LES SCHEMAS DE MODULES DE COURBES ELLIPTIQUES. par P. Deligne et M. Rapoport

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1 LES SCHEMAS DE MODULES DE COURBES ELLIPTIQUES (1). (2) ar P. Delige et M. Raoort (1) Research o this aer was artially suorted by NSF grat GP 36418X. (2) Le deuxieme auteur ese que les activites olitiques de l'otan sot icomatibles avec l'activite acifique du mathematicie et regrette our cette raiso que ce cogres a ete artiellemet fiace ar cette orgaisatio. Iteratioal Summer School o Modular Fuctios Atwer 1972

2 DeRa SOMMAlRE Itroductio Notatios I. Prelimiaires II. l. Schemas e courbes 2. Dualite e cohomologie des faisceaux coherets 3. Raeis sur Ie focteur de Picard 4. Sous-schema de o lissite 5. Raeis sur la theorie des deformatios 6. Poits de divisio des courbes ellitiques 7. Raeis d'algebre commutative 8. Schemas grossiers de modules Courbes ellitiques geeralisees 1. Polygoes de Nero 2. Courbes stables irreductibles 3. Costructio de courbes ellitiques geeralisees III. Theoremes de reresetabilite IV. O. Itroductio et otatios 1. U theoreme de roreresetabilite 2. Costr~ctio de ~* Structures de iveau l. Cotractios 2. Structures de iveau 3. Structures de iveau H 4. Exemles 5. Theorie trascedate (raels) 6. Structures de iveau H ; etude a I' ifii V. Reductio modulo l. Etude de lto() 2. Etude de fl'r-oo( 3. U theoreme de boe reductio 4. Etude de lr'

3 -145- DeRa-3 VI. Sthemas grossiers de modules L'ivariat modulaire 2. Automcrhismes des courbes ellitiques. Critere our que 3. Poits ratioels des schemas grossiers 4. Remarques umeriques 5. L'actio de Galois sur les oites 6. Etude de lito H VII. La ccurbe de Tate 1. Costructio de la courbe de Tate sur 7l[[qJJ Alicatio structure a l'ifii de 156 l1'1l 3. Alicatio develoemet d'ue forme modulaire e serie de Fourier Comaraiso avec la theorie trascedate 168 Bibliograhie 172

4 DeRa Itroductio 1. Soit X Ie demi-la de Poicare X {z E I Im(z) > 01 Le groue SL(2, lr) agit sur X ar trasformatios homograhiques az+b z H- cz+d Si est u sous-groue de SL(2,~) defii ar des coditios de cogruece, la surface de Riema x/r est Ie comlemet d'u esemble fii de oits ("a l'ifii") das ue surface de Riema comacte. C'est doe ue courbe algebrique. Ses oits sot e corresodace bijective avec les classes d'isomorhie de courbes ellitiques muies d'ue "structure de iveau" d'esece coveable. O sait qu'il resulte de cette iterretatio qu'elle admet our cors de defiitio u sous-cors d'u cors cyclotomique. Das cet article, ous etudios la structure a l'ifii et la reductio modulo de xl, Cocetros-ous sur Ie cas ou r est Ie sous-groue de SL(2,~) forme des matrices cogruesmodulo a la matrice idetite. Suosos que ~ 3, auquel cas, agit sur X sas oit fixe. Pour z E X, otos E z Ie quotiet de ar Ie reseau ~ + ~z. La loi d'additio das asse au quotiet et muit E z d'ue structure de courbe ellitique (= variete abeliee de dimesio u). Les courbes ellitiques E et z E z ' sot isomorhes si et seulemet si z et z' sot cojugues sous SL(2,~) Le oyau E(z) de la multilicatio ar das E(z) est 1 'image de.!.( ~ +~z); ous oteros a( z) l'isomorhisme (a+bz)/ ~ (a,b)

5 -147- DeRa-5 Pour que les coules (E(z),o(z)) et (E(z'),a(z')) soiet isomorhes, i1 faut et il suffit que z et z' soiet cojugues sous Pour toute courbe ellitique E sur u cors algebriquemet clos k de caracteristique e divisat ar, Ie groue E est mui d'ue forme alter ee O degeeree e a valeurs das les racies iemes de 1'uite de k. Ue structure de iveau sur E est u isomorhisme Si 0 est ue structure de iveau, ous oteros C(o) la racie rimitive ieme de l'uite Faisos k; (J;, et osos U coule (E,a) est isomorhe a u coule (E(z),a(z)) (z E X) si et seulemet si (ou, scio la covetio de sige utilisee das la defiitio de e 2. Ce qui recede se ge ralise aux families de courbes ellitiques, aram - tr es ar u sch ma S O trouve que xll reresete Ie tocteur F su~vat sur les schemas sur (J; F(T) est l'esemble des classes d'isomorhie de families algebriques rametrees ar T de courbes ellitiques E muies d'ue structure de iveau telle que C(a) = C La defiitio de F(T) garde u ses lorsque Test seulemet suose Hre u schema sur LZ[C, lj Igusa a rouve das [llj que Ie focteur F obteu est reresetable ar u schema M~[l/J sur LZ[C,l/J. La methode d'igusa est la suivate.

