Cours de mathématiques - Alternance Gea

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1 Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 3 novembre programmation linéaire à deux variables 1.1 Partitionnement du plan Une droite permet de découper un plan en plusieurs parties. Droite non parallèle à l axe des abscisses Si l on considère la droite d équation y = ax + b sur un graphique, on a : Cette droite délimite plusieurs demi-plans : L ensemble des points M(x; y) tels que y > ax + b est le demi-plan ouvert situé au-dessus de la droite (D). L ensemble des points M(x; y) tels que y < ax + b est le demi-plan ouvert situé au-dessus de la droite (D). 1

2 L ensemble des points M(x; y) tels que y ax + b est le demi-plan fermé situé au-dessus de la droite (D). L ensemble des points M(x; y) tels que y ax + b est le demi-plan fermé situé au-dessus de la droite (D). Droite parallèle à l axe des abscisses Si l on considère la droite d équation x = p sur un graphique, on a : Cette droite délimite plusieurs demi-plans : L ensemble des points M(x; y) tels que x > p est le demi-plan ouvert situé à droite de la droite (D). 2

3 L ensemble des points M(x; y) tels que x < p est le demi-plan ouvert situé à gauche de la droite (D). L ensemble des points M(x; y) tels que x p est le demi-plan fermé situé à droite de la droite (D). L ensemble des points M(x; y) tels que x p est le demi-plan fermé situé à gauche de la droite (D). Application Quand on veut représenter dans le plan les solutions de l inéquation 3x 5y 200, on transforme l inégalité pour qu elle soit de l une des 4 formes possibles : y < ax + b ; y < ax + b ; y ax + b ; y ax + b. 3

4 Ici 5y 3x d où y 0, 6x 40. On trace la droite d équation y = 0, 6x 40. L ensemble des points M(x; y) dont les coordonnées vérifient y 0, 6x 40 est le demi-plan fermé situé au dessus de la droite d équation y = 0, 6x 40, droite comprise. 1.2 Résolution d un système d inéquations à deux inconnues Quand on a à représenter graphiquement les solutions d un système d inéquation à deux inconnues, il suffit de construire les droites correspondantes et les demi-plans correspondants, l intersection de tous les demi-plans est la représentation des solutions. Regardons cette méthode sur un exemple : Énoncé : Une usine produit deux modèles de machines, l une que l on appellera modèle A exige 2 kg de matière première et de 30 heures de fabrication et donne un bénéfice de 7 euros. L autre que l on appellera B exige 4 kg de matière première et de 15 heures de fabrication et donne un bénéfice de 6 euros. On dispose de 200 kg de matière première et de 1200 h de travail. Quelle production doit on avoir pour obtenir un bénéfice maximal? Mise en équation : La production dépend de deux paramètres Le nombre de machine de modèle A Le nombre de machine de modèle B On veut déterminer le nombre de machines de chaque modèle afin d obtenir un bénéfice maximal. Soit x le nombre de machines de modèle A à produire Soit y le nombre de machines de modèle B à produire Une première contrainte évidente : x et y sont tout deux positifs et plus exactement ce sont des entiers naturels : x 0 et y 0. Il s agit dans un premier temps de traduire l énoncé en un système : 4

5 Le modèle A exige 2 kg de matière première et de 30 heures de fabrication et donne un bénéfice de 7 euros : x machines de modèle A représente 2x kg de matière première, 30x heures de fabrication et un bénéfice de 7x euros Le modèle B exige 4 kg de matière première et de 15 heures de fabrication et donne un bénéfice de 6 euros : y machines de modèle A représente 4y kg de matière première, 15y heures de fabrication et un bénéfice de 6y euros On dispose de 200 kg de matière première : 2x + 4y 200 On dispose de 1200 h de travail : 30x + 15y 1200 Bénéfice = 7x + 6y Les couples (x, y) d entiers naturels doivent vérifier : x 0 y 0 2x + 4y x + 15y 1200 et doivent rendre maximum le nombre b = 7x+6y. Le système est équivalent à : x 0 y 0 y x y 80 2x Ce dernier système est obtenu en isolant y dans les deux dernières inéquations. Construction du polygone des solutions Il faut d abord déterminer les couples (x, y ) vérifiant le système. La méthode graphique consiste construire les demi-plans correspondant chaque inéquation du système. Chaque demi-plan est délimité par une droite. Les points de coordonnées (x, y) vérifiant l inégalité x 0 sont les points appartenant au demi-plan des abscisses positives, ce demi-plan est délimité par la droite d équation x = 0. Les points de coordonnées (x, y) vérifiant l inégalité y 0 sont les points appartenant au demi-plan des ordonnées positives, ce demi-plan est délimité par la droite d équation y = 0. 5

