Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Calcul I Examen final Automne 2009 Solutionnaire

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Calcul I Examen final Automne 2009 Solutionnaire"

Transcription

1 Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Calcul I Examen final Automne 009 Solutionnaire 1. a) Faux, f(x, y) = (h (x), g (x)) b) Vrai, f(x, y) = 3 + xln(y) + x y + 5x + y c) Faux, par exemple la fonction f(x, y) = e x+y a des droites parallèles comme courbes de niveau d) Faux, lim (x,y) (0,0) = 0 1 e) Vrai car 4M L = 0 dans ce cas f) Faux car v n est pas unitaire. a) La différentielle de S(p, x, w, h) au point P 0 = (p o, x 0, w 0, h 0 ) est ds(p 0 ) = S p (P 0)dp + S (P 0)dx + S w (P 0)dw + S h (P 0)dh = C x4 0 w 0 h 3 dp + C 4p 0x w 0 h 3 dx C p 0x w0 dw 3C p 0x 4 0 h3 0 w 0 h 4 dh 0 Ainsi, pour les valeurs p 0 = 100, x 0 = 3, w 0 = 1, h 0 = 1 et C = 1, nous avons ds(p 0 ) = 81 dp + 10, 800 dx 8, 100 dw 4, 300 dh. b) Une fonction linéaire L(p, x, w, h) qui approxime la fonction S au point P 0 = (p o, x 0, w 0, h 0 ) est L(p, x, w, h) = S(p 0, x 0, w 0, h 0 ) + S p (P 0)(p p o ) + S (P 0)(x x 0 ) + S w (P 0)(w w 0 ) + S h (P 0)(h h 0 ) = 8, (p 100) + 10, 800 (x 3) 8, 100 (w 1) 4, 300 (h 1)

2 3. Considérons la fonction f(x, y) = y h( y x ) où x 0. a) Posons t = y x. Alors f = [y h(t)] = y h t(t) t = y h t(t) ( y x ) f = [y h(t)] = y h(t) + h(t) = y h t(t) t + h(t) = y h t(t) 1 x + h(t) Ainsi x f + y f = y h(t) = y h( y x ) b) Puisque f = [ f ] = [y h t(t) ( 1 x ) + h(t)] = [y h t(t) 1 x ] + [h(t)] = 1 [ y h x tt(t)( 1 ] x ) + h t(t) + h t(t)( 1 x ) = y x h tt(t)( 1 x ) + ( x )h t(t) = ( y x )h tt(t) + ( x )h t(t) où t = y x Page

3 4. Soit la fonction f(x, y) = x + y et la contrainte g(x, y) = x y = 8. a) En se basant sur f = λg, les conditions d optimalité du premier ordre sont x = λxy y = λx x y = 8 x = λxy (1) y = λx () x y = 8 (3) b) De la contrainte, nous avons x 0 et y 0. Ainsi par (1), λ = 1 y. En remplacant cette dernière valeur de λ dans (), nous obtenons y = x. En substituant x dans (3), nous avons y 3 = 8. Donc y =. Par la relation (3), on déduit les points critiques : P 0 = (, ) avec λ = 1 P 1 = (, ) avec λ = 1 c) Il existe un minimum global car f(x, y) est continue, le domaine est fermé et lim x ± f(x, 8 ) = lim x y f(± 8 y, y) =. Puisqu il existe un minimum global, il s agit d un des points critiques. Puisque f(p 0 ) = f(p 1 ) = 6, les deux points P 0 et P 1 sont des minima globaux. Un minumum global est f(p 0 ) = f(p 1 ) = 6. Justification. Puisque le domaine x y = 8 n est pas borné supérieurement et que la fonction f est croissante, il n existe pas de maximum global. La fonction f possède donc un minimum global qui est 6 au points P 0 et P 1. d) L approximation de la nouvelle valeur optimale est donnée par Min nouveau Min ancien + λ(k nouveau k ancien ) = (7, 8 8) = 5, 9 5. a) Considérons la fonction f(x, y) = y cos(x). Alors une approximation quadratique Q(x, y) au point P 0 = ( π, π ) est: Q(x, y) = f( π, π ) + f x( π, π )(x π ) + f y( π, π )(y π ) + 1 [f! xx( π, π )(x π ) + f xy( π, π )(x π )(y π ) + f yy( π, π )(y π ) ] Page 3

