûteux en temps de calcul (nombreuses simulations nécessaires pour calculer les tables de probabilités conditionnées). Si chaque itération fait appel à un modèle de durabilité lui même coûteux, les temps de calcul peuvent devenir prohibitifs.

138 122 Les variables aléatoires Le développement et la validation du modèle analytique simplifié sont développés dans le chapitre suivant dans la partie Néanmoins, deux points importants peuvent être retenus : ce modèle est développé autour de la synthèse de connaissance effectuée et intègre tout les paramètres fondamentaux de la méthodologie, la précision du modèle est suffisante pour que l actualisation ne soit pas perturbée en comparaison de l utilisation du modèle numérique. L utilisation des réseaux bayésiens ne peut pas s affranchir du modèle de comportement du système : l application de ces méthodes n a de sens que si le modèle est suffisamment robuste pour appliquer les techniques d actualisation Méthodes d actualisation Le réseau bayésien étant opérationnel, les deux méthodes d actualisation des densités de probabilité sont présentées Actualisation directe par le coefficient de diffusion Des essais de migration en régime transitoire ont été effectués au cours de cette thèse pour le groupe de travail GT1-1 du projet ANR APPLET afin de mesurer le coefficient de diffusion des chlorures sur des éprouvettes de contrôle issues d un béton fabriqué sur chantier. Deux chantiers d ouvrage d art ont été sélectionnés : le tunnel de l autoroute A86 pour lequel un béton C50/60 est mis en oeuvre, le viaduc de Compiègne où un béton C35/45 est utilisé. Le deuxième chantier n ayant démarré que fin 2007, seuls les résultats de l autoroute A86 sont exploitables et exposés dans cette partie. Le béton a été fabriqué à partir d une centrale de chantier. Le ciment utilisé un CPA CEM I 52,5 CP2 de l usine de Dannes (Holcim) pour lequel des cendre volantes allemandes de SAFAMENT KWD sont ajoutées. La composition du béton est reprise dans le tableau Formulation Ciment Cendres volantes Granulats E/C v p (kg/m 3 ) (%) (kg/m 3 ) C50/ , ,40 0,30 Tab Composition du béton C50/60 du tunnel de l autoroute A86 pour le projet APPLET

139 123 Les variables aléatoires Le prélèvement s est effectué à la sortie de la goulotte du camion malaxeur puis les éprouvettes 11 cm 22 cm ont été confectionnées à l aiguille vibrante. Les corps d épreuve ont ensuite été conservés pendant 24 heures dans une caisse calorifugée, puis démoulés et conservés sous eau pendant une période de 28 jours avant envoi dans les laboratoires partenaires du projet. Compte tenu de la présence de cendres volantes, les éprouvettes ont été conservées deux mois de plus sous eau pour un démarrage des essais au bout de trois mois. Les résultats bruts de mesure du coefficient de diffusion en régime transitoire sous champ électrique D nssm, obtenus sur 30 éprouvettes, sont transformés en coefficient de diffusion effectif selon l équation 3.8 et récapitulés dans la figure 3.14 sous forme d un histogramme. La moyenne est de 0, m 2 /s et le coefficient de variation est de 12,9 %. Fig Histogramme du coefficient de diffusion effectif du béton C50/60 mesuré en régime transitoire sous champ électrique pour le projet APPLET Ce béton utilisant des cendres volantes ne rentre pas dans le champ d application des modèles élémentaires de calcul du coefficient de diffusion développés. Néanmoins plusieurs constatations peuvent être formulées. La variabilité mesurée sur cette campagne d essais est très inférieure à celle obtenue pour les erreurs des modèles élémentaires et imputée aux différents protocoles de mesure et aux hypothèses de calcul de coefficient de diffusion effectif. En revanche, dans le cas présent, le même essai étant reconduit systématiquement avec les mêmes conditions de préparation des échantillons, le coefficient de variation est diminué de plus de moitié. Cette dispersion ne traduit plus qu une variabilité du matériau lui même, des différentes gâchées et de la mesure (pour un

140 124 Les variables aléatoires protocole donné). Une uniformisation des techniques de mesure permettra donc de diminuer les écarts-types des modèles élémentaires. L histogramme de ces valeurs expérimentales permet également de mener une actualisation des densités de probabilité grâce au réseau bayésien construit. Le modèle élémentaire de prédiction du coefficient de diffusion effectif d un béton de CEM I avec cendres volantes peut être construit en utilisant un terme correctif comme dans le cas des fumées de silice. Supposons que ce modèle ait pu être comparé avec suffisamment de valeurs expérimentales pour constituer l histogramme de l erreur associée. L hypothèse formulée dans cet exemple est que les histogrammes des erreurs de modèle du béton de CEM I, déjà repris dans le réseau sur la figure 3.13, sont utilisés. Fig Réseau bayésien associé au béton C50/60 du projet APPLET Des mesures de porosité à l eau sur ce béton effectuées au LML de Lille donne une porosité moyenne de 10,5 %. Les quantités d hydrates sont estimées en transposant le comportement des cendres volantes à celui de la fumée de silice en terme de réaction pouzzolanique pour les CSH secondaires. Le taux de substitution en cendres volantes étant de moins de 20 %, le terme correctif du coefficient de diffusion R cv est évalué à 0,4, soit une réduction de 60 %. Les autres