6 -148- DeRa-6 a) Si M~[l/J existe, alors M~m[l/mJ existe. Si E est ue courbe ellitique sur u cors algebriquemet clos, la multilicatio ar m iduit u isomorhisme de E /E avec E ; ue structure de iveau m: a m m E ~ (?l/m)2 defiit m aisi ar reductio modulo ue structure de iveau. Ceci se trasose au cas d'u schema de base quelcoque et defiit u morhisme de focteurs F... F m Ce morhisme est relativemet reresetable. II fait de M~m[l/m] u galoisie o ramifie de groue Ker(SL(2,?l/m) ~ SL(2,?li») de Morl/ml rr J?l[( ] ( desige ue extesio des scalaires). - -?ll" m b) Si M~m[l/mJ existe, M~[l/m] existe. O obtiet M~[l/m] ar u assage au quotiet. c) M 3 [1/3] et M [1/4] existet. Exlicitemet, o a 4 avec our courbe ellitique uiverselle la cubique lae d'equatio 3\.1 XYZ La sectio eutre est (1,-1,0) et la base du groue des Oits d'ordre 3 est «-1,0,1), (-1'(3,0) E iveau 4, o a 4-1 Sec(?l[i,l/2,a, (a(a -1) ]) Ou o a ose i = (4 avec our courbe ellitique uiverselle la cubique lae d'equatio o homogee, our ~ =i (a + 1/a)2 La sectio eut~e est Ie oit a l'ifii, et la base (r,s) du groue des oits

7 -149- DeRa-7 d'ordre 4 est doee ar r = s = Les formules ci-dessus our M [1/4] sot coiees de Shioda [31]. Igusa 4 utilisait O as M [1/4] mais Ie schema de modules des courbes ellitiques muies 4 d'ue structure itermediaire etre ue structure de iveau 4 et ue de iveau 2. d) M~[l/] s'obtiet e recollat M~[1/3J et M~[1/4J 3. La surface de Riema x/r est o comacte. Geometriquemet, ce fait se traduit comme suit: si E est ue courbe ellitique muie d'ue structure de oi T1 veau sur ~(T)), il arrive que Ie modele miimal de E sur ~[[rj] ait Y'f mauvaise reductio. Das ce cas, la fibre seciale E I" du modele de Nero o E sur ~[[r]j est isomorhe a ~*x~/k our k coveahle. Soit E Ie sous- T1 0 groue de E' o reuio des comosates de Ce sous-groue est isomorhe a ~* X7L./ E' o dot l'ordre das Il resete sur E' o (E') TI o 0 E' divise de l'avatage suivat: ares extesio des scalaires de ~((r)) a ~((rl/t)),ie ombre de comosates coexes de E~ est multilie ar t, tadis que E o e chage as. o La forme alteree e defiit ar secialisatio ue forme alteree, ecore otee e ' sur satio (E ) o La structure a de iveau defiit ar seciali- (E) ::; ( ~/ ) 2 o Cette discussio suggere que les oits a l'ifii Je X/~ corres~odt

8 -100- DeRa-8 aux classes d'isomorhisme de systemes (Eo,e,a ) comme ci-dessus. Tel est bie Ie cas. Das Ie texte, ous recisos cette iterretatio modulaire de l'esemble des oits a l'ifii de x/r e ue iterretatio modulaire de la courbe rojective x/r- comactifiee de x/r. E voici Ie ricie. Pour E 11 sur a:«t» comme lus haut, la fibre seciale du modele miimal E' de E sur a:[[t]] est u cycle de k droites rojectives : o 11 Soit E deduit de E' e cotractat e u oit les comosates irreductibles de dot l'ordre e divise as. La fibre seciale E o de E est u cycle de droites rojectives se couat trasversalemet, et est ue comactificatio de E o (EO s'idetifie au lieu lisse E~eg de Eo) fiisset ue loi de groue sur Ie lieu lisse Par secialisatio, + et a de- de E o, ue actio de sur Eo et u isomorhisme Soit T u schema de tye fii sur a:. Isires ar les remarques cidessus, ous defiissos ue courbe ellitique geeralisee muie d'ue structure a de iveau,telle que C(a) = C,sur T comme cosistat e : a) u morhisme rore et lat E... T b) ue structure de schema e groues commutatif sur l'ouvert E reg de E OU P est lisse; o suose que l'additio se rologe e ue actio