4 Et puisque f( π, π ) = 0 f x(x, y) = y sin(x) f x( π, π ) = π f y(x, y) = cos(x) f y( π, π ) = 0, f xx(x, y) = y cos(x) f xx( π, π ) = 0, f xy(x, y) = sin(x) f xy( π, π ) = 1, f yy(x, y) = 0 f yy( π, π ) = 0. alors Q(x, y) = π (x π ) (x π )(y π ) b) Puisque M Q = max{ f xxx, f xxy, f xyy, f yyy } sur D d = = max{ y sin(x), cos(x), 0, 0 } sur D = max{ 3π, 1, 0, 0} = 3π ainsi, une borne sur l erreur maximale est: (π π ) + ( 3π π ) = 5 π, E Q (x, y) 4 3 M Qd 3 4 3π 3 ( 5 π )3 = π4 6. a) La pente est la plus forte dans la direction du gradient. Et puisque alors h(x, y) = (x 4x 3 ) i y j h(1, 0) = i b) Le taux de variation de l altitude au point P 0 = (1, 0) dans la direction du vecteur unitaire u = 1 i + 1 j est h u (1, 0) = h(1, 0) u = ( i ) ( 1 i + 1 j ) = Page 4

5 c) Si le taux de variation de l altitude est nul pour toute direction cela signifie que h(x, y) = (x 4x 3 ) i y j = 0 Donc { (x 4x 3 ) = 0 y = 0 La résolution de ce système d équations nous donne les points recherchés P 1 = (0, 0) P = ( 1, 0) P 3 = ( 1, 0) d) L équation général du plan tangent à la surface au point P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) est z = z 0 + h (x 0, y 0 )(x x 0 ) + h (x 0, y 0 )(y y 0 ). Alors au point P 0 = (1, 0, 0), avec h h (1, 0) = et (1, 0) = 0, nous obtenons l équation du plan tangent z = (x 1) = (1 x) 7. Soit la fonction f(x, y) = x + (x y) + 3y 3. a) *) Les conditions d optimalité du 1 er ordre sont: { f f = + (x y) = 0 x y = 1 (1) = 4(x y) + 9y = 0 () En substituant (1) dans (), nous obtenons 4 + 9y = 0. Ainsi y = ± 3. En substituant ces valeurs dans (1), on déduit x = 7 3 et x = 1 3. Par conséquent les points critiques sont P 1 = ( 7 3, 3 ) *)Classement des points critiques. [ Soit f(x, y) = et P = ( 1 3, 3 ) 4 4 (8 + 18y) ] Page 5

6 ** Pour P 1 = ( 7 3, 3 ), f( 7 3, [ 3 ) = Comme > 0 et que f( 7 3, 3 )) = 4 > 0, alors P 1 = ( 7 3, 3 ) correspond à un minimum local. ] ** Pour P = ( 1 3, 3 ) f( 1 3, [ 3 ) = ] Comme > 0 et que f( 1 3 )) = 4 < 0, alors P 1 n est pas un minimum local. Analysons f f( 1 3, [ ] 4 3 ) = 4 4 3, Comme < 0 alors P 1 n est pas un maximum de la fonction f, alors P 1 est correspond à un point selle. b) Lorsque x tend vers zéro et que y tend vers ± alors la fonction f tend vers ±. Donc il n existe pas de maximal global ni de minimum global. c) Appliquons la méthode du gradient. Étape 1: Soit P 0 = (0, 0). Étape : Paramétrisons la droite D passant par P 0 dont le vecteur directeur est donné par f(p 0 ) = (, 0). Ainsi D : { x = 0 + t() = t y = 0 + t(0) = 0 où t 0. Étape 3: En remplacant les équations paramétriques de la droite D, obtenues à l étape, dans la fonction f(x, y) nous obtenons h(t) = f(t, 0) = 4t + 4t. Étape 4: Déterminons la valeur critique t de h(t) de sorte que h(t) soit minimale en résolvant: h(t ) t = 4 + 8t = 0. t = 1 Page 6

7 Étape 5: En remplaŋant t par t = 1 à l étape, nous obtenons les coordonnées du prochain point P 1 généré par la méthode du gradient : P 1 = (1, 0). Page 7

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

Etude de fonctions: procédure et exemple

Etude de fonctions: procédure et exemple Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné : Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées. CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul

Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul DERIVEES ET REGLES DE CALCULS 69 Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée Requis pour: Croissance, Optimisation, Études de fct.

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Equations différentielles linéaires à coefficients constants

Equations différentielles linéaires à coefficients constants Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

Automatique (AU3): Précision. Département GEII, IUT de Brest contact: vincent.choqueuse@univ-brest.fr

Automatique (AU3): Précision. Département GEII, IUT de Brest contact: vincent.choqueuse@univ-brest.fr Automatique (AU3): Précision des systèmes bouclés Département GEII, IUT de Brest contact: vincent.choqueuse@univ-brest.fr Plan de la présentation Introduction 2 Écart statique Définition Expression Entrée

Plus en détail

Licence de Mathématiques 3

Licence de Mathématiques 3 Faculté des sciences et techniques Département de mathématiques 2004-2005 Licence de Mathématiques 3 M62 : Fonctions réelles de plusieurs variables Laurent Guillopé www.math.sciences.univ-nantes.fr/~guillope/m62/