141 125 Les variables aléatoires paramètres constants sont également introduits dans le réseau et repris dans le tableau Le réseau bayésien de ce béton est exposé sur la figure tnrc CSH AFm vp ppate p ms R cv x t cref (kg/m 3 ) (kg/kg ciment ) (%) (%) (kg/m 3 ) (cm) (années) (g/l) 430 0,3 0,1 0,30 38,3 10, , Tab Constantes du réseau bayésien sur le béton C50/60 du tunnel de l autoroute A86 pour le projet APPLET L histogramme des mesures effectuées pour le projet APPLET peut être introduit dans le réseau bayésien en tant que nouvelles observations. Netica calcule alors la vraisemblance de ces observations (Delabo en grisé) comme mentionné sur la figure Fig Vraisemblance d observation de l histogramme du coefficient de diffusion effectif béton C50/60 du projet APPLET Cette vraisemblance s exprime sur Err D et par conséquent sur la concentration en chlorures Cxt. En revanche une observation sur le coefficient de diffusion ne fournit pas d informations sur l erreur des chlorures fixés Err C, ni sur sur l erreur de porosité Err p. Ceci est confirmé sur le réseau bayésien où aucune vraisemblance d observations n est reportée sur ces deux variables.

142 126 Les variables aléatoires Pour actualiser l histogramme de Err D, la formule de Bayes (équation 1.70) présentée dans la partie est appliquée. Elle relie la vraisemblance des observations et les distributions a priori. L utilisation de Netica permet d associer une confiance sur les résultats observées et sur les distributions initiales sous forme d un nombre d expériences. Dans l exemple proposé, la confiance initialement accordée à Err D est de 40 expériences, ce qui correspond au nombre de points ayant permis de construire l histogramme, tandis que celle accordée à la vraisemblance sur Err D varie suivant les deux cas extrêmes : une expérience est retenue dans le cas où la campagne d essais n est pas satisfaisante, trente expériences (soit 100% de confiance) sont retenues dans le cas où la campagne d essais du projet APPLET s est déroulée dans des conditions parfaitement contrôlées et les hypothèses de calcul de D e sont assurées. La figure 3.17 représente les histogrammes actualisés de Err D dans ces deux cas : à gauche, une expérience et à droite trente expériences. Fig Comparaison de l actualisation effectuée avec le béton C50/60 du projet APPLET suivant la confiance accordée aux résultats L actualisation proposée est conforme à ce qui est attendu. Dans le cas où la confiance est la plus faible, l écart-type sur Err D n a pas évolué tandis qu avec une confiance maximum, l écart-

143 127 Les variables aléatoires type est passé de 0,45 à 0,36 puisque les résultats de la campagne d essais donnent un coefficient de variation faible (13 %). En pratique, la confiance 100 % ne peut pas être accordée aux résultats de la campagne APPLET car les hypothèses permettant de calculer le coefficient de diffusion effectif en régime transitoire sous champ électrique sont nombreuses et quelques fois discutées. L exemple reste théorique car le cas des cendres volantes n a pas été traité pour les modèles élémentaires. Les résultats d actualisation ne pourront donc pas être intégrés. Néanmoins, l utilisation du réseau bayésien et la facilité d actualisation ont été montrés. De plus, la confiance accordée aux résultats permet de garder un oeil critique sur les mesures pour ne pas détériorer, par exemple, les densités de probabilité issues d une base de données de qualité par des résultats peu convaincants. De la même façon, en collaboration avec le LPEE au Maroc, une approche performantielle et probabiliste a été développée et mise en place sur un chantier de rénovation en front de mer à Casablanca. Pendant toute la durée de travaux, des indicateurs de durabilité ont été mesurés par le LPEE sur des éprouvettes de contrôle. Le béton étudié est un BHP à base de cendres volantes et de fumées de silice dont la formulation, notée F6, est reprise dans le tableau Formulation Ciment Cendres volantes Fumées de silice Granulats E/C v p (kg/m 3 ) (%) (%) (kg/m 3 ) F ,34 0,32 Tab Composition du béton F6 pour le chantier de rénovation à Casablanca De nombreux résultats sont disponibles sur cette formulation parmi lesquels des résultats de porosité à l eau et de coefficient de diffusion en régime transitoire sous champ électrique. Une base de données de 40 essais est disponible. La porosité moyenne mesurée est de 11,8 % avec un écart-type de 0,7 %. Les résultats bruts des coefficents de diffusion D nssm sont récapitulés sous forme d histogramme sur la figure La moyenne sur D nssm est de 0, m 2 /s pour un coefficient de variation de 11,6 %. Au regard de ces résultats et des précédents, le coefficient de variation pour l essai de migration en régime transitoire semble compris entre 10 et 15 %. Les bétons étudiés sont cependant de très bonne qualité et il ne serait pas surprenant de voir augmenter les écarts-types sur des bétons plus ordinaires.

