Problème du flot à coût minimum

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Problème du flot à coût minimum"

Transcription

1 Problème du flot à coût minimum IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO). Optimisation de réseaux e. Flot à coût minimum On a un graphe orienté et connexe chaque arc (i,j), on associe une capacité u ij > 0 et un coût par unité de flot c ij Il y a au moins une source et au moins un puits Tous les autres sont des sommets de transfert On cherche à minimiser le coût total encouru par le transport du flot des sources (sommets d offre) vers les puits (sommets de demande) Modèle de flot à coût minimum x ij = flot sur l arc (i,j) min Σ (i,j) c ij x ij sous les contraintes: Σ (i,j) + (i) x ij - Σ (j, i) - (i) x ji = b i i V 0 x ij u ij (i,j) b i = 0 (transfert), offre (source), -demande (puits) V = ensemble des sommets ; = ensemble des arcs + (i) = ensemble des arcs sortant du sommet i - (i) = ensemble des arcs entrant au sommet i as particuliers Problème de transport (H&L, sec ) Plusieurs sources et plusieurs puits ucun sommet de transfert Uniquement des arcs entre une source et un puits ucune capacité (u ij = ) Problème d affectation (H&L, sec ) as particulier du problème de transport utant de sources que de puits On cherche à affecter chaque source à un seul puits, et viceversa, de façon à minimiser le coût total des affectations On pose b i = +1 (source), -1 (puits) 1

2 as particuliers Problème du plus court chemin Une source et un puits Plusieurs sommets de transfert On pose b i = +1 (source), -1 (puits) ucune capacité (u ij = ) Problème du flot maximum b i = +F (source), -F (puits), où F > somme des capacités jout d un arc entre O et T: c OT = M et u OT = F Puisque c ij = 0 sur tous les autres arcs, une solution optimale consiste à faire passer le maximum de flot entre O et T sans passer par l arc (O,T) Méthode du simplexe réseau Flot à coût minimum : modèle de PL simplexe u lieu d utiliser la méthode du simplexe basée sur l élimination de Gauss-Jordan, on utilisera une adaptation qui effectue les pivots sur le réseau Solution de base : arbre partiel dans le graphe non orienté sous-jacent Pivot Variable d entrée : choisir un arc à l arbre partiel qui contribue le plus par unité à la diminution de l objectif L ajout de cet arc crée un cycle Variable de sortie : choisir l arc du cycle dont l élimination permet de retrouver une solution réalisable 5 6 ontraintes de capacité On traitera les contraintes de capacité comme les contraintes de non négativité Interviennent dans le choix de la variable de sortie, lorsqu on s assure de générer une solution réalisable rc à pleine capacité : pourra être considéré horsbase (à sa borne supérieure) x ij = u ij y ij = u ij x ij = 0 ugmenter la variable hors-base y ij : iminuer le flot sur (i,j), ce qui diminue le coût de c ij ugmenter le flot en sens inverse, sur (j,i), ce qui «augmente» le coût de -c ij rc (i,j) hors-base à pleine capacité : remplacer (i,j) u(s,s 1 ) 0 Solution de base réalisable initiale On peut résoudre un problème de flot maximum sur le réseau suivant : On ajoute une super-source reliée à chacune des sources par un arc de capacité égale à l offre à la source On ajoute un super-puits relié à chacun des puits par un arc de capacité égale à la demande au puits par (j,i) de coût -c S [-0] ij 7 u(s,s ) 0 8 S S 1 [0] u(s,s ) 10 S [10] P 1 P u(p 1, P) 0 P u(p, P) 0

3 Solution de base réalisable initiale Une fois ce problème résolu, on construit une solution de base réalisable initiale (un arbre partiel) : Tous les arcs à flot non nul et inférieur à la capacité sont inclus dans l arbre partiel Si l arbre partiel est incomplet, on ajoute (arbitrairement) des arcs à flot nul ou à pleine capacité Simplexe réseau : résumé 1. Obtenir un arbre partiel initial. ritère d optimalité: si aucun arc à l arbre partiel ne peut faire diminuer la valeur de l objectif, arrêter. hoisir l arc (i,j) pour lequel une augmentation de 1 unité de flot fait le plus diminuer l objectif. Identifier le cycle créé par l ajout de (i,j), ainsi que l arc (p,q) du cycle qui doit être enlevé afin de demeurer dans le domaine réalisable 5. jouter (i,j) et enlever (p,q) pour obtenir un nouvel arbre partiel; retourner à l étape Voir l exemple dans le OR Tutor 10 Simplexe réseau : exemple min Z= x sous les contraintes + x xemple + x + x + x + x + x x + x + x = 50 - x + x = 0 - x - x + x = 0 - x + x - x = -0 - x - x + x = -60 x u =10 x u =80 x ij 0 11 b = c = b = b = (u = 10) 1 b = (u = 80) b = 1