9 -151- DeRa-9 c) u isomorhisme de schemas e groues. O suose que les fibres geometriques de sot soit des courbes ellitiques muies d'ue structure de iveau telle que C(o) = C ' soit sot isomorhes a l'u des systemes (Eo'Oo) costruits ci-dessus. Nous rouvos que la courbe x/r- reresete Ie focteur F suivat sur les schemas de tye fii sur ~ F(T) est l'esemble des classes d'isomorhie de courbes ellitiques geeralisees E sur T,muie d'ue structure 0 de iveau telle que C(o) = C Pour redre viable la defiitio des courbes ellitiques geeralisees, ous faisos u usage itesif de techiques de Grothedieck (theoremes de chagemet de base (EGA III) et de dualite ([lol) e cohomologie des faisceaux coherets). Ces techiques fourisset u moye systematique our rameer des eoces relatifs, cocerat des schemas sur u schema de base S, au cas ou S est Ie sectre d'u cors algebriquemet clos. Pour rouver que Ie focteur F est reresetable, ous utilisos Ie critere geeral de M. Arti [3J. La verificatio des hyotheses de ce critere resete Ie Oit delicat suivat. La doee b) das la defiitio d'ue courbe ellitique geeralisee est u morhisme de schemas sur T + : E reg X T E ~ E, dot l'u (E reg X E) 'est as ecessairemet rore sur T. Ceci ous cotrait a rouver T la roreresetabilite effective de F ar ue voie detouree, Ie theoreme d'existece de Grothedieck 'etat as directemet alicable. Les chaitres II, III et Ie l de IV cotieet les outils requis our surmoter ces difficultes. Ci-dessus, ous avos travaille sur ~ Das Ie texte, ous travail Ios sur ~ rojective et lisse sur Ou ~[C J ~[C,!1 ' x/r s'e deduise ar extesio des scalaires a ~, selo Ie cas, et obteos ue courbe M,/l/l, solutio d'u robleme de module, et telle que

10 DeRa-lO -1S2-4. Parler de la "reductio mod de X/i-II resuose Ie choix d'u modele M de x/r- sur ~[C J. La defiitio de M doee das Ie texte equivaut a la suivate : M est Ie ormalise, das Ie cors des foctios de M~[I/J,de la droite de (la droite rojective sur ~[C J, das laquelle M s'evoye ar l'alicatio "ivariat modulaire de la courbe ellitique uiverselie"). Soit ecore M~ la courbe affie d'aeau de coordoees Ie ormalise de ~[CJ[jJ das l'aeau des coordoees de M~. O motre das Ie texte que et W[l/] Nous rouvos les resultats suivats a) La courbe modulaire M est rojective sur ~[Cl et lisse e dehors d'u esemble fii de oits de MO, les oits suersiguliers de caracteristique divisat b) II existe ue famille fiie de Oits M (= des sectios du morhisme de schema M '" Sec( ~[CJ», telles que bl) les sectios f i sot disjoites (= les oits f i sot icogruets modulo tout ideal remier de M~ est Ie comlemet das M de la reuio des "sectios a l'ifii" Soit u ideal remier de ~[CJ, divisat Ie facteur remier de Nous determios l'esemble des como3ates irreductibles de la reductio de M modulo Pour decrire Ie resultat, ous suoseros que est Ie roduit de = deux etiers ~ 3 remiers etre eux, ' et ". Sous cette hyothese, M!l/'l est Ie ormalise das M~[l/] du schema M,[l/';, dot Ous coaissos ue iterretatio modulaire. Les images reciroques sur M~rl/'l et M~[l/"l des

