ROSE 2011 Asservissement PID, PWM et Ponts en H. Siwar Rais Cédric Le Ninivin Samuel Mokrani 24 mars 2011

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1 ROSE 2011 Asservissement PID, PWM et Ponts en H Siwar Rais Cédric Le Ninivin Samuel Mokrani 24 mars

2 Table des matières 1 Asservissement PID Que signie asservissement? Théorie d'un asservissement PID P : Proportionnel I : Intégrateur D : Dérivateur Comment régler les coecients? Par une méthode théorique Par une méthode expérimentale Implémentation du PID Calcul du terme proportionnel Calcul du terme intégral Calcul du terme dérivé Code PWM Dénition de PWM Modes du PWM Applications du PWM Pilotage de leds Pilotage d'un moteur Ponts en H Utilité Principe Protections Utilisation du Pont en H par des PWM Locked Antiphase Introduction d'un temp mort Sign Magnitude Phase correct Bibliographie 19 2

3 1 Asservissement PID 1.1 Que signie asservissement? Pour bien cerner l'objectif d'un asservissement, prenons l'exemple d'un robot à deux roues que l'on veut faire avancer droit. La première idée est d'appliquer la même tension aux deux moteurs. Mais lorsque l'on applique la même tension sur deux moteurs diérents, il se peut très bien qu'ils ne tournent pas rigoureusement à la même vitesse ce qui aura pour conséquence de ne pas faire avancer le robot tout droit. Il déviera légèrement. Ce phénomène peut être dû à diverses raisons comme par exemple une diérence d'usure entre les deux moteurs, une charge mal répartie sur le robot,... Pour résoudre ce problème, on réalise un asservissement. Ce dernier a donc pour but de faire atteindre au système une consigne avec précision. Nous allons détailler dans la suite de ce document l'asservissement par PID (Proportionnel Intégral Dérivé) mais il existe d'autres techniques d'assservissement comme par exemple l'asservissement LQR ("Linear Quadratic Regulator") qui est plus ecace mais plus dicile à mettre en oeuvre. 1.2 Théorie d'un asservissement PID Le principe général d'un asservissement est de récupérer l'état du système à un instant donnée et de le comparer à la consigne de manière à le corriger. Une consigne peut être une position, une vitesse, une accélération, une tension,...mais le principe reste le même. L'asservissement PID est un asservissement en boucle fermé comme en atteste le schéma suivant : Figure 1 Asservissement avec régulateur PID 3

4 Dans la suite de ce document, on dénit les variables suivantes : P : Proportionnel Kp = G Ki = 1/T i Kd = T d Le bloc P réalise une action proportionnelle sur l'erreur. Cette dernière est multipliée par Kp. Intuitivement, plus l'erreur est grande, plus la correction sera grande. Si l'on prend l'exemple d'une voiture qui tente de suivre parfaitement une ligne blanche au sol, le bloc proportionnel est le fait de tourner à gauche si la voiture dévie sur la droite ou de tourner à droite si la voiture dévie sur la gauche. Figure 2 Inuence de Kp Pour voir l'inuence de Kp, on xe Ki et Kd à 0 et on fait varier Kp. On voit bien que lorsque Kp est grand, la commande (courbes bleues) atteint plus rapidement la consigne (courbes noires). De plus, on remarque l'apparition d'oscillations autour de la consigne. Ces dernières peuvent apparaître lorsque le système à asservir induit un déphasage. Sinon le problème ne se pose pas. Dans certains cas, les dépassements peuvent être tolérés mais dans d'autres il est impensable d'en avoir (robotique chirurgicale). Mais le phénomène le plus problématique est que dans certains cas, le système ne peut atteindre la consigne. C'est ce que l'on appelle l'erreur statique. 4

5 Pour des systèmes du premier ordre (H(p) = H 0 ), il y aura l'apparition 1+τp d'une erreur statique à une entrée échelon. Pour que l'erreur statique soit nulle à une entrée d'ordre m, il faut et il sut que la fonction de transfert du système en boucle ouverte contienne m+1 intégrations. Comme ici, nous nous intéressons principalement à une entrée échelon, une intégration sut à annuler l'erreur statique I : Intégrateur Le bloc I réalise une intégration de l'erreur. L'idée principale est d'intégrer l'erreur depuis le début et d'ajouter le résultat à la consigne jusqu'à ce que l'erreur devienne nulle. Lorsque l'erreur est nulle, le terme intégral se stabilise et il compense parfaitement l'erreur entre la consigne et la vitesse réelle. Comme pour le bloc P, lorsque Ki augmente, on atteint plus rapidement la consigne. Pour reprendre l'exemple de la voiture, le terme intégral peut se traduire par un contre braquage an de rétablir la trejctoire de la voiture. Par contre la présence d'un intégrateur dans la chaîne induit la présence d'oscillations. Figure 3 Inuence de Ki Nous voyons bien que l'erreur statique est annulée. Maintenant, on aimerait bien avoir un système qui réagisse vite tout en étant stable. Pour compenser le déphasage introduit par l'intégrateur, on va ajouter un terme dérivé qui aura pour eet d'atténuer les oscillations. 5

6 1.2.3 D : Dérivateur Il est assez facile de comprendre pourquoi le terme dérivé va atténuer les oscillations : lorsque la commande va avoir tendance à dépasser la consigne, la dérivé en ce point sera négative et donc ce terme aura tendance à ramener la commande vers la consigne. Concernant notre voiture, le terme dérivé représente le contre braquage dans le sens opposé à l'erreur lorsque l'on se rapproche de la consigne. Figure 4 Inuence de Kd Avec un asservissement PID, nous pouvons obtenir une réponse assez rapide, plutôt stable et précise. 1.3 Comment régler les coecients? On voit bien que selon les réglages choisis pour les diérents coecients, nous obtiendrons des résultats plus ou moins bons. Il y a plusieurs critères à optimiser : l'erreur statique le dépassement (stabilité) la rapidité Mais il faut être conscient que selon le système que l'on a à asservir, certains critères seront plus importants que d'autres. Nous allons voir deux méthodes permettant de régler les coecients d'un PID : une théorique et une expérimentale Par une méthode théorique Cette méthode suppose la connaissance des équations intrinsèques du système à modéliser (fonction de transfert du procédé dans la Figure 1). Il faut aussi que les équations ne soient pas trop compliquées ce qui rendrait dicile 6

7 la résolution du problème. Cette méthode est résolue entièrement analytiquement en connaissant C(s)etH(s)). La fonction de transfert du schéma bloc vaut donc S(s) E(s) = C(s)H(s). 1+C(s)H(s) En connaissant E(s) (par exemple un échelon), on est capable de calculer S(s) et ainsi d'attribuer aux coecients Kp, Ki et Kp des valeurs pour obtenir une sortie qui nous convienne. En pratique, les équations mises en jeu sont assez complexes ce qui justie l'utilisation d'une méthode expérimentale Par une méthode expérimentale Il existe plusieurs méthodes expérimentales pour déterminer les coecients du PID. Nous allons aborder ici la méthode de Ziegler Nichols. Cette méthode consiste tout d'abord à obtenir la limite de pompage. On obtient cette dernière en mettant Kd et Ki à 0 et en faisant varier Kp pour obtenir des oscillations auto-entretenues. Une fois la limite de pompage obtenue, on note Kpo le coecient du bloc P et on mesure la période T o des oscillations et on peut en déduire les coecients du PID de la manière suivante : Kp = Kpo 1.7 Kd = Kpo 8 Ki = Kpo 2 Cette méthode a l'avantage d'être très simple que ça soit pour la mise en place de l'expérience ou pour les calculs. Par contre elle peut parfois se révéler dangereuse car le système peut entrer dans un état totalement instable. 1.4 Implémentation du PID Dans cette dernière partie sur l'asservissement par PID, nous allons voir comment implémenter un PID dans un microcontrôleur Calcul du terme proportionnel Ce terme consiste juste en une multiplication de Kp par l'erreur. Il ne pose pas de problème majeur. 7

