Sommaire de la séquence 1

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1 Sommaire de la séquence t t t t t t t t t Séance Je calcule le produit de deux nombres relatifs Séance Je découvre le quotient de deux décimaux relatifs Séance Je calcule le produit de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire Séance Je découvre l inverse d un nombre Séance Je calcule le quotient de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire Séance Je calcule la somme de plusieurs nombres relatifs en écriture fractionnaire Séance J écris, organise et effectue des programmes de calculs Séance Je respecte les priorités des opérations Séance J effectue des exercices de synthèse t Objectifs Ë Calculer la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres relatifs. Ë Connaître les priorités opératoires et l usage des parenthèses dans des expressions contenant des nombres relatifs. Ë Savoir résoudre des problèmes à l aide des nombres relatifs. Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit respectifs. Tous ces éléments font l objet d une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que par les conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent être utilisés qu à des fins strictement personnelles. Toute reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d un cours ou d une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits. Cned-009

2 séance Séquence Séance Je calcule le produit de deux nombres relatifs Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la SÉQUENCE N. Prends ensuite ton cahier de cours et écris «SÉQUENCE : CALCUL NUMÉRIQUE» en haut de la première page blanche. Fais de même avec ton cahier d exercices. Effectue ensuite le test directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses. Une fois ce travail terminé, reporte-toi au livret de corrigés et étudie bien le corrigé de ce test. Lis attentivement les commentaires du professeur : c est nécessaire pour pouvoir effectuer les exercices qui suivent dans de bonnes conditions! je révise les acquis de la e - Je pense à un nombre, je lui ajoute ; je trouve. Quel est ce nombre? - Quel est le résultat du calcul :,8 + (,9)?, 0,, 0, - Quel est l opposé de,?,, :, le nombre qui ajouté à, donne 0 - Quel est le résultat du calcul : 8, (,)? Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Une fois l exercice terminé, reporte-toi au livret de corrigés et lis attentivement les deux parties : ce que l on attendait de toi et les commentaires du professeur. Exercice Lindsay voudrait savoir si elle serait capable de gagner de l argent à la bourse en achetant les bonnes actions. Elle en choisit donc une qui lui semble intéressante et regarde son cours sur une semaine. Malheureusement, le cours de cette action a perdu, par jour durant cette semaine. - Lindsay voudrait calculer combien l action a perdu en deux jours. Noémie veut l aider, elle écrit : (,) + (,). Lindsay veut faire ce même calcul, mais en l écrivant à l aide d une multiplication. Quelle multiplication peut-elle écrire par exemple? Combien doit trouver Lindsay? Cned, Mathématiques e

3 Séquence séance - Ali veut savoir combien Lindsay a perdu en trois jours, quatre jours et une semaine. Il veut écrire, pour chacun de ces trois cas, une addition et une multiplication. Il essaie, mais finit par s embrouiller. aide Ali à écrire puis à effectuer ces calculs pour : a) trois jours b) quatre jours c) une semaine. - En utilisant les questions précédentes, quelle remarque peux-tu faire sur le signe de chacun des produits que tu viens de calculer? - Recopie puis calcule mentalement les produits suivants : a) 8 ( ) b) ( ) 9 c), ( ) Prends une nouvelle page de ton cahier de cours. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, puis recopie-le sur ton cahier. j e retiens PRODUIT DE DEUX NOMBRES RELATIFS Propriété : «signe d un produit» (admise) Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif. Exemples : A = ( 8) B = (,) 6 A= 0 B = Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. je comprends la méthode Calculer : C = (,) Je détermine d abord le signe du résultat :, et ont des signes contraires donc le produit est négatif. La réponse est de la forme C = J effectue le produit des distances à 0 des deux facteurs, c est-à-dire le produit de, et de. Je trouve,. Je conclus : C =, Effectue les trois exercices suivants sur ton cahier d exercices. Une fois chaque exercice terminé, reporte-toi au livret de corrigés. Exercice Calcule les expressions suivantes : Tu présenteras les calculs comme dans l exemple du «Je retiens» précédent. a = ( ) B = ( 0,) 0, C = 6, ( ) D = (,9) 6 8 Cned, Mathématiques e