144 128 Les variables aléatoires Fig Histogramme du coefficient de diffusion apparent du béton F6 mesuré en régime transitoire sous champ électrique Enfin, le même traitement d actualisation que dans l exemple du béton C50/60 pourra être effectué par le réseau bayésien lorsque le modèle élémentaire sur les ciments avec cendres volantes et fumées de silice sera disponible Actualisation indirecte par les profils expérimentaux L intérêt de travailler sur des réseaux bayésiens réside également dans l actualisation indirecte des données à laquelle l utilisateur peut s adonner comme exposé dans la partie du chapitre bibliographique. En effet, le modèle de comportement du système étant jugé satisfaisant pour la pénétration des chlorures dans un béton immergé, des observations sur les profils en chlorures peuvent être portées sur le réseau bayésien et permettre alors une actualisation des erreurs des modèles élémentaires. Un exemple est proposé à partir de résultats de profils en chlorures établis sur des blocs massifs prismatiques en béton mis en contact avec de l eau salée dans des containers. Le béton étudié est composé de CEM I dont la formulation est reprise dans le tableau La composition minéralogique du ciment est mentionnée dans le tableau Une partie des éléments en béton était immergée en permanence, une autre soumise à des cycles d humidification-séchage grâce à un système de pompe et la partie supérieure était en zone atmosphérique. Les containers étant stockés sur la ville maritime de Fiskebäck en Suède, la solution a été renouvelée en continu par l eau de la mer Baltique (condition a1) dont la

145 129 Les variables aléatoires salinité en chlorures est estimée à 10,5 g/l. Pour d autres containers, l eau de mer utilisée était artificielle (condition a3) avec une concentration en chlorures mesurée à 10,3 g/l. Les cycles d humidification-séchage ont également été modifiés suivant les containers (condition b11 et b14) avec de l eau de mer artificielle, sans conséquence pour cet exemple qui s appuie uniquement sur les zones immergées en permanence. Formulation Ciment (kg/m 3 ) Granulats (kg/m 3 ) E/C v p 1-40L ,40 0,36 Tab Composition du béton 1-40L exposé à l eau de mer [Tang, 1997] Composant C 3 S C 2 S C 3 A C 4 AF % en masse de ciment Tab Composition minéralogique du ciment CEM I du béton 1-40L [Tang, 1997] Après un an d exposition, des carottages ont été effectués sur les blocs en béton suivant les trois ambiances d exposition et les conditions de l essai. Les profils en chlorures ont été établis par grignotage, attaque à l acide nitrique et dosage potentiométrique au nitrate d argent. Les résultats de quatre profils sont indiqués sur la figure 3.19 ainsi que la prédiction obtenue avec le modèle de diffusion simplifié utilisé pour le réseau bayésien. Fig Profils expérimentaux du béton 1-40L exposé à l eau de mer [Tang, 1997] et prédiction du modèle simplifié

146 130 Les variables aléatoires Les paramètres utilisés pour la prédiction sont reportés dans le tableau La porosité du béton n ayant pas été mesurée, elle est déduite de la porosité de la pâte, elle-même calculée par le modèle de Powers, par simple dilution. tnrc CSH AFm vp ppate p ms x t cref (kg/m 3 ) (kg/kg ciment ) (%) (%) (kg/m 3 ) (cm) (années) (g/l) 420 0,45 0,15 0,36 38, ,5 1 10,5 Tab Constantes du réseau bayésien associées au béton 1-40L Condition a1 a3 b11 b14 Chlorures totaux à 1,5 cm (% masse de béton) 0,026 0,102 0,07 0,129 Tab Chlorures totaux mesurés dans le béton 1-40L à 1,5 cm après un an d exposition Toutes ces informations permettent de renseigner le réseau bayésien illustré sur la figure 3.20 qui fournit l histogramme du coefficient de diffusion effectif et celui de la concentration en chlorures totaux à la profondeur 1,5 cm pour un temps d exposition d une année. Fig Réseau bayésien associé au béton 1-40L

147 131 Les variables aléatoires Pour cet exemple, seule la profondeur 1,5 cm, représentative de la dispersion observée sur les profils, est étudiée, même si la même démarche à toutes les profondeurs disponibles devrait être effectuée. Les résultats expérimentaux à cette abscisse sont repris dans le tableau Ces quatre résultats sont ajoutés sur le réseau sous forme d un histogramme sur la variable Cxt. Chaque valeur appartenant à un intervalle unique, la fréquence 25 % est systématiquement reportée sur l histogramme. La vraisemblance associée à ces observations est illustrée sur la figure Fig Vraisemblance des observations sur les profils en chlorures à l abscisse 1,5 cm Une confiance de 1 est apportée à chaque concentration mesurée, soit une confiance de 4 apportée à l histogramme des observations. Pour les erreurs de modèle Err D et Err C, la confiance retenue correspond aux nombres de résultats initiaux, respectivement 40 et 23. Les histogrammes actualisés de Err D et Err C sont présentés sur la figure 3.22 et comparés avec ceux initialement disponibles. Dans les deux cas, la moyenne sur le coefficient de diffusion est légèrement augmentée ainsi que l écart-type sur Err D pour passer de 0,45 à 0,46. En revanche, pour la fixation des chlorures Err C, ce dernier n a pas changé, et ce malgré le nombre de résultats initiaux inférieurs à ceux