11 -153- DeRa-ll courbes ellitiques uiverselles sur M~,[1/'} et M~II[I/"l se recollet et fourisset ue courbe ellitique uiversel1e E. La structure de iveau (l : sur se rologe e u morhisme de schema e groues sur MO -1 a La comosate -rimaire de -1 a. est u morhisme Les oits suersigu1iers de caracteristique de M (i) f\ est ul. Les comosates irreductib1es de 1a reductio de e corresodace biuivoque avec 1es sous-groues cyc1iques d'ordre (les oits de A C ( 71./k) 2 1 k lp (71./» :, Ie oyau de sot ceux e 1esque1s aux oits o suersiguliers de 1a comosate d'idice S() est A. Nous rouvos que ces comosates irreductib1es sot uibraches, et que deux que1coques a'etre el1es se recouet e tous 1es oits suersigu1iers. M Les comosates irreductib1es de 1a reductio de M modulo. ete determiees ar Pjateckii-Shairo (voir so article das ce volume). avaiet II travaille ma1heureusemet avec PGL(2) 1utOt qu'avec GL(2),de sorte que ses resu1tats sot lus embrouilles que 1es Otres. Sous 1a hyothese sur que ci-dessus, l'u de Ous (P. Delige) a recemmet rouve que ces comosates irreductibles sot e fait lisses, et que M est u schema regulier. Pour etudier M,1a remiere etae est de recouvrir ar des ouverts ayat ue iterretatio modulaire l'ouvert de M obteu e Otat les oits suersiguliers de caracteristique divisat. O y arrive e etudiat Ie schema \ de modules qui classifie les courbes ellitiques muies d'u isomorhisme

12 DeRa a E ~ ~ x~/. Ve iterretatio modulaire ermet a) de determier 1 'esemble des oits de M sur u cors algebriquemet clos; b) de rouver la lissite de M~ sur ~[CJ. 11 reste, et c'est Ie Oit Ie lus delicat, a etudier les oits suersiguliers est sas doute ossible d'etudier la structure a l'ifii de M ar voie rigide-aalytique, a l'aide de la theorie de la courbe de Tate, sas doer au realable de l'ifii ue descritio modulaire. Ve telle aroche risque m~me d'~tre la seule raticable das l'etude a l'ifii de schemas de modules de dimesio suerieure. Elle ous a souvet servi de guide heuristique (voir ci-dessous). Toutefois, our ~tre redue recise, elle requiert des relimiaires rigides-aalytiques dot ous avos voulu ous diseser. Ceci exlique que la courbe de Tate 'aaraisse que das l'ultime chaitre VII. ~ous l'utilisos our deduire des rorietes a distace fiie des M et de leur reductio modulo des resultats sur Ie develoemet des formes modulires e serie de Fourier. Nous rouvos otammet les resultats suivats. L'algebre graduee des formes modulaires sur x/r dot Ie develoemet a toutes les oites est a coefficiets das ~[Cl est ue algebre de tye fii sur Si I'ideal remier ~ de ~[CJ e divise as,et qu'e ue Oite Ie develoemet e serie de Fourier d'ue forme modulaire ~ sur x/r est a coefficiets das Q[CJ a les m~mes rorietes. et -etier =, Ie develoemet de ~ aux autres oites O doe aussi des idicatios fragmetaires sur Ie cas ou divise...

13 -155- DeRa vats. Notre usage heuristique de la courbe de Tate reose sur les ricies suia) A l'aide de la courbe de Tate, o eut devier ou demotrer ce qui se asse au voisiage de l'ifii. b) E dehors des oits suersiguliers, la situatio est artout la m~me, et e articulier la m~me qu'au voisiage de l'ifii. Aces ricies s'ajoute Ie suivat. c) Geometriquemet, ie.ares extesio des scalaires (ou du cors residuel) a F la situatio est la aux divers oits suersiguliers de caracteristique La theorie locale (formelle) de M au voisiage des oits geometriques corresodat a ue courbe ellitique E sur Fest gouveree ar Ie groue -divisible D ( U E, soit essetiellemet ar Ie groue formel comlete de E a l'origie. Ceci resulte du theoreme de Serre-Tate selo lequel E et ce groue -divisible ot m~me theorie des deformatios. Les ricies b) et c) e resultet, car ce groue -divisible e deed, a isomorhisme res, que du caractere ordiaire Ou suersigulier de E 7. Soiet H ue algebre de quaterios idefiie, de discrimiat D sur ~ et 6 u sous-groue de cogruece du groue des uites de H. Le groue 6 est u sous-groue discret a quotiet comact de SL(2, R) La courbe comlete X/6 arametrise des varietes abeliees de dimesio 2,A muies d 'u homomorhisme d 'u ordre de H das Ed(A) (des "fausses courbes ellitiques", das la termiologie de Serre). Nos methodes s'aliquet a l'etude de X/6 et de sa reductio mod, our autat que soit remier a D Les remarques suivates ermettet m~me des theoremes sur la structure locale de X/6 de deduire de theoremes our M