4 séance Séquence Exercice Manon, Hugo et Noémie sont avec leur professeur de mathématiques. Il leur demande de remplir les zones bleues et la zone blanche qui se trouve en «haut à droite» du carré cicontre. - Comme eux, remplis ces trois zones à l aide des résultats des calculs demandés. Que remarques-tu? - Hugo dit : «Deux cases symétriques par rapport à une bande grise contiennent des nombres opposés. Je sais comment remplir la zone blanche!» Juste à l aide de ton intuition, remplis au crayon à papier toutes les cases de la zone blanche qui se trouve «en bas à gauche». - Le professeur intervient : «Cherchons à justifier le résultat du calcul» : ( ) ( ). Pour cela, nous allons admettre que la formule k (a + b) = k a + k b est valable aussi bien avec des nombres négatifs que positifs, ainsi : (( ) + ) ( ) = ( ) ( ) + ( )». a) Calcule directement l expression (( ) + ) ( ) Manon a trouvé 0 et elle a dit que ce calcul était très facile. b) Recopie et complète : ( ) ( ) + ( ) = ( ) ( ) + c) Noémie dit alors que la somme de ( ) ( ) et de 6 est égale à 0. a-t-elle raison? Si Noémie a raison, que peut-on dire des nombres ( ) ( ) et de 6? Peux-tu en déduire le résultat du produit ( ) ( )? - Justifie (comme dans la question précédente) le résultat de ( ) ( ) et de ( ) ( ). - Recopie au stylo les résultats des calculs dans la zone blanche, maintenant que tu sais les justifier. Exercice Écris et calcule mentalement les produits suivants. Pour la question a), tu justifieras le résultat à l aide d un raisonnement, comme dans l exercice précédent. a) ( ) ( ) b) ( 9) ( ) c) (,) ( 8) d) Lis attentivement et recopie sur ton cahier de cours le paragraphe suivant. Cned, Mathématiques e 9

5 Séquence séance j e retiens Propriété : «signe d un produit» Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif. Exemples : C = ( ) ( 8) D = (,) ( ) E = 8 6 C = 0 D = E = 8 Preuve : Prouvons par exemple que ( ) ( 8) = 0. Pour cela, on calcule ( + ) ( 8) de deux manières : ( + ) ( 8) = 0 ( 8) = 0 ( + ) ( 8) = ( ) ( 8) + ( 8) = ( ) ( 8) + ( 0) D où : 0 = ( ) ( 8) + ( 0) ( ) ( 8) est donc l opposé de 0, d où : ( ) ( 8) = 0. Effectue les quatre exercices suivants sur ton cahier d exercices. Une fois chaque exercice terminé, reporte-toi au livret de corrigés. Exercice Calcule les expressions suivantes : A = ( 0,) ( 0,) B = ( ) ( ) C = 0,6 ( 0,0) Exercice 6 - Calcule le produit de,8 par 6,. - En utilisant le résultat précédent, détermine mentalement le résultat de chacun des calculs suivants : a = (,8) ( 6,) B = (,8) 6, C =,8 ( 6,) Exercice Calcule : A = + B = C = + ( ) D = ( ). Exercice 8 La température à Paris qui était de C à midi, est devenue fois plus basse à minuit. Hugo pense qu à minuit, la température à Paris était inférieure à 0 C. A-t-il raison? Pourquoi? Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n, à la fin de ce livret. Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés horizontaux afin de cacher les solutions. 0 Cned, Mathématiques e

6 séance Séquence Effectue ensuite la série de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le résultat de tête puis écris les réponses sur une feuille de brouillon. Une fois la série terminée, reporte-toi aux solutions. Séance Je découvre le quotient de deux décimaux relatifs Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Une fois cet exercice terminé, reporte-toi au livret de corrigés. Dans toute la suite du livret, après chaque exercice, tu consulteras attentivement le corrigé de celui-ci avant de passer à la suite. Exercice 9 Lindsay aurait perdu avec son action si elle l avait conservée cinq semaines. - a) Lindsay voudrait savoir combien elle aurait perdu en moyenne sur une semaine. Elle essaie par tâtonnement, mais elle n y arrive pas. Hugo essaie de l aider en lui disant de calculer le quotient de par. A-t-il raison? Comme Lindsay n est pas sûre du résultat d Hugo, il lui conseille de le vérifier en faisant une multiplication. Laquelle? b) Calcule à l aide d une calculatrice l arrondi au centième de la somme qu elle aurait perdue en moyenne sur une journée. - a) Calcule mentalement le nombre qui multiplié par donne. b) En utilisant le résultat précédent, calcule ( ) :. Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le dans ton cahier de cours. j e retiens QUOTIENT DE DEUX DÉCIMAUX RELATIFS On connaissait déjà le quotient de deux nombres décimaux. On découvre cette année le quotient de deux nombres décimaux relatifs. Définition : Les nombres a et b sont des nombres décimaux relatifs. b est différent de 0. Le quotient de a par b est le nombre qui multiplié par b donne a. Il est noté a b. Exemple : Le nombre qui multiplié par donne est soit. Remarque : a b est aussi appelé un «nombre relatif en écriture fractionnaire».,, 9, 9 6, ou sont des nombres relatifs en écriture fractionnaire». Cned, Mathématiques e