4 min Z= sous les contraintes xemple de solution initiale + x xemple de solution initiale (u = 10) b = x x + x + x = 50 - x = 0 - x - x + x = 0 - x + x - x = -0 x x = 10 u =10 b = + x + x x = 50 x = 0 + x b = x = 50 (u = 80) + x - x x + x - x u =80 + x + x = -60 b = x ij 0 x = 10 b = 1 xemple (suite) Supposons que dans la solution initiale, l arc (,) est à capacité et hors-base On introduit alors l arc (,) de coût (80) 1 1 xemple (suite) rbre partiel initial (le flot est entre parenthèses) xemple (suite) ssai 1: ajout de l arc (,) (0) (50) 1 (80) (50) -θ (80) 1 Z = θ + θ - θ - θ = - 7 θ -θ 15 16

5 xemple (suite) ssai : ajout de l arc (,) -θ (80) 1 -θ xemple (suite) ssai : ajout de l arc (,) (80) 1 Z = - θ + θ + θ -θ- θ = 6 θ Z = + θ + θ = 5 θ xemple (suite) On ajoute donc l arc (,) puisque c est le seul pour lequel l objectif diminue Le cycle formé par l ajout est constitué des arcs (,) : on peut augmenter le flot indéfiniment, puisque sa capacité est infinie (,) : on peut augmenter le flot (50) jusqu à la capacité 80 (,) : on peut diminuer le flot jusqu à 0 (,) : on peut diminuer le flot (0) jusqu à 0 L augmentation maximum sur le cycle est donc 10 : x = 10, x = 60, x = 0, x = 0 xemple (suite) On enlève donc l arc (,) pour obtenir un nouvel arbre partiel 1 (50) (80) (0) (60) 1 0 5

6 xemple (suite) xemple (suite) Lors de la prochaine itération : L arc (,) est ajouté On ajuste les valeurs des flots L arc (,) est enlevé, car il atteint sa capacité On doit donc introduire un arc (,) de coût -1 (0) 10) (10 0) [-80] (0 0) (80) (50) -1 1 (60(60) (0) 80) 1 Lors de la prochaine itération : L arc (,) est ajouté L arc (,) est enlevé, car il atteint sa capacité! On doit donc introduire un arc (,) de coût ()= e pivot correspond à vider le flot sur (,) (0) [-80] (0) (0) (80) -1 xemple (suite et fin) Lors de la prochaine itération, aucun arc ne peut être ajouté de façon à diminuer l objectif : la solution est optimale (0) (0) (80) (0) 1 (0) (0) 6

Exemple d un modèle de PL. 2. Programmation linéaire a. modélisation. Programmation linéaire (PL) Exemple d un modèle de PL (suite)

Exemple d un modèle de PL. 2. Programmation linéaire a. modélisation. Programmation linéaire (PL) Exemple d un modèle de PL (suite) Exemple d un modèle de PL IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO). Programmation linéaire a. modélisation Données du problème (Wyndor Glass, sec..1 H&L): Deux types de produits (produit 1, produit

Plus en détail

4. Programmation en nombres entiers

4. Programmation en nombres entiers IFT575 Modèles de recherche opérationnelle (RO). Programmation en nombres entiers a. Modélisation Terminologie de base Programmation en nombres entiers Programmation linéaire avec certaines variables contraintes

Plus en détail

Programmation linéaire (PL) 2. Programmation linéaire a. Modélisation. Exemple d un modèle de PL. Exemple d un modèle de PL (suite)

Programmation linéaire (PL) 2. Programmation linéaire a. Modélisation. Exemple d un modèle de PL. Exemple d un modèle de PL (suite) Programmation linéaire (PL) IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO). Programmation linéaire a. Modélisation Problème classique de planification : affecter des ressources limitées à plusieurs activités

Plus en détail

M2 MPRO. Optimisation dans les Graphes 2014-2015

M2 MPRO. Optimisation dans les Graphes 2014-2015 M2 MPRO Optimisation dans les Graphes 2014-2015 Programmation linéaire et problèmes d'optimisation dans les graphes 1 Problèmes d'optimisation dans les graphes : quelles méthodes pour les résoudre? Théorie

Plus en détail

Ax = b iff (B + N) x N

Ax = b iff (B + N) x N Chapitre 3 Algorithme du simplexe 3.1 Solution de base admissible P en forme standard. A = (a 1,...,a n ) Hypothèse : n m (plus de variables que d équations) et rg(a)=m (pas d équation inutile). Donc après

Plus en détail

Introduction à la RO

Introduction à la RO 1 Introduction à la RO Problèmes de flots dans les graphes Cédric BENTZ (CNAM) Christophe PICOULEAU (CNAM) 2 Capacité journalière d'un réseau ferroviaire (1/2) Sur le réseau ferroviaire, on a indiqué sur

Plus en détail

Problèmes de transport et transbordement

Problèmes de transport et transbordement Problèmes de transport et transbordement Résolution Hugues Talbot Laboratoire A2SI 9 avril 2009 Plan Introduction Introduction Solution des problèmes de transport Solution de base initiale Le simplexe

Plus en détail

Chapitre 1 : Programmation linéaire

Chapitre 1 : Programmation linéaire Graphes et RO TELECOM Nancy 2A Chapitre 1 : Programmation linéaire J.-F. Scheid 1 I. Introduction 1) Modélisation En Recherche Opérationnelle (RO), modéliser un problème consiste à identifier: les variables

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire NICOD JEAN-MARC Master 2 Informatique Université de Franche-Comté UFR des Sciences et Techniques septembre 2008 NICOD JEAN-MARC Rappels sur les graphes 1 / 47 Sommaire 1 Exemple

Plus en détail

Mathématique pour l informatique Examen durée : 3 heures. Question 1. Mettre ce problème en forme standard en introduisant des variables d écarts.