148 132 Les variables aléatoires de Err D. Ceci indique une plus grande sensibilité du coefficient de diffusion que de la fixation des chlorures. Fig Comparaison des histogrammes de Err D et Err C avant et après actualisation sur les profils en chlorures du béton 1-40L Cet exemple permet d illustrer l actualisation des densités de probabilité de manière indirecte grâce au réseau bayésien. L outil est opérationnel pour implanter des résultats expérimentaux de profils en chlorures et parvenir à enrichir la base de données. Néanmoins, l utilisation encore un peu fastidieuse du réseau ne transparaît pas dans ce développement. Netica calcule parfaitement les vraisemblances des observations, mais l apprentissage ne s effectue pas automatiquement si les résultats obtenus lors de cette phase ne correspondent pas à une densité de probabilité unique sur l histogramme à actualiser. Il faut alors rentrer «à la main» les densités de probabilité pour que l opération d actualisation ait lieu. Les limites de Netica sont donc atteintes dans les problèmes purement physiques pour lesquels les variables aléatoires ne peuvent pas se résumer à des possibilités binaires. Parmi les outils de réseaux bayésiens, une Toolbox MATLAB développée à Berkeley, BNT [Murphy, 2001], est disponible librement et semble mieux adaptée aux problèmes physiques notamment car le couplage avec un modèle numérique sur MATLAB est rendu possible. En revanche, aucune interface graphique n est disponible et le réseau bayésien est directement programmé dans une

149 133 Les variables aléatoires page Script de MATLAB. Ce programme s adresse donc à des spécialistes et le transfert vers d autres utilisateurs non initiés paraît difficile. Dans la gamme des logiciels libres, Netica reste pour le moment le meilleur outil, en particulier pour sa simplicité de compréhension grâce à une interface graphique qui permettra à la plupart des chercheurs de travailler sur les réseaux bayésiens afin de contribuer à l évolution des bases de données.

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151 Chapitre 4 Application probabiliste 4.1 Introduction Les éléments nécessaires à la mise oeuvre d une méthodologie probabiliste de la durabilité des bétons en environnement marin ont été présentés dans les chapitres précédents. Les quatre piliers fondamentaux qui ont été développés sont : l agorithme probabiliste de niveau 2, le modèle déterministe de pénétration des chlorures dans le béton, la définition des variables aléatoires et l acquisition réaliste des densités de probabilité, le réseau bayésien d actualisation des données. Le canevas général de la méthodologie est repris sur l organigramme de la figure 4.1. Les variables aléatoires sont au coeur du problème probabiliste. Elles servent de données initiales (a priori) dans le réseau bayésien pour être actualisées (a Posteriori) par de nouveaux résultats expérimentaux. Le passage aux résultats de fiabilité nécessite de définir une loi de distribution associée aux densités de probabilité observées. Le recours à des tests statistiques permet de valider la pertinence des lois proposées. Au moyen de ces lois, l algorithme probabiliste permet de se déplacer dans l espace des variables aléatoires standardisées. Couplé au modèle déterministe, l indice de fiabilité et le point le plus probable d amorçage de la corrosion (point de conception) sont obtenus. La réglementation et les critères d acceptation permettent finalement de conclure de manière objective sur la validité du dimensionnement en intégrant les incertitudes sur les paramètres physiques et géométriques du problème de durabilité.

152 136 Application probabiliste Fig. 4.1 Organigramme général de la méthodologie probabiliste Ce chapitre est consacré à l application de la méthodologie de dimensionnement probabiliste. La première partie expose les aspects réglementaires des ouvrages en environnement marin. La partie suivante illustre la démarche et l exploitation des résultats de fiabilité au travers d un exemple complet d un ouvrage en béton, composé de ciment CEM I avec et sans fumées de silice, immergé dans l eau de mer et dont la durée de vie préconisée est de 50 ans. La dernière partie finalise l étude en proposant une approche semi-probabiliste destinée à l ingénierie. Un modèle de durabilité simplifié fondé sur la fonction analytique erf est développé. La variabilité des paramètres du modèle est révélée sous forme de valeurs caractéristiques et de coefficients de sécurité utilisables dans le modèle. Les coordonnées du point de conception obtenues avec la méthodologie complète permettent de calibrer ces jeux de données.

153 137 Application probabiliste 4.2 Aspects réglementaires La réglementation européenne, au travers des Eurocodes, impose un certain nombre de critères de choix sur les matériaux et les enrobages dans la construction d ouvrages en milieu marin. Le type d environnement et la durée de vie préconisée sont autant de paramètres influents. Des lignes directrices concernant les aspects de la fiabilité s y rattachent Dimensionnement Classe d exposition et durée d utilisation Les textes normatifs pour la durabilité des bétons s appuient sur la notion de classes d exposition. Il s agit de définir le type d actions et de pathologies qui peuvent s exercer sur le matériau en fonction de l environnement dans le lequel l ouvrage, ou une partie d ouvrage, va être exposé. Ces classes permettent d imposer des performances de durabilité minimum du béton en spécifiant des exigences sur la formulation. La norme NF EN [AFNOR, 2004], en conformité avec l Eurocode 2 [AFNOR, 2005], définit 18 classes d exposition regroupées par risque de corrosion (XC, XD, XS) et d attaques (XF, XA). Elles dépendent des actions et conditions environnementales dans lesquelles le béton évolue. Chaque partie d ouvrage peut être soumise simultanément à plusieurs types d actions. Il convient de préciser la combinaison de classes d exposition. Le béton doit alors satisfaire les limites applicables qui sont les plus exigeantes sur ses propriétés. Description de l environnement Exemples informatifs Exposé à l air véhiculant Structures à proximité XS1 du sel marin, mais pas en d une côte (entre 500 m et contact direct avec l eau de mer 1 km de la mer) XS2 Immergé en permanence Eléments de structures marines Zone de marnage Eléments de structures marines XS3 Zone soumise à des projections Parties d ouvrages situées ou à des embruns entre 0 et 500 m de la mer Tab. 4.1 Classes d exposition XS1, XS2 et XS3 [AFNOR, 2004] La classe XS est relative à la corrosion des armatures du béton par les chlorures de l eau de mer. Les structures marines et tous les ouvrages situés à moins de 5 kilomètres des côtes sont