8 1.4.2 Calcul du terme intégral Le plus simple pour calculer ce terme est d'utiliser la méthode des rectangles : Figure 5 Méthode des rectangles Cette méthode consiste à approximer l'intégrale en sommant des aires de rectangles. Plus on choisit un pas d'échantillonage petit, plus l'approximation sera bonne. L'aire d'un rectangle est : t err. Si on intègre la constante t dans le coecient Ki, nous avons : I(t + 1) = I(t) + err et à la n nous multiplions le résultat par Ki Calcul du terme dérivé Le principe pour calculer le terme dérivé est de calculer D(t) = err(t+1) err(t) t. De même que pour le calcul du terme intégral, on peut intégrer le t dans Kd et multiplier au dernier moment le résultat par Kd Code L'implémentation peut se faire de la manière suivante ( t est intégré dans Ki et Kd) : On récupère la valeur du codeur dans Y On met à jour la consigne On stocke l'ancienne erreur utile pour le calcul de la dérivée On calcule la nouvelle erreur 8

9 On calcule l'intégrale On calcule la nouvelle commande à envoyer au moteur On envoie la commande au moteur On réitère un certain nombre de fois à une fréquence dénit par un timer 1 I = 0; 2 Init_timers (1); 3 4 for ( i =1 ; i <= Nb_ cycles ; i ++ ) 5 { 6 Y = Codeur (); 7 Ud = Consigne (); 8 e_old =e; 9 e = Ud - Y; 10 I = I + e; U = Kp * e 13 + Ki * I 14 + Kd * ( e - e_ old ) ; Moteur (U ); 17 while (! end_timer () ); 18 } 9

10 2 PWM 2.1 Dénition de PWM Principe du PWM Le PWM (Pulse Width Modulation) se traduit par : Modulation de largeurs d'impultions(mli). Il consiste à alterner rapidement entre deux états distincts du système an d'obtenir en moyenne un signal analogique. Figure 6 Principe du PWM Comme représenté, le signal PWM peut être obtenu en comparant un signal avec un autre signal triangulaire. En eet, si le signal comparé est au dessus du signal triangulaire, la sortie est à l'état bas. Dans le cas contraire, la sortie est mise à l'état haut. Le signal continu généré à partir des deux valeurs distinctes prend la valeur moyenne sur les intervalles de temps. On précise que dans la gure : Th représente la période de temps pendant laquelle le système est à l'état haut. Tl représente la période de temps pendant laquelle le système est à l'état bas. Le PWM se caractérise par : la période PWM : T pwm = T h + T l le rapport cyclique d'impulsion (Duty cycle) α = 10 T h T pwm

11 La fréquence PWM est toujours constante par contre le rapport cyclique peut varier. De plus, le signal PWM est un signal carré qui varie entre deux valeurs extrèmes mais les systèmes sur lesquels on applique du PWM sont en général des ltres passe bas (moteurs, oeil humain,...), ils ne ressentent que la valeur moyenne du PWM Modes du PWM Il existe deux modes du PWM : edge-aligned : Le signal est asymétrique par rapport au début de la période. Ce signal s'obtient en comparant un signal constant avec un signal triangulaire possèdant une seule pente. Nous trouvons le mode left edge-aligned (à chaque début de période, on est à l'état haut) et le mode right edge-aligned (à chaque n de période, on est à l'état haut) center-aligned : Le signal est une fois à l'état haut, et à la période suivante à l'état bas. Ce signal est donc symétrique par rapport au début d'une période. Ce signal s'obtient en comparant un signal constant avec un signal triangulaire à deux pentes. Figure 7 Edge aligned Figure 8 Center aligned 11

12 2.2 Applications du PWM Pilotage de leds L'électronique pour piloter des leds doit xer le courant qui les traverse. On rappelle qu'un pilotage de leds en tension n'est pas ecace à cause de la ligne exponentielle du courant qui traverse une led par rapport à la tension à ses bornes. Le pilotage avec du PWM est surtout utilisé pour les leds de puissance. À l'aide du PWM on peut bien contrôler la puissance lumineuse des leds. En eet, le PWM peut être mis en place pour : xer le ux lumineux d'une led. Dans ce cas le rapport cyclique est gardé constant. l'eet de "Dimming" : faire varier la puissance lumineuse au cours du temps. Ici, on remarque que le rapport cyclique varie Pilotage d'un moteur Un moteur peut être représenté par le schéma équivalent suivant : 12

13 Pour commander un moteur en continu, il y a un certain intervalle de fréquences PWM permises. D'une part, une très petite fréquence PWM engendre la sensibilité du moteur à la variation de tension. Pour se mettre au dessus de cette fréquence minimale, il faut suivre les étapes suivantes : Tout d'abord on xe le pourcentage de stabilité P (donne le degrès de variation du signal de sortie) qu'on souhaite avoir. Aprés, on se réfère à la datasheet du moteur pour obtenir la résistance R et l'inductance L de son schéma équivalent. Remarque : généralement le moteur est intégré dans un montage pont en H (voir ci-dessous). Il ne faut pas oublier d'additionner les résistances du MOSFET! Enn, il sut d'appliquer la formule suivante : Figure 9 Fréquence minimale D'autre part, si l'on utilise un pont en H (voir ci dessous), il ne faut pas dépasser une certaine fréquence pour limiter les pertes lors de la commutation des transistors du pont en H. Mais si on choisit une fréquence de PWM qui appartient au spectre audible, nous allons entendre des siements au niveau du moteur. Une solution à ce problème est l'utilisation du PWM Spread Spectrum. L'idée principale est de garder un rapport cyclique constant mais de faire varier la fréquence du PWM. Les fréquences sont ainsi réparties sur un plus large spectre. Toute l'énergie n'est plus dans une seule fréquence mais elle est répartie. Le bruit sera donc atténué. 13

14 3 Ponts en H 3.1 Utilité En robotique il est souvent utile de pouvoir faire tourner un moteur dans les deux sens. Pour cela on doit pouvoir appliquer aux bornes de ce moteur un important courant et son opposé, ce qui n'est pas possible si celui-ci est directement branché sur le micro-controlleur. Pour cela on utilise un jeu d'interrupteurs pouvant être controllés par des courants moins importants. Ce qui se traduit dans notre cas par l'usage de transistors. 3.2 Principe Pour cela on utilise le système du pont en H qui tire son nom de la forme de son schéma électrique. Figure 10 Pont en H Ce système permet bien d'appliquer un courant électrique important dans les deux sens, comme on le voit dans le tableau suivant : A B C D le moteur tourne vers la doite le moteur tourne vers la gauche le moteur freine le moteur freine Tout autre branchement provoque un court-circuit 14

15 Voici une illustration de ce fonctionnement : Figure 11 Fonctionnement vers la droite du moteur 3.3 Protections Pour protéger le moteur on ajoute des diodes. En eet en cas d'arrêt brutal de l'alimentation, la tension aux bornes du moteur est de V = L di dt d'après la loi de Lenz. La diode de roue libre va donc permettre de dissiper l'intensité emmagasinée au moment de l'arrêt brutal. Figure 12 Pont en H avec diodes de roue libre 15

16 4 Utilisation du Pont en H par des PWM Comme nous l'avons vu précedemment, les moteurs se comportent naturellement comme des ltres passes-bas et sont donc facilement controlable grâce au PWM. En eet, il permet un contrôle proportionel et rapide du système. Nous verrons dans cette partie comment utiliser ensemble les Ponts en H autour d'un moteur à courant continu avec des PWM, les problèmes que cela peut poser et leur solutions. On notera bien évidemment que les interrupteurs sont ici des transistors an de pouvoir être connectés directement en sortie du microcontrôleur. 4.1 Locked Antiphase Nous commencerons par le cas le plus simple : Chaque demi-pont (A- D et B-C) est connecté sur le PWM et A-D est à 1 lorsque le PWM est à 1 et B-C à 1 lorsqu'il est à 0. Le moteur possède donc deux modes de fonctionnement : avancer et reculer sur lesquels joue le micro controlleur. Ainsi pour un rapport cyclique de 100%, le moteur avance à pleine vitesse, et inversement pour un rapport à 0% le moteur recule à pleine vitesse. Ainsi pour maintenir le moteur à l'arrêt il faudra un rapport de cyclique de 50%. Le défaut de ce système vient des limitations physiques des transistors dont le temps de fermeture est diérent de celui d'ouverture. On risque dès lors d'avoir A-B ou C-D de fermés simultanément, ce qui provoquerait un court-circuit. 4.2 Introduction d'un temp mort Pour régler ce problème de manière simple, on asservi chaque demi-pont à un PWM mais de manière inversée (PWM1 à 1 implique A-D laisse passer le courant et PWM2 à 0 permet à B-C d'être actif). Ces deux PWM sont en mode center-aligned ce qui nous permet d'avoir des fronts distincts pour les deux signaux. Ainsi on peut facilement s'assurer de la bonne fermeture des transistors en s'assurant que PWM2 est à zéro quand PWM1 y est et que la transition à 1 de PWM1 implique une transition anticipée de PWM2 à 1. Ainsi, on assure aux transistors le temps de se refermer et d'éviter le court-circuit. Le défaut de cette période est qu'elle nécéssite 2 signaux PWM. 16

17 4.3 Sign Magnitude Une autre méthode ne nécessitant qu'un seul signal PWM peut être mise en place : la Sign magnitude. Celle-ci consiste à s'assurer qu'un seul demi-pont est actif à la fois, c'est à dire que le moteur ne peut qu'avancer dans un sens et freiner. Il faut dès lors activer l'autre demi-pont pour pouvoir inverser le sens du moteur. Cette méthode présente donc l'avantage de n'utiliser qu'un seul PWM, mais elle implique un usage et donc une usure asymétrique du système. Finalement, même si elle est simple à mettre en oeuvre elle présente un soucis de abilité à long terme. Figure 13 Les deux phases 4.4 Phase correct Une troisième méthode est possible permettant de laisser les intervalles de temps nécéssaires à la fermeture des transistors tout en s'assurant un usage symétrique du système. Pour cela on utilise le mode "Phase Correct" du PWM qui permet de décomposer chaque cycle en quatres étapes. (1) le demi-pont A-D est actif le moteur tourne vers la droite (2) on court-circuite le moteur (3) le demi-pont B-C est actif le moteur tourne vers la gauche (4) on court-circuite le moiteur Figure 14 Les quatres phases du phase correct 17

18 Cette dernière méthode est able, mais le temps d'utilisation du moteur de manière active est largement diminué par rapport aux autres méthodes. Elle est donc bien moins réactive. 18

19 5 Bibliographie http ://ancrobot.free.fr/ http ://fr.wikipedia.org/wiki/régugulateur_pid http ://sciences-indus-cpge.papanicola.info/img/pdf/sa6-precision_des_s- A.pdf http ://en.wikipedia.org/wiki/h_bridge http :// http ://homepages.which.net/ paul.hills/speedcontrol http ://www2.renesas.eu http :// 19

20 Table des gures 1 Asservissement avec régulateur PID Inuence de Kp Inuence de Ki Inuence de Kd Méthode des rectangles Principe du PWM Edge aligned Center aligned Fréquence minimale Pont en H Fonctionnement vers la droite du moteur Pont en H avec diodes de roue libre Les deux phases Les quatres phases du phase correct