Mathématique pour l informatique Examen durée : 3 heures. Question 1. Mettre ce problème en forme standard en introduisant des variables d écarts. Mathématique pour l informatique Examen durée : 3 heures. Université de Provence Licence Informatique Année 2001-2002 Exercice 1 (Simplexe : 10 points) On donne le problème de programmation linéaire (P)

Plus en détail

1 Programmation linéaire

1 Programmation linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2012 2013 Master d économie Cours de M. Desgraupes Méthodes Numériques Document 4 : Corrigé des exercices d optimisation linéaire

Plus en détail

Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe

Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe À tout tableau est associée non seulement une base du problème initial (primal) mais également une base du problème dual. Les valeurs des variables

Plus en détail

Programmation par Contraintes. Correctif des quelques exercices.

Programmation par Contraintes. Correctif des quelques exercices. Programmation par Contraintes. Correctif des quelques exercices. Ruslan Sadykov 22 décembre 204 Les règles de Golomb Une règle de Golomb est un ensemble d entiers naturels dans lequel les distances entre

Plus en détail

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre Recherche opérationnelle Programmation linéaire et recherche opérationnelle Ioan Todinca Ioan.Todinca@univ-orleans.fr tél. 0 38 41 7 93 bureau : en bas à gauche Tentative de définition Ensemble de méthodes

Plus en détail

(i) Le nombre de travailleurs commencant leur service est positif ou nul : x i 0 i = 1,...,7

(i) Le nombre de travailleurs commencant leur service est positif ou nul : x i 0 i = 1,...,7 Chapitre 1 Modelisation 11 Exemples de Problèmes 111 La Cafétaria Cafétaria ouverte toute la semaine Statistique sur le personnel requis : Jour Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Dimanche Nombre

Plus en détail

Chapitre 7 Solutions des problèmes

Chapitre 7 Solutions des problèmes Chapitre 7 Solutions des problèmes 1. Modifications à apporter à un réseau. Dans le réseau proposé, la tâche H ne précède pas la tâche F, contrairement à ce qui est spécifié dans le tableau des prédécesseurs

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

Chapitre 4 : Dualité en programmation linéaire

Chapitre 4 : Dualité en programmation linéaire Graphes et RO TELECOM Nancy 2A Chapitre 4 : Dualité en programmation linéaire J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre 1 Introduction et définitions 2 Propriétés et Théorèmes de dualité 3 Conditions d optimalité

Plus en détail

PROGRAMMATION DYNAMIQUE

PROGRAMMATION DYNAMIQUE PROGRAMMATION DYNAMIQUE 1 Le principe d optimalité de Bellman La programmation dynamique est fondée sur le principe d optimalité de Bellman : Soit f une fonction réelle de x et y = (y 1, y 2,..., y n ).

Plus en détail

Résolution de problèmes en intelligence artificielle et optimisation combinatoire : les algorithmes A*

Résolution de problèmes en intelligence artificielle et optimisation combinatoire : les algorithmes A* Résolution de problèmes en intelligence artificielle et optimisation combinatoire : les algorithmes A* Michel Couprie Le 5 avril 2013 Ce document est une courte introduction à la technique dite A*. Pour

Plus en détail

Chapitre 6. Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI. 6.1.1 Approximation de la PLI

Chapitre 6. Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI. 6.1.1 Approximation de la PLI Chapitre 6 Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI (P) problème de PL. On restreint les variables à être entières : on a un problème de PLI (ILP en anglais). On restreint certaines variables à

Plus en détail

CHAPITRE 2 GRAPHES 2.1 LES GRAPHES ET LEURS COMPOSANTES.

CHAPITRE 2 GRAPHES 2.1 LES GRAPHES ET LEURS COMPOSANTES. CHAPITRE 2 GRAPHES 2.1 LES GRAPHES ET LEURS COMPOSANTES. Faire le numéro 5 a)b) de la page 39 du cahier math 3000 Remarque importante : La somme des degrés de tous les sommets d un graphe est toujours

Plus en détail

Optimisation numérique. Outline. Introduction et exemples. Daniele Di Pietro A.A. 2012-2013. 1 Dénitions et notations

Optimisation numérique. Outline. Introduction et exemples. Daniele Di Pietro A.A. 2012-2013. 1 Dénitions et notations Optimisation numérique Introduction et exemples Daniele Di Pietro A.A. 2012-2013 Outline 1 Dénitions et notations 2 Applications Exemples en recherche opérationnelle Exemples en algèbre linéaire Exemples

Plus en détail

1. Question 1 pt Comment s'appelle la société française de recherche opérationnelle?

1. Question 1 pt Comment s'appelle la société française de recherche opérationnelle? CONTRÔLE DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE Le contrôle est noté sur 30. 1. Question 1 pt Comment s'appelle la société française de recherche opérationnelle? 2. Management de projet 2 pts Considérons le projet

