Estimation des termes source et puits de l ozone dans un couvert de maîse à partir de l équation de conservation de la masse

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1 Estimation des termes source et puits de l ozone dans un couvert de maîse à partir de l équation de conservation de la masse Rapport de stage présenté par Ouafae SABER Pour l obtention du Diplôme d Etudes Approfondies Equations aux Dérivées Partielles et calcul scientifique A Paris sud Orsay 22/09/2004 Responsable du DEA : Encadrants: Benjamin LOUBET Serge ALINAC Pierre CELLIER Responsable de l option numérique : François ALOUGE 1

2 REMERCIEMENTS Ce travail est le reflet de cinq mois et demis de stage effectué au Laboratoire Environnements et Grandes Cultures à l INRA de grignon, dirigée par Monsieur Pierre cellier. Je voudrais présenter mes remerciements et ma profonde gratitude à Monsieur Serge ALINAC, François ALOUGE de m avoir permis de faire ce stage. Un grand merci pour Benjamin Loubet, pour son encadrement, sa disponibilité et son soutien durant ce stage. Je remercie Pierre cellier pour son encadrement, et ses conseils. Merci à tous les membres de l équipe Biosphère - Atmosphère du laboratoire Environnement et Grandes Culture pour leur accueil, et gentillesse.. 2

3 SOMMAIR 1 Introduction Contexte Relation entre polluants et biosphère Objectifs Méthodes et modèles Bilan d énergie d un couvert végétal Loi de conservation de la masse Diffusivité turbulente K(z) Méthode d estimation du terme source S Discrétisation de l équation de conservation Interpolation et approximation des profils de concentration Comparaison des méthodes d approximation et d interpolation Utilisation de profils moyens Résultats Termes sources pour O 3, H 2 O, Ta et CO 2 dans le couvert Conclusions...22 REFERENCES

4 1 Introduction 1.1 Contexte La pollution atmosphérique présente toujours un grand danger pour la santé des êtres vivants, les humains, les animaux, ainsi que les plantes. L ozone (O 3 ) fait partie des polluants dangereux affectant les écosystèmes naturels ou cultivés en raison de son fort pouvoir oxydant, et de ses concentrations importantes dans l air (de quelques µg m -3 à quelques dizaines de µg m -3 ). Il agit fortement sur le fonctionnement de la plante. C est un polluant secondaire qui se produit à partir des polluants primaires (les oxydes d azote (NO x ), et les composés organiques volatils (COV) par les réactions photochimiques : rayonnement UV NO 2 + O 2 NO + O 3 (de jour) Près des surfaces naturelles, il se dépose selon 3 voies : 1) Stomatique. 2) Cuticulaire. 3) sur le sol. et il peut être détruit par réactions chimiques en phase gazeuse dans le couvert végétal. Les principales réactions chimiques de destruction de l ozone sont les suivantes : NO +O 3 NO 2 + O 2 (temps de réaction : 1 minute) NO 2 + O3 NO 3 + O 2 (temps de réaction : 12 heures) NO 3 + NO 2 N 2 O 5 (la nuit) 1.2 Relation entre polluants et biosphère Pour lutter contre cette menace que représente la pollution atmosphérique, il est important de comprendre les interactions entre polluants et biosphère. 4

5 Zone urbaine Zones rurales Chimie atmosphérique O 3 NO x dépôt sec NH 3 C O V dépôt sec Emission Impact Impact figure 1 : schéma d ensemble des processus étudiés dans le projet BioPollAtm La végétation est affecté par les dépôts d ozone(effet dont j ai parlé au dessus),mais le dépôt contribue aussi à «déplacer» l atmosphère, ce qui est un effet positif. Par ailleurs, les végétations émettent COVs biogénétiques(qui peuvent contribuer à augmenter la pollution à l ozone,(effet négatif). Car ils peuvent directement influencer le devenir des polluants et déterminer l impact de la pollution de l air sur la végétation et les zones d impact de la pollution atmosphérique sur la biosphère. Les sources et puits de polluants peuvent donc directement influencer le devenir des polluants et l impact de la pollution de l air sur la végétation ainsi que les zones d impact de la pollution atmosphérique sur la biosphère. 1.3 Objectifs Dans le cadre du projet BioPollAtm, l INRA a réalisé des expérimentations en 2002 sur un champ de maïs, pendant lesquelles ont été mesurés les flux et les concentrations d O 3, CO 2 5

