Programme des exercices. Fractions rationnelles. Espaces vectoriels. 1 Définition et exemples. 1.1 Définition. 1.2 Produits d espaces vectoriels

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1 Lycée Berthollet MPSI Programme de colle de la semaine 19 (du 4 au 8 mars 2019) Programme des exercices Fractions rationnelles Pratique de la DES. Mutilplication-évaluation : la seule méthode de décomposition explicitement au programme est celle consistant à déterminer le ou les coefficients d un élément simple comportant un polynôme irréductible P à la puissance maximale α en mulipliant l égalité par P α puis en évaluant en une racine de P. On soustrait alors l élément simple déterminé à l égalité et on recommence. J ai distribué un document dans lequel figurent plusieurs autres méthodes, mais nous ne les avons pas pratiquées d une part par manque de temps et d autre part car le programme insiste sur le fait d éviter toute virtuosité dans ce domaine. Décomposition de P P P pour P 0 à l aide du morphisme dérivée logarithmique P P de (K[X] \ {0}, ) dans (K(X),+). Espaces vectoriels Soit K {R,C}. 1 Définition et exemples 1.1 Définition Définition d un K-espace vectoriel E. Premières propriétés : λu = 0 E (λ = 0 K ou u = 0 E ), ( 1)u = u. Exemples : R 2, R 3, {0}, R, R 4, R n, C e.v. sur C et sur R, de même pour C 2 et C n, K[X], K(X). 1.2 Produits d espaces vectoriels Produit de deux e.v., d un nombre fini d e.v., d une famille quelconque d e.v., cas particulier où les facteurs du produit sont identiques : espace E I, où I est un ensemble quelconque. Exemples : espace K N des suites d éléments de K, espace R I des fonctions définies sur un intervalle I de R. Espace vectoriel M n,p (K)(= K [[1,n]] [[1,p]] ) des matrices n p à coefficients dans K. Extension culturelle : l espace vectoriel {0,1} X sur le corps a deux éléments et transport de la structure pour obtenir l espace vectoriel (P (E),, ) où 0 A = /0 et 1 A = A.

2 2 Combinaisons linéaires Combinaisons linéaires d une famille finie, d une famille quelconque avec une famille de coefficients presque nulle (notation K (I) ). Remarque que K (I) est lui-même un K-e.v. Cas particulier de la combinaison linéaire vide, qui est nulle. 3 Sous-espaces vectoriels 3.1 Définition et caractérisation Définition : partie F de E stable par + et par la multiplication par les scalaires et qui, munie des loi induites, est un e.v. Caractérisation 1 : F est stable par combinaisons linéaires quelconques (la combinaison linéaire vide étant nulle, 0 F). Caractérisation 2 : F est non vide, et stable par + et par la multiplication par les scalaires. Caractérisation 3 : F est non vide et, pour tous λ K et u,v F, λu + v F. Exemples : {0}, E, Quelles sont les droites de R 2 et R 3 qui sont des sous-espaces vectoriels? les plans de R 3 qui en sont? Autres exemples : sous-espaces de K N des suites vérifiant une récurrence linéaire homogène d ordre 2, solutions d une équation différentielle linéaire homogène, solutions d un système linéaire homogène. Si ces équations possèdent un second membre non-nul, l ensemble des solutions n est plus stable par CL. Sous-espaces P et I de R R des fonctions paires et impaires, matrices symétriques (S) et antisymétriques (A) dans M n (K). Sous-espace K n [X] de K[X]. Sous-espace K (I) de K I. Sous-espace des fonctions continues (resp. dérivables, de classe C k ) dans R I. Est-ce que { f : I R f (x 0 ) = λ} est un ss-e.v. de R I? 3.2 Intersections de sous-espaces vectoriels Toute intersection de sous-e.v. de E est un sous-e.v. de E (l intersection de zéro sous-espaces est E). Définition de Vect(X) (resp. Vect(x i ) i I ) sous-e.v. engendré par une partie X (resp. une famille (x i ) i I ) de E comme intersection des ssev de E contenant X (resp. tous les x i ). C est aussi le plus petit sous-espace vectoriel qui contienne X (resp. tous les x i ). C est aussi l ensemble des CL d éléments de X (resp. des x i ), avec la convention que la combinaison linéaire vide vaut 0 pour le cas X = /0. Propriétés de base : X Vect(X), croissance pour, si F est un sous-e.v., Vect(F) = F. Exemples : droites vectorielles de R 2 et R 3, plan vectoriel de R 3, souse.v. engendré par trois vecteurs explicites de R 3, Vect(1,X,X 2,...,X n ) = K n [X]. Dans K N, définition de e i = (δ i,n ) n N ; qu est Vect(e i ) i N? Vect(X n ) n N = K[X], qu est Vect(X n ) n n0? 4 Familles de vecteurs 4.1 Familles génératrices Définition d une partie (resp. famille) génératrice de E (Vect = E), exemples dans R 3 et parmi les exemples précédents (on voit apparaître en particulier les bases canoniques de K n, K n [X], M 3,2 (K)), espace des solutions d une EDL2H, d un système linéaire homogène, d une récurence linéaire d ordre 2. Toute sur-famille d une famille génératrice est génératrice. 2