14 -150- DeRa-1lf d) Soiet u ordre de H, avec 19 ~ 7Z =: GL(2, 7Z ), et e u idemotet o ~ P P trivial de ~ ~ 7Z 7Z Si A est u schema abelie de dimesio 2 sur u cors a1- gebriquemet clos k de caracteristique,mui de ~:19 ~ Ed(A) Ie comlete agit sur Ie groue -divisible D (A) = UA Le schema abelie A,mui de ~,et Ie groue -divisible theorie des deformatios., et D A)=e.D (A)$(I-e)D (A). ed (A),ot e) Ie groue -divisible ed (A) our E ue courbe ellitique soit ordiaire, soit suersiguliere. est isomorhe a D (E) La reductio modulo de X/6 a ete etudiee ~ar Morita. II obtiet aussi des resultats das Ie cas bie lus difficile ou ld 8. Das la litterature des schemas de modules, Ie lagage des Foudatios de Weil est arfois utilise. Selo qu'o utilise ce lagage, OU celui de Grothedieck, o met l'accet sur l'ue des deux visios suivates de ce qu'est u schema X sur u cors de ombres K a) C'est u schema X,mui d'u morhisme X ~ Sec(K). Cette visio est celie qui domie os otatios. b) C'est u schema X sur la cloture algebrique K de K,qui est defii sur K. Cette visio trasaratt das la techique de demostratio qui cosiste a rameer u eoce relatif a u S-schema X a u eoce relatif a ses fibres geometriques X s ' obteue ar extesio des scalaires de S a u cors algebriqueret clos k(~) La "restrictio des scalaires a la Grothedieck" de K a Gl red u asect tres differet selo la visio adotee. a) Au K-schema X o associe Ie Gl-schema defii ar X et l~ morhisme comose x ~ Sec(K) ~ Sec(Gl). O e Ie distigue as de X das la otatio. U schema est d'abord u Gl-schema; si c'est u K-schema, il est mui d'u ~-morhisme X ~ Sec(K) b) Soit I l'esemble des logemets de K das lq. Pour 0 E I,osos

15 -157- DeRa-15 x~ = X 'i?i ~ " K, CJ K-schema aaratt comme. O a 2: Xc. Le ~-schema deduit comme e a) d'u CJEI la somme disjoite des cojugues de x cette somme etat e outre defiie sur ~ Le ~-morhisme X ~ SecCK) s'iterrete comme l'alicatio de cette somme das l'esemble d'idices I = SecCK) ~~ ~ Pour MO[l/],la situatio est la suivate : Ie schema MO[l/] rere sete Ie focteur des classes d'isomorhie de courbes ellitiques E/T,muies d'u isomorhisme 0. E...::+ C71.1)2. U tel coule ieme forme alteree e ) ue racie rimitive CE,o.) defiit (ar la theorie de la de l'uite,co.) sur T,d'ou u morhisme de schemas CE,o.) lot 'Co.) Vu comme 1 71.[,,-] - schema, avec 'Co.) = ' classifie les CE,o.)/T T u O a tadis que, si l'o ose X± a: - JR x± X GLC2, 71.1) I GLC2, 71.) est somme de ~() coies de Xli 9. Ue courbe ellitique sur u cors algebriquemet clos k a u ou des automorhismes o triviaux. Ceci exclut que Ie focteur qui a u schema T associe 1 'esemble des classes d'isomorh~de courbes ellitiques E sur T soit reresetable: ce 'est as u faisceau. O eut y obvier de deux maieres. a) Systematiquemet imoser des structures de iveau additioelles, qui elimiet ces automorhismes. C'est ce que ous avos fait das cette itroductio.

16 DeRa b) Emloyer Ie lagage des chams algebriques, our lequel ous revoyos a [8] et [17]. C'est ce que ous faisos das Ie texte, our les raisos suivates. 1. Imoser ue structure de iveau additioelle modifie Ie comortemet a l'ifii des objets etudies (M se ramifie sur M Ie log de l'ifii). m 2. Les calculs et demostratios devieet lus simles lorsqu'o 'a as a se reoccuer de structures additioelles imortues. Au chaitre VI, ous deduisos de os resultats sur les chams modulaires des resultat~ sur les schemas grossiers de modules (= COarse modular schemes), habituellemet cosideres. 10. Nous revoyos a la table des matieres et aux itroductios des divers chaitres our ue descritio lus recise de leur coteu. Nous remercios N. Katz de l'aide qu'il ous a aortee.