6 NO x, H 2 O ainsi que la température de l air à plusieurs niveaux dans le couvert végétal. Ces informations sont destinées à déterminer les termes sources et puits de polluants dans le couvert végétal Dans ce cadre, au cours de mon stage, je me suis intéressée plus particulièrement à analyser les sources et puits d H 2 O, de CO 2, d O 3, et de chaleur, puis à trouver des méthodes mathématiques (numériques) pour estimer les sources et puits de ces composés à partir des concentrations mesurées à différents niveaux. 2 Méthodes et modèles Dans toute la suite, nous nous plaçons dans le cas d un couvert végétal uniforme horizontalement, ce qui permet de faire l hypothèse que les transferts se font selon la direction verticale (z) uniquement. 2.1 Bilan d énergie d un couvert végétal Le bilan d énergie traduit, pour un système donné, la loi de conservation de l énergie. Il prend la forme générale suivante : Fe - Fs = St (1) où Fe et Fs représentent respectivement la somme des flux entrant dans le système et sortant du système, tandis que St désigne la variation du terme de stockage. Les échanges Fe et Fs peuvent se faire dans des direction variées :échanges verticaux, échanges horizontaux au travers des faces «latérales» du système par exemple :: Fe1 Fe2 Fs2 Fs1 Figure 2 : Echanges d énergie d un système donné. Dans le cas des milieux naturels, l équation (1) peut s appliquer à toutes les échelles d espace (feuilles, volume élémentaire de végétation, de sol, d atmosphère, parcelle agricole, 6

7 lac,.), ainsi qu à toutes les échelles de temps. Les échanges d énergie mis en jeu dépendent du système choisi et se font sous de multiples formes et selon des processus physiques différents. Nous nous limiterons, dans notre travail, au bilan d énergie à l échelle de la parcelle agricole, précisément, d un couvert végétal uniforme d extension horizontale suffisante, avec l hypothèse que les transferts se font selon la direction verticale, et les échanges latéraux sont négligés. Nous négligerons le stockage d énergie dans la végétation. Les échanges d énergie au niveau du couvert végétal se réduisent aux échanges radiatifs, aux échanges convectifs (avec l atmosphère) et aux échanges par conduction (avec le sol). L énergie mise en jeu par la photosynthèse est faible, et est généralement négligée. Le bilan d énergie se résume alors à: Rn = H + L E + F s Rn : rayonnement net (échanges radiatifs) H : flux de chaleur sensible (échanges convectifs) LE : flux de chaleur latente (échanges convectifs) F S : flux de conduction dans le sol (échanges par conduction). Par analogie avec les lois de la diffusion, l expression générale des flux diffusifs est la suivante: F= -K grad(c) ou encore F= -K c/ z (uniformité horizontale) F est la densité de flux de chaleur (W m -2 ), c est la concentration de la grandeur physique associée au flux considéré, K est un coefficient de transport turbulent de dimension (L 2 T -1 ), et z est la hauteur au-dessus du sol. Ainsi le flux de chaleur sensible (flux de la chaleur dans l air) se met-il sous la forme: H = -ρ Cp K T/ z où ρ (kg m -3 ) et Cp (J kg -1 K -1 ) sont respectivement la masse volumique et la chaleur spécifique de l air, T est sa température (K), et K est le coefficient de transfert turbulent pour la chaleur sensible. Le flux de chaleur latente s écrit: L E = -L ρ K q/ z 7

