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1 Les cordes sont de dimètres vribles. Si on les remplce pr deux cordes de même dimètre, le dimètre moyen, le résultt devrit être le même. Ici le résultt, c est sns doute l résistnce qui est proportionnelle à l section des cordes. En ppelnt d 1 et d les dimètres des cordes et d le dimètre moyen, on doit voir : pd 1 + pd = pd soit d = d 1 + d =,5 ou d = d 1 + d (surfce d'un cercle : S = pd ) ª1,58 Le dimètre moyen est de 1,58cm. Cette moyenne qui fit intervenir les crrés s ppelle une moyenne qudrtique. L moyenne rithmétique (1,5cm) est ici ml dptée : deux cordes de 1,5cm de dimètre serient moins résistntes que l ensemble formé pr les deux cordes proposées de 1 et cm de dimètre..3.. Formules Pour une vrible x, les formules de moyenne qudrtique Q s écrivent : Q =  n pour une moyenne simple et Q =  n i  n i pour une moyenne pondérée vec des effectifs n i. Les clculs s enchînent de l mnière suivnte : Vleurs xi z i = z Q = z crré Moyenne rithmétique rcine crrée L moyenne qudrtique de plusieurs grndeurs est l rcine crrée de l moyenne rithmétique de leurs crrés. 13

2 .3.3. Écrt-type Reprenons encore une fois l exemple des âges des enfnts. Pour mesurer l dispersion à prtir des écrts à l moyenne, il étit ppru nécessire de prendre les écrts en vleur bsolue, de fçon à éviter le jeu de compenstion entre les écrts positifs et les écrts négtifs. Une utre méthode tout ussi efficce pour obtenir des grndeurs positives consiste à élever rtificiellement les écrts u crré. Le tbleu du.1.3. devient lors :  n i e i e i n i e i n i = 10 Moyenne : V = +0,8 +0, +1,  n i e i  n i = 0, 56 0,6 0,0 1, Cette moyenne s ppelle l vrince. +,56 +0,16 +,88  n i e i = 5, 6 L vrince est l moyenne des crrés des écrts utour de l moyenne. Elle se mesure en (nnées). Pour obtenir une crctéristique de dispersion qui s exprime en nnées, on clcule l rcine crrée : c est l écrt-type : s = V =  n i e i  n i ª 0, 75 Le procédé est le même que pour les dimètres u prgrphe précédent. Les écrts sont en moyenne de 0,75 nnée (9 mois). Le résultt est du même ordre de grndeur que l écrt bsolu moyen. L interpréttion est l même : ±O,75 nnée d écrt utour de l moyenne rithmétique. L écrt-type est l moyenne qudrtique des écrts utour de l moyenne rithmétique..3.. Formule développée de l écrt-type Contrirement ux pprences, l écrt-type est beucoup plus fcile à clculer que l écrt bsolu moyen. Cel tient ux propriétés des crrés qui se développent gréblement : ( - x ) = - x + x n i ( - x ) = n i -n i x + n i x 1

3 ( - x ) = n 1 x 1 -n 1 x 1 x + n 1 x +n x -n x x + n x +... x i -x + x  n i Ân V = i ( - x ) Ân = i Ân V = i -x + x Ân - + x Ân V = i - x Cette dernière formule (formule développée) définit une deuxième mnière de clculer l vrince et donc l écrt-type. Elle peut se lire : L vrince, c est l moyenne des crrés moins le crré de l moyenne. Cette formule ne fit intervenir l moyenne qu une seule fois à l fin des clculs et non ps à chque ligne dns le tbleu. Elle est plus prtique pour des clculs à l min. Qunt à l clculette, c est l seule formule qu elle puisse utiliser. Comme il n y ps de formule développée pour l écrt bsolu moyen, il n y ps de touche écrt bsolu moyen sur l clculette. n i n i n i  n i = 10  n i = 98  n i x i = 966 V = Ê 98 ˆ Á Ë Décomposition de l vrince = 0,56 s ª 0,75 Lorsque deux ou plusieurs groupes sont réunis, l vrince du grnd groupe peut se clculer à prtir des moyennes et vrinces de chque sous-groupe. Pour deux sous-groupes et b, on peut reprendre les nottions introduites u prgrphe.1.. pour les moyennes : n x =  n s = Â( - x ) n b x b =  De même, pour les vrinces : n b s b = Â( - x b ) b b ns = nx =  =  +  = n x + n b x b & b Â( - x ) = Â( - x ) + Â( - x ) & b b b 15