7 Séquence séance Effectue les deux exercices suivants directement dans ton livret. N oublie pas de regarder le corrigé attentivement une fois que tu as terminé chaque exercice. Exercice 0 Calcule mentalement les quotients suivants : 6 =... 0 =... =... 0 =... =..., =... Exercice - Manon et Quentin cherchent le signe de. Manon utilise sa calculatrice et dit que ce quotient est négatif. Quentin dit qu il est d accord, mais lui a utilisé la définition du quotient plutôt que la calculatrice. Comment a fait Quentin? - Sans utiliser de calculatrice, détermine le signe de et de. Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le dans ton cahier de cours. j e retiens Propriété : «signe d un quotient» Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif. Le quotient de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif. Exemples : A = ( 8) : B = C = 8 6 A = B = C = Reporte-toi maintenant à la fin de ton livret aux pages «calculatrice». Tu apprendras comment effectuer les produits et quotients de relatifs à l aide d une calculatrice. Effectue les trois exercices suivants sur ton livret. N oublie pas de regarder le corrigé attentivement une fois que tu as terminé chaque exercice. Exercice Calcule ces quotients à l aide de la calculatrice et donne pour chaque quotient la valeur approchée au centième par défaut. A = B = : ( 6) C = 9 Cned, Mathématiques e

8 séance Séquence Exercice - Donne un ordre de grandeur de chacun des quotients suivants. A = ( 0) : 98 B =, 8 C =, 8,, - Calcule l arrondi à 0,0 près de ces quotients et vérifie tes résultats précédents. - Donne un encadrement au dixième de chacun des quotients. Exercice - Le professeur de Noémie et de Hugo leur a demandé de prouver que les deux fractions 8 6 et 9 étaient égales. Noémie commençait à simplifier les deux fractions pour les comparer quand Hugo lui dit qu il valait mieux comparer les «produits en croix» ( 8) ( 9) et 6. Montre que leurs deux méthodes sont correctes. - Trouve une fraction a b égale à avec a et b différents de et de. Vérifie ensuite l égalité en utilisant les «produits en croix». - Noémie pense que les fractions 9 et sont égales mais Hugo lui dit que non. Sans faire de calcul, explique lequel des deux a raison. Vérifie ensuite ta réponse en utilisant les «produits en croix». Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, puis recopie-le sur ton cahier de cours. j e retiens Propriété : (admise) a a k a, b et k sont des nombres décimaux relatifs tels que b 0 et k 0 : = b b k Propriété : «égalité des produits en croix» (admise) a, b, c et d sont des nombres décimaux relatifs tels que b 0 et d 0. Si : a d = b c alors : a c a c = Si : = b d b d alors : a d = b c Exemples : et 6 sont-elles égales? 0 Simplification Produits en croix = ( 6) 6 = 0 ( ) ( ) = 0 et 6 0 =0 donc 6 = donc 6 = 0 0 Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d exercices. N oublie pas de regarder le corrigé attentivement une fois que tu as terminé chaque exercice. Cned, Mathématiques e

9 Séquence séance Exercice Indique à l aide des produits en croix si les deux nombres en écriture fractionnaire sont égaux. Vérifie tes résultats en donnant la forme irréductible de chacune de ces fractions. a) 9 6 et 6 b) et c) 0 et 8 Exercice 6 - Quel est le chiffre des unités du produit 6. - Sans utiliser ta calculatrice et sans poser d opération, détermine si les nombres sont égaux et explique pourquoi et Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n, à la fin de ce livret. Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés horizontaux afin de cacher les solutions. Effectue ensuite la série de cette fiche. Séance Je calcule le produit de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Exercice Noémie doit trouver comment effectuer les produits suivants mais ne sait pas comment s y prendre, à cause des «signes». a = B = C = 0 Lindsay lui dit alors : «C est facile de multiplier deux fractions, j ai vu dans un livre qu il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux». En utilisant la méthode de Lindsay, calcule les trois produits précédents. Lis attentivement le paragraphe suivant, puis recopie-le sur ton cahier de cours. Cned, Mathématiques e