8 où L (J kg -1 ) est la chaleur latente de vaporisation. K est le coefficient de transfert turbulent de masse (en général égal à celui pour la chaleur sensible) ; q désigne l humidité spécifique de l air (kg d eau kg -1 d air). Le flux conductif dans le sol (F s ) s écrit sous la forme: F s = - λ T/ z λ étant la conductivité thermique du milieu (W m -1 K -1 ), z la profondeur du sol, T la température du sol. L évolution des profils de température dans le sol est pilotée par l équation de la chaleur: F s / z = - Cp s T/ t ou Cp s est la chaleur spécifique du sol. On aboutit à la forme approximative: F S = λ (Ts To)/ z avec λ la conductivité thermique équivalente de la couche d épaisseur z, Ts la température de surface du sol et To la température de la couche d épaisseur z. 2.2 Loi de conservation de la masse La loi de conservation de l énergie présentée ci-dessus est similaire à la loi de conservation de la masse. Celle-ci dit simplement que l évolution de la concentration au cours du temps dans un volume élémentaire est égale à la somme de la divergence du flux (ici vertical, étant donné les hypothèses dans lesquelles nous nous plaçons), et des sources volumiques (S(z)). On a : dc(z) /dt = df(z)/dz + S(z) La stationnarité de c nous donne : df(z)/dz= S(z) (2) et pour estimer S(z) à partir de C(z) ou C(z) à partir de S(z), on utilise la relation de diffusion établie précédemment : F= -K C(z)/ z (3) On a donc besoin de connaître K(z) dans tout le domaine que l on souhaite étudier, c est à dire le couvert végétal et la couche immédiatement au-dessus. 8

9 2.3 Diffusivité turbulente K(z) Nous avons retenu pour la diffusivité turbulente, les expressions données par Leuning (1996), qui distingue plusieurs cas selon la hauteur dans le couvert végétal. Le calcul de K(z) est basé sur l expression suivante : K = σ 2 w τ L. où σ w est l écart-type de la composante verticale de la vitesse du vent, et τ L est l échelle de temps lagrangienne de la turbulence. C est le temps caractéristique des structures tourbillonnaires responsables des échanges. L expression de Leuning prend en compte l intensité du vent et la stratification thermique de l atmosphère. Tableau 1 :les paramètres décrivant les trois régions donnés par Leuning : z / h c x y θ a b d 0.8 z/h c σ ω / u * z/h c -0.8 τ L u * /h c <0.25 4z/h c τ L u * /h c Les profils de σ w, τ L et K obtenus pour trois régimes de stabilité thermique sont représentés dans la Figure 3. 9

10 L = -1e5 m L=-10 m L = 10 m z / h c τ u / h L * c σ / u w * K / u h * c Figure 3 : : Profils verticaux de normalisés des expressions de σ ω / u *, l écart type de la vitesse verticale,; τ L u * /h c le temps scalaire Lagrangien ;et K/ u * h c la diffusivité, en fonction de la hauteur également normalisée z / h c ;avec hc :la hauteur du couvert ; u * : une échelle de vitesse du vent. Ces profils sont calculés pour trois valeurs de L la longueurs de Obukhov, qui indique la stabilité thermique de l atmosphère. Pointillés, instable ; trait continu, neutre ; trait + pointillé, stable. 2.4 Méthode d estimation du terme source S Le terme source est estimé à partir de l équation de conservation (équation 2), en utilisant la relation de diffusion (équation 3), et l expression de K(z) présenté ci-dessus. Ces équations continues doivent être discrétisées afin de les appliquer aux mesures Discrétisation de l équation de conservation On discrétise l équation de conservation par un schéma centré, on obtient : S(z i )=[F(z i+1/2 ) F(z i-1/2 )] / [ z i+1/2 - z i-1/2 ] Même chose pour F(z i ) = -K(z i ) [C(z i+1/2 ) -C(z i+1/2 )] / [ z i+1/2 - z i-1/2 ] La méthode utilisée a consisté à estimer F(z i ) puis S(z i ) à partir de C(z i ). Or C étant connu en seulement 4 à 5 points dans le couvert végétal, j ai donc testé plusieurs méthodes pour interpoler les profils de concentration ou estimer un profil moyen. 10

11 2.4.2 Interpolation et approximation des profils de concentration Il est clair qu un nombre de 5 points par profil est insuffisant pour déterminer les profils de concentrations à partir des sources ou l inverse. Il n a pas été possible d interpoler linéairement, car cela a crée des discontinuités, et on a besoin que les dérivées première et seconde de C(z) soient continues (voir équations 2 et 3). Nous avons donc cherché à interpoler les profils entre les points de mesure à l aide de différentes méthodes. Parmi celles-ci, j ai utilisé une méthode d approximation polynomiale de MatLab, avec la fonction polyval, qui consiste à ce qui suit : Soit y = p1*x^n + p2*x^n-1 +.+pn*x + pn-1 un polynôme d ordre n, x est un vecteur. On veut interpoler la fonction au points:,x2, x1,x3,.xn ; on appelle alors Y = polyval(p, [x1 x2 x3..xn]) avec p = [p1 p2.pn pn-1], les pi, i =1,,n-1 sont les coefficients de y. les points que nous avons pris, pour l interpolation, sont tous les 10cm compris entre 0m et 5m. Nous avons aussi utilisé la fonction spline (Cubic spline data interpolation) ;c est une fonction qui existe en matlab, son principe est d interpoler, de trouver yy = spline(x, y, xx) les valeurs de base de y aux points du vecteur xx. Le vecteur x est formé par les points ou y est connu. Par ailleurs, nous avons utilisé la méthode de pchip, qui est un des moyens d interpolation en matlab : Piecewise Cubic Interpoling Polynomial (PCHIP). L expression y i = pchip(x, y, x i ) nous donne yi qui concatène les éléments correspondants à ceux de xi déterminés par l interpolation cubique par morceaux entre les vecteurs x et y ; x étant formé par les points ou y est connu. Le pchip nous donne les valeurs de la fonction P(x) d interpolation dans les points intermédiaires. Pour chaque subdivision x k <= x <= x k+1, P(x) est l interpolant cubique d Hermite. P(x) interpole y veut dire que P(x j )= y j, avec P (x) est continue, P (x) peut ne pas l être. 2.5 Comparaison des méthodes d approximation et d interpolation La Figure 4 montre un exemple des trois méthodes : l approximation polynomiale par la fonction polyval, la fonction spline et le pchip pour le dioxyde de Carbonne(CO 2 )à la date du 11/08/2002, à 12:00 h. 11

12 Figure 4 : : Profil de concentrations de dioxyde de Carbonne (CO 2 ). Points de mesures et les trois méthodes d interpolation. En examinant cette figure, on voit bien qu il y a une source au sol (la concentration augmente prés du sol), un puits dans la végétation avec un minimum vers 1,5m (minimum de concentration), et ensuite une augmentation régulière au dessus de la végétation (diffusion turbulente). Pour la méthode polyval, on observe qu il y a un maximum au sol ce qui est bon, en revanche Nous avons un minimum qui est trop bas, et aussi des oxillations au-dessus de couvert ce qui n est pas bon du tout, car cela induit des termes puits ou sources, qui n existent manifestement pas. Regardons ce que nous a donné la méthode spline, on a un aussi un maximum au sol, ce qui est bon, on a un minimum dans le couvert ce qui est parfait, mais on a toujours des oxillations au-dessus du couvert. Enfin, pour notre troisième méthode pchip, on voit clairement un maximum au sol, puis un minimum dans le couvert (exactement à la hauteur 1,5m), et une bonne régularité au-dessus du couvert. 12

13 Donc, on en conclut que la méthode qui marche le mieux est le pchip, et c est bien celle-ci que nous allons utiliser pour estimer le terme source dans ce qui suit. Les Figures 5 et 6 donnent 2 autres exemples pour l ozone et la température de l air. Figure 5 : Profil des variations des concentrations l ozone(o3 )aux points de mesures, et en utilisant les trois méthodes d interpolation. 13

14 Figure 6 : Profil des variations de la température (Ta) aux points de mesures, et en utilisant les trois méthodes d interpolation. 14

15 Figure 7 : Profil des variations de la vapeur d eau(h2o) aux points de mesures, et en utilisant les trois méthodes d interpolation. 2.6 Utilisation de profils moyens Compte tenu de la rapidité d évolution des flux et de profils, ceux-ci présentent une forte variabilité et ne correspondent pas toujours à des situations stationnaires. Pour pallier à cet incovénient, nous avons calculé des profils moyens sur plusieurs journées. Nous avons utilisé une méthode qui nous donne la moyenne de la concentration à une heure précise durant les 24 heures, et (arbitrairement) pendant les 15 premiers jours d août. J ai appliqué cette méthode pour les quatre composés O 3, H 2 O, CO 2,et T a. Les profils obtenus sont plus robustes et présentent moins d irrégularités. En voici un exemple pour l ozone (Figures 8 et 9). On voit clairement un profil de dépôt sur la Figure 9 (moyenne), tandis que les données horaires (Figure 8) sont plus cahotiques. 15

16 figure 8 : profil de concentration de l ozone (O3) le 01/08/2002 à 12h00 ; o, les points de mesures ;le trait, est juste pour faire la liaison pour mieux voire. 16

17 figure 9 : profil des concentrations moyennes de l ozone (O3) sur 15 jours, du 01/08/2002 au 15/08/2002,et à la même heure(12h00). o, points de mesures ;le trait est juste pour faire la liaison pour mieux voir. 3 Résultats 3.1 Termes sources pour O 3, H 2 O, Ta et CO 2 dans le couvert Comme on vient de le constater, la moyenne a un rôle remarquable dans l amélioration des résultats, c est pourquoi nous allons l utiliser dans le calcul des termes sources. Nous avons calculé les concentrations moyennes de nos quatre composés O 3, H 2 O, Ta et CO 2, arbitrairement à la même heure 12h00. Après, nous avons calculé les termes sources correspondants, soit directement à partir des concentrations moyennes, soit en utilisant la méthode pchip, et en moyennant le terme source résultant.. 17

18 Figure 10 : profil des termes sources et puits de l ozone (O 3 ) ; o présente ceux correspondant aux concentrations moyennes de l ozone (O 3 ) calculé en 15 jours, à la même heure (12 h00) ; les étoiles liées par le trait vert correspondent aux profils moyens interpolés par la méthode du pchip. 18

19 Figure 11 : profil des termes source et puits de la vapeur d eau (H2O) ; o présente ceux correspondant aux concentrations moyennes calculées en 15 jours, à la même heures(12 h00) ; les étoile liées par le trait vert,les termes source et puit interpolés par la méthode du pchip. 19

20 Figure 12 : profil des termes source et puits de la température(ta) ; o présente les termes source et puits correspondant aux températures moyennes calculé en 15 jours, à la même heures(12 h00) ; les étoile liées par le trait vert représentent les termes source et puit interpolés par la méthode du pchip. 20

21 Figure 13 : profil des termes source et puits de dioxyde de Carbonne ; o présente les termes source et puits correspondant aux concentrations moyennes du dioxyde de Carbonne calculé en 15 jours, à la même heures(12 h00) ; les étoile liées par le trait vert représentent le terme source et puit interpolé par la méthode du pchip. Ces Figures donnent des résultats cohérents dans l ensemble : Le couvert en milieu de journée est une source de vapeur d eau et de chaleur, et un puits de CO 2. Le schéma est moins clair pour l ozone, pour des raisons qu il reste à déterminer. 21

22 4 Conclusions L étude que j ai présentée dans ce rapport aura permis de tester la méthode d estimation des sources et puits à partir de l équation de conservation de la masse.. Nous avons également évalué différentes méthodes d évaluation des profils : la méthode pchip est meilleure que les autres, polyval et spline. Cette méthode pchip, utilisé avec le modèle de transfert dans le couvert végétal, permet de localiser les sources et puits en donnant des valeurs et des formes de profil d émission et dépôt satisfaisantes. Les résultats obtenus sont cohérents. La méthode est très sensible aux variations infimes du profil de concentration, aussi du profil de K, donc, il serait intéressant de faire une étude de sensibilité aux paramètres qui décrivent K. En perspective, étant donné la grande sensibilité de la méthode, il serait nécessaire de contraindre S(z) en utilisant un modèle d échange de polluants à l échelle foliaire, décrivant les différents termes des échanges (stomatiques, cuticulaires). 22

23 REFERENCES R.LEUNING; Estimation of scalar source/distributions in plant canopis using Lagrangian Dispertion Analysis:Corrections for Atmospheric Stability and Comparaison whid a multilayer canopy model; CSIRO Land and water, FC Pye laboratory, PO Box 1666, Camberra, ACT 2601, Australia.(Received in final form 9 November 1999). Pierre CELLIER; le rapport du projet national BioPollAtm, Pierre CRUIZIAT, Jean-Pierre LAGOUARDE(eds)-1996-Tome1 :DE LA PLANTE AU COUVERT VEGETAL ; ACTE de l INRA EN BIOCLIMATOLOGIE.Le Croisic, 3-7 avril 1995,670p. 23

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