3 4.2 Familles libres Idée de vecteurs inutiles dans une famille génératrice (ceux qui sont CL des autres), qui mène à la définition habituelle des familles et parties libres (toute CL nulle a forcément tous ses coefficient nuls). Vocabulaire : vecteurs linéairement indépendants, famille liée. Expression formelle de la négation de la définition précédente). Exemples : vecteurs explicites de R 3. Une famille à un vecteur est libre ssi ce vecteur est non nul. Une famille de deux vecteurs est libre ssi ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Dans R 3, une famille de trois vecteurs est libre ssi ces vecteurs ne sont pas coplanaires. Toute famille de vecteurs non nuls de K n échelonnée (au sens où la matrice obtenue en les écrivant en lignes est échelonnée par lignes), toute famille (finie ou non) de K[X] échelonnée en degré (0 d P 0 < d P 1 <... < d P k ) est libre (et plus généralement toute famille de polynômes de degrés deux-à-deux distincts en se ramenant au cas échelonné par réordonnancement), les bases canoniques (qui ne sont pas encore des bases!) de K n, de K n [X] et de M n,p (K) sont libres, la famille (cos,sin,exp) de R R est libre Toute sous-famille d une famille libre est libre. 4.3 Bases et coordonnées Définition d une base de E (libre et génératrice). Exemple : base canonique de K 3. Caractérisation d une base : tout vecteur s écrit de manière unique comme CL de cette famille. Définition de la famille des coordonnées d un vecteur u dans une base e. Pour une base finie, représentation sous forme de matrice colonne Mat e (u). Pour un e.v. produit fini ou de la forme K (I), notion de base canonique. Bases canoniques de K n, K n [X] et M n,p (K)., de K[X]. Autres exemples de bases dans R 2 et R 3. 3

4 Programme des questions de cours 5 Somme de sous-espaces vectoriels 5.1 Somme de deux sous-espaces Somme de deux sous-e.v. : définition de la somme de F et G (les vecteurs de F + G sont ceux qui se décomposent comme somme d un vecteur de F et d un vecteur de G), c est un souse.v. de E, définition d une somme directe (pour tout vecteur de la somme, la décomposition précédente est unique). Caractérisation : une somme de deux sous-e.v. est directe ssi F G = /0. Notation F G. Exemples dans R 3, cas des fonctions paires et impaires dans R R, des matrices symétriques et antisymétriques dans M n (K). Sous-espaces supplémentaires, exemples, K[X] = Vect(X 2k ) k N Vect(X 2k+1 ) k N, R R = P I, M n (R) = S A. 5.2 Somme d un nombre fini de sous-espaces Somme d un nombre fini de sous-espaces. Somme directe d un nombre fini de sous-espaces (la somme F F p est directe si la décomposition de tout vecteur de F F p sous la forme x x p avec, pour tout i, x i F i est unique. Caractérisation par l unicité de la décomposition du vecteur nul. 5.3 Bases adaptées Si F est un ssev de E, une base de E adaptée à F est une base de E (u i ) i J K telle que (u i ) i J soit une base de F. p Si E = F k et, pour tout k [[1, p]], (u i ) i Ik est une base de F k, alors (u i ) p i k=1 I est une base k k=1 de E, dite adaptée à cette décomposition en somme directe. Exemple des sous-ev des matrices symétriques et des matrices antisymétriques dans M 3 (K). Inversement, si (u i ) i p k=1 I k est une base de E, alors les F k = Vect(u i ) i Ik sont en somme directe. 6 Complément sur les familles Une famille de E est une base ssi elle est libre maximale ssi elle est génératrice minimale. Espaces vectoriels de dimension finie 1 Deux lemmes-clés Lemme A : Dans un espace vectoriel quelconque, soient (x i ) i K une famille génératrice et (x i ) i I une sous-famille libre (I K). Alors de deux choses l une : soit (x i ) i I est une base de 4