10 séance Séquence j e retiens PRODUIT DE DEUX NOMBRES RELATIFS EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE Propriété : «produit de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire» a c a c Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs tels que b 0 et d 0 : =. b d b d Exemples : A = = = B = ( = ) = 8 ( ) 8 Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d exercices. Exercice 8 Exprime les résultats des calculs suivants en écriture fractionnaire. A = B = C = 8 D = Exercice 9 - Quentin se souvient de la notion d opposé d un nombre vue en e, et se demande si l opposé de, noté est égal à. Lindsay lui dit : «essaie de calculer. Si tu trouves, tu auras gagné!» aide Quentin en appliquant la méthode de Lindsay. - Prouve que est égal à Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, puis recopie-le sur ton cahier de cours. j e retiens Propriété : a a et b sont des nombres décimaux relatifs, b est non nul. On a : = a a = b b b, Exemple : =,, =,,, Lis attentivement le paragraphe suivant. Cned, Mathématiques e

11 Séquence séance je comprends la méthode Déterminer A = Je détermine le signe de chaque quotient : est positif car c est le quotient de deux nombres de même signe. c est le quotient de deux nombres de signes différents. Je détermine le signe du produit : Le produit de deux nombres de signes différents est négatif. Je calcule le produit des numérateurs sans les signes : =. Je calcule le produit des dénominateurs sans les signes : =. Je donne le résultat : A = Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d exercices. est négatif car Exercice 0 Exprime les résultats des calculs suivants en écriture fractionnaire : a) les de b) 6 c) le quintuple de 9 Exercice Lindsay a gagné 98 en lavant des voitures. Comme Hugo et Noémie l ont aidée, elle donne deux septièmes de cette somme à Hugo, les deux cinquièmes de ce qu il reste alors à Noémie et elle garde la dernière part pour elle. - Noémie voudrait savoir quelle fraction de la somme totale elle a obtenue, pour comparer avec celle d Hugo. Hugo essaie de l aider en faisant des croquis mais il n y arrive pas. aide Hugo à faire ses calculs. Lindsay a-t-elle été juste avec ses deux amis? - Quelle fraction de la somme totale lui reste-t-il? - Calcule combien Hugo, Noémie, puis Lindsay ont gagné. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. je comprends la méthode Calculer A = 9 } } 9 A = { 9 Je commence par déterminer le signe du résultat. A est le produit d un nombre négatif par un nombre positif, d où A est négatif. Avant de calculer les produits 9 et, j essaie de décomposer ces nombres en produits pour essayer de simplifier la fraction. A = A = 6 Une fois que je ne peux plus simplifier la fraction, j effectue. Je donne le résultat. 6 Cned, Mathématiques e

12 séance Séquence Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d exercices. Exercice Calcule : A = 8 B = 6 8 C = Exercice Dans le lycée du frère d Ali, 6 des terminales ont été reçus au baccalauréat et 00 reçus ont obtenu une mention. des mentions sont des mentions «assez bien», 8 mentions sont des mentions «bien» et les autres sont des mentions «très bien». des des 6 - Ali et Quentin cherchent à savoir quelle fraction des élèves de terminale ont eu une mention. Ali commence à faire son calcul et trouve des nombres qui lui semblent trop grands. Quentin cherche alors une manière plus simple de faire les calculs en décomposant certains nombres avant de faire les calculs. En utilisant la démarche de Quentin, trouve la fraction des élèves de terminale ayant été reçus avec mention. - En essayant de faire les calculs aussi simplement que possible, détermine, parmi les mentions, la fraction de mentions «très bien». - Détermine la fraction de reçus n ayant pas eu de mention et celle des reçus ayant une mention «très bien». Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n, à la fin de ce livret. Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés horizontaux afin de cacher les solutions. Effectue ensuite la série de cette fiche. Séance Je découvre l inverse d un nombre Effectue l exercice suivant sur ton livret. Cned, Mathématiques e