Plus en détail

Chapitre 6. Programmation Dynamique. Méthodes P.S.E.P. 6.1 Programmation dynamique. 6.1.1 Exemple introductif

Chapitre 6. Programmation Dynamique. Méthodes P.S.E.P. 6.1 Programmation dynamique. 6.1.1 Exemple introductif Chapitre 6 Programmation Dynamique. Méthodes P.S.E.P. 6.1 Programmation dynamique 6.1.1 Exemple introductif Problème : n matrices M i (m i, m i+1 ) à multiplier en minimisant le nombre de multiplications,

Plus en détail

3. Optimisation de réseaux a. Graphes et réseaux b. Plus courts chemins c. Arbres de poids minimum d. Flot maximum

3. Optimisation de réseaux a. Graphes et réseaux b. Plus courts chemins c. Arbres de poids minimum d. Flot maximum IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 3. Optimisation de réseaux a. Graphes et réseaux b. Plus courts chemins c. Arbres de poids minimum d. Flot maximum Graphe orienté Exemple : réseau de distribution

Plus en détail

Chapitre 4 Solutions des problèmes

Chapitre 4 Solutions des problèmes Chapitre 4 Solutions des problèmes 1. Résolution d'un modèle PLTE à deux variables. (a) La région issible de la relaxation continue ( ) est le polygone ABC représenté à la figure cidessous. La solution

Plus en détail

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Section d Informatique et de Systèmes de Communication

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Section d Informatique et de Systèmes de Communication ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Section d Informatique et de Systèmes de Communication Corrigé de la série 9 3 Juin 2005 1. Augmenter les poids a) Soit T l ensemble de tous les arbres couvrants

Plus en détail

Heuristique et métaheuristique. 8. Optimisation combinatoire et métaheuristiques. Optimisation combinatoire. Problème du voyageur de commerce

Heuristique et métaheuristique. 8. Optimisation combinatoire et métaheuristiques. Optimisation combinatoire. Problème du voyageur de commerce Heuristique et métaheuristique IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 8. Optimisation combinatoire et métaheuristiques Un algorithme heuristique permet d identifier au moins une solution réalisable

Plus en détail

Feuille 1 : Autour du problème SAT

Feuille 1 : Autour du problème SAT Master-2 d Informatique 2014 2015 Complexit Algorithmique Applique. Feuille 1 : Autour du problème SAT 1 Rappels sur SAT Énoncé du problème. Le problème SAT (ou le problème de Satisfaisabilité) est le

Plus en détail

Utilisation des Structures Combinatoires pour le Test Statistique. Contexte. Plan. Le test de logiciel. Les structures combinatoires décomposables

Utilisation des Structures Combinatoires pour le Test Statistique. Contexte. Plan. Le test de logiciel. Les structures combinatoires décomposables Utilisation des Structures Combinatoires pour le Test Statistique Sandrine-Dominique GOURAUD Équipe Programmation et Génie Logiciel, L.R.I. Co-encadrants: M.-C. Gaudel et A. Denise Plan Contexte Structures

Plus en détail

Algorithme du simplexe

Algorithme du simplexe Algorithme du simplexe Une solution à la programmation linéaire Hugues Talbot Laboratoire A2SI 18 mars 2008 Plan Algèbre linéaire Algorithme du simplexe Formulation et forme standard Notations Recherche

Plus en détail

Exercices de Programmation Linéaire Modélisation

Exercices de Programmation Linéaire Modélisation Modélisation exercice 1 : On veut préparer 500 litres de punch à partir de cinq boissons A, B, C, D et E. Le punch doit comporter au moins 20% de jus d orange, 10% de jus de pamplemousse et 5% de jus de

Plus en détail

Le problème des multiplications matricielles enchaînées peut être énoncé comme suit : étant

Le problème des multiplications matricielles enchaînées peut être énoncé comme suit : étant Licence informatique - L Année 0/0 Conception d algorithmes et applications (LI) COURS Résumé. Dans cette cinquième séance, nous continuons l exploration des algorithmes de type Programmation Dynamique.

Plus en détail

SOLUTIONS ENVISAGÉES. (i) La comparaison économique des solutions montre que la solution 2 entraîne des pertes électriques de 873,7 M$.

SOLUTIONS ENVISAGÉES. (i) La comparaison économique des solutions montre que la solution 2 entraîne des pertes électriques de 873,7 M$. Page 1 de 8 DEMANDE DE RENSEIGNEMENTS N O 1 DE LA RÉGIE DE L ÉNERGIE (LA RÉGIE) AU TRANSPORTEUR RELATIVE AU PROJET À 735 KV DE LA CHAMOUCHOUANE BOUT-DE-L ÎLE, SOLUTIONS ENVISAGÉES 1. Références : (i) Pièce

Plus en détail

Réseaux de transports

Réseaux de transports Réseaux de transports Marie-Pierre Béal Université Paris-Est Marne-la-Vallée. L3 Informatique Bibliographie V. Chávtal. Linear Programming, W.H. Freeman, 1983. Exemple de problèmes de transport Example