4 Dns le groupe on peut décomposer l somme des crrés des écrts en introduisnt l moyenne du groupe : Â( - x ) = Â ( - x ) + (x - x ) [ ] = Â ( - x ) + Â (x - x ) + Â( - x )( x - x ) et dns l dernière sommtion, (x - x ) est une constnte qui peut se mettre en fcteur, donc devnt le signe somme : Â( - x )( x - x ) = (x - x ) Â ( - x ) = 0 ce qui fit pprître l somme des écrts à l moyenne dns le groupe. Cette somme est nulle (cf..1.. ), de sorte qu on tout simplement : Â( - x ) = n s + n (x - x ) et une reltion nlogue dns le groupe b ce qui donne finlement pour l vrince du grnd groupe : s = n s + n b s b + n (x - x ) + n b (x b - x ) n + n b n + n b moyenne des vrinces vrince des moyennes C est l formule de décomposition de l vrince qui peut se générliser fcilement quel que soit le nombre de sous-groupes, b, c, d, etc. L moyenne des vrinces s ppelle ussi vrince intr-groupes (dispersion à l intérieur des groupes) et l vrince des moyennes s ppelle vrince inter-groupes (dispersion entre les groupes). Il n y ps de formule nlogue pour les utres crctéristiques de dispersion comme l étendue, l intervlle interqurtile ou l écrt bsolu moyen. On retrouve l vntge déjà signlé u prgrphe.1.. Au niveu européen, pr exemple, on peut clculer l vrince ou l écrt-type à prtir des moyennes et des écrts-types ntionux Échntillons Lorsque l dispersion dns une popultion est estimée à prtir d un échntillon létoire, on démontre que l formule normle conduirit à sous-estimer l vrince. On dit qu il y un biis dns l estimtion. On obtient une formule plus correcte (sns biis) en divisnt l somme des crrés des écrts pr n 1 u lieu de n : Â(x s n-1 = i - x ) = n n-1 n-1 s n Les clculettes proposent les deux types de formules s n et s n 1. Sur Excel, les fonctions s ppellent ECARTYPEP pour un clcul sur une popultion entière et ECARTYPE pour un clcul à prtir d un échntillon.

5 .. Moyenne géométrique..1. Action Une ction vu son cours doubler en un n et être multiplié pr 8 l nnée suivnte. Quel est le coefficient multiplicteur moyen? Le cours de l ction été multiplié pr 16 (x8) en deux ns, ce qui revient u même qu un coefficient multiplicteur de pour les deux nnées consécutives. Ici, l moyenne de et 8 est donc. Cette moyenne s ppelle une moyenne géométrique. Comme les suites géométriques, elle est bsée sur l multipliction. L différence vec une moyenne rithmétique sute ux yeux : x8 = 16 = x Moyenne géométrique : +8 = 10 = 5+5 Moyenne rithmétique : 5... Formules Pour vleurs x 1 et x, l moyenne géométrique G s écrit : G = x 1 x Et plus générlement pour n vleurs, en notnt P l opérteur produit : G = ( ) 1 n pour une moyenne simple n et G = ( i ) 1  n i pour une moyenne pondérée. L moyenne géométrique de n vleurs est égle à l rcine nième de leur produit..3. Logrithmes On se souvient que les logrithmes trnsforment les produits en sommes. Ils permettent donc de fire pprître une moyenne rithmétique dns le clcul de l moyenne géométrique : logg =  log n pour une moyenne simple et logg =  n i log  n i pour une moyenne pondérée. Le logrithme de l moyenne géométrique de plusieurs vleurs est égl à l moyenne rithmétique de leurs logrithmes. 17

6 Les clculs s enchînent de l mnière suivnte : Vleurs z i = log z G =10 Z logrithme Moyenne rithmétique exponentielle.5. Comprison de moyennes.5.1. Clculs L moyenne de deux nombres est toujours comprise entre ces deux nombres. Si les deux nombres sont proches, toutes les moyennes sont voisines. Mis si les deux nombres sont éloignés l un de l utre, les écrts entre les différentes moyennes peuvent être très grnds comme on peut s en rendre compte près quelques essis : 1 nombre x ,001 nombre y Moyennes Hrmonique H 1,33 3, ,00 Géométrique G 1,1 8, Arithmétique A 1, Qudrtique Q 1,58 5,8 9, Toutes ces moyennes vérifient les reltions : H < G < A < Q et G = H A Pour l démonstrtion, on écrit les moyennes de nombres x et y positifs : H = xy x + y G = xy A = x + y et on forme les expressions suivntes : Q = x + y A - H = x + y - xy x + y = (x + y) - xy (x - y) = (x + y) (x + y) > 0 donc H < A Q - A = x + y Ê - x + y ˆ Á Ë = (x + y) -xy = (x - y) > 0 donc A < Q 18

