CONCOURS 2014 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Filière PSI. (Durée de l épreuve : trois heures) L usage d ordinateur ou de calculatrice est interdit.

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1 A 4 MATH II PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 4 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l épreuve : rois heures) L usage d ordinaeur ou de calcularice es inerdi. Suje mis à la disposiion des concours : Cycle inernaional, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidas son priés de menionner de açon apparene sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L énoncé de cee épreuve compore 5 pages de exe. Si, au cours de l épreuve, un candida repère ce qui lui semble êre une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie e poursui sa composiion en expliquan les raisons des iniiaives qu il es amené à prendre.

2 Racine de l opposé du Laplacien e Equaion de la chaleur généralisée Noaions On noe N l ensemble des eniers naurels, Z l ensemble des eniers relais, R l ensemble des nombres réels, N l ensemble des nombres eniers sricemen posiis, R l ensemble des nombres réels négais ou nuls, R + l ensemble des nombres réels posiis ou nuls e R + l ensemble des nombres réels sricemen posiis. On noe k l ensemble des oncions R C de classe k, de période π, où k [, ], e pour, on noe =supx [,π] (x). On noe e n la oncion R C déinie par e n (x)= e inx, e pour, c n = π (θ) e n (θ) dθ,. () Lorsqu une série es absolumen convergene, on monre que sa somme ne dépend pas de l ordre des ermes, ce qui jusiie d écrire d + + n= d n + + n= d n = e de dire que la série d n converge absolumen si e seulemen si les séries + n= d n e + n= d n convergen absolumen. d n Séries rigonomériques Quesion Soi, démonrer que la suie des c n où, es bornée. Quesion Soi, donner l expression de c n (k) en oncion de c n. En déduire que pour ou k N, il exise C k > el que, pour ou enier relai non nul n cn C k n k. () Soi d n, une suie d élémens de C, elle que la série d n converge absolumen. Quesion 3 Monrer que pour ou x réel la série d ne n (x) converge e que sa somme h(x) apparien à. Jusiier que, pour ou d n=c n (h). Réciproquemen, on suppose pour cee quesion que quel que soi l enier k, il exise C k > e N k els que dn C k n k n N k.

3 Quesion 4 Démonrer que pour oulenier, la série d ne (l) converge normalemen ; n en déduire que h(x)= d ne n (x) apparien à. dans lui- Un opéraeur diéreniel sur es une applicaion linéaire B de même de la orme suivane : B = b k (k), k= où les réels b k son ous nuls sau un nombre ini. On appelle ordre de B l enier K déini par K= max k N bk. Quesion 5 Démonrer qu une applicaion linéaire B de dans lui-même es un opéraeur diéreniel d ordre K si e seulemen si il exise un polynôme P K d ordre K el que, pour ou enier relai n, e pour ou, c n B = PK (n) c n. Equaion de la chaleur généralisée Soiρ une oncion : R + R +, sricemen croissane, elle qu il exisel N + avec y, y ρ y y l. Quesion 6 Soi, démonrer que la série ρ( n ) c n en converge normalemen e que sa somme apparien à. Quesion 7 Soi, démonrer que pour ou >, la série e ρ( n ) c n en converge normalemen e que sa somme apparien à. On déini l opéraeur A : par la ormule A = ρ( n ) c n en. (3) On suppose désormais que R +, e on déini l opéraeur Q sur par la ormule suivane : Q = e ρ( n ) c n en. (4) Quesion 8 Monrer que pour x réel ixé e, la oncion Q (x) es de classe sur R +. Quesion 9 Démonrer que, pour e >, Q (x)= A Q (x) x R. (5) 3

4 On noe I l opéraeur idenié de. Quesion Soiα C,α/ R. Monrer que pour ou g il exise un e un seul élémen, noé u, apparenan à qui soi soluion de l équaion(a+αi) u= g. Quesion Monrer que pour Reα> e g, e pour ou x réel, (A+αI) g (x)= + e α Q g (x) d. Quesion Déerminer les valeurs propres de A, c es-à-dire les λ complexes els qu il exise g vériian A g =λg. 3 Représenaions inégrales Dans ce paragraphe on s inéresse à deux occurences pariculières de la oncion ρ : ρ eρ déinies sur R + parρ y = y eρ y = y. On pose A = n c n en e A = n c n en, (6) n n ainsi que Q = e n c n en, e Q = e n c n en. (7) n n Quesion 3 Démonrer que si C, A A = A. Quesion 4 Démonrer que A es un opéraeur diéreniel e en donner l expression. En es-il de même pour A? Quesion 5 En réérence aux résulas des quesions 3 e 9, jusiier le ire du documen. Si g es une oncion coninue e inégrable sur R, on pose g (ω)= + e iωx g(x) dx, (8) π oùω R ; c es la ransormée de Fourier de. On admera les ormules suivanes : π (ω)= + x e ω e e x / (ω)= e ω /. (9) Quesion 6 Déerminer le réelαel que, pour ou, pour ou y réel e ou R +, + Q y =α + x y x dx. 4

5 4 Données iniiales coninues On suppose dans ce paragraphe que, e on se limie à l éude de Q. On rappelle le héorème de Weiersrass rigonomérique : pour oue oncion coninue T-périodique e ouǫ>, il exise un polynôme rigonomérique p, soi p()= c n e iπn/t où c n C, e Z N ={ N n N}, N el que p ǫ. Quesion 7 En s aidan du héorème ci-dessus, monrer que pour ou y réel e ou réel sricemen posii Q y = π + + x y x dx. Quesion 8 En uilisan l expression de Q lim > sous orme de série, monrer que y Q y dy=. () Quesion 9 En uilisan l expression inégrale de Q obenue à la quesion 7, monrer que pour ou y réel, y = lim y. () > Q 5 Décroissance de l énergie Pour, on pose Q = e E()= Q (x) dx,. () Quesion Monrer que E es une oncion décroissane de e déerminer sa limie en =+. Fin de l épreuve 5

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