17 -159- DeRa-17 Notatios Le travail est divis~ e chaitres; chaque chaitre est divis~ e aragrahes. Les refereces iteres a u meme chaltre e metioet as Ie umero de ce chaitre. Nous utiliseros libremet les d~flitios et otatios de la theorie des chams alg~briques telles qu'elles sot exos~es das [8] 4. Toutefois, cotrairemet a la termiologie de loc. cit., u morhisme de cat~gories fibrees e grouoydes sera dit reresetable si our chaque morhisme x: X ~ ~2 d'u schema X vers th 2, Ie roduit fibr~ ~l 1 X 2 est u esace alg~brique. U sch~ma e groues G sur u schema S est arfois aele u S-groue. Le sous-schema e groues, oyau de la multilicatio ar das G,est ote G Soit X u S-schema. Si T est u S-schema, ous oteros ar X T Ie roduit fibre X X s T Si S = Sec(A) et T = Sec(B), X B ou X ~A B ot la meme sigificatio. Pour E:IN, o ose X[I/] = X ~ 7l: 7l:[l/] O ose ' Pour les ricies qui gouveret os otatios our les chams modulaires, ous referos au O du chaitre III.

18 DeRa-18-1&0- I Prelimiaires Ce chaitre rassemble des resultats bie cous dot ous auros a faire usage. Le lecteur est ivite a e s'y reorter qu'e cas de besoi. 1. Schemas e courbes Das ce aragrahe, o aelle schema e courbes sur u schema S u morhisme rore et lat de resetatio fiie de dimesio relative au lus Si cis est u schema e courbes sur S,la caracteristique d'euler- Poicare x( C9 ) des fibres est localemet costate (EGA III, 7.9.). O defiit C s Ie gere arithmetique g de C ar s Si la caracteristique d'euler-poicare des fibres est costate de valeur 1 - g o aelle CiS u schema e courbes de gere g ou simlemet ue courbe de gere g sur S 1.2. U morhisme : X ~ S est dit de Cohe-Macaulay s'il est lat de resetat io fiie et que ses fibres (geometriques) sot des schemas de Cohe-Macaulay. U schema e courbes de Cohe~-Macaulay sur S est u schema e courbes : C ~ S qui est de Cohe-Macaulay et dot les fibres geometriques sot uremet de dimesio u. De quad o arlera de courbes lisses, ou reduites, ou itegres, o sous-etedra "uremet de dimesio u". Pour S Sec(A),o arlera idifferermet de courbes sur S ou de courbes sur A

19 -If,l- DeRa Dualite e cohomologie des faisceaux coherets Nous ous roosos de raeler ce que fourit la theorie de dualite de Grothedieck our u morhisme : X ~ 5 lorsque a) est de Cohe-Macaulay uremet de dimesio relative d et que b) 5 est oetherie. Das les alicatios que ous avos e vue, ous ourrios toujours ous rameer au cas ou est de lus quasi-rojectif. Le comlexe dualisat relatif R! ~ P 5 [loj 'a qu'u seul faisceau de cohomologie o ul, celui de degre - d ; c'est Ie faisceau des differetielles regulieres (2.1.1.) -d! lux/5 =.!! (R ~5) ([loj V. 9.7.). Ce faisceau est lat sur 5. 5a formatio commute a tout chagemet de base 5' ~ 5 et a la localisatio etale sur X (voir [loj ou [34J) i P est de lus rore, o deuit u morhisme "trace" (2.2.0 Tr de formatio comatible a tout chagemet de base. Le theoreme de dualite affirme que, our tout comlexe bore de faisceaux coherets K, la fleche deduite de Tr ( ) est u isomorhisme. 5i K est reduit a u faisceau localemet libre F lace e degre 0 et que les faisceaux sot localemet libres, (2.2.2.) deviet

20 DeRa ( ) (ou Ie v desige Ie dual d'u ~X-module res. d'u ~S-module). [loj WX/S est u faisceau iversible si et seulemet si est de Gorestei Pour S o ecessairaet oetherie, o defiit et Tr ar assage a la limite; our K u comlexe bore de faisceaux localemet libres, (2.2.2) wx/s reste valable, et se rouve ar assage a la limite. Pour S Ie sectre d'u cors k, WX/S se otera ecore WX/k,voire simlemet WX 2.3. Soiet X ue courbe reduite sur u cors algebriquemet clos k,et la ormalisee de X. Le faisceau s'idetifie au sous-faisceau suivat de l'image directe ar du faisceau des differetielles meromorhes sur X Les sectios de sur U sot les differetielles meromorhes W sur telles que, our tout P E U et tout f E ~X, -1 TT (U) Si X 'a comme sigularites que des oits doubles ordiaires Pi,et que -1 TT (Pi) = [~,~l, les differetielles regulieres sur X s'idetifiet aux formes differetielles meromorhes W sur X regulieres e dehors des Pi'P~,ayat au is u Ole simle e les ~ 1 et P'.' 1 et qui verifiet Res!(W) + Res~(W) ([27 l, Chaitre IV).