7 HA = xy x +y x +y = xy = G L moyenne géométrique de deux nombres est ussi l moyenne géométrique de leur moyenne rithmétique et de leur moyenne hrmonique, ce qui prouve, u pssge, que l moyenne G est comprise entre H et A. Le clssement des moyennes se trouve insi justifié..5.. Construction géométrique Une construction géométrique intéressnte permet de réunir sur une même figure les moyennes les plus courntes à l ide de deux demicercles et quelques perpendiculires. O H Q G A x y OA représente l moyenne rithmétique de x et y (en effet, OA est un ryon du grnd cercle, donc moitié du dimètre x+y ), OG représente l moyenne géométrique de x et y (cr OG est l huteur du tringle rectngle de sommet O inscrit dns le grnd demicercle), OH représente l moyenne hrmonique de x et y (d près l reltion OG = OH x OA dns le tringle rectngle OGA ), OQ représente l moyenne qudrtique de x et y. Pour démontrer cette dernière proposition, on remrque que AG = y - x = AQ (ryon du petit cercle) OQ = OA + AQ Ê = x + y ˆ Ê Á + y - x ˆ Á Ë Ë = x + y 19

8 .5.3. Définitions nciennes Les différentes moyennes sont connues depuis très longtemps. Mis utrefois, vnt l invention du lngge lgébrique, les définitions devient emprunter le lngge ordinire, ce qui rendit les choses beucoup moins fciles. Étnt donnés 3 nombres ordonnés du plus grnd u plus petit, on peut proposer plusieurs mnières de plcer le deuxième nombre, intermédiire entre le premier et le troisième. Exemple 1. «L excès du premier nombre pr rpport u deuxième est le même que l excès du deuxième pr rpport u troisième». En lngge lgébrique, en notnt, b, c, les 3 nombres : - b = b - c soit b = + c C' est l moyenne rithmétique. Exemple. «Le premier nombre est u deuxième ce que le deuxième est u troisième». b = b soit b = c C' est l moyenne géométrique. c Exemple 3. «Le premier nombre dépsse le deuxième d une frction de lui-même, tndis que le deuxième dépsse le troisième de l même frction du troisième». 1 - b = b - c 1 soit c b = + 1 c C' est l moyenne hrmonique. L moyenne hrmonique urit été introduite pr Hippse de Métponte (utour de 500 vnt J.-C.), un mthémticien grec, disciple direct de Pythgore et chef de file des cousmtiques, les cndidts à l initition..6. Moyennes générlisées.6.1. Principe Pour s dpter à des situtions prticulières, on peut générliser le schém de clcul d une moyenne M : Vleurs z i = f( ) z M = f -1 (Z ) Trnsformtion mtion Moyenne rithmétique trnsformtion inverse 0

9 .6.. Moments On peut considérer, en prticulier, des moments centrés d ordre k : m 1 = 0 (somme des écrts à l moyenne) m k = 1 n  ( - x )k m = s (vrince) m 3 et m sont des coefficients qui permettent de crctériser l forme d une distribution sttistique. Pour plus de commodité, on définit des coefficients sns dimension (qui ne dépendent ps des unités) : 3 crctérise l symétrie : 3 = 0 3 > 0 3 < 0 3 = m 3 s 3 pour une distribution symétrique. pour une distribution dissymétrique à droite (queue à droite). pour une distribution dissymétrique à guche (queue à guche). et = m s 3 > 0 3 = 0 3 < 0 crctérise l pltissement (on dit ussi kurtosis pour fire svnt) : = 3 pour une distribution normle (loi de Guss) > 3 pour une distribution plutôt pointue (leptokurtique) < 3 pour une distribution plutôt plte (pltykurtique) Pour voir un coefficient centré, on peut ussi utiliser b = 3 > 3 = 3 < 3 b > 0 b = 0 b < 0 1

10 3. Chngements de vribles 3.1. Principe générl L moyenne rithmétique et l écrt-type sont certinement les types de moyennes les plus utilisés. Pour bien comprendre ce qui se psse lors d un chngement de vrible, nous utiliserons deux exemples concrets Un coup de vieux Un groupe de 10 mis se réunit. L moyenne d âge est de 5 ns vec un écrt-type de 18 mois. Deux nnées pssent et les mêmes mis se rencontrent toujours. Que sont devenus l moyenne et l écrt-type du groupe? Tous les âges ont ugmenté de ns. Le totl des 10 âges donc ugmenté de 0 ns. En divisnt pr 10 pour obtenir l moyenne, on constte bien sûr que l moyenne ussi ugmenté de ns. Les écrts, u contrire, sont inchngés : si l un des mis vit 1 n de plus que l moyenne, ns près, il ur toujours 1 n de plus que l moyenne. Si ucun écrt ne chnge, l écrt-type ne chnge ps non plus, puisqu il se clcule comme moyenne qudrtique des écrts. Conclusion : dns le cs d un déclge uniforme (une trnsltion), l moyenne subit le même déclge, mis l écrt-type est inchngé. L dispersion reste l même Notes Dns une clsse, l moyenne est de 1 sur 0 vec un écrt-type de points. Le directeur décide qu il fut noter sur 10 et toutes les notes sont donc divisées pr. Quel est l effet de ce chngement sur l moyenne et l écrt-type? L somme des notes est divisée pr et donc l moyenne ussi. L nouvelle moyenne est de 6 sur 10. Pour un élève qui vit 1, pr exemple, donc points u-dessus de l moyenne, l nouvelle note psse à 7, donc 1 point u-dessus de l moyenne. Les écrts sont divisés pr. L écrt type résume les écrts, il est donc lui ussi divisé pr. Conclusion : dns le cs d un chngement d échelle (dilttion), moyenne et écrt-type suivent le même chngement d échelle. 3.. Formules Si on note l vrible d origine et z i l nouvelle vrible, on peut rssembler les deux sortes de chngements de vrible dns l formule suivnte :