13 Séquence séance Exercice - Certains nombres ont été reliés entre eux. Continue en essayant d expliquer la règle qui permet de faire ce travail. - Complète les égalités suivantes : = ( ) = ( ) =. - Peut-on compléter l égalité : 0 =. Pourquoi? Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, puis recopie-le sur ton cahier de cours. j e retiens Définition : Deux nombres relatifs sont inverses lorsque leur produit est égal à. Exemples : 0, = donc et 0, sont inverses. ( 8) ( 0,) = donc 8 et 0, sont inverses. Remarque : Le produit d un nombre par 0 est toujours égal à 0 ; 0 n a donc pas d inverse. Effectue les trois exercices suivants sur ton cahier d exercices. Exercice - Calcule l inverse des nombres suivants : 0,00 ; 0,0 ;. - Les nombres 0,00 et 0 sont-ils inverses? Pourquoi? Exercice 6 Noémie voudrait savoir comment calculer l inverse d un nombre avec sa calculatrice. Hugo la guide en lui conseillant d utiliser la touche x de sa calculatrice. - En essayant la touche x de sa calculatrice, elle arrive effectivement à vérifier tous les résultats des exercices précédents. a) Calcule avec ta calculatrice l inverse de 0, ; ; ; 6 ; 0,00. b) Vérifie que le produit de chacun de ces nombres avec son inverse est égal à. - Détermine la valeur exacte de l inverse des nombres suivants : 6 ; ;. Donne ensuite l arrondi au centième de chacune de ces valeurs. 8 Cned, Mathématiques e

14 séance Séquence Exercice Si r est un nombre décimal relatif non nul, que représente le nombre pour le nombre r? r Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, puis recopie-le sur ton cahier de cours. j e retiens Propriété : «inverse d un nombre» x est un nombre décimal relatif non nul. L inverse de x est x. Exemple : est par définition le nombre qui multiplié par donne, c est donc l inverse de. On a aussi : est l inverse de. Effectue l exercice suivant dans ton cahier d exercices. Exercice 8 - Quel est l inverse de? de? de 8 - Si a et b sont deux décimaux relatifs non nuls, quel est l inverse de? a b? Pourquoi? Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, puis recopie-le sur ton cahier de cours. j e retiens Propriété : «inverse d une fraction» a et b sont deux nombres décimaux relatifs non nuls. L inverse de a b est Exemple : = donc les fractions et sont inverses. b a. Effectue l exercice suivant dans ton livret. Cned, Mathématiques e 9

15 Séquence séance Exercice 9 Complète le tableau ci-dessous. nombre inverse 0, 8 opposé Effectue les deux exercices ci-dessous dans ton cahier d exercices. Exercice 0 Quentin s entraîne pour des compétitions de natation en nageant à allure régulière. Il effectue de longueur de piscine chaque minute. Quelle sera la durée de son entraînement s il veut effectuer longueurs de piscine? Exercice - a) Calcule puis à l aide d une calculatrice. Démontre ensuite qu ils sont 0, 0, égaux. b) Démontre que et sont égaux. - a et b sont deux nombres décimaux relatifs tels que b 0. Démontre que a et a sont deux nombres égaux. b b Aide : pense à un produit de fractions. - Complète la phrase : «diviser un nombre décimal relatif par un autre nombre décimal relatif non nul revient à le multiplier par..». Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, puis recopie-le sur ton cahier de cours. j e retiens Propriété : a et b sont deux nombres décimaux relatifs tels que b 0. Exemple :, =, a = a b b Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n. Effectue ensuite la série de cette fiche. 0 Cned, Mathématiques e

16 séance Séquence Séance Je calcule le quotient de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire Effectue l exercice suivant dans ton cahier d exercices. Exercice - Quentin, Manon et Lindsay cherchent le nombre qui multiplié par donne. Manon cherche un nombre décimal mais ne trouve pas. Lindsay pense que ce nombre est une fraction : elle cherche donc deux nombres? et? tels que :?? =, c est-à-dire tels que :?? =. Arrives-tu à trouver le nombre qui multiplié par donne? Si tu ne trouves pas, ne passe pas trop de temps sur cette question, passe directement à la question suivante! - Quentin pense avoir trouvé une solution :. Quentin a-t-il raison? - Lindsay pense que Quentin a raison, mais elle voudrait trouver une méthode qui permette de trouver le résultat pour n importe quelle fraction. Elle pense alors à la méthode suivante pour trouver? et? : 6? 8... =... Je veux obtenir une fraction de numérateur, donc je vais écrire que :? =...? Ensuite, je veux «me débarrasser» du facteur au dénominateur, donc je vais écrire que? =. }? Ainsi, je vais pouvoir simplifier la fraction par : =... Complète la méthode de Lindsay pour obtenir?? - Le nombre qui multiplié par donne est noté : ou Lindsay a donc prouvé que : Calcule 8 :. : = =. Cned, Mathématiques e