21 -103- DeRa Rae1s sur Ie focteur de Picard Soit : X ~ S u morhisme rore lat et de resetatio fiie. O aelle focteur de Picard relatif de X au-dessus de S et o ote Pic X / S Ie faisceau ff associe au refaisceau 0.1.1) bles sur S'~ Pic(X X s S') groue des classes d'isomorhie de faisceaux iversi- Le morhisme caoique Pic(X)/Pic(S) ~ Picx/s(S) est ijectif si *~x ~S. Il est bijectif si de lus ossede ue sectio ( TDTE V.2.4. ) O dit que est cohomologiquemet lat e dimesio 0 (EGA III, 7.), Ou simlemet cohomologiquemet lat, si la formatio de Plf~X commute a tout chagemet de base S' ~ S. U theoreme fodametal de M. Arti affirme que, si est rore, lat de resetatio fiie et cohomologiquemet lat, alors Pic / est x s reresetable ar u esace algebrique localemet de resetatio fiie sur S ([2J Thm. S 7.3). Si de lus, : X ~ S est u schema e courbes, est lisse sur Si Pic X / S est reresetable ar u esace algebrique, o ote Ie sous-focteur e groues de Pic X / S comosate eutre de PiC X / S. 0 P1C X / S Si : X ~ S est u schema e courbes, il est reresetable ar u esace algebrique Soit C u courbe rore sur u cors k. Si est u faisceau iversible sur C o defiit so degre deg c ( ) ar la formule (de Riema-Roch) : 0.3.1) O a alors (cf. [15J) (3.3.2)

22 DeRa <3.3.3) Si C a our comosates irreductibles reduites les sous-schemas D i, et si est de multilicite ( = logueur de l'aeau local de C au oit maximal r i deg. (!) D,ou o a ose 1 <3.3.4) deg D (!) i deg D. (! 0 L l!ld.) L 3.4. Soit : C ~ S ue courbe sur S et! u faisceau iversible sur C Le degre de ~ sur les fibres C s (s ~ S) de C est localemet costat et defiit u morhisme de faisceaux abelies (our la toologie ff): (3.4.1) deg O desige ar Pic2~~ Ie oyau de <3.4.1). (Voir 3.7. our la relatio etre Pi.c 0 et PicCo] das u cas secial), 3.5. Soit C ue courbe reduite sur u cors algebriquemet clos k. Le diagramme des comosates i.rreductibles de C est Ie grahe o oriete I(C) suivat, das lequel o distigue deux eseces de sommets. <3.5.1) L 'esemble r O = 'I.u. "r o des sommets de I(C) est somme de l'esemble 'r o des comosates irreductibles de C et de l'esemble "1 0 des oits siguliers de C 0.5.2) Pour E C(k),aelos braches de C e Ies oits de la orma- Usee \ C de Cd' image'. L 'esemble r l des de r(c) est 1 'esemble des coules (,b) formes d'u oit sigulier et d'ue brache b de C e <3.5 3) De (,b) joit F "I P A celie des comosates irreductibles de C,idetifiee a ue comosate irreductible de C,qui cotiet b

23 -165- DeRa-23 Exem1es Notos 0 les oits de 'T'o et ~ ceux de 'To. Les courbes suivates ot 1es diagrammes suivats : courbe diagramme ~ c=> A 0 Si C est uremet de dimesio u, o ecessairemet reduite, o ose 3.6. O ote Aut(r(C» le groue des automorhismes du grahe r(c) qui trasformet e et e "t'(c). Das le cas ou r(c) est u cycle a 2 sommets et 2 ous diros qu'u elemet de Aut(r(C» est ue!!atio, ou qu'il reserve l'orietatio de r(c) s'il iduit l'idetite sur le remier groue de cohomologie etiere H1(i(C), ~). Le sous-groue distigue Aut+(r(C» de Aut(r(C» forme des rotatios est cyclique d'ordre et Aut(r(C» est le groue dihedral roduit semi-direct d 'ue "reflexio" ar Aut+(r(C» c:! ~/ ~ 3.7. Soiet k u cors algebriquemet clos, et C ue courbe rore et reduite sur k,dot les sigularites sot formellemet isomorhes a celle de la reuio des axes de coordoees das u esace affie A

24 DeRa Le schema de Picard Pic C / k se devisse comme suit. Soiet (Di)iEI 1es comosates irreductibles de C, D i 1a ormalisee de D i et C=JLD.~ la ormali- see de C a) Le morhisme "degre total" et surjectif, de oyau b) Le morhisme est surjectif, d'image Ie lus grad quotiet de PiC~/k qui soit u schema abelie. So oyau est u tore, caoiquemet isomorhe a Pour D rore et uremet de dimesio u sur k, il existe ue et ue seule courbe C comme lus haut, muie d'u morhisme radiciel C ~ D l'alica- tio est surjective de oyau uiotet coexe. 4. Sous-schema de o-lissite. Soit f x ~ S u morhisme lat de resetatio fiie uremet de dime- sio relative d. II resulte du critere jacobie de lissite que Ie sous-schema X sig de x defii ar l'ideal jacobie, i.e. ar Ie d-ieme ideal determiatiel de ~/S