6 Les points de coordonnées (x, y) vérifiant l inégalité y x/ sont les points appartenant l un des demi-plans délimités par la droite d équation y = x/ Le demi-plan convenable celui qui est au dessous de la droite d équation y = x/ Les points de coordonnées (x, y) vérifiant l inégalité y 2x + 80 sont les points appartenant à l un des demi-plans délimités par la droite d équation y = 2x Le demi-plan convenable celui qui est au dessous de la droite d équation y = 2x On choisit de colorier en gris la partie qui ne convient pas. 1. On trace les droites x = 0, y = 0, y = x/ et y = 2x On veut x 0 3. On veut y 0 6

7 4. On veut y x/ On veut y 2x + 80 La partie qui contient les coordonnées acceptable est l intérieur du polygone. 7

8 Optimisation On a vu que Bénéfice = 7x + 6y. Le bénéfice est fonction de x et y. Si on veut par exemple un bénéfice de 300 euros il faut que x et y vérifient 7x + 6y = 300, c est à dire encore y = (7/6)x + 50, il y a bien sur plusieurs possibilités, en fait plusieurs couple de nombres x et y sont solutions, ce sont les couples de coordonnées (x; y) de points appartenant à la droite d équation y = (7/6)x + 50 À n importe quel bénéfice b correspond une droite D d équation y = (7/6)x + b/6. Toutes les droites tracées ont même coefficient directeur (7/6). L ordonnée à l origine b/6 est variable. Plus haut la droite coupe l axe des ordonnées plus grand est b/6 ( plus grand est donc l ordonnée à l origine). Il s agit donc de déterminer une droite passant par des points du domaine qui coupe l axe des ordonnées le plus haut possible. Il faut déterminer les coordonnées du point d intersection des deux droites, si elles sont entière le bénéfice maximum sera atteint pour x et y trouvés. 8

9 On a donc un bénéfice maximum à l intersection des droites y = x/ et y = 2x On résoud ce système : { y = x/ y = 2x + 80 { 0, 5x + 50 = 80 2x y = 2x + 80 { 1, 5x = 30 y = 2x + 80 { x = 20 y = 2x + 80 = 40 Le bénéfice maximum est donc atteint pour x = 20 et y = 40 il est de : b = 7x + 6y = = 380 euros. 9

10 1.3 Cas général 1. Si les contraintes du programme linéaire sont incompatibles, le polygone des solutions réalisables est vide : le programme linéaire n a alors aucune solution 2. Si le polygone est ouvert vers le haut, un problème de maximisation n a aucune solutions car la droite de référence peut se déplacer indéfiniment vers le haut 3. La solution optimale, si elle existe, se trouve toujours sur un sommet du polygone 4. Si les coordonnées du point S trouvé comme solution ne sont pas entières, il faut alors chercher un point du polygone à coordonnées entières qui soit proche du point S 5. Si la droite de référence est parallèle à l un des côtés du polygone, le problème a une infinité de solutions. Les droites définissant le sommet correspondent à des ressources complètement utilisées, on les appelle ressources rares. Les autres ressources non utlisées complètement sont dites en surabondance. 1.4 Exercices Exercice 1.1 Un artisan fabrique deux articles A et B nécessitant chacun deux opérations : un usinage et un traitement thermique. Le produit A subit un usinage d 1 heure et un traitement thermique de 3h. B subit un usinage de 2h et un traitement thermique de 3h. De plus, 2kg de matière première entrent dans la composition de A et 1kg dans celle de B. La fabrication de B se termine par un travail de finition qui dure 1h. Toutes les 3 semaines, l artisan dispose de l atelier d usinage pendant 80h et du four pendant 150h. De plus, pendant cette période, il ne peut pas consacrer plus de 35h au travail de finition ni stocker plus de 80kg de matière première. Quelles quantités de A et B l artisan doit-il fabriquer pendant cette période si la marge bénéficiaire est de 30 euros pour l article A et de 20 euros pour l article B. 10