17 Séquence séance - On a vu dans la séance que diviser un nombre décimal par un autre nombre décimal revenait à le multiplier par son inverse. Penses-tu que ce soit encore vrai avec des nombres relatifs en écriture fractionnaire? aide : essaie de partir de l expression a c :. N oublie pas que l inverse de c b d d est d c. b, c et d sont non nuls. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous et recopie-le dans ton cahier de cours. j e retiens QUOTIENT DE NOMBRES RELATIFS EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE Propriété : «quotient de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire» Soient a, b, c et d quatre décimaux relatifs tels que b 0, c 0 et d 0, a a c a d b a d : = ou = b d b c c b c d Diviser par un nombre non nul, c est multiplier par l inverse de ce nombre. Exemples : : = 0 = = : = = = ( ) Effectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. Exercice Complète cette pyramide en sachant que chaque case est le produit des deux nombres contenus dans les deux cases d en dessous. Effectue l exercice suivant dans ton cahier d exercices. Cned, Mathématiques e

18 séance Séquence Exercice Effectue les calculs suivants et donne chaque résultat sous la forme d une fraction irréductible : A = : B = 9 : Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. je comprends la méthode C = 9 Calculer C = 9 : Pour diviser par 9, je multiplie par son inverse 9. C = 9 C = C = 6 J écris les multiplications sans les effectuer. Je décompose les nombres du numérateur et du dénominateur sous forme de produits de facteurs dans le but de simplifier l expression. Je donne le résultat. Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d exercices. Exercice Effectue les calculs suivants et donne chaque résultat sous forme d une fraction irréductible. C = 9 : D = 0 : 8 E = F = Exercice 6 Ali choisit un nombre. Il le multiplie par et il trouve. Quentin doit trouver le nombre choisi par Ali. Il essaie par tâtonnement, mais n arrive pas à trouver ce nombre. Aide Quentin à résoudre ce problème. Exercice L aquarium de Manon est rempli d eau aux cinq neuvièmes et contient actuellement 0 L. - Hugo lui dit qu elle pourrait mettre au moins 00 L d eau dans cet aquarium. A-t-il raison? - Cet aquarium a la forme d un pavé droit dont les dimensions du rectangle de base sont dm et dm. a) Calcule la hauteur maximale d eau que Manon peut mettre dans cet aquarium. b) Calcule la hauteur d eau qu il y a actuellement. Cned, Mathématiques e

19 Séquence séance 6 Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n. Effectue ensuite la série de cette fiche. Séance 6 Je calcule la somme de plusieurs nombres relatifs en écriture fractionnaire Effectue l exercice suivant dans ton cahier d exercices. Exercice 8 - a) Noémie veut calculer A = +. Elle fait la somme des deux numérateurs et celle des deux 0 dénominateurs, elle obtient. Elle écrit sa réponse sur son cahier : A =. Ensuite, elle veut vérifier son résultat avec sa calculatrice et ne trouve pas le même résultat. Ali lui dit alors que c est normal. Il se souvient que pour additionner deux fractions, il faut se ramener à deux fractions ayant le même dénominateur. Que penses-tu de la méthode de Noémie? b) Aide Noémie en lui disant de trouver un multiple commun aux dénominateurs, le plus petit possible. Pour cela : Écris la liste des cinq premiers multiples non nuls de puis celle des huit premiers multiples de 0. Quel est le plus petit multiple non nul commun à et 0? Calcule A. - En t inspirant de cette méthode et en respectant les règles sur les sommes et différences de nombres relatifs, recopie et effectue les calculs suivants : M = + 6 M = + 6 M = 9 N = + 6 P = 6 N =... P = N =... P =... M =... N =... P =... M =... N =... P =... Cned, Mathématiques e

20 séance 6 Séquence Lis attentivement le paragraphe ci-dessous et recopie-le dans ton cahier de cours. j e retiens SOMME ET DIFFÉRENCE DE NOMBRES RELATIFS EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE Addition et soustraction de nombres relatifs en écriture fractionnaire Pour additionner (ou soustraire) deux écritures fractionnaires de dénominateurs différents, on commence par les mettre au même dénominateur, puis on additionne ou soustrait les numérateurs. Exemples : A = + = + = 0 + = B = = = = = 9 Effectue les trois exercices suivants dans ton cahier d exercices : Exercice 9 Effectue les calculs suivants et donne les résultats en écriture fractionnaire irréductible : A = + 9 B = 8 6 C = D = + + Effectue les trois exercices suivants dans ton cahier d exercices : Exercice 0 Calcule : F = + G = Exercice K= + L = Démontre que K est le double de L. Aide : Tu peux calculer K et L dans un premier temps! Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n, à la fin de ce livret. Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés horizontaux afin de cacher les solutions. Effectue ensuite la série de cette fiche. Cned, Mathématiques e