25 -107- DeRa-25 (Bourbaki; Alg. Comm. Cha. 7, 4, ex. 10) a our esace toologique sous-jacet l'esemble des oits de X ou fest o-lisse. Nous l'aeleros Ie sous-schema de o-lissite de X [SGA 7, VI]. Le lie ou fest lisse est ote x reg 5. Raels sur la theorie des deformatios Soit A u aeau local oetherie comlet de cors residue1 k. Deux cas articulieremet utiles sot les suivats. a) A k b) k est arfait de caracteristique > 0 et A est l'aeau des vecteurs de Witt W(k) (l'uique aeau de valuatio discrete comlet de cors residuel k et d'ideal maximal ()) O desige ar C A la categorie des A - algebres locales artiiees de cors residuel k et ar C A la categorie des A-a1gebres oetheriees locales comletes de cors residuel k U focteur covariat F de vers (Es) est dit ro-reresetable s'il existe R ~ Ob C A et u isomorhisme de focteurs sur C A (5.1.0 Hom(R,A)~ F(A) L'algebre Rest alors uiquemet determiee. U focteur covariat F de C A das (Es) iduit ar restrictio u focteur FICA: C ~ (Es) A Si FICA est roreresetable, o dit qu'il est effectivemet roreresetable s'il existe S E F(R) (R comme ci-dessus) qui defiisse ( Cosideros les systemes (M,B,a) du tye suivat

26 DeRa a) M est ue h-a1gebre locale oetheriee comlete de cors residuel k b) Best ue M-algebre locale oetheriee comlete late, de cors residuel k, muie d'u isomorhisme B ~M k =k[[x,y]] / (XY) U tel systeme (h[[t]], A, o ) est fouri ar la h[[t]] - algebre A = A[[t,X,Y]] / (XY-t) O demotre das [8] l que ce derier systeme est versel. Pour tout (B,M,), il existe u homomorhisme h[[t]] ~ M tel que (B,) se deduise de (A, o ) ar extesio des scalaires: B = A ~h[[t]] M O e deduit facilemet l'eoce suivat Proositio 5.3. Soit : C ~ S u schema e courbes sur u schema oetherie S Soiet s.e S et x E C (s) s ordiaire a tagetes ratioelles Ss-isomorhe a S[[X,Y]] / (XY-t) s O suose que C s resete e x u oit double Alors, Ie comlpte our u t E r<s,~) s C x de coveable. C e x est O a mieux Theoreme 5.3. Soiet : C ~ S u schema e courbes, s E S et x E C (s) s que C s resete e x u oit double ordiaire. Alors, localemet our la toologie etale (au voisiage de x et s ), C est S-isomorhe a tel x S[u,v] / (uv-t) c d\.~ our t coveable. Si les tagetes de C s ~ x sot ratioelles sur k(s), l'heselise de C e x est S~ )-isomorhe a l'heselise de X e.s Ie

27 -109- DeRa-27 oit (0,0) i2ma~e s h,our t E r(s(s)'~) coveable. Ce theoreme resulte aussitot du cas articulier o~ S est suose de tye fii sur ~. II resulte de 5.2 et de la theorie de R. Elkik de l'algebrisatio des modules des sigularites isolees. 6. Poits de divisio des courbes ellitiques. Soit E ue courbe ellitique (variete abeliee de dimesio u) sur u cors algebriquemet clos k Pour tout etier ~ 1,o sait que Ie schema e groues E,oyau de la multilicatio ar est Ie sectre d'ue algebre de Hof de dimesio 2 sur k Si est iversible das k, o a Si k est de caract~ristique > 0,Ie oyau du morhisme de Frobeius F : E... E(P) est de rag II est isomorhe a ~ Ou a a. 8'il est isomorhe a ~,o dit que E est ordiaire, et E =~/ X ~. Sio, o dit que E est suersiguliere. Das la suite exacte o... Ker(F)... E... E /Ker(F).. 0 les deux termes extr~mes sot e dualite de Cartier. Si E est suersiguliere, E P est doe isomorhe a a 2, l'uique extesio o triviale aulee ar de Les courbes ellitiques suersigulieres sur k sot toutes isogees, et formet u ombre fii de classes d'isomorhie (cf. [32J)

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