Plus en détail

Dérivation : Résumé de cours et méthodes

Dérivation : Résumé de cours et méthodes Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours

Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours MSE3313: Optimisation Stochastiqe Andrew J. Miller Dernière mise au jour: October 19, 2011 Dans ce sujet... 1 Propriétés de la fonction

Plus en détail

Master IMA - UMPC Paris 6 RDMM - Année 2009-2010 Fiche de TP

Master IMA - UMPC Paris 6 RDMM - Année 2009-2010 Fiche de TP Master IMA - UMPC Paris 6 RDMM - Année 2009-200 Fiche de TP Préliminaires. Récupérez l archive du logiciel de TP à partir du lien suivant : http://www.ensta.fr/~manzaner/cours/ima/tp2009.tar 2. Développez

Plus en détail

Mathématiques I Section Architecture, EPFL

Mathématiques I Section Architecture, EPFL Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même

Plus en détail

ce n est pas un livre auto-suffisant (il est loin d être exhaustif )!

ce n est pas un livre auto-suffisant (il est loin d être exhaustif )! L MASS 1/13 Aide-mémoire et exercices corrigés. USTV MS41 Optimisation I Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 Limites et continuité 13 3 Dérivabilité et différentiabilité, fonctions

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

MESURE ET PRECISION. Il est clair que si le voltmètre mesure bien la tension U aux bornes de R, l ampèremètre, lui, mesure. R mes. mes. .

MESURE ET PRECISION. Il est clair que si le voltmètre mesure bien la tension U aux bornes de R, l ampèremètre, lui, mesure. R mes. mes. . MESURE ET PRECISIO La détermination de la valeur d une grandeur G à partir des mesures expérimentales de grandeurs a et b dont elle dépend n a vraiment de sens que si elle est accompagnée de la précision

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles

Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Université de Nice-Sophia Antipolis Mémoire de Master 1 de Mathématiques Année 2006-2007 Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Auteurs : Clémence MINAZZO - Kelsey RIDER Responsable

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et changements de variables

Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, première année http://wwwisimafr/leborgne Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Gilles Leborgne juin 006 Table des

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Rupture et plasticité

Rupture et plasticité Rupture et plasticité Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 25 novembre 2009 1 / 44 Rupture et plasticité : plan du cours Comportements

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables UNIVERSITÉ DE POITIERS Parcours Renforcé Première Année 2009/2010 Paul Broussous Fonctions de plusieurs variables Seconde version corrigée Table des matières 1. Un peu de topologie. 1.1. Distance euclidienne,

Plus en détail

C1 : Fonctions de plusieurs variables

C1 : Fonctions de plusieurs variables 1er semestre 2012/13 CPUMP 3 U 11 : Abrégé de cours Compléments Analyse 3 : fonctions analytiques Les notes suivantes, disponibles à l adresse http://www.iecn.u-nancy.fr/~bertram/, contiennent les définitions

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Calcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3

Calcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3 Université de la Méditerranée Faculté des Sciences de Luminy Licence de Mathématiques, Semestre 5, année 2008-2009 Calcul Différentiel Support du cours de Glenn Merlet 1, version du 6 octobre 2008. Remarques

Plus en détail

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o Corrigé exercices8et9 8. On considère un modèle Cox-Ross-Rubinstein de marché (B,S) à trois étapes. On suppose que S = C et que les facteurs

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Les travaux doivent être remis sous forme papier.

Les travaux doivent être remis sous forme papier. Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Exercices et corrigés Mathématique générale Version β

Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Université libre de Bruxelles Années académiques 2008-2050 Université catholique de Louvain Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Laurent Claessens Nicolas Richard Dernière modification

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Introduction. aux équations différentielles. et aux dérivées partielles

Introduction. aux équations différentielles. et aux dérivées partielles Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Cours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr

Plus en détail

Utiliser des fonctions complexes

Utiliser des fonctions complexes Chapitre 5 Utiliser des fonctions complexes Construire une formule conditionnelle avec la fonction SI Calculer un remboursement avec la fonction VPN Utiliser des fonctions mathématiques Utiliser la fonction

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1 [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble

Plus en détail

MATHEMATIQUES APPLIQUEES Equations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés

MATHEMATIQUES APPLIQUEES Equations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés MATHEMATIQUES APPLIQUEES Equations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés Département GPI 1ère année Avril 2005 INPT-ENSIACET 118 route de Narbonne 31077 Toulouse cedex 4 Mail : Xuan.Meyer@ensiacet.fr

Plus en détail

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par

Plus en détail

Quantification Scalaire et Prédictive

Quantification Scalaire et Prédictive Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail