2. Quel type de probabilité (théorique, fréquentielle ou subjective) est-il possible d'attribuer aux situations suivantes?

Transcription

1 Introduction. Indique si les expériences suivantes sont aléatoires ou non. A) Tirer un as d un jeu de cartes. B) Prévoir la date de la prochaine pleine lune. C) Prévoir la journée où il tombera au moins 5 cm de neige. D) Choisir au hasard 00 personnes parmi celles inscrites sur la liste électorale. Oui Non Oui Oui. Quel type de probabilité (théorique, fréquentielle ou subjective) est-il possible d'attribuer aux situations suivantes? A) Samia se questionne sur la probabilité d'attraper la malaria lors de son prochain voyage. Subjective B) Janine affirme que la probabilité d'obtenir 5 lors du lancement d'un dé équilibré est de /. Théorique C) On a constaté que 900 des spectateurs présents au match de hockey étaient des hommes. Fréquentielle D) On a constaté que 85 des 900 maisons d'un quartier ont été privées d'électricité hier soir. Fréquentielle E) Louis affirme que la probabilité d'obtenir le résultat "pile" lors du lancer d'une pièce de monnaie est de /. Théorique F) Après avoir lancé une pièce de monnaie 000 fois, on a obtenu 95 fois "face". Fréquentielle

2 . Dans chacune des situations ci-dessous, détermine l univers des possibles. A) On lance dés numérotés de à et on s intéresse à la somme des nombres sur les faces supérieures. Ω {,, 5,, 7, 8, 9, 0,,,,, 5,, 7, 8} B) Une chienne a donné naissance à 5 chiots, soit mâles et femelles. Ils sont de couleur noire ou chocolat et l on s intéresse au sexe et à la couleur d un chiot. Ω {MN, MC, FN, FC} C) On tire une bille d un sac qui contient billes bleues, 5 billes jaunes et billes rouges; on note la couleur de la bille obtenue. Ω {B, J, R} D) On lance simultanément deux pièces de monnaie et un dé numéroté de à. On s intéresse au côté visible de chaque pièce et au nombre apparaissant sur la face supérieure du dé. Ω {PP, PP, PP, PP, PP5, PP, PF, PF, PF, PF, PF5, PF, FF, FF, FF, FF, FF5, FF} Tirage à une étape. Patricia doit lire un roman pour son cours de français. Elle doit choisir parmi trois romans policiers, quatre romans d'amour et deux romans d'aventure. Quelle est la probabilité qu'un roman choisi au hasard soit un roman d'aventure? P (Roman d aventure) : romans d aventure 9 romans 9

3 5. Dans un jeu de 5 cartes, on ne garde que les cartes noires. A) Combien d'éléments contient l'univers des possibles de cette expérience? B) Quelle est la probabilité de tirer: éléments ) Un pique? P (Pique) : cartes de pique cartes ) Le de cœur? P ( de coeur) : 0 carte de coeur cartes 0 ) Un valet? P (Valet) : valets cartes. Maryse a placé dans un sac les nouvelles pièces de 0,5 $ form ant sa collection de monnaie; elle a deux pièces de 9, une pièce de 9 et quatre pièces de 90. Quelle est la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit de 90? P (Pièce de 90) : pièces de 90 7 pièces 7 7. Dans son étui à crayons, Myriam a quatre crayons rouges, deux crayons noirs et cinq crayons bleus. Quelle est la probabilité qu'elle choisisse au hasard dans son étui un crayon noir? P (Crayon noir) : crayons noirs crayons

4 8. Écris sous la forme d une fraction la probabilité de chacun des évènements suivants. A) Choisir au hasard un de ses souliers sur un tapis où 5 autres personnes en ont laissé une paire. P (Mon soulier) : mes souliers souliers B) Tirer un as d un jeu de cartes. P (As) : as 5 cartes 5 C) Choisir au hasard le nombre parmi les nombres premiers. P () : 0 plusieurs n est pas un nombre premier On lance deux dés numérotés de à. Quelle est la probabilité d obtenir une somme de 5? P (Obtenir une somme de 5) : 9

5 0. En jouant à la loto /9, quelle est la probabilité que le premier numéro sortant du boulier : 5 A) Soit un multiple de 0? Multiple de 0; A : { 0, 0, 0, 0 }, donc possibilités. P (Multiple de 0) : 9 9 B) Un nombre inférieur à 0? Nombre inférieur à 0 : {,,, 8, 9 }, donc 9 possibilités. P (Nombre inférieur à 0) :

6 Tirage à plusieurs étapes. Dans un sac opaque, on a placé les neufs jetons " A " et les six jetons " S " d'un jeu de Scrabble. A) Détermine la probabilité de tirer avec remise un premier jeton " A " suivi d'un jeton " S ". Tirage avec remise, donc deux évènements indépendants. P (A suivi de S) P(A) X P(S) 9 X , 0, B) Détermine la probabilité de tirer sans remise un premier jeton " A " suivi d'un jeton " S ". Tirage sans remise, donc deux évènements dépendants. P (A suivi de S) P(A) X P(S A) 9 X ,57 0,57. Dans une classe de troisième secondaire, il y a 8 filles et 0 garçons. Quelle est la probabilité, en tirant sans remise les noms de deux élèves : A) Qu'il s'agisse de deux filles? Tirage sans remise, donc deux évènements dépendants. P (Fille suivie de fille) : P(F) X P(F F) 8 8 X 7 7 B) Qu il s agisse d une fille suivie d un garçon? ,08 0,08 Tirage sans remise, donc deux évènements dépendants. P (Fille suivie de garçon) : P(F) X P(G F) X ,8 0,8

7 . Cathy travaille au comptoir "Les beignes dorés". On y offre des beignes au miel, à l'érable et au chocolat. Elle a constaté que 55 % des clients ou clientes choisissent des beignes au chocolat et que 0 % préfèrent les beignes à l'érable. De plus, 70 % des clients ou clientes demandent un café, 0 % prennent un jus de fruits et les autres boivent du lait. 7 Quelle est la probabilité que le prochain client ou la prochaine cliente commande : ) Un beigne au chocolat et un jus de fruit? ) Un beigne à l'érable et un verre de lait? ) Un beigne au miel et un café? ) Déterminer les probabilités manquantes : Beignes : au chocolat : 55 %, à l'érable : 0 %, donc au miel : 5 %. Breuvages : café : 70 %, jus : 0 %, donc lait : 0 %. ) Pour chaque évènement, les éléments sont indépendants les uns des autres. ) Calculer les probabilités de chaque évènement : P (Beigne au chocolat et un jus de fruit) : 0,55 X 0,0 0,. P (Beigne à l'érable et un verre de lait) : 0,0 X 0,0 0,0. P (Beigne au miel et un café) : 0,5 X 0,70 0,05. P (Beigne au chocolat et un jus de fruit) : P (Beigne à l'érable et un verre de lait) : P (Beigne au miel et un café) : 0, 0,0 0,05

8 . On lance successivement deux dés numérotés de à. Quelle est la probabilité d obtenir : 8 A) Un nombre supérieur à au premier lancer et un nombre pair au deuxième lancer? Ω {,,,, 5, }; possibilités. A : Un nombre supérieur à : {,,, 5, }; 5 possibilités. B : Un nombre pair au deuxième lancer : {,, }; possibilités. Ce sont des évènements indépendants, donc : P (A, B) P(A) X P(B) 5 X B) Un nombre divisible par suivi d un nombre premier? A : Un nombre divisible par : {, }; possibilités. B : Un nombre premier : {,, 5}; possibilités. Ce sont des évènements indépendants, donc : P (A, B) P(A) X P(B) X C) Le nombre 5 suivi du nombre? A : Obtenir 5 : possibilité. B : Obtenir : possibilité. Ce sont des évènements indépendants, donc : P (A, B) P(A) X P(B) X

9 5. Un panier de fruits contient bananes, pommes, orange et nectarines. On choisit au hasard un fruit dans le panier, puis on le mange. On choisit de nouveau un fruit au hasard, puis on le mange. Quelle est la probabilité de manger : 9 A) Une pomme suivie d une banane? Au total, il y a 0 fruits. A : Manger une pomme; possibilités. B : Manger une banane; possibilités. Ce sont des évènements dépendants (sans remise, car on mange le fruit ). P (A) X P (B A) X B) Deux nectarines? Au total, il y a 0 fruits. A : Manger une nectarine; possibilités. B : Manger une nectarine; possibilités. Il y a déjà une nectarine de manger. Ce sont des évènements dépendants (sans remise, car on mange le fruit). P (A) X P (B A) X Dans un jeu de 5 cartes, quelle est la probabilité de tirer au hasard : A) Le de pique et, sans le remettre dans le paquet, tirer ensuite le 5 de cœur? Ce sont des évènements dépendants (sans remise). P (P) X P (5C P) X

10 . B) Les as, l un après l autre? 0 Ce sont des évènements dépendants (sans remise). P (A) X P (B A) X P (C A,B) X P (D A,B,C) X X X X X X Il est préférable de simplifier avant de multiplier.

11 7. Deux personnes jouent à un jeu de société. Pour avancer leur pion d un certain nombre de cases, elles doivent d abord répondre à une question portant sur un domaine de connaissances particulier. Chaque personne fait tourner les deux roulettes. La roulette détermine le domaine de connaissances sur lequel la question sera posée et la roulette détermine le nombre de cases sur lesquelles le joueur ou la joueuse pourra avancer son pion. Roulette Roulette Méli-mélo Sports et loisirs Arts et spectacle cases cases Politique case A) Détermine l univers des résultats possibles. Ω {(Sports et loisirs, ), (Sports et loisirs, ), (Sports et loisirs, ), (Arts et spectacles, ), (Arts et spectacles, ), (Arts et spectacles, ), (Méli-mélo, ), (Méli-mélo, ), (Méli-mélo, ), (Politique, ), (Politique, ), (Politique, )}. B) Quelle est la probabilité qu une personne doive répondre à une question du domaine des «Sports et loisirs» et puisse avancer son pion sur un nombre maximal de cases? P (Sports et loisirs) : chance sur ; P(avancer de cases) : chance sur. Les évènements sont indépendants. P (Sports et loisirs, cases) : X

12 8. Alexia lance simultanément trois pièces de monnaie et s intéresse aux côtés visibles une fois les pièces tombées. Puisque l univers des possibles de cette expérience aléatoire est { (P,P,P), (P,P,F), (F,F,P), (F,F,F) }; elle affirme que la probabilité d obtenir le résultat (P,P,P) est de /. A-t-elle raison? Explique ta réponse. Elle n a pas raison; l univers des résultats possibles contient résultats, mais le calcul de ces possibilités donne une probabilité différente. P (P, P, P) P(P) X P(P) X P(P) X X ou L univers des possibles ne tient pas compte de l ordre d apparition; si on tient compte de l ordre, alors {(P,P,P), (P,P,F), (P,F,P), (P,F,F), (F,F,F), (F,F,P), (F,P,F), (F,P,P)}; donc, (P,P,P) / Bébé Félix a jouets pour le bain : un éléphant, un canard, une baleine, un bateau, un crocodile et un sous-marin. S il choisit jouets au hasard, quelles sont les probabilités qu il ne choisisse pas le canard? A : Ne pas obtenir le canard ; 5 chances sur. B : Ne pas obtenir le canard ; chances sur 5, car il y a un animal de moins. C : Ne pas obtenir le canard ; chances sur, car il y a animaux de moins. P (Ne pas obtenir le canard) : P(A) X P(B A) X P( C B,A) 5 X 5 X 5 X 5 X

13 Probabilités géométriques 0. Dans chaque cas, on choisit au hasard un point sur l un des côtés du polygone régulier. Quelle est la probabilité que ce point se situe sur le côté AB? A) A B C D C Les polygones sont réguliers, donc B) A C) B F A E B D C. Dans chaque cas, détermine la probabilité qu un point choisi au hasard soit dans une partie grise. A) B) C) Les figures sont isométriques, donc. Détermine la probabilité qu une fléchette lancée au hasard atteigne le secteur gris. La fléchette atteint la cible à chaque lancer. mesure de l angle 0 0 aire du secteur aire du cercle