21 Séquence séance Séance J écris, organise et effectue des programmes de calculs Effectue les exercices suivants dans ton cahier d exercices. Exercice - Quentin affirme à Lindsay que la somme du produit de par 9 et du quotient de par est supérieure à. Lindsay cherche à savoir si Quentin a raison. Elle essaie d effectuer ces calculs en écrivant une seule expression mais n y arrive pas. Hugo l aide alors en lui disant : «C est facile, tu mets le produit entre parenthèses, le quotient entre parenthèses, puis tu mets un signe + entre les deux. Après, tu effectues les calculs entre parenthèses puis tu additionnes les deux résultats.» Aide Lindsay à faire son calcul! Le résultat du calcul est-il supérieur à? - Décris B en faisant une phrase dans laquelle se trouvent les mots «produit», «somme» et «quotient». B = : + Exercice - Calcule la somme S du produit de par l inverse de et de la différence de et 8. - Décris D en une seule phrase. D = + : Exercice - Calcule la différence C entre le tiers de quatre septièmes et le quotient de par. - Écris une phrase décrivant ce calcul : Est-il exact que la somme de et du produit de 0 par 9 est égale au quotient de par 0? Exercice Lindsay a un budget fixé pour acheter des actions à la bourse. Elle achète une première action mais ce n était pas un bon investissement car elle perd les quatre septièmes de son budget. Avec la deuxième action, elle perd les deux tiers de ce qu il lui restait. Elle constate finalement qu il ne lui reste plus que dans son budget. - Que représentent les expressions suivantes par rapport à ce problème? a) b) c) + - Effectue le calcul du a), puis le calcul du b) en utilisant le résultat du a), et enfin le calcul du c) en utilisant le résultat du b). Vérifie qu il reste à Lindsay un septième de son budget. - Quel était le budget fixé par Lindsay? 6 Cned, Mathématiques e

22 séance Séquence Exercice 6 Effectue les opérations suivantes en donnant leur résultat en écriture fractionnaire simplifiée. a) Le quart de b) Le triple de 9 Effectue l exercice suivant sur ton livret et dans ton cahier d exercices. c) La moitié de + d) Le double de Exercice - Relie chaque expression de gauche à la bonne écriture de droite. a et b sont des décimaux relatifs non nuls tels que a + b 0. - Effectue les calculs A, B, C et D pour a = et b =. - Effectue les calculs A, B, C et D pour a = et b = 8. - Énonce une règle de calcul avec les mots «inverse» et «produit», puis démontre-la. S il te reste du temps, effectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. Exercice 8 En utilisant deux fois la formule de l aire d un triangle, calcule la longueur AK, sachant que : BH = cm AC = 6 cm BC = cm Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n, à la fin de ce livret. Effectue ensuite la série de cette fiche. A B H K C Cned, Mathématiques e

23 Séquence séance 8 Séance 8 Je respecte les priorités des opérations Effectue l exercice suivant dans ton cahier d exercices. Exercice 9 Quentin et Noémie doivent effectuer les deux calculs suivants : A = et B = 6. - Pour le calcul de A, Noémie trouve et Quentin. Lequel des deux a raison? Explique pourquoi. - Pour le calcul de B, Noémie commence par la multiplication puis donne le résultat sous la forme d une écriture fractionnaire dont le dénominateur est 86. Quentin lui dit alors qu elle pouvait faire plus simplement en simplifiant d abord les fractions. En utilisant les conseils de Quentin, effectue le calcul de B. Tu donneras le résultat sous la forme d une fraction irréductible. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous et recopie-le dans ton cahier de cours. j e retiens PRIORITÉS OPÉRATOIRES exemples : Dans une expression sans parenthèses : le carré et le cube sont prioritaires et les multiplications et divisions sont prioritaires par rapport aux additions et soustractions. Dans une expression avec parenthèses, on commence par effectuer les calculs entre parenthèses. Dans une expression qui ne comporte que des multiplications et des divisions, on effectue les opérations de gauche à droite. 6 A = 6 A = A = A = A = 0 6 B = + : 9 B = B = B = + 0 B = Lis attentivement le paragraphe suivant. 8 Cned, Mathématiques e

