Tests de propagation des ondes 1D 30 juin 2006 Fernando Lopez-Caballero & Arezou Modaressi. 1 Test de propagation des ondes dans un milieux élastique

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1 GEFDYN - Tests de propagation des ondes 1D 1 Version de Gefdyn : Dyn7229-PC Tests associés : Tests de propagation des ondes 1D 3 juin 26 Fernando Lopez-Caballero & Arezou Modaressi inimelbd_q44p dynmelbd_q44p inicelbd_q88p dyncelbd_q88p Modèle élastique linéaire éléments à 4 noeuds - calcul statique monophase Modèle élastique linéaire éléments à 4 noeuds - calcul dynamique monophase Modèle élastique linéaire éléments à 8 noeuds - calcul statique bi-phase Modèle élastique linéaire éléments à 8 noeuds - calcul dynamique bi-phase 1 Test de propagation des ondes dans un milieux élastique Afin d étudier le problème de propagation des ondes unidimensionnelle dans un milieux élastique, nous proposons d étudier la réponse d une colonne de sol sur une base déformable soumise à un chargement sismique (Figure 1). Les paramètres de référence qui vont permettre de valider le modèle sont définis dans ce qui suit. Dans la pratique, il est supposé que la réponse dynamique d un dépôt de sol est principalement provoquée par la propagation verticale des ondes de cisaillement provenant du rocher. Cette hypothèse correspond à la réponse d un dépôt de sol avec des frontières prolongées à l infini dans la direction horizontale (i.e. propagation unidimensionnelle des ondes). D après la solution analytique élastique de ce cas, les fréquences naturelles d un dépôt de sol homogène sont définies comme : w o = π V s (2 n 1) 2H où V s est la vitesse des ondes de cisaillement dans le sol, H est l épaisseur de la couche et n indique la nième fréquence naturelle. Cette valeur représente la fréquence à laquelle la résonance se produit. Dans le cas d un dépôt de sol hétérogène composé de k couches caractérisées par H i et V si, i = 1,... k, afin d identifier sa fréquence fondamentale et les nième fréquences naturelles, on utilise la fonction de transfert. Cette fonction relie le mouvement à la surface du sol au mouvement du rocher. Une fois la fréquence fondamentale identifiée, la période de la vibration ou la période caractéristique du profil est définie comme : (1) T s 4 k i H i V si (2) 1.1 Géométrie On utilise un modèle bidimensionnel en déformations planes. Le profil du sol est composé de 2 éléments. L épaisseur de chaque élément est de 1m et la profondeur totale du profil est de 2m (Figure 1). Le profil de sol se trouve sur un rocher supposé déformable. Dans ce qui concerne la nappe phréatique deux cas ont été étudiés : monophasique et biphasique. Pour le cas bi-phasique, la nappe phréatique se trouve au niveau de la surface de la colonne (i.e. m). Le maillage pour le sol comprend 2 éléments solides 2D de type quadrangle isoparamétrique de 4 à 8 noeuds (NPAR(1)=2) avec 4 points d intégration. Pour simuler le rocher on utilise des éléments paraxiaux (NPAR(1)=8) à 2 noeuds et un élément 2D avec les mêmes propriétés mécaniques. Cet élément permet de faire la transition entre le sol et les paraxiaux. L élément

2 GEFDYN - Tests de propagation des ondes 1D 2 2 m -2 m Bedrock Fig. 1 Maillage utilisé. paraxial utilisé dans cette version est un élément paraxial d ordre, c est-à-dire un amortisseur consistant. Selon le cas étudié, 4 ou 8 noeuds sont utilisés pour les degrés de liberté en pression de chaque élément. Dans ce qui suit, les résultats des calculs sont donnés avec la convention suivante NuMp où N représente le nombre total de noeuds utilisés par élément et M le nombre de noeuds utilisés pour le degré de liberté en pression (e.g. 4u4p, 8u4p et 8u8p). Tous les noeuds (N) sont utilisés pour décrire les déplacements. Le calcul est réalisé en deux phases : d abord un calcul statique pour initialiser les contraintes dans le profil de sol (i.e. contraintes geo-statiques) et puis le calcul dynamique dans lequel on remet les déplacements et les déformations à zéro (MODEX=6). 1.2 Conditions aux limites et chargements Conditions aux limites Pour le calcul statique, les déplacements horizontaux sur les frontières latérales du modèle sont considérés bloqués et l on permet uniquement le déplacement vertical. Les noeuds à la base sont bloqués en déplacement. Dans le cas dynamique, comme le milieu est homogène latéralement et que l on s intéresse seulement à la propagation des ondes d incidence verticale, des conditions imposant les mêmes déplacements dans toutes les directions pour les noeuds des deux extrémités du maillage se trouvant à la même profondeur ont été appliquées (i.e. notion des noeuds équivalents). Pour les conditions au rocher, des éléments paraxiaux permettant de simuler un rocher déformable sont utilisés. Les ondes incidents, définis au rocher affleurant sont introduites à la base du modèle après déconvolution. De cette façon, le mouvement obtenu au niveau du rocher est composé des ondes incidents et du signal réfléchi. Ces éléments paraxiaux sont accompagnés d un élément élastique linéaire de transition avec le sol que l on appelle rocher. Pour les conditions hydrauliques du cas bi-phasique, tous les noeuds ont le degré de liberté en pression libre sauf ceux qui se trouvent à la surface du maillage (i.e. m) afin de simuler la condition de drainage.

3 GEFDYN - Tests de propagation des ondes 1D Chargements mécaniques Un accélérogramme est utilisé pour simuler le chargement sismique (Figure 2). Cette courbe a été multiplié par un facteur afin d obtenir une accélération maximale de.1g. Acceleration [m/s 2 ] Time [s] Fig. 2 Accélérogramme utilisé Propriétés du fluide La masse volumique du fluide interstitiel DENW (ρ w ) est égale à 1kg/m 3 et sa compressibilité COMPRW (H w ) est égale à P a Conditions initiales Dans le calcul statique, le milieu est considéré pesant (MODEL=NPAR(8)=1). Les contraintes initiales sont calculées dans les éléments en fonction de la profondeur en utilisant l option NCOUCH. Dans le cas monophasique la masse volumique totale du matériau ρ t = ρ s (1 n) est utilisée. Par contre dans le cas bi-phasique, on utilise la masse volumique du matériau déjaugé (ρ = (ρ s ρ w ) (1 n)). Dans le calcul dynamique, comme on suppose partir d un état équilibré (IDESEQ=2), le milieu est considéré non pesant (MODEL=NPAR(8)=). 1.4 Paramètres numériques L intégration numérique est effectuée par la méthode de Gauss en utilisant 4 points d intégration par élément. La tolérance sur les déplacements est égale à.1 et la tolérance sur le déséquilibre est égal à.1. L algorithme de Newton modifié est utilisé. Lorsque l analyse est effectuée en dynamique, le schéma d intégration dans le temps utilisé est celui de Newmark implicite avec γ =.6 et β =.37. Le pas de temps ( t) utilisé pour les calculs dynamiques est de.1s. 1. Résultats milieux monophasique Afin de modéliser le comportement du sol, nous utilisons le modèle de comportement élastoplastique de Mohr-Coulomb (MODEL=NPAR(1)=8). Afin de modéliser le rocher, on utilise le modèle élastoplastique de Drucker Prager (MODEL=NPAR(1)=1). Pour assurer le comportement élastique linéaire, des valeurs de cohésion très élevées sont utilisées et l exposant de la loi élastique n el est égal à zéro. Les caractéristiques mécaniques du matériau utilisé sont données dans le tableau 1.

4 GEFDYN - Tests de propagation des ondes 1D 4 Sol Module de Young sous la pression de référence E ref (MP a) Coef. de Poisson ν.3 Exposant de la loi élastique n el. Angle de frottement φ ( o ) 3 Angle de dilatance ψ ( o ) Cohésion C (P a) 1 1 Pression de référence p ref (MP a) 1 Coef.de poussée des terres initial ko. Perméabilité saturée à la porosité initiale k s (m/s) 1 1 Masse volumique ρ s (kg/m 3 ) 18 Porosité initiale n. Rocher Module de Young E (MP a) 231 Coef. de Poisson ν.3 Angle de frottement φ ( o ) 3 Angle de dilatance ψ ( o ) Cohésion C (P a) 1 1 Coef.de poussée des terres initial ko. Perméabilité saturée à la porosité initiale k w (m/s) 1 1 Masse volumique ρ s (kg/m 3 ) 21 Porosité initiale n. Tab. 1 Caractéristiques mécaniques utilisées pour le modèle du sol et du rocher, modèle monophasique Influence du nombre des noeuds par élément L influence du choix de nombre des noeuds par élément sur la réponse du modèle peut être illustrée sur deux aspects, la variation de l accélération dans le temps et les fonctions de transfert surface acceleration [m/s 2 ] bedrock acceleration [m/s 2 ] time [s] (a) time [s] (b) Fig. 3 Effet du nombre de noeuds par élément sur l accélération obtenue au niveau de a) la surface et b) du rocher. Pour ce qui concerne la variation de l accélération avec le temps, si l on compare les réponses obtenues en utilisant des éléments à 4 et à 8 noeuds (i.e. et ) au niveau de la surface et du rocher (Figure 3), on observe que les réponses sont identiques. Maintenant si l on compare les fonctions de transfert obtenues pour les deux cas (Figure 4),

5 GEFDYN - Tests de propagation des ondes 1D on note une légère différence au niveau de la valeur de la fréquence par rapport à la réponse analytique au delà de 1Hz. Cette différence est plus importante pour les éléments à 4 noeuds. 4 3 = m Fig. 4 Fonction de transfert pour le profil de sol étudié, effet du nombre de noeuds par élément Influence des paramètres d intégration de Newmark Les paramètres d intégration γ et β utilisés, peuvent introduire une certaine quantité d atténuation numérique et stabiliser les analyses dynamiques. Afin d estimer cette amortissement numérique les réponses obtenues avec deux ensembles de paramètres d intégration (i.e. γ =.6 β =.37 et γ =. β =.) sont comparées dans la figure. 4 3 = m γ=. β=. γ=.6 β= Fig. Fonction de transfert pour le profil de sol étudié, effet des paramètres d intégration de Newmark. D après cette figure, on constate une atténuation dans la fonction de transfert lorsque l on utilise le premier jeu de paramètres. Cette atténuation peut être assimilé à un amortissement

6 GEFDYN - Tests de propagation des ondes 1D 6 du sol. Dans ce cas, et d après la solution analytique il correspond à un amortissement du sol D =.3% Influence de l épaisseur des éléments du sol Afin de montrer l influence de l épaisseur des éléments du sol sur la réponse du modèle, on utilise deux épaisseurs différentes. et 1m. Dans ce cas des éléments, ont été utilisés. D après la comparaison des fonctions de transfert obtenues dans les deux cas (Figure 6), la diminution de l épaisseur des éléments de sol h, améliore la réponse du modèle jusqu à 14Hz. 4 3 = m h = 1m h =.m Fig. 6 Fonction de transfert pour le profil de sol étudié, effet de l épaisseur des éléments du sol. Ces exemples correspondent à des rapports V s / h de 26 et de 13s 1 respectivement (V s = 13m/s) Influence de l épaisseur de l élément de transition Afin de montrer l influence de l épaisseur de l élément de transition sur la réponse du modèle, on utilise trois épaisseurs différentes. Dans le cas des éléments, on utilise 2, et 1m et dans le cas des éléments, 3, et 1m. Dans la figure 7, on compare les fonctions de transfert obtenues dans les deux cas. D après cette figure la variation de l épaisseur du rocher H bed, améliore la réponse du modèle au niveau des fréquences autour de 12Hz. 1.6 Résultats milieux bi-phasique Afin de modéliser le comportement du sol, nous utilisons le modèle de comportement élastoplastique de Mohr-Coulomb (MODEL=NPAR(1)=8). Afin de modéliser le rocher, on utilise le modèle élastoplastique de Drucker Prager (MODEL=NPAR(1)=1). Pour assurer le comportement élastique linéaire, des valeurs de cohésion très élevées sont utilisées et l exposant de la loi élastique n el est égal à zéro. Les caractéristiques mécaniques du matériau utilisé sont données dans le tableau 2. Les fonctions de transfert obtenues pour les cas avec 4 et 8 noeuds sont montrées dans la figure 8. Comme pour le cas précédent, on note une légère différence au niveau de la valeur de la fréquence par rapport à la réponse analytique au delà de 1Hz pour les éléments à 4 noeuds. Dans ce cas, la réponse avec 8 noeuds est en accord avec la solution analytique.

7 GEFDYN - Tests de propagation des ondes 1D H = 2m bed = m H = 1m bed 4 3 H = 3m bed = m H = 1m bed (a) (b) Fig. 7 Effet de l épaisseur du rocher sur la fonction de transfert a) éléments quand4 et b) éléments quand8. Sol Module de Young sous la pression de référence E ref (MP a) Coef. de Poisson ν.3 Exposant de la loi élastique n el. Angle de frottement φ ( o ) 3 Angle de dilatance ψ ( o ) Cohésion C (P a) 1 1 Pression de référence p ref (MP a) 1 Coef.de poussée des terres initial ko. Perméabilité saturée à la porosité initiale k s (m/s) 1 1 Masse volumique ρ s (kg/m 3 ) 27 Porosité initiale n. Rocher Module de Young E (MP a) 231 Coef. de Poisson ν.3 Angle de frottement φ ( o ) 3 Angle de dilatance ψ ( o ) Cohésion C (P a) 1 1 Coef.de poussée des terres initial ko. Perméabilité saturée à la porosité initiale k w (m/s) 1 1 Masse volumique ρ s (kg/m 3 ) 27 Porosité initiale n.1 Tab. 2 Caractéristiques mécaniques utilisées pour le modèle du sol et du rocher, modèle biphasique.

8 GEFDYN - Tests de propagation des ondes 1D Wet condition = 3m Fig. 8 Fonction de transfert pour le profil de sol étudié, effet du nombre de noeuds par élément, modèle bi-phasique.

9 GEFDYN - Tests de propagation des ondes 1D 9 Références [1] Katona, M. G. and O. C. Zienkiewicz A unified set of single step algorithms Part 3: the Beta-m method, a generalization of the Newmark scheme. International Journal of Numerical Methods in Engineering, 21(7), , 198. [2] Modaressi-Farahmand Razavi, A. Modélisation des milieux poreux sous chargements complexes. Diplôme d Habilitation à Diriger des Recherches, Institut National Polytechnique de Grenoble, Grenoble, France, 23. [3] Modaressi, H. Modélisation numérique de la propagation des ondes dans les milieux poreux anélastiques. Thèse de Docteur, Ecole Centrale Paris, Châtenay Malabry, France, [4] Modaressi, H. and I. Benzenati. Paraxial approximation for poroelastic media. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 13(2), , [] Zienkiewicz, O. C., A. H. C. Chan, M. Pastor, B. A. Schrefler and T. Shiomi. Computational geomechanics with special reference to earthquake engineering. New York: Wiley; 1998.