14 . La cible suivante a un diamètre de cm. On lance une fléchette qui, à coup sûr, touche la cible. Quelle est la probabilité que la fléchette touche la partie grise? ) Calculer l aire du grand disque : Diamètre : cm; rayon : cm A πr π X π cm ) Calculer l aire du disque noir : Diamètre :, cm; rayon :, cm A πr π X,, π cm ) Calculer l aire du disque gris : Rayon :, cm + cm, cm A πr π X, 0, π cm ) Calculer l aire de l anneau gris : Disque gris disque noir, cm cm 0, π cm, π cm 8,8 π cm 5) Poser le rapport : aire de l anneau aire du grand disque 8,8 π cm 8,8 π cm 0, 0, ou %

15 . Afin d améliorer la précision de ses lancers, Maddy place cibles circulaires de 0 cm de diamètre à chaque coin d un but de hockey. Quelle est la probabilité qu un lancer effectué à l intérieur du but touche l une des cibles?, m,8 m 5 ) Calculer l aire du but : L X l 8 cm X cm cm ) Calculer l aire totale des cercles : Diamètre d un cercle : 0 cm; rayon : 5 cm Aire d un cercle : πr π X 5 70,8 cm Aire totale des cercles 70,8 cm X 877, cm ) Poser le rapport : aire des cercles aire du but 877, cm cm 0,, % 0,, % 5. Voici une cible rectangulaire dans laquelle sont inscrits cercles tangents (qui se touchent par un point). Quelle est la probabilité qu une fléchette lancée contre cette cible atteigne l une des parties grises? ) Déterminer les dimensions du rectangle : Les cercles sont tangents et ont un rayon de x cm; chaque cercle possède un diamètre de x; Longueur : x X 8x; largeur : X x x ) L aire du rectangle : L X l 8x X x 8x ) Déterminer l aire totale des cercles : Aire d un cercle : πr π X x,x Aire des cercles X,x 7,7x

16 5. (suite) ) Calculer l aire restante : aire du rectangle aire des cercles 8 x 7,7 x 0, x 5) Poser le rapport : aire restante aire du rectangle 0, x 8 x 0, 8 0,, % 0,, %. Une boule est inscrite dans un cube dont une des arêtes mesure 5, cm. Quelle est la probabilité qu un point se situe dans le cube sans toucher à la boule? ) Déterminer le volume du cube : Volume cube c 5, 8,877 cm ) Déterminer le volume de la boule : L arête du cube correspond au diamètre de la boule. Rayon de la boule 5, cm,5 cm Volume boule πr X π X,5 77,95 cm ) Déterminer l aire restante : volume du cube volume de la boule 8,877 cm - 77,95 cm 70,9 cm ) Poser le rapport : volume restant 70,9 cm volume du cube 0,7 7, % 8,877 cm 0,7 7, %

17 7. On crée un deuxième cube en doublant les dimensions d un premier cube. Quelle est la probabilité qu un point se situe dans le premier cube? 7 Déterminer le rapport des volumes : Rapport de similitude Rapport des volumes ; 8 8 0,5,5 % Défi : C Une fonction linéaire de variation directe a un taux de variation de unités. Quelle est la probabilité qu un point se situe sur un segment de la droite délimitée par le domaine [, ] sachant que la droite est limitée au domaine [0, 0]? ) Déterminer la règle est : f(x) x. ) Déterminer les codomaines associés aux domaines de chaque segment : Le codomaine associé au domaine [0, 0] est : f(0) X 0 0 f(0) X 0 0 codom : [0, 0] Le codomaine associé au domaine [, ] est : f() X f() X codom : [, ] ) Tracer le graphique : y x

18 8 Défi (suite) ) Déterminer la mesure du segment pour le domaine [0, 0] à l aide de la relation de Pythagore : y Mesure du segment a : Mesure du segment b : Mesure du segment c: a + b 0 + 0, 5) Déterminer la mesure du segment pour le domaine [, ] à l aide de la relation de Pythagore : y (, ) c c a a x (, ) x b (0, 0) b

19 9 Défi (suite) Mesure du segment a : Mesure du segment b : Mesure du segment c: a + b +,7 ) Poser le rapport : mesure du segment délimité par l intervalle [, ],7 mesure du segment délimité par le domaine [0, 0], 0, 0, Remarque : Les triangles étant semblables, les rapports des côtés homologues sont proportionnels; on aurait pu simplement poser le rapport de la longueur associée à l intervalle recherché sur la longueur associée au domaine. Longueur de l intervalle [, ] : Longueur du domaine [0, 0] : Rapport des longueurs : 0 0,