24 séance 8 Séquence je comprends la méthode Calculer C 8 = C = C = + { 0 6 C = C = C = + C = C = Si certaines fractions sont simplifiables, je les simplifie. Je simplifie. Je trouve. J effectue ensuite les deux produits (la multiplication a priorité par rapport à l addition et à la soustraction). Je simplifie les produits si cela est possible. Je simplifie. Je trouve. 0 Comme =, je me ramène à une somme de fractions ayant le même dénominateur :. J effectue le dernier calcul. Je simplifie le résultat si cela est possible, puis je donne le résultat. Effectue les exercices suivants sur ton cahier d exercices. Exercice 0 Effectue les calculs suivants en donnant les résultats en écriture fractionnaire irréductible. A = B = : C = Δ 6 sachant que : aδb = a + b+ a b D = 8 9 E = F = 8 8 Cned, Mathématiques e 9

25 Séquence séance 8 Exercice Calcule l aire de la surface bleue en écrivant les calculs sous la forme d une seule expression, sachant que : AG = cm BG = 6 cm GE = cm BC = cm. On admettra que B, G, E sont alignés. Aide : Pour le calcul de l aire de ABG, utilise la formule sous la forme : A ABG = BG AG. Exercice + Démontre que : A = est un nombre entier relatif. Exercice Calcule : A = a + b + c B = a b c C = a b : c D = a : (b c) pour : a = b = 6 c =. Tu donneras les résultats en écriture fractionnaire irréductible. Exercice A = + + B = C = En respectant les priorités des opérations, calcule A, B et C en donnant le résultat en écriture fractionnaire puis en écriture décimale. Tu donneras pour B la valeur approchée par défaut au centième et pour C la valeur approchée par excès au millième. Aide : pour calculer B, essaie d utiliser le résultat de A! Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n, à la fin de ce livret. Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés horizontaux afin de cacher les solutions. Effectue ensuite la série de cette fiche. 0 Cned, Mathématiques e

26 séance 9 Séquence Séance 9 J effectue des exercices de synthèse Effectue les cinq exercices suivants sur ton cahier d exercices. Exercice Lindsay a préparé une salade composée de 00 g de carottes, 00 g de tomates et 80 g de laitue. Elle s intéresse à la contenance d eau dans cette salade, sachant que dans chaque aliment, il y a une certaine proportion d eau. Elle sait que, dans les carottes, la proportion d eau représente de la masse, dans les tomates, 9 9 et dans la laitue. Quelle fraction de la masse représente la masse d eau 0 0 dans cette salade? Exercice 6 Noémie voudrait offrir à son ami Hugo un nouveau vélo. Elle doit payer 0 % du prix à la commande, du reste à la livraison et le solde (c est ce qu il reste à payer) en 6 mensualités 9 égales. - Sans effectuer les calculs, écris l expression donnant la fraction de la somme totale versée juste après la livraison. - Toujours sans effectuer de calcul et en utilisant des parenthèses si nécessaire, écris l expression de ce qu il reste à payer. - Déduis-en l expression d une mensualité. - Calcule à partir de l expression précédente quelle fraction du montant du prix total représente une mensualité. Exercice Noémie a investi un capital à la bourse. Au mois de janvier, elle a perdu un tiers de son capital, mais au mois de février, elle a regagné un quart de ce qui lui restait à la fin du mois de janvier. Explique si Noémie a perdu ou gagné de l argent. Exercice 8 - Effectue le calcul suivant : A = +. - invente un problème dont la résolution peut s effectuer grâce au calcul précédent. Exercice 9 Ali a prêté de l argent à Lindsay. Elle lui rembourse 0 % de son argent le premier mois, les du premier remboursement le deuxième mois et le reste le troisième mois. Quel pourcentage de la somme totale reste-t-il à payer le troisième mois? Cned, Mathématiques e

27 Séquence séance 9 Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement les questions et coche la ou les réponses justes directement sur ton livret. Une fois le test effectué, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses. je m évalue - Le produit de l opposé de par l inverse de est : - Quel est le résultat de : ( ) ( ) + ( )? Calcule A = x + pour x =. - L aire en cm du triangle ABC est égale à : cm cm - Noémie dépense le tiers de son argent en tours de manège et le huitième en bonbons. Elle avait 0 au départ. La somme en euros qu il lui reste est égale à :,0 9 6, - La somme des inverses des nombres entiers différents de 0 supérieurs ou égaux à et inférieurs ou égaux à est égale à : 6- À quoi est égal Pour quelles valeurs de a et de b proposées ci-dessous a-t-on :? a b + =? a = et b = a = et b = a = et b = a = et b = Cned, Mathématiques e

28 séance 9 Séquence 9- La hauteur h est égale à : 9 h 9 0- Le carré du quotient d un nombre relatif par un nombre relatif non nul est-il égal au quotient des carrés? 9 oui non Cned, Mathématiques e

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