5 E, soit il existe i 0 K \ I tel que (x i ) i I {i0 } soit libre. Lemme B : Dans un espace engendré par n vecteurs, toute famille de n + 1 vecteurs est liée. 2 Espaces de dimension finie Définition : existence d une partie génératrice finie. À l aide des lemmes-clés, on démontre alors : Version forte du théorème de la base incomplète que j ai aussi appelé théorème de la base intermédiaire : si (x i ) n i=1 est génératrice finie et (x i) i I, avec I [[1,n]], est libre, alors il existe un ensemble I J [[1,n]] tel que (x i ) i J soit une base; Le théorème de la base extraite : en dimension finie, on peut extraire une base de E de toute famille génératrice de E ; Le théorème de la base incomplète : en dimension finie, on peut compléter toute famille libre de E en une base de E ; Existence de bases : tout espace de dimension finie possède une base. 3 Dimension 3.1 Définition de la dimension Une conséquance facile du lemme B est le Théorème de la dimension : toutes les bases d un e.v. E de dimension finie ont le même cardinal, appelé dimension de E. En dimension n, toute famille libre a au plus n vecteurs et toute famille génératrice en a au moins n. En dimension n, une famille de n vecteurs est une base ssi elle est libre ssi elle est génératrice. 3.2 Exemples Dimensions des espaces K n, K n [X], M n,p (K), de l espace des suites vérifiant une récurrence linéaire homogène d ordre 2, de l espace des solutions d une équation différentielle linéaire homogène d ordre 1 ou 2 (rappel : le programme se restreint au cas des coefficients constants pour ce dernier cas). Dimension d un produit fini d espaces vectoriels de dimension finie (par exhibition d une base). 4 Rang d une famille finie de vecteurs Le rang d une famille finie de vecteurs est la dimension du sous-e.v. qu ils engendrent. Un famille de p vecteurs est libre ssi elle est de rang p. Calcul pratique du rang par manipulations des colonnes de la matrice des coordonnées de ces vecteurs dans une base donnée à l aide des quatre faits suivants : si l on ajoute à un des vecteurs de la famille une CL des autres, cela ne change pas le sous-espace engendré, de même si l on multiplie l un des vecteurs par une constante non nulle, si l on change l ordre des vecteurs de 5

6 la famille ou si l on supprime un vecteur de cette famille lorsqu il est nul. Application de ces remarques : méthode du pivot. 5 Sous-espaces et dimension On se place ici dans un espace vectoriel E de dimension finie n. Un sous-espace F de E est de dimension finie p n. De plus, p = n ssi F = E. Tout sous-espace F de E possède un supplémentaire G. Existence de bases adaptées à la décomposition en somme directe E = F G. Si F G E, alors dim(f G) = dimf + dimg. Conséquences : tous les supplémentaires de F ont la même dimension ; F et G sont supplémentaires ssi leur intersection est {0} et dimf + dimg = n. Formule de Grassmann pour la somme non forcément directe de deux sous-espaces de E. Existence de bases adaptées à une décomposition de E en somme directe de k sous-espaces. Dans E, la dimension d une somme directe (finie) est la somme des dimensions des sousespaces. La dimension d une somme (finie) de sous-espaces de E est inférieure ou égale à la somme des dimensions et il y a égalité ssi cette somme est directe. La formule générale de Grassmann est hors programme, mais je la leur ai donnée pour leur culture... Toutes les définitions et tous les énoncés sont exigibles. Démonstrations de cours exigibles Une famille de E est une base ssi elle est libre maximale; Lemme A; Lemme B; Base et dimension d un produit fini d e.v. de dimension finie. 6