Chapitre 3 Séries entières

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1 Chaptre 3 Séres entères Somme d une sére entère Une sére entère est une sére de la forme : a +a z+a 2 z , avec z, a, a, a 2,... des nombres réels ou complexes. Les nombres a, a, a 2,... sont les coeffcents de la sére et z est la varable. Quand z est complexe, S(z) est une foncton complexe d une varable complexe. Les séres entères généralsent donc les polynômes. Le domane de convergence est l ensemble des z pour lesquels la sére entère converge. Lemme d Abel Sot. S n est borné quand n tend vers l nfn, la sére entère converge absolument quel que sot z avec z <. Démonstraton n n M M S z < la sére est majorée par la sére géométrque de terme général M z n qu converge. Donc la sére entère est absolument convergente, donc convergente. On arrve à un domane de talle maxmale et 3 cas sont possbles :. La sére entère converge pour tous les ponts stués à l ntéreur d un dsque de rayon R plus éventuellement en des ponts placés sur le bord du dsque. R est le rayon de convergence de la sére et l ntéreur du dsque s appelle le dsque de convergence. Exemple : + z + z R R 2. La sére entère converge unquement lorsque z ; dans ce cas R et le dsque de convergence est vde. Exemple : +! z + 2! z n! + 3. La sére entère converge dans tout le plan complexe. Alors R et le dsque de convergence est tout le plan complexe. Exemple : + z! + z2 2! + + zn n! +

2 Théorème z < R la sére converge lm z > R n est pas borné la sére dverge. Théorème 2 La sére converge z R. La sére dverge z R. Applcaton de la règle de d Alembert avec et Démonstraton lm Sot u n alors lm u n+ u n + L R L lm + + L z < convergence et L z > dvergence. Applcaton de la règle de Cauchy lm n L R L Remarque + z 2 + z 4 + z z 2n + n a pas de + lm + z Lz et pas de lm n mas R. R lm sup n an 2 Opératons sur les séres entères On part de deux séres entères : S(z) Somme S(z) + T(z) Produt S(z) T(z) [R ] T(z) ( + b n ) [R 3 nf(r, R 2 )] c n c n Quotent b S(z) T(z) b n [R 2 ]. n a p b n p [R 4 nf(r, R 2 )] p [R 5 ] On calcule les coeffcents en fasant une dvson selon les pussances crossantes. a + a z + a 2 z b z + a + a b z + a b 2 z 2 + a (a a b ) z + (a 2 a b 2 ) z 2 + 2

3 Composée S(z) [R ] T(z) b n [R 2 ] b S(T(z)) T(z) n [R 6 ] Cas partculer T(z) b z r S(b z r ) b n r Exemple b z r b n r + b z r + b 2 z 2r + 3 Proprétés des sommes de séres entères Théorème : S(z) et S(z + h) S(z) est contnue, dérvable et lm h h n ont le même rayon de convergence. Théorème : S(z) est ndéfnment dérvable et : S (k) (z) (n + )(n + 2) (n + k) (n + k)! n S (k) (z) (n + k)! C k n+k S (k) () a k Exemple z + z + z ( z) 2 + 2z + 3z2 + + (n + ) + ( z) 3 + 3z + 6z2 + + (n + )(n + 2) + 2 (n + )(n + 2) (n + k ) + kz ( z) k (k )! k 2 Théorème C + a z + a 2 z2 + + n zn + avec C une constante quelconque, est une prmtve de S(z). Son rayon de convergence est le même que celu de S(z). 3

4 4 Développement en sére entère Sot f (z) une foncton complexe de la varable complexe z et sot z un nombre complexe. On dt que f (z) est développable en sére entère au vosnage de z quand l exste une sére entère ayant un rayon de convergence non nul, telle que, quel que sot z dans le dsque de convergence de la sére : f (z + z) Théorème S f (z) est développable en sére entère au vosnage de z, elle est nfnment dérvable dans un dsque centré en z et : f (z + z) f (n) (z ) Cette sére entère s appelle la sére de Taylor au pont z. Théorème S f est une foncton complexe d une varable complexe, l sufft qu elle sot dérvable fos en tout pont d un dsque ouvert pour qu elle sot développable en sére entère au vosnage de tout pont de ce dsque. Conséquence La condton nécessare et suffsante pour qu une foncton complexe d une varable complexe sot développable en sére entère au vosnage de tout pont d un dsque est qu elle sot dérvable fos en tout pont de ce dsque. Une telle foncton s appelle une foncton analytque. Exemple f (z) z f (n) (z ) f (n) (z ) ( z ) n+ ( z ) ( z ) n+ ( ) z Quand z < z la sére géométrque converge et la somme de la sére de Taylor est : ( z ) z z ( z z) f (z + z) Donc, quel que sot z, la foncton f (z) z est développable en sére entère au vosnage de z. Remarque : La condton z < z sgnfe que la sére de Taylor admet z pour rayon de convergence. La sére de Taylor représente donc la foncton à l ntéreur du cercle centré en z, qu passe par. -z z z+z z Théorème Sot f une foncton réelle, nfnment dérvable dans un ntervalle ouvert I. Pour que f sot développable en sére entère au vosnage de x I, l faut et l sufft qu l exste deux nombre A et B tels que f (n) (x) < A B n quel que sot n et quel que sot x dans un ntervalle ouvert centré en x. 4

5 On utlse les théorèmes précédents pour fabrquer des fonctons complexes d une varable complexe. On part d une foncton réelle d une varable réelle nfnment dérvable. On calcule ses dérvées. On écrt la sére de Taylor. On l utlse pour défnr une foncton complexe d une varable complexe. e z cos z ( ) p z2p (2p)! p ln( z) n arctan z ( ) p z2p+ 2p + p e z sn z ( ) p z 2p+ (2p + )! p ln( + z) ( ) n zn n ( + z) ( ) ( n + ) zn n 5 Applcatons des séres entères Il y en a beaucoup d applcatons des séres entères, par exemple, elles permettent : de représenter toutes les fonctons complexes d une varable complexe qu sont dérvables. d exprmer les solutons de certanes équatons dfférentelles par leur sére de Taylor. d exprmer les termes de sutes vérfant certanes relatons de récurrence. Exemple : Recherche des solutons de l équaton dfférentelle : x y (x) + y (x) + x y(x) développables en sére entère au vosnage de : y(x) a + a x + a 2 x x n + x y(x) a x + + x n + y (x) a + 2a 2 x + + (n + )+ x n + x y (x) 2a 2 x + + (n + )n+ x n + a + (n + ) 2 + (n ) a a a + 4a 2 a + 9a 3 a 2 + 6a 4 a a 5 a a 6 a a a 2p 2 + (2p) 2 a 2p a 2p + (2p + ) 2 a 2p+ a 2p ( ) p a (2p) 2 ( )p a 2 2p (p!) 2 a 2p+ y(x) a p ( ) p x 2p 2 2p (p!) 2 5