154 138 Application probabiliste concernés par ce type d actions environnementales. Le tableau 4.1 décline les trois sous ensembles de la classe XS en indiquant la description de l environnement et des exemples informatifs. Le champ d application du modèle déterministe étudié ici permet de traiter uniquement la classe XS2. Seules les exigences associées à cette classe d environnement sont abordées par la suite. Les Eurocodes accentuent la prise en compte de la durabilité en considérant la notion de durée d utilisation du projet. Ces durées sont définies dans l Eurocode 0 [AFNOR, 2003]. Elle correspond à la période au cours de laquelle la structure doit rester utilisable en étant entretenue, mais sans qu il soit question de réparations majeures Etat limite et indice cible Les Eurocodes sont fondés sur la notion d Etats Limites. Leur utilisation permet de définir l état d acceptation de la structure vis-à-vis d un critère de performance. Deux états limites sont à distinguer [AFNOR, 2003] : l Etat Limite de Service (ELS) qui s applique lorsque sont considérés aussi bien le fonctionnement de la structure, ou des éléments structuraux, en utilisation normale, le confort des personnes et l aspect de la construction, l Etat Limite Ultime (ELU) qui concerne la sécurité des personnes et/ou la sécurité de la structure. Concernant la durabilité, la durée de vie des structures en béton est agencée suivant deux périodes qui pilotent le processus de dégradation [Tuuti, 1982] comme illustré sur la figure 4.2 : une période d incubation pendant laquelle les agents agressifs transitent dans le matériau mais les processus physico-chimiques de la corrosion ne sont pas amorcés. Elle correspond donc au temps nécessaire pour que les aciers soient dépassivés par la pénétration des chlorures. Après la dépassivation, la corrosion devient possible. Sa progression, qui dépend des conditions d exposition de l ouvrage, peut conduire à la ruine. Cette phase correspond à une période de propagation. Différents états limites possibles pour lesquels la structure doit être dimensionnée peuvent ainsi être définis [DURACRETE, 2000] : ELS 1 : dépassivation des armatures,

155 139 Application probabiliste ELS 2 : apparition des premières fissures dues aux produits de corrosion, ELS 3 : éclatement du béton en parement (si la chute n induit pas de mise en danger), ELU : effondrement de la structure par perte de section des aciers. Fig. 4.2 Evolution de la corrosion des aciers dans le béton [Tuuti, 1982] Un facteur important dans l évaluation probabiliste de la durée de vie d une structure concerne la définition de l indice de fiabilité visé au bout d un certain temps d exposition. Classe de Description Exemples de bâtiments conséquences et de travaux de génie civil Conséquence peu élevée en termes Bâtiments agricoles normalement CC1 de perte de vie humaine, et inoccupés (par exemple, bâtiments conséquences économiques, sociales ou de stockage), serres d environnement faibles ou négligeables Conséquence moyenne en termes Bâtiments résidentiels et de CC2 de perte de vie humaine, conséquences bureaux, bâtiments publics économiques, sociales ou où les conséquences de la défaild environnement considérables lance seraient moyennes (par exemple bâtiment de bureaux) Conséquence élevée en termes Tribunes, bâtiments publics où CC3 de perte de vie humaine, ou les conséquences de la conséquences économiques, sociales défaillance seraient élevées ou d environnement très importantes (par exemple salle de concert) Tab. 4.2 Définition des classes de conséquences [AFNOR, 2003] L Eurocode 0 [AFNOR, 2003] définit trois classes de fiabilité (RC1, RC2 et RC3) représentant chacune d elle un indice de fiabilité minimum recommandé. Ces classes de fiabilité sont à associer aux classes de conséquence définies dans le tableau 4.2 [AFNOR, 2003].

