L imagerie vue par un mathématicien

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1 L imagerie vue par un mathématicien Li-Thiao-Té Sébastien LAGA UMR 7539, Université Paris 13

2 Plan Généralités Images Modèles

3 Qu est-ce qu une image? des coordonnées spatiales des mesures pour chaque position

4 Qu est-ce qu une image? des coordonnées spatiales des mesures pour chaque position intensité lumineuse, couleur des catégories : tissus sain/malade, poumon/foie/coeur des mesures quantitatives (continues) : nombres de molécules, cellules, poids, taille, etc.

5 Qu est-ce qu une image? des coordonnées spatiales latitude/longitude, poids, rapport m/z, hydrophobicité, etc. coordonnées continues en dimension 2, 3, n des mesures pour chaque position

6 Qu est-ce qu une image? des coordonnées spatiales des mesures pour chaque position des objets localisés, avec une structure spatiale, des contours

7 Qu est-ce qu un modèle mathématique? La même chose qu un modèle biologique : une certaine description du phénomène, qui est fausse, mais qui peut proposer des conclusions intéressantes. Trois grandes familles de modèles équations différentielles / énergies modèles informatiques / discrets probabilités / statistiques

8 Équations différentielles / Énergie expriment des vitesses d évolutions : d2 x dt 2 = k m x(t) solutions stationnaires / équilibres x(t) = 0, x (t) = 0 formulation énergétique mv 2 /2 + kx 2 /2 = const mimima d énergie Exemples : débruitage par minimisation de E = attache aux données + régularité segmentation par minimisation de E = attache aux données + régularité

9 Modèles discrets Simplification de l espace en pixels, travail sur les relations de proximité. les opérations morphologiques contrôlent la topologie modèles de graphes indiquent les relations (de proximité)

10 Modèles probabilistes Modélisation de la variabilité / du bruit I(x, y) ax + by + c + ε bruit d acquisition variabilité biologique

11 Plan Généralités Amélioration / Enhancement Segmentation Quantification Recalage / Registration Analyse de forme / Shape analysis

12 Amélioration / Enhancement déf : améliorer la qualité et l interprétabilité des images Pour corriger les intensités, il faut modéliser le bruit et les effets systématiques de l instrument. débruitage : quel type de bruit? reconstruction des images : principe d acquisition de l instrument? normalisation, correction d atténuation : principe physique? Pour corriger les coordonnées, il faut modéliser les objets super-résolution interpolation En général, il y a un compromis entre correction des intensités et des coordonnées.

13 Segmentation déf : tracer les contours des structures d intérêt. Trois types d algorithmes : intensités similaires contours de l image régions homogènes

14 mesures quantitatives / biomarqueurs morphométrie texture Deux problèmes : comment effectuer la mesure? quelle est la qualité de cette mesure? Quantification déf : extraction des caractéristiques des objets (volume, angle, vitesses, etc.)

15 Recalage / Registration déf : mettre des images dans le même système de coordonnées On autorise certaines distortions entre images déformations des objets multi-modalités variabilité biologique (différences entre patients)

16 Analyse de forme / Shape analysis déf : décrire / modéliser la variabilité (biologique) des formes indicateurs statistiques : diamètre moyen, volume, etc. clustering : découpage en groupes + élément représentatif géométrie différentielle : modèle de la distance entre formes

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