Plus en détail

Les Méthodes de Gestion de stock

Les Méthodes de Gestion de stock Les Méthodes de Gestion de stock Les méthodes de gestion de stock sont les premières méthodes de gestion scientifique des approvisionnements. Elles ont pour origine les travaux de Harris (1915) qui ont

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 2

Programmation Linéaire - Cours 2 Programmation Linéaire - Cours 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Sommaire 1 2 3 Retournons dans le yaourt! Reprenons l exemple du 1er cours Forme normale

Plus en détail

MAP-SIM2 : Planification de trajectoire

MAP-SIM2 : Planification de trajectoire MP-SIM : Planification de trajectoire sujet proposé par Nicolas Kielbasiewicz : nicolas.kielbasiewicz@ensta-paristech.fr 0 janvier 06 La planification de trajectoire consiste à déterminer une trajectoire,

Plus en détail

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009.

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009. Licence de Gestion. 3ème Année Année universitaire 8-9 Optimisation Appliquée C. Léonard Correction de l épreuve intermédiaire de mai 9. Exercice 1 Avec les notations du cours démontrer que la solution

Plus en détail

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 2. Programmation linéaire b. Méthode du simplexe c. Dualité d. Analyse de sensibilité

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 2. Programmation linéaire b. Méthode du simplexe c. Dualité d. Analyse de sensibilité IFT575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 2. Programmation linéaire b. Méthode du simplee c. Dualité d. Analyse de sensibilité Interprétation des variables d écart Dans la solution optimale du problème

Plus en détail

Chapitre 5. Les modèles de transport

Chapitre 5. Les modèles de transport Chapitre 5. Les modèles de transport 1. Structure d'un fichier : Un exemple Le module «Transportation» de STORM permet de traiter les problèmes de transport. On utilisera un exemple tiré de La recherche

Plus en détail

INFO-F-310 (MATH-H404) Algorithmique et Recherche Opérationnelle. Prof. Yves De Smet (co-titulaire Prof. Bernard Fortz)

INFO-F-310 (MATH-H404) Algorithmique et Recherche Opérationnelle. Prof. Yves De Smet (co-titulaire Prof. Bernard Fortz) INFO-F-310 (MATH-H404) Algorithmique et Recherche Opérationnelle Prof. Yves De Smet (co-titulaire Prof. Bernard Fortz) Terminologie Recherche Opérationnelle Méthodes quantitatives de gestion Mathématiques

Plus en détail

Chapitre 4 Automates à pile et langages hors-contexte

Chapitre 4 Automates à pile et langages hors-contexte Chapitre 4 Automates à pile et langages hors-contexte 87 Introduction Langage a n b n n est pas accepté par un automate fini. Par contre L k = {a n b n n k} est accepté. Mémoire finie, mémoire infinie,

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

Table des Matières. Satisfaisabilité en logique propositionnelle ES pour les problèmes d optimisation Élagage à l aide d heuristiques Le Labyrinthe

Table des Matières. Satisfaisabilité en logique propositionnelle ES pour les problèmes d optimisation Élagage à l aide d heuristiques Le Labyrinthe Table des Matières Essais Successifs (ES) 1 Rappels : Fonctions et Ordres de grandeurs 2 Diviser pour Régner 3 Approches Gloutonnes 4 Programmation Dynamique 5 Essais Successifs (ES) Le problème des n

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

Modèle dual. Programmation linéaire (dualité et analyse de sensibilité) Dualité : exemple Wyndor Glass. Modèle dual (suite)

Modèle dual. Programmation linéaire (dualité et analyse de sensibilité) Dualité : exemple Wyndor Glass. Modèle dual (suite) Modèle dual Modèles de recherche opérationnelle (RO Programmation linéaire (dualité et analyse de sensibilité Variables de décision : y i = prix ($/h pour louer du temps à l usine i Dual Glass cherche

Plus en détail

www.almohandiss.com Recherche opérationnelle EXERCICES DE Serveur d'exercices 1/16

www.almohandiss.com Recherche opérationnelle EXERCICES DE Serveur d'exercices 1/16 EXERCICES DE RECHERCHE OPERATIONNELLE Serveur d'exercices 1/16 EXERCICE 1. Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : Vincent Isoz (isozv@hotmail.com Mots-clés : recherche opérationnelle Enoncé : Supposons qu'une

Plus en détail

Problèmes de transport

Problèmes de transport Problèmes de transport formulation des problèmes d affectation Hugues Talbot Laboratoire A2SI 31 mars 2009 Problèmes de Transport Introduction Distribution Théorie Équilibrage Modélisation Plan Solution

Plus en détail

Introduction à la programmation en variables entières Cours 3

Introduction à la programmation en variables entières Cours 3 Introduction à la programmation en variables entières Cours 3 F. Clautiaux francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 272 Sommaire Notion d heuristique Les algorithmes gloutons

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2016

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2016 Exercice 1 Commun à tous les candidats Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 216 4 points Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des

Plus en détail

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

ALGORITHME DE DIJKSTRA

ALGORITHME DE DIJKSTRA Auteur : Marie-Laurence Brivezac ALGORITHME DE DIJKSTRA TI-83 Premium CE Mots-clés : graphes, matrices, algorithme, programmation. Fichiers associés : dijkstra_eleve.pdf, DIJKSTRA.8xp, MINL.8xp, [C].8xm,