11 Exercice 1.2 La société des carrières de VALAY fournit aux Ponts et Chaussées des graviers de différents calibres ; le marché, adjugé pour un prix global, porte sur les quantités suivantes : tonnes de gravier de calibre 1, tonnes de calibre 2 et tonnes de calibre 3. La société VALAY loue deux carrières : P1 au prix de 19,40 euros la tonnes et P2 à 20 euros la tonne. Après extraction, la pierre est pesée puis concassée : chaque carrière fournit, par tonne de pierre pesée, les quantités définies par le tableau suivant (le sable résiduel est sans valeur marchande) : calibre 1 calibre 2 calibre 3 pierres de P1 0, 36t 0, 4t 0, 16t pierres de P2 0, 45t 0, 2t 0, 1t La direction souhaite définir son programme d extraction de pierres de P1 et P2 de façon à minimiser le coût de la location. Donner une solution à ce problème. Exercice 1.3 Dans une cafétéria, on sert 2 sortes de désserts glacés, à base de cocktails exotiques, de glace et de fruits confits : la créole et la tropicale. La créole nécessite 8cl de cocktail exotique, 2dl de glace et 15g de fruits confits. La tropicale nécessite 5cl de cocktail exotique, 2dl de glace et 25g de fruits confits. Chaque jour, l atelier de patisserie peut préparer 1600 cl de cocktail exotique, 520 dl de glace et 5 kg de fruits confits. Une créole est vendue 1,2 euros et une tropicale 1 euro. Maximiser le profit. Exercice 1.4 Un commerçant s est spécialisé dans la fabrication de chaussures en cuir. Il en fabrique deux types : des chausures A cousues main et des chaussures B collées. Son approvisionnement en cuir ne lui permet pas de fabriquer plus de 120 chaussures par semaine. De plus, il ne peut vendre pendant cette période plus de 100 chaussures B et 70 chaussures A. Une paire de chaussures A lui demande 4 heures de travail, et une paire de chaussures B lui demande 1h. Avec ses ouvriers, il dispose de 240h de travail par semaine. Il peut vendre les chaussures A 150 euros et les chaussures B 50 euros. Quelle quantité de chaussures A et B doit-il fabriquer par semaine pour maximiser sa recette? 11

12 2 Solutions des exercices Solution 1.1 On a le tableau suivant : article A article B dispo max usinage 1h 2h 80h traitement thermique 3h 3h 150h matière première 2kg 1kg 80kg finition 1h 35h marge Soit x la quantité d articles A et y la quantité d articles B fabriqués en trois semaines. On s intéresse donc au programme linéaire suivant : maximiser 30x + 20y x 0, y 0 x + 2y 80 3x + 3y 150 2x + y 80 y 35 On trace chacune des droites correspondant aux inégalités : cela délimite un espace de solutions On cherche ensuite à maximiser la fonction 30x + 20y. On trouve la solution sur le sommet d intersection entre les droites y = 80 2x et y = 50 x. On 12

13 en déduit que x = 30 et y = 20. Il faut donc produire 30 pièces de l article A et 20 de l article B. Le bénéfice est alors de 1300 euros. Cette solution utilise complètement les heures disponibles pour le traitement thermique et les kilos de matière première (qui sont donc des ressources rares). En revanche, on n utilise pas toutes les heures d usinage, il reste 10h disponibles. Solution 1.2 Soit x le nombre de tonnes extraites de P1 et y le nombre de tonnes extraites de P2. On a le système de contraintes suivant : x 0 y 0 0, 36x + 0, 45y , 4x + 0, 2y , 16x + 0, 1y 5000 qui est équivalent au sysème x 0 y 0 y , 8x y x y , 6x On a donc le polygone suivant : 13

14 On veut maintenant minimiser la fonction 19, 4x + 20y (tracée en bleu sur le diagramme suivant) 14

15 La solution est donc à l intersaction des droites y = , 6x et y = , 8x. On en déduit que x = et y = Le coût est alors de euros. Solution 1.3 Soit x le nombre de créoles vendues, et y le nombre de tropicales. On a le système suivant : x 0 y 0 8x + 5y 1600 (cocktail exotique) 2x + 2y 520 (glace) 15x + 25y 5000 (fruits confits) et on veut maximiser la fonction 1, 2x + y. Ce système est équivalent à : x 0 y 0 y 320 1, 6x (cocktail exotique) y 260 x (glace) y 200 0, 6x (fruits confits) On obtient le polygone suivant 15

16 La solution est donc le point d intersection des droites y = 320 1, 6x et y = 200 0, 6x. On en déduit que x = 120 et y = 128. Le bénéfice est alors 272 euros. On constate que cette solution n utilise pas toute la glace, il reste alors 24dl de glace. Solution 1.4 Soit x le nombre de paires de chaussures A fabriquées en une semaine, et y le nombre de paires de chaussures B. On a donc le système de contrainte suivant x + y 120 x 70 y 100 4x + y 240 qui est équivalent au système suivant : y 120 x x 70 y 100 y 240 4x et on cherche à maximiser la fonction 150x + 50y. Le système nous donne le polygone de contrainte suivant : 16

17 et on cherche à maximiser la fonction 150x + 50y, c est-à-dire la fonction 3x + y. On déplace la droite de coefficient directeur 3 sur le polygone des contraintes, en essayant de la monter le plus possible. On constate que le dernier point d intersection avec le polygone est le point d intersection des droites y = 120 x et y = 240 4x : On en déduit que x = 40 et y = 80. Il doit donc fabriquer 40 chaussures cousues main et 80 chaussures collées. Il gagnera alors euros. 17

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