156 140 Application probabiliste Le tableau 4.3 présente les indices de fiabilité β minimum et les probabilités de défaillance P f maximums correspondantes associées aux classes de fiabilité RC i pour un Etat Limite Ultime ou de Service et une durée de référence de 50 ans. Classe de Fiabilité ELU ELS RC1 3,3 / RC2 3,8 / ,5 / 0,067 RC3 4,3 / Tab. 4.3 Indice de fiabilité β minimum / Probabilité de défaillance P f classe de fiabilité [AFNOR, 2003] maximum, selon la Dans les normes européennes, la valeur de 1,5 est proposée pour l indice de fiabilité, sans pour autant préciser l état limite de service (ELS1, ELS2, ELS3). Le domaine de validité du modèle déterministe de comportement utilisé dans la méthodologie permet de traiter l ELS1, qui sera donc l état limite retenu. L indice de fiabilité β visé à 50 ans sera de 1,5. Ces deux choix permettent de rester en accord avec les études déjà entreprises : l ELS1 est celui utilisé dans l approche performantielle de la durabilité [AFGC, 2004] où la durée de vie des structures en béton armé est évaluée à partir de la durée de la période d incubation, l indice de fiabilité 1,5 est celui systématiquement appliqué pour l amorçage de la corrosion [Schiessl et al., 1997] [DURACRETE, 2000] L objectif de dimensionnement probabiliste est donc de s assurer que pour un matériau et un enrobage donnés, la probabilité de d amorçage de la corrosion, caractérisé par une concentration critique, est inférieure à 6,7 %, c est-à-dire que l indice de fiabilité est supérieur à 1, Matériau Formulation Le document de référence pour le choix de formulation d un béton est la norme NF EN [AFNOR, 2004]. Les valeurs limites pour la composition et les propriétés pour chaque classe d exposition sont précisées sur les critères suivants : rapport Eau efficace /Liant equivalent maximal, classe de résistance minimale du béton,

157 141 Application probabiliste teneur minimale en liant équivalent, teneur minimale en air (le cas échéant). Les exigences associées à la classe d exposition XS2 sont synthétisées dans le tableau 4.4. Classe E eff /L eq Classes de résis- Teneur minimale en Nature du d exposition maximum tance minimale liant équivalent ciment Ciment de carac- XS2 0,55 C 30/ kg/m 3 téristique complémentaire PM Tab. 4.4 Spécifications relatives aux bétons immergés dans l eau de mer D autres exigences portent sur les additions en fonction de leur type. Pour les fumées de silice qui sont traitées dans cette étude, la quantité d additions A et de ciment C doivent respectées le rapport suivant : A A + C 0, 1 (4.1) Les ciments courants font l objet de la norme NF EN [AFNOR, 2001] où sont définis les constituants du ciment et les différents types. L emploi de ciment présentant des caractéristiques adaptées aux environnements agressifs fait l objet de normes spécifiques. Pour les ouvrages en site maritime, les ciments pour travaux à la mer PM présentent la mention PM «Prise Mer». Les spécificités portent sur la composition du clinker, et la limitation des constituants secondaires et d additifs. C 3 A Al 2 O 3 MgO SO 3 S 10 % (et 3 % 2,5 % CEM I C 3 A+0,27C 3 S 8 % 3 % si si 0,2 % 23,5 %) C 3 A 8 % C 3 A > 8 % CEM II/A 10 %- - 4 % 3 % 0,5 % Tab. 4.5 Spécifications relatives aux ciments CEM I PM et CEM II/A PM [AFNOR, 2001] Les ciments PM qui rentrent dans la cadre de cette étude grâce aux modèles élémentaires développés sont : des CEM I chimiques complémentaires, des CEM II/A dont la teneur en fumées de silice est inférieure à 10 %.

158 142 Application probabiliste Ces ciments présentent des teneur en C 3 A inférieures ou égales à 10 % pour limiter l agression des sulfates sur le béton au cours de la prise et ultérieurement. En outre, ils doivent respecter les conditions récapitulées dans le tableau Enrobage L enrobage des armatures représente la distance entre la surface du béton et l acier le plus proche. Il est essentiel pour assurer la durabilité du matériau en protégeant l acier de la corrosion le temps de la pénétration des chlorures. L Eurocode 2 [AFNOR, 2005] définit les règles de calcul de l enrobage. L enrobage nominal c nom est celui précisé sur les plans d exécution et constitue la référence pour la fabrication et la pose des armatures. Il peut s exprimer comme étant la somme de l enrobage minimal c min et d une marge de sécurité c dev pour prendre en compte les tolérances d exécution [AFNOR, 2005] : c nom = c min + c dev (4.2) La valeur recommandée pour c dev est de 10 mm. La détermination de l enrobage minimum comporte plusieurs étapes qui prenant en compte : la classe d exposition, la classe structurale et ses modulations possibles, le type d armatures, des contraintes particulières. Le calcul de c min s écrit : c min,b c min = Max c min,dur + c dur,y c dur,st c dur,add 10mm (4.3) Avec : c min,b : enrobage minimal pour les exigences d adhérence acier-béton, c min,dur : enrobage minimal vis-à-vis de conditions environnementales, fonction de la classe d exposition et de la classe structurale, c dur,y : marge de sécurité dont la valeur recommandée est 0,