Plus en détail

Chapitre 8 : Flots dans les réseaux

Chapitre 8 : Flots dans les réseaux Chapitre 8 : Flots dans les réseaux Algorithmique de graphes Sup Galilée-INFO2 Sylvie Borne 2011-2012 Chapitre 8 : Flots dans les réseaux - 1/57 1 Flot réalisable Plan 2 Le problème du flot maximum Exemple

Plus en détail

3- Les Réseaux de Petri

3- Les Réseaux de Petri http://www.tn.refer.org/hebergement/cours/sys_disc/notions_de_base_rdp.html Page 1 sur 7 3- Les Réseaux de Petri Plan Accueil Contact 3-1 Notions de Base 3-2 RdP Particuliers 3-3 Propriétés 3-4 Graphe

Plus en détail

Prof.É.D.Taillard. Classification automatique @Prof. E. Taillard 1 EIVD, Informatique logiciel, 4 e semestre

Prof.É.D.Taillard. Classification automatique @Prof. E. Taillard 1 EIVD, Informatique logiciel, 4 e semestre INFORMATIQUE ORIENTATION LOGICIELS CLASSIFICATION AUTOMATIQUE Prof.É.D.Taillard Classification automatique @Prof. E. Taillard EIVD, Informatique logiciel, 4 e semestre CLASSIFICATION AUTOMATIQUE But :

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51 Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes Polytech Paris-UPMC - p. /5 Rappels mathématiques s Propriétés - p. 2/5 Rappels mathématiques Soit à résoudre le système linéaire Ax = b. Rappels mathématiques

Plus en détail

1 Contrôle des connaissances 2010/2011

1 Contrôle des connaissances 2010/2011 1 Contrôle des connaissances 2010/2011 Remarque préliminaire On s attachera dans la rédaction à être aussi précis que possible. Ainsi, lors de l écriture de chaque problème d optimisation et de chaque

Plus en détail

Sujet 4 : Programmation en Nombres Entiers

Sujet 4 : Programmation en Nombres Entiers Sujet 4 : Programmation en Nombres Entiers MSE3113: Outils et logiciels pour l optimisation Andrew J. Miller Dernière mise au jour: November 23, 2011 Dans ce sujet... 1 Planification du réseau de distribution

Plus en détail

Excel Outils avancés [sv]

Excel Outils avancés [sv] Excel Outils avancés [sv] K. Zampieri, Version 14 octobre 2013 Table des matières 1 Le Solveur / sv00mcours1 3 1.1 Installation du Solveur............................ 3 1.2 Exemple : Utilisation du Solveur.......................

Plus en détail

OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES

OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES Sommaire 1. Optimisation entre des bornes... 1 2. Exercice... 4 3. Optimisation sous contrainte à variables multiples... 5 Suite à une planification de la production, supposons

Plus en détail

Cours 2 6 octobre. 2.1 Maximum de vraisemblance pour une loi Gaussienne multivariée

Cours 2 6 octobre. 2.1 Maximum de vraisemblance pour une loi Gaussienne multivariée Introduction aux modèles graphiques 2010/2011 Cours 2 6 octobre Enseignant: Francis Bach Scribe: Nicolas Cheifetz, Issam El Alaoui 2.1 Maximum de vraisemblance pour une loi Gaussienne multivariée Soit

Plus en détail

Placements de tours sur les diagrammes de permutations

Placements de tours sur les diagrammes de permutations Placements de tours sur les diagrammes de permutations 5 août 0 Résumé Le problème des placements de tours consiste à compter le nombre de manières de placer k tours sur un échiquier sans que les tours

Plus en détail

Outils et Logiciels d Optimisation - Cours 2

Outils et Logiciels d Optimisation - Cours 2 Outils et Logiciels d Optimisation - Cours 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 256 Format propriétaire de CPLEX Assez peu utilisé par les autres logiciels

Plus en détail

Réseaux causaux possibilistes pour le traitement des interventions

Réseaux causaux possibilistes pour le traitement des interventions Les modèles graphiques probabilistes Réseaux causaux possibilistes pour le traitement des interventions Salem ENFERHT CRIL, Lens benferhat@cril.univ-artois.fr Outils importants pour la représentation et

Plus en détail

Statistique pour la bio-informatique Séance 9-10 - Decembre 2003 Chaînes de Markov cachées. 1 Chaînes de Markov cachées et applications

Statistique pour la bio-informatique Séance 9-10 - Decembre 2003 Chaînes de Markov cachées. 1 Chaînes de Markov cachées et applications Statistique pour la bio-informatique Séance 9-10 - Decembre 2003 Chaînes de Markov cachées 1 Chaînes de Markov cachées et applications Les modèles à données latentes (ou manquantes ou cachées) constituent

Plus en détail

Sujet 3: Modèles de la planification stratègique : Autres applications

Sujet 3: Modèles de la planification stratègique : Autres applications Sujet 3: Modèles de la planification stratègique : Autres applications MSE3312: Planification de production et gestion des opérations Andrew J. Miller Dernière mise à jour: October 11, 2010 Dans ce sujet...

