Juin 03 - Examen de calcul des probabilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 Ex 6 Page 1/6. X en fonction de G = =

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Vivien Paquette
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1 Jui 3 - Em d clcul ds robbilités E E E 3 E 4 E E Pg / Ercic. Lors d u ju, u jouur l robbilité d ggr u oit t l robbilité q d rdr u oit à chqu ssi ( q ). Si l ju comort ssis idédts, ) détrmir l loi d distributio du ombr G d oits ggés, isi qu so sérc mthémtiqu t so écrt ty. b) détrmir l distributio du scor X du jouur rès voir rimé X foctio d G E ( ) ( ) c) clculr X t vr X. d) si t,, clculr P X Résolutio. ( ) ) L ombr G d oits ggés suit u loi biomil d rmètrs,. Il s suit qu vr ( G) q. ( G) E t b) L scor X du jouur st égl à l différc tr l ombr d oits ggés t l ombr d oits rdus, X G G G. ( ) L vribl X rd ls vlurs tièrs [,] vc l robbilité P ( X ) P G C q si t ' ot s l mêm rité. si t ot l mêm rité. c) Il résult ds roriétés d l sérc mthémtiqu t d l vric qu E ( X ) E( G ) E( G) ( ). ( X ) vr( G ) 4 vr( G) 4q vr d) Comm q 4 ( >), o ut cosidérr qu ( q ) G N,, soit G N( ;4,) Dès lors, P ( X ) P( G ) P ( G ) P ( G 4,) 4, P Z P Z 4, B N (,4), 838

2 Jui 3 - Em d clcul ds robbilités E E E 3 E 4 E E Pg / Ercic. L fbrictio d iècs ds u tlir do liu à u crti ourctg d iècs rbutés. O obsrvé lots d iècs chcu. L ombr d iècs rbutés r lot our distributio obsrvé : NOMBRE DE PIECES REBUTEES PAR LOT NOMBRE DE LOTS Motrr qu l distributio du ombr d iècs rbutés r lot ut êtr risoblmt justé r u loi d α % Poisso ( ) Résolutio. Moy du ombr d iècs rbutés r lot : ( iècs à rbutr our lots) m Clcul ds ffctifs théoriqus vc l loi d Poisso ( ) > 3 4 8!,3!,338!,84 3!,43 4!,4!,4!,4!,44 8!,!,3!,83!,84 K, Hyothès : justmt r u loi d Poisso. Il fllu stimr u rmètr ddl 8 Tst χ χ obs d justmt t i (,43) ( 4 4,3) (,4),43 4,3,4,3 3,38 > 8,4 4,3,4,4 4,,444, 3,,83,84, ( 4,) (,444) (,) (,8),43,8 4,,444,,8,3,343,4,,4,4,,83 χ, L hyothès d justmt r u loi d Poisso ( ) ;, P st doc ccté. O 4 8 i

3 Jui 3 - Em d clcul ds robbilités E E E 3 E 4 E E Pg 3/ Ercic 3. Lors du cotrôl d fbrictio ds hotodiods our cturs d cmér, o msur (tr utrs) l ssibilité itrisèqu (tu d covrsio hoto/élctro multilié r u fctur). Sur u échtillo hustif d hotodiods, o obtu ls résultts suivts our l ssibilité :,8 S c,8 ) Dor l itrvll d cofic our l ssibilité moy sur l oultio vc u risqu d %. b) Combi d hotodiods urit-il fllu msurr our voir u récisio d, vc l mêm risqu d %. O utilisr l échtillo ds comm ré-échtillo. Résolutio ) Sur l échtillo S c,8 α α, 3,,3 z,88 ˆ σ,8 ET( ˆ µ ).,8 ˆ µ,8 Sc ε z *,88.,8,4 IC :,8 µ,3 sf,4 α % b) O vut ε, Doc,8,,88,8K,8 K miimum

4 Jui 3 - Em d clcul ds robbilités E E E 3 E 4 E E Pg 4/ Ercic 4. X st u vribl létoir uiform défii sur ],[ ) Détrmir l foctio d rértitio t l d.d.. d cosx. b) Clculr l sérc mthémtiqu d Résolutio. ) Foctio d rértitio d : F () t P( t) X rt ss vlurs ds,, rd ls sis sur ], ] uisqu X vri ds, t F ( t) t F ( t) < t F ( t) P( < t) P( < cosx t) Si lors Si lors Si < lors rccost.t rccost Pr suit si rccost F () t si si Dsité d robbilité d f () t D F () t Doc ( y) t f y t t P < X rccost P rccost X < rccost rccost P < X P X < < t < si y sio rccost d rccost ],[ b) Esérc mthémtiqu : E ( ) E( X ) rccost cos cosd d uisqu f X ( ) sur sio,

5 Jui 3 - Em d clcul ds robbilités E E E 3 E 4 E E Pg / Ercic. U vribl létoir X st uiform sur,. U vribl létoir st otill d moy ( > ) sur [, [. Cs vribls étt idédts qull st l robbilité our qu y <? Résolutio sur, sio f ( ) X f ( y) f (, y) y sur sio Ω, Χ ], [ O dmd P [ ( X ) < ] P( X < ) ddy vc D Ω { (, y) : y < } y D [, [ y sur, > sio y P (( X < ) d ( ) [ ] y d dy d D y sh sh

6 Jui 3 - Em d clcul ds robbilités E E E 3 E 4 E E Pg / Ercic. Soit du échtillos d di érouvtts chcu. O msur l résistc d cs érouvtts t o détit ls résultts suivts : Echtillo : 3, 3 s 4, c Echtillo : 3, 8 s, c E suost l églité ds vrics, ut-o dmttr, c qui cocr l résistc moy, qu cs du échtillos rovit d l mêm roductio, ds lqull l résistc suit u loi orml, cctt u risqu d rrur d %? Résolutio Il s git d u tst d comriso d moys. Soit l hyothès H µ µ : : µ µ Et l hyothès H (tst biltérl) L écrt ty σ st icou t l till ds échtillos st tit ( ) robbilité d st orml d moy µ. Sous l hyothès l loi d µ t d écrt ty d σ σ H,K. L stimtur o biisé d σ st s c sc sc où s t s sot ls écrts-ty o corrigés ds échtillos. Ett doé qu s,8 t s, 8, s, 38 t s, 333. c c Comm ls échtillos sot tits, l vribl s c d librté. Au risqu α,, ous obtos ds l tbl t,. c suit u loi d Studt-Fishr à ν 8 dgrés, L règl d décisio st cctr rjtr H H ( µ µ ) si tobs <, ( µ µ ) si t, obs 3,3 3,8 Or t obs, s,333 Doc t obs <, t o cct H

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