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1 Seconde Chapitre 7 : Repérage Page 1 sur 6 I) Repères du plan Définition : On considère un repère orthonormé ( O, i, j ) Si les normes des vecteurs i et j sont égales à 1, on parle de repère normé Si les directions des vecteurs i et j sont perpendiculaires, on parle de repère orthogonal Si le repère est à la fois, normé et orthogonal, on dit qu il est orthonormé. 1) Rappel : coordonnées d un point, d un vecteur Si A x, y et B x ; y O, i, j alors AB a pour coordonnées x x, y y ( ) A A B B B A B A Soient O, i, j un repère, u et v deux vecteurs du plan et un réel λ. ( x y) ( x y ) On note, et ', ' les coordonnées respectives des deux vecteurs. Les coordonnées du vecteur somme u + v sont alors ( x + x', y + y' ). Les coordonnées du vecteur opposé u sont alors ( x, y) Les coordonnées du vecteur différence u v sont alors ( x x', y y '). Les coordonnées du vecteur différence λu sont alors λx, λ y. 2) Vecteurs colinéaires Soient ( O, i, j ) un repère et u, v deux vecteurs non nuls du plan de coordonnées respectives ( x, y) et ( x', y '). Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si x y ' x' y = 0. Si u et v sont colinéaires, alors il existe k R tel que v = ku. x' = kx En coordonnées, ça donne:. y ' = ky On calcule alors x y ' x' y = x ky kx y = kxy kxy = 0. Réciproquement, on suppose que x y ' x' y = 0. x y Si x' et y ' sont non nuls, x y ' x' y = 0 entraine que les rapports et sont égaux. x' y ' x' = kx Notons alors k ce rapport. On a alors et v = ku. Les vecteurs sont colinéaires. y ' = ky Si x' = 0, comme u est non nul, x 0, et x y ' x ' y = 0 entraine que y ' est aussi nul. Ce qui est impossible car v 0. De la même façon, il est impossible que y ' 0. Application : Montrer un alignement ou un parallélisme

2 Seconde Chapitre 7 : Repérage Page 2 sur 6 3) Coordonnées milieu d un segment Soient A x ; y et B x ; y deux points dans un repère O, i, j. ( A A ) ( B B ) xa + xb ya + yb Le milieu I du segment [ AB] a pour coordonnées ;. 2 2 On fait la moyenne des coordonnées. ( x y ) On note ; I I les coordonnées du milieu I du segment [ AB]. xa + xb x 2 I = xi xa = xb xi xi = xa + x B 2 On a AI = IB. En coordonnées, ce la donne: yi ya = yb yi 2yI = ya + yb ya + yb yi = 2 Exercices : Déterminer les coordonnées, d un point par une transformation définie vectoriellement. II) Dans un repère orthonormé Soit ( O, i, j ) un repère orthonormé. Si le vecteur u a pour coordonnées, alors. 2 2 ( α β ) u = α + β On définit le point M tel que OM = u On définit le point A tel que OA = αi. On AM = OM OA = β j Considérons alors le triangle OAM. Comme le repère est normé, OA = α et AM = β. Comme le repère est orthogonal, le triangle OAM est rectangle en A. On finit en utilisant le théorème de Pythagore. Application : Point Méthode «calculs de distances» Application : Résoudre des problèmes de géométrie III) Trigonométrie 1) Cercle trigonométrique a) Angles orientés, sens trigonométrique, différentes unités On appelle angle orienté la donnée d'un couple de deux vecteurs. On note ( u, v ). Remarque : Les angles, et, sont opposés ( u v ) ( v u )

3 Seconde Chapitre 7 : Repérage Page 3 sur 6 Exemple : Notons les 6 angles que l on peut considérer dans ce triangle. On appelle sens trigonométrique le sens inverse des aiguilles d'une montre. L'unité de mesure des angles est le degré. Un angle plat correspond à 180, un angle droit à 90. Remarque : Le degré n'est pas une mesure décimale. A la révolution, on a tenté d'introduire une mesure décimale: le grade. Un angle droit fait ainsi 100 grades, et un angle plat 200 grades. On verra plus tard une autre unité de mesure des angles : le radian. b) Repérage polaire Soit O un point et u un vecteur du plan. On peut repérer tout point M du plan par la donnée de la distance r = OM et de l'angle θ = ( u, OM ). Les données, sont appelées, coordonnées polaire du point M dans le repère polaire O, u. ( r θ ) Remarque : La donnée de l'angle n'est pas unique. On peut ajouter ou soustraire à θ autant de fois que l'on veut 360. On dit que θ est défini "au tour près". Exemple : Donner les coordonnées cartésiennes et polaires des points A, B, C, D, E, F, G et H :