Plus en détail

Dessin de Graphes. Romain Bourqui. Maître de Conférences romain.bourqui@labri.fr

Dessin de Graphes. Romain Bourqui. Maître de Conférences romain.bourqui@labri.fr Dessin de Graphes Romain Bourqui Maître de Conférences romain.bourqui@labri.fr Dessin de Graphes Plan Introduction Dessin de graphes planaires Dessin hiérarchique Dessin par analogie physique Dessin de

Plus en détail

4. Programmation en nombres entiers

4. Programmation en nombres entiers IFT575 Modèles de recherche opérationnelle (RO). Programmation en nombres entiers b. Séparation et évaluation progressive c. Plans de coupes Résolution de modèles entiers Programmation en nombres entiers

Plus en détail

Chapitre 7. Problèmes de flots. 7.1 Exemple. 7.2 Notions de base sur les graphes

Chapitre 7. Problèmes de flots. 7.1 Exemple. 7.2 Notions de base sur les graphes Chapitre 7 Problèmes de flots. 7.1 Exemple. Un réseau electrique est formé de lignes reliant des noeuds (transformateurs, centre de redistributions,...), chaque ligne a une capacité de transport maximale.

Plus en détail

Physique-appliquée U-32

Physique-appliquée U-32 CE3P Session 2004 BEVET de TECHNICIEN SUPÉIEU CONTÔLE INDUSTIEL et ÉGULTION UTOMTIQUE SCIENCES PHYSIQUES Physique-appliquée U-32 Durée : 2 heures Coefficient : 2,5 = = = = = = = = = = = = = = vant de composer,

Plus en détail

Notes de cours de spé maths en Terminale ES

Notes de cours de spé maths en Terminale ES Spé maths Terminale ES Lycée Georges Imbert 05/06 Notes de cours de spé maths en Terminale ES O. Lader Table des matières Recherche de courbes sous contraintes, matrices. Systèmes linéaires.......................................

Plus en détail

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 2. Programmation linéaire a. Modélisation

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 2. Programmation linéaire a. Modélisation IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 2. Programmation linéaire a. Modélisation Programmation linéaire (PL) Problème classique de planification : affecter des ressources limitées à plusieurs

Plus en détail

Solutions optimales multiples. 3D.1 Unicité de la solution optimale du modèle (FRB)

Solutions optimales multiples. 3D.1 Unicité de la solution optimale du modèle (FRB) 3D Solutions optimales multiples 3D.1 Unicité de la solution optimale du modèle (FRB) Le modèle (FRB) admet une solution optimale unique. En effet (voir page 182), l'algorithme du simplexe se termine par

Plus en détail

Optimisation linéaire

Optimisation linéaire Optimisation linéaire Recherche opérationnelle GC-SIE Algorithme du simplexe Phase I 1 Introduction Algorithme du simplexe : Soit x 0 une solution de base admissible Comment déterminer x 0? Comment déterminer

Plus en détail

Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Arts & Métiers Filière PSI

Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Arts & Métiers Filière PSI Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Arts & Métiers Filière PSI Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, texte d exercice diffusé en 2012 Épreuve de modélisation, option informatique

Agrégation externe de mathématiques, texte d exercice diffusé en 2012 Épreuve de modélisation, option informatique Agrégation externe de mathématiques, texte d exercice diffusé en 2012 Épreuve de modélisation, option informatique Résumé : A partir du problème de la représentation des droites sur un écran d ordinateur,

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires creux par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires creux par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires creux par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Stockage des matrices creuses Dans de nombreuses simulations numériques, la discrétisation du problème aboutit à

Plus en détail

Fiche méthodologique Les pièges dans les dénombrements

Fiche méthodologique Les pièges dans les dénombrements Fiche méthodologique Les pièges dans les dénombrements BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Dans cette fiche, on résume quelques points techniques sur les dénombrements et la théorie des probabilités.

Plus en détail

Problème du voyageur de commerce par algorithme génétique

Problème du voyageur de commerce par algorithme génétique Problème du voyageur de commerce par algorithme génétique 1 Problème du voyageur de commerce Le problème du voyageur de commerce, consiste en la recherche d un trajet minimal permettant à un voyageur de

Plus en détail

Programmation objet en Java.

Programmation objet en Java. Programmation objet en Java. Didier Rémy 2001-2002 http://cristal.inria.fr/ remy/mot/7/ http://www.enseignement.polytechnique.fr/profs/informatique/didier.remy/mot/7/ Cours Exercices Slide 1 1. Classes,

Plus en détail

Statistique. Jean-Yves Tourneret (1) (1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA Thème 1 : Analyse et Synthèse de l Information jyt@n7.