159 143 Application probabiliste c dur,st : réduction de l enrobage minimal dans le cas d utilisation d acier inox par exemple, c dur,add : réduction de l enrobage minimal dans le cas de protections complémentaires. Il reste à définir la classe structurale de l ouvrage pour déterminer c min,dur. Elle peut être comprise entre S1 et S6. La classe structurale à utiliser pour les bâtiments et ouvrages de génie civil courants, dimensionnés pour une durée d utilisation de 50 ans, est S4. Des modulations sont à apporter suivant la classe d exposition et sont reprises dans le tableau 4.6 pour la classe XS2 [AFNOR, 2005]. Critère Durée d utilisation Classe de résistance Nature du Enrobage du béton liant compact Modulation 100 ans, +2 C40/50, (+/- nbre de classes) 25 ans, -1 C60/75, -2 Tab. 4.6 Modulation de la classe structurale pour la classe d exposition XS2 [AFNOR, 2005] Pour les ouvrages de génie civil en site maritime, les travaux d entretien et de maintenance sont délicats à cause des contraintes d accessibilité. Ainsi, les ponts et ouvrages en site maritime sont classés dans la catégorie S6. Les éventuelles minorations de classes peuvent ensuite s effectuer. L obtention d une bonne compacité de l enrobage s applique par exemple aux produits préfabriqués. Le tableau 4.7 indique la valeur de c min,dur en fonction de la classe structurale obtenue pour la classe d exposition XS2 [AFNOR, 2005]. Classe structurale S1 S2 S3 S4 S5 S6 c min,dur (mm) Tab. 4.7 Valeurs de c min,dur pour la durabilité en classe d exposition XS2 [AFNOR, 2005] L enrobage minimal c min,b pour les exigences d adhérence doit respecter trois règles [AFNOR, 2005] : c min,b au diamètre de la barre dans le cas d armature individuelle, c min,b au diamètre équivalent dans le cas de paquet d armatures, c min,b est majoré de 5 mm si le diamètre du plus gros granulat est supérieur à 32 mm. Finalement, l enrobage est calculé en intégrant dans l équation 4.3 toutes les valeurs

160 144 Application probabiliste présentées. Néanmoins, l Eurocode 2 attire l attention sur le problème de fissuration auquel un enrobage nominal supérieur à 50 mm risque de conduire. Dans le but d une optimisation des enrobages en démontrant la sécurité du matériau par la méthodologie probabiliste, le c dev peut servir de levier. L enrobage nominal c nom obtenu sert quant à lui de valeur moyenne, notée e m (voir le chapitre précédent partie ), à la variable aléatoire enrobage. 4.3 Exemple Un exemple complet est étudié dans cette partie pour illustrer la méthodologie et exploiter les résultats de fiabilité obtenus Données d étude Matériau Cet exemple couvre le domaine d application de la méthodologie puisque deux bétons de CEM I et CEM I avec fumées de silice sont examinés. Le béton de CEM I a servi de témoin dans une étude sur la formulation de bétons à bas ph utilisables dans la construction en environnement argileux de structures pour le stockage en profondeur de déchets radioactifs [Codina et al., 2008]. La formulation est récapitulée dans le tableau 4.8. Composant Type Quantité (kg/m 3 ) Ciment CEM I 52.5 PM ES CP2 400 Sable 0/5 mm 823 Petit gravillons 5/8 mm 187 Gros gravillons 8/12 mm 861 Superplastifiant ChrysoFluid Optima Eau 160 Tab. 4.8 Composition du béton de CEM I étudié dans l exemple d application de la méthodologie probabiliste [Codina et al., 2008] Le ciment CEM I est utilisable pour la construction en environnement marin puisqu il est labélisé PM ES. La composition chimique est reprise dans le tableau 4.9.

161 145 Application probabiliste Composant S i O 2 Al 2 O 3 Fe 2 O 3 CaO MgO SO 3 K 2 O Na 2 O Perte au feu % en masse 22,84 2,7 1,84 67,41 0,81 2,23 0,23 0,14 1,72 Tab. 4.9 Composition chimique du ciment CEM I 52,5 PM ES CP2 pour l exemple d application de la méthodologie probabiliste Un béton avec 40 % de substitution du CEM I par des fumées de silice a été formulé pour l étude des bas ph. Néanmoins, il ne permet pas une application en environnement marin conformément à la norme NF EN [AFNOR, 2004] qui limite à 10 % le taux de remplacement. Ses caractéristiques mesurées permettront d ajuster celles du béton «fictif» utilisé dans cet exemple. La valeur optimale de substitution est de l ordre de 7 %, puiqu au delà la diminution du coefficient de diffusion est moins significative (figure 3.6). C est donc sur cette base que le béton de CEM I avec fumées de silice est formulé dans cette étude. La composition reste identique à celle présentée dans le tableau 4.8. Les quantités de CEM I et de fumées de silice sont modifiées pour devenir respectivement 372 kg/m 3 et 28 kg/m 3. Les fumées de silice employées sont composées de SiO 2 à 95 % Paramètres physiques et réglementaires Les paramètres physiques minimums pour appréhender la durabilité des bétons, porosité à l eau et résistance en compression, ont été mesurés [Codina et al., 2008] sur le béton de CEM I noté (1) et celui avec 40 % de fumées de silice noté (3). Les informations sont récapitulées dans le tableau Nature du ciment Résistance en compression Porosité (1) CEM I 72 10,7 (3) CEM I + 40 % de fumées de silice 80 14,4 (2) CEM I + 7 % de fumées de silice 74* 11,3* * estimé Tab Caractéristiques des bétons à l état durci [Codina et al., 2008] Le béton avec le liant (2) présente une porosité plus élevée que le ciment (3). Ces résultats ont déjà été observés sur des bétons contenant une grande quantité d ajouts [Carcasses et al., 2005].

162 146 Application probabiliste Les caractéristiques du béton (2) étudié dans cet exemple sont déduites par une simple relation linéaire et reprises dans le tableau Les autres propriétés physiques des deux bétons nécessaires pour mener l étude sont mentionnées dans le tableau 4.11 : la fraction volumique de pâte déduite de la formulation, le degré d hydratation α calculé par les relations 3.6 et 3.24 pour le CEM I avec ou sans fumées de silice, la porosité de la pâte de CEM I calculée par Powers selon l équation 3.5 et le degré d hydratation du CEM I, les quantités de CSH et d AFm obtenues par le système d équations 3.21 ajustées par α pour le CEM I, la réaction pouzzolanique 3.23 étant introduite pour les fumées de silice, les coefficients de diffusion moyens calculés par l équation 3.11 corrigée par la relation 3.16 pour les fumées de silice. fraction volu- dégré Porosité de la CSH AFm Coefficient de Nature mique de pâte d hydrata- pâte de CEM I dispo diffusion moyen du ciment v p tion α p pâte (%) (kg/kg ciment ) D e,m (m 2 /s) (1) 0,294 0,73 38,3 % 0,475 0,127 0, (2) 0,294 0,67 38,3 % 0,323 0,109 0, Tab Propriétés physico-chimiques des bétons pour l exemple d application de la méthodologie probabiliste La partie d ouvrage étudiée est considérée immergée dans l eau de mer. L enrobage est défini de façon réglementaire suivant la classe d exposition XS2 à partir des relations 4.2 et 4.3. En partant de la classe structurale S6 comme indiqué dans la partie , le c min,dur est de 50 mm (tableau 4.7). Les résistances des bétons obtenues sur éprouvettes cm (tableau 4.10) conduisent à une classe de résistance supérieure à C60/75. Une minoration de deux classes structurales est effectuée conduisant à un c min,dur est de 40 mm. Aucune autre réduction due à une protection supplémentaire ou des aciers inox n est appliquée. La valeur recommandée pour c dev de 1 cm est utilisée, conduisant finalement à un enrobage nominal c nom de 5 cm. Cette valeur sera considérée comme la valeur moyenne de l enrobage dans ce qui suit. Pour cet exemple, aucun site particulier d exposition n est proposé. La concentration en chlorures dans l eau d immersion est choisie pour respecter la salinité moyenne des océans, 35 g/l.

163 147 Application probabiliste Celle-ci peut être très différente suivant le site retenu (de quelques grammes à plus de 200 g/l dans les cas extrêmes). En revanche, pour une position géographique donnée, les variations de salinité sont très faibles. Des suivis de variations saisonnières et interannuelles de la salinité dans le golfe du Maine dans l Atlantique Nord Ouest ont montré une amplitude de moins de 1 g/l sur une base de 31 à 35 g/l suivant la profondeur [Petrie et al., 1996], comme illustré sur la figure 4.3. Fig. 4.3 Série chronologique de variation de la salinité [Petrie et al., 1996] La concentration en chlorures de la solution d immersion dans cette étude est retenue constante à 16,5 g/l (ou 465 mol/m 3 ), ce qui correspond à une salinité de 35 g/l, dans la proportion de NaCL à 27 g/l. Enfin, la concentration critique en chlorures, synonyme d amorçage de la corrosion, utilisée pour cet exemple correspond à la plus petite observée et à celle recommandée dans la grande majorité des cas [AFGC, 2004] : 0,4 % en masse de chlorures totaux par rapport à la masse de ciment. Ce choix permet de se mettre en sécurité vis-à-vis de ce critère qui reste pour le moment difficile à obtenir et fait toujours l objet de recherches Variables aléatoires, fonction performance Les variables aléatoires définies dans le chapitre précédent ont vu leur densité de probabilité construite sous forme d histogramme pour les erreurs des modèles élémentaires Err D, Err Dfs, Err C et Err Cfs. Seuls des écarts-types ont été affectés à Err p et Err e pour la porosité et l enrobage en fonction de données expérimentales observées. Néanmoins, l application de l algorithme de gradient projeté GPACE nécessite des données d entrée continues définies par leur loi de distribution et les paramètres associés. Des lois de

164 148 Application probabiliste distribution sont proposées pour les variables aléatoires de la méthodologie. Dans le cas des modèles élémentaires, les paramètres des deux premiers ordres (moyenne et écart-type) sont ceux observés dans la construction des histogrammes. L allure «en cloche» de ces derniers et les erreurs multiplicatives de modèles étant des entiers positifs, une loi log-normale leur est associée. La figure 4.4 illustre les histogrammes de Err D, Err Dfs et les lois log-normales correspondantes et la figure 4.5 représente les histogrammes de Err C, Err Cfs et leurs lois log-normales. Fig. 4.4 Lois de distribution des erreurs Err D Err Dfs des modèles élémentaires de calcul du coefficient de diffusion effectif des chlorures Fig. 4.5 Lois de distribution des erreurs Err C Err Cfs des modèles élémentaires de calcul des chlorures fixés L adéquation entre les histogrammes observés et les lois de distribution peut être vérifiée au moyen de tests statistiques. Les effectifs théoriques, provenant d un calcul analytique sur la loi de distribution, et les effectifs observés, issus des histogrammes, sont comparés pour chaque