4 Seconde Chapitre 7 : Repérage Page 4 sur 6 c) Longueur d un arc, radians Si A et B sont deux points d'un cercle de centre O et de rayon r, 2π r alors la longueur de l'arc AB est égale à A. 360 Remarque : On peut aussi définir la mesure orientée de l'arc en utilisant la mesure orientée de l'angle. Dans le cas où le rayon du cercle est égal à 1 Soient A et B sont deux points d'un cercle de centre O et de rayon 1, Si A = 0 alors AB = 0. Si A = 180 alors AB = π. Si A = 90 alors π AB =. 2 Si π A = 60 alors AB =. 3 Si 45 alors π A = AB =. 4 Si A 30 alors π = AB =. 6 La mesure, en radian, d'un angle θ est égale à la mesure de l'arc correspondant à cet angle dans un cercle de rayon 1. Remarque: c'est la seule unité de mesure que l'on utilisera en mathématiques à partir de la première S. θ en degrés π π π π 2π 3π 5π θ en radians 0 π 2π ) Sinus et cosinus d un angle On se donne,, un repère orthonormé du plan. ( O u v ) On considère C le cercle de centre O et de rayon 1. Ce cercle est appelé cercle trigonométrique. A tout angle orienté θ, on fait correspondre le point M du cercle tel que ( u, OM ). Ce point M a alors des coordonnées dans le repère O, u, v. ( θ ) ( θ ) Le cosinus de l'angle θ est égal à l'abscisse du point M. On le note cos. Le sinus de l'angle θ est égal à l'ordonnée du point M. On le note sin.

5 Seconde Chapitre 7 : Repérage Page 5 sur 6 Exercice : Tracer un repère avec pour unité 10 cm. Utiliser ce repère pour déterminer des valeurs approchées de Angle en degrés Cosinus Sinus Première constatation : ( θ ) ( θ ) 1 cos 1 et 1 sin 1 3) Trigonométrie dans le triangle rectangle Si ABC est un triangle rectangle en A, AB sin et cos ( OA A = A) = On trace le cercle trigonométrique avec I [ OA] On note M le point d'intersevtion de [ ] avec le cercle. Par définition : sin ( A) = sin ( IOM ) = OK cos ( A) = cos( IOM ) = OH On place H sur [ OI ] de telle sorte que MH soit perpendiculaire à OI. On place K sur [ OJ ] de telle sorte que MK soit perpendiculaire à OJ. MH OH OM D 'après Thales, = =. AB OA OM AB AB OM OA OA Comme OM = 1, MH = = et OH = =. On a bien sin AB et cos ( OA A = MH = A) = OH =. On a donc. Comme 1, on a bien cos OM = ( A) = OH =.

6 Seconde Chapitre 7 : Repérage Page 6 sur 6 JECTIFS du chapitre «Repérage» Connaitre et utiliser les expressions «repère normé», «repère orthogonal», «repère orthonormé». Placer un point de coordonnées données. Lire les coordonnées d un point. Tracer un vecteur de coordonnées données. Lire les coordonnées d un vecteur. Calculer la norme d un vecteur dans un repère orthonormé. Calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé. Calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs. Calculer les coordonnées du produit d un nombre et d un vecteur Résoudre un problème géométrique en utilisant un repère et des coordonnées. Représenter des angles avec le cercle trigonométrique Placer un point grâce à un repérage polaire Déterminer la longueur d un arc Connaitre et utiliser les définitions de sinus et cosinus d un angle dans le cercle trigonométrique. Utiliser le sinus ou le cosinus dans un triangle rectangle pour déterminer des longueurs ou des angles

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