11 z i = - b ou = z i + b Pour l moyenne, on peut écrire : Ân x = i =  x = n i z i x = z + b  n i (z i + b)  + b n i ou Et pour l vrince ou l écrt-type : z = x - b L moyenne suit le même chngement que l vrible. s Ân x = i ( - x ) Ân = i (z i - z ) s x = (z i - z ) = s z 3.3. Simplifiction des clculs s z = s x L écrt-type n est ps influencé pr le déclge. Les formules de chngement de vrible étnt très simples, on peut s en servir ussi pour des chngements de vribles rtificiels, dns le seul but de simplifier les clculs. Pr exemple, pour clculer l moyenne entre des slires de 1.1, 1.17, 1.0 et 1.5 Euros on peut se décler de 1.0 Euros pour trviller vec 6, 3, 0 et +5. L moyenne est 1 qui correspond à 1.19 Euros. Autre exemple, pour clculer l moyenne de 00, 500 et 900, on peut se contenter de trviller vec, 5, et 9. L moyenne est 6, qui correspond donc 600. On pourr se reporter ux exercices.. et Vribles centrées réduites Un chngement de vrible très intéressnt consiste à choisir b = x et = s x. On obtient insi dns tous les cs une vrible de moyenne nulle et d écrt-type égl à 1. On prle d une vrible centrée-réduite. Pour les grnds tbleux vec de nombreuses vribles, cel permet de voir du premier coup d œil comment une vleur se situe pr rpport à l moyenne. Les vleurs positives signlent les grndeurs qui se trouvent u-dessus de l moyenne. Et inversement, les vleurs négtives signlent les grndeurs qui se trouvent u-dessous de l moyenne. Les vleurs proches de zéro correspondent à des résultts proche de l moyenne et les grndeurs supérieures à ou 3 en vleur bsolue correspondent à des résultts très éloignés de l moyenne (voir ex..). 3

12 . Exercices en pgille.1. Achts On relevé le montnt en Euros de 80 chts effectués dns un mgsin u cours d une journée. 1,8 6,03 65,73 8,18 8,3 8,90 36,3 9,63 96,90 8,,66 8,0 6,1 38,15 51,75 5,06 113,88 3,78 37,83 69,05 35,93 111,60 9,77 109,88 78, 6,37,9 66,53 6,7 39,3 98,53 59,68 87,1 109,96 90,81 51,36 88,3 5,01 87,1, 98,88 1,01 66,5 57,66 0,17 71,7 5,56 78,86 51,0 10,05 65,9 88,73 57,33 61,07 19,58 0,77 7,77 15,9 10,76 68,85 93,08 75,3 50,6 6,95 71, 3,91,80 79,9 77,7 58,79 75,00 111,1 10,11 5, 38,5 91,8 5,13 15, 10,5 6,8 Clculer l moyenne et l écrt-type directement à prtir des données ; en regroupnt les données pr clsses d mplitude 10 Euros ; en regroupnt les données pr clsses d mplitude 0 Euros ; en regroupnt les données pr clsses d mplitude 30 Euros. Comprer les résultts obtenus pr les différentes méthodes... Slires On donne l distribution de slires ci-contre pour un groupe de 100 personnes. Effectuer un chngement de vrible judicieux pour clculer plus fcilement l moyenne et l écrt-type. Interpréter les résultts. Slires n i 800 à 85 Euros à 850 Euros à 875 Euros à 900 Euros à 95 Euros 1 Comment dpter les résultts si les 100 personnes constituent un échntillon létoire à prtir duquel on cherche à estimer les crctéristiques d une popultion beucoup plus lrge?.3. Euros Dns une entreprise, le slire moyen est de Frncs vec un écrt-type de Frncs. On psse à l Euro. Que deviennent ces crctéristiques?

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