Statistique. Jean-Yves Tourneret (1) (1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA Thème 1 : Analyse et Synthèse de l Information jyt@n7. Statistique Jean-Yves Tourneret (1) (1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA Thème 1 : Analyse et Synthèse de l Information jyt@n7.fr Cours Statistique, 2010 p. 1/52 Plan du cours Chapitre 1 : Estimation

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Plus courts et plus longs chemins

Plus courts et plus longs chemins Plus courts et plus longs chemins Complément au chapitre 8 «Une voiture nous attend» Soit I={1,2,,n} un ensemble de tâches à ordonnancer. La durée d exécution de chaque tâche i est connue et égale à p

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Recherche opérationnelle

Recherche opérationnelle Université dulittoral Côte d Opale Master 2 en Sciences Economiques et de Gestion Recherche opérationnelle Daniel DE WOLF Dunkerque, Septembre 2006 Table des matières 1 Laprogrammation linéaire. 7 1.1

Plus en détail

Algorithmique P2. Optimisation d'un algorithme de tri 2009-2010, Ulg R.Dumont

Algorithmique P2. Optimisation d'un algorithme de tri 2009-2010, Ulg R.Dumont Algorithmique P2 Optimisation d'un algorithme de tri 2009-2010, Ulg R.Dumont Sources supplémentaires Cours Algorithms and Data Structures in Java, Patrick Prosser, 2000, Glasgow University Algorithmique

Plus en détail

Méthodes d Optimisation

Méthodes d Optimisation Méthodes d Optimisation Licence Professionnelle Logistique Université du Littoral - Côte d Opale, Pôle Lamartine Laurent SMOCH (smoch@lmpa.univ-littoral.fr) Septembre 2011 Laboratoire de Mathématiques

Plus en détail

Mathématiques Pour l Informatique I : Théorie des Ensembles et Relations. Serge Iovleff

Mathématiques Pour l Informatique I : Théorie des Ensembles et Relations. Serge Iovleff Mathématiques Pour l Informatique I : Théorie des Ensembles et Relations Serge Iovleff 13 septembre 2004 Quelques références Ma Page http ://www.iut-info.univ-lille1.fr/ iovleff Un Cours réalisé par des

Plus en détail

SIMDI - Presse à injecter

SIMDI - Presse à injecter SIMDI PRESSE - Simulateur de Presse à injecter - Document de l animateur SIMDI - Presse à injecter «Les élèves apprennent à réaliser un plan d expériences portant sur de nombreux facteurs» Fonctionnalités

Plus en détail

Algorithmes pour les graphes

Algorithmes pour les graphes Algorithmes pour les graphes 1 Définitions Un graphe est représenté par : V : L ensemble des noeuds ou sommets. E : L ensemble des arcs ou arrêtes. E est un sous-ensemble de V xv. On note G = (V, E). Si

Plus en détail

1/4 2/4 3/4 4/4. 10. Estimation MTH2302D. S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016. (v1) MTH2302D: estimation 1/50

1/4 2/4 3/4 4/4. 10. Estimation MTH2302D. S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016. (v1) MTH2302D: estimation 1/50 10. Estimation MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016 (v1) MTH2302D: estimation 1/50 Plan 1. Introduction 2. Estimation ponctuelle 3. Estimation par intervalles de confiance 4. Autres

Plus en détail

Schéma de Bernoulli Loi binomiale

Schéma de Bernoulli Loi binomiale Schéma de Bernoulli Loi binomiale I) Epreuve et loi de Bernoulli 1) Définition On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre, toute expérience aléatoire admettant deux issues exactement : L une appelée

Plus en détail

Chapitre II LES MONOPOLES NATURELS

Chapitre II LES MONOPOLES NATURELS Chapitre II LES MONOPOLES NATURELS 1) Rappels sur le monopole i) Hypothèses et notations Définition : Une entreprise est en position de monopole si elle est seule à fournir le marché d un bien pour lequel

Plus en détail

Deuxième partie II ALGORITHMES DANS LES GRAPHES

Deuxième partie II ALGORITHMES DANS LES GRAPHES Deuxième partie II ALGORITHMES DANS LES GRAPHES Représentation des graphes Représentation en mémoire : matrice d incidence / Matrice d incidence Soit G = (, E) graphe simple non orienté avec n = et m =

Plus en détail

UNIVERSITE SAAD DAHLAB DE BLIDA

UNIVERSITE SAAD DAHLAB DE BLIDA Chapitre 5 :. Introduction aux méthodes par séparation et évaluation Les méthodes arborescentes ( Branch and Bound Methods ) sont des méthodes exactes d'optimisation qui pratiquent une énumération intelligente

Plus en détail

TD : Microéconomie de l incertain. Emmanuel Duguet

TD : Microéconomie de l incertain. Emmanuel Duguet TD : Microéconomie de l incertain Emmanuel Duguet 2013-2014 Sommaire 1 Les loteries 2 2 Production en univers incertain 4 3 Prime de risque 6 3.1 Prime de risque et utilité CRRA.................. 6 3.2

Plus en détail

action de A sur B => B influencé par A : des charges - apparaissent sur la partie de B proche de A et des charges + sur la partie la plus éloignée.

action de A sur B => B influencé par A : des charges - apparaissent sur la partie de B proche de A et des charges + sur la partie la plus éloignée. ère partie hapitre VI Filière SMI Module Physique II Elément : Electricité ours Prof. R.Tadili Influence électrostatique et condensateurs I. Phénomène d influence I. Influence subie par un conducteur isolé

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail