Réduction. Sous-espaces stables. [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Réduction. Sous-espaces stables. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1"

Transcription

1 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1 Réduction Sous-espaces stables Exercice 1 [ ] [Correction] Soient u et v deux endomorphismes d un K-espace vectoriel E. On suppose que u et v commutent, montrer que Im u et ker u sont stables par v. Que dire de la réciproque? Exercice 5 [ ] [Correction] Soient u L(E) (avec dim E < + ) nilpotent et p N tel que u p = 0. a) Établir que pour tout k {1,..., p}, il existe un sous-espace vectoriel F k de E tel que ker u k = ker u k 1 F k b) Établir que E = F 1 F p. c) Observer que la matrice de u dans une base adaptée à la somme directe ci-dessus est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux nuls. Exercice 2 [ ] [Correction] Montrer qu un endomorphisme f d un K-espace vectoriel E commute avec un projecteur p si, et seulement si, les espaces Im p et ker p sont stables par f. Exercice 3 [ ] [Correction] Soient E un K-espace vectoriel et f et g deux endomorphismes de E tels que f g = g f. a) Montrer que ker f et Im f sont stables par g i.e. g(ker f) ker f et g(im f) Im f b) En déduire que, si p est un projecteur de E, on a : p et f commutent si, et seulement si, Im p et ker p stables par f. Exercice 4 [ ] [Correction] Soit u un endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension finie. On pose N = ker u p et I = Im u p p=0 p=0 a) Montrer qu il existe n N tel que N = ker u n et I = Im u n. b) Établir que N et I sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires stables par u et tels que les restrictions de u à N et I soient respectivement nilpotente et bijective. c) Réciproquement on suppose E = F G avec F et G sous-espaces vectoriels stables par u tels que les restrictions de u à F et G soient respectivement nilpotente et bijective. Établir F = N et G = I. Exercice 6 [ ] [Correction] Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie n non nulle et f L(E) vérifiant f 2 = Id E. a) Soit a E non nul. Montrer que la famille (a, f(a)) est libre. On pose F (a) = Vect (a, f(a)). b) Montrer qu il existe des vecteurs de E a 1,..., a p non nuls tels que E = F (a 1 ) F (a p ) c) En déduire que la dimension de E est paire et justifier l existence d une base de E dans laquelle la matrice de f est simple. Exercice 7 [ ] [Correction] Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E vérifiant u 3 + u = 0 a) Montrer que l espace Im u est stable par u. b) Pour x Im u, calculer u 2 (x) c) Soit v l endomorphisme induit par u sur Im u. Montrer que v est un isomorphisme. d) En déduire que le rang de l endomorphisme u est un entier pair. Exercice 8 [ ] [Correction] Déterminer les sous-espaces vectoriels stables pour l endomorphisme de dérivation dans K [X].

2 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 2 Exercice 9 [ ] [Correction] [Endomorphisme cyclique] Soient u endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension finie n 2. On suppose que E est le seul sous-espace vectoriel non nul stable par u. a) L endomorphisme u possède-t-il des valeurs propres? b) Montrer que pour tout x E \ {0 E }, la famille (x, u(x),..., u n 1 (x)) est une base de E. Quelle est la forme de la matrice de u dans cette base? c) Montrer que cette matrice ne dépend pas du choix de x. Exercice 10 [ ] [Correction] Soient u et v deux endomorphismes d un K-espace vectoriel de dimension n N. On suppose u v = v u et v nilpotent. On désire montrer det(u + v) = det u en raisonnant par récurrence sur la dimension n 1. a) Traiter le cas n = 1 et le cas v = 0. b) Pour n 2 et v 0, former les matrices de u et v dans une base adaptée à Im v. c) Conclure en appliquant l hypothèse de récurrence aux restrictions de u et v au départ de Im v. Exercice 11 [ ] [Correction] Soient E un espace vectoriel de dimension finie et u L(E) nilpotent. Soit S un sous-espace vectoriel de E stable par u et tel que Montrer que S = E. E = S + Im u Exercice 12 [ ] [Correction] Soit E = E 1 E 2 un K-espace vectoriel. On considère Γ = {u L(E) ker u = E 1 et Im u = E 2 } a) Montrer, pour tout u de Γ que ũ = u E2 est un automorphisme de E 2. Soit φ: Γ GL(E 2 ) définie par φ(u) = ũ. b) Montrer que est une loi interne dans Γ. c) Montrer que φ est un morphisme injectif de (Γ, ) dans (GL(E 2 ), ). d) Montrer que φ est surjectif. e) En déduire que (Γ, ) est un groupe. Quel est son élément neutre? Exercice 13 [ ] [Correction] On note E = C(R, R) et on pose, pour toute f E et tout x R, T f(x) = f(x) + x a) L opérateur T est-il un automorphisme de E? 0 f(t) dt b) Existe-t-il un sous-espace vectoriel de E de dimension finie impaire et stable par T? Exercice 14 [ ] [Correction] Une matrice A = (a i,j ) M n (R) est dite magique s il existe un réel s vérifiant n n i 1 ; n, a i,j = s et j 1 ; n, a i,j = s j=1 On note U la colonne U = t ( 1 1 ) M n,1 (R). a) Montrer que la matrice A est magique si, et seulement si, il existe des réels λ et µ vérifiant AU = λu et t UA = µ t U Que dire alors des réels λ et µ? b) On introduit les espaces D = Vect(U) et H = {X M n,1 (R) t UX = 0}. Pourquoi peut-on affirmer que ces espaces sont supplémentaires? c) Montrer qu une matrice A de M n (R) est magique si, et seulement si, elle laisse stable les espaces D et H. d) En déduire que la dimension de l espace de matrices magiques de M n (R). Matrices semblables Exercice 15 [ ] [Correction] Soit A M 3 (R) vérifiant A 2 = 0 et A 0. i=1

3 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 3 Établir que A est semblable à la matrice B = Exercice 16 [ ] [Correction] Soit A M n (K) vérifiant A n 1 O n et A n = O n Établir que A est semblable à la matrice 0 1 (0) B =... 1 (0) 0 Exercice 17 [ ] [Correction] Soit A M n (K) une matrice non nulle telle que les espaces Im A et ker A soient supplémentaires. Montrer que la matrice A est semblable à une matrice de la forme ( ) A 0 avec A GL 0 0 r (K) Exercice 18 [ ] [Correction] Soit A M n (K) une matrice telle que A 2 = 0 et de rang r > 0. Montrer que A est semblable à ( ) 0 Ir B =. 0 0 Exercice 19 [ ] [Correction] Soit A M 3 (R) non nulle vérifiant A 3 + A = O 3 Montrer que A est semblable à la matrice Exercice 20 [ ] [Correction] Soit M M 4 (R) telle que M 2 + I = 0. Montrer que M est semblable à la matrice Exercice 21 [ ] [Correction] Soit A M n (R) de trace nulle. Montrer que A est semblable à une matrice de la forme Exercice 22 [ ] [Correction] Soit A M n (K) une matrice de rang 1. a) Montrer que A est semblable à une matrice dont les n 1 premières colonnes sont nulles. b) En déduire A 2 = tr(a).a et det(i n + A) = 1 + tr A Exercice 23 [ ] [Correction] Quelles sont les matrices carrées réelles d ordre n qui commutent avec diag(1, 2,..., n) et lui sont semblables? Exercice 24 [ ] [Correction] Soient A et B dans M n (R) semblables sur C. Montrer que A et B sont semblables sur R. Exercice 25 [ ] [Correction] Soit f : M n (C) C non constante telle que : (A, B) M n (C) 2, f(ab) = f(a)f(b) Pour A M n (C), prouver l équivalence : A inversible f(a) 0

4 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 4 Exercice 26 [ ] [Correction] Soit A M 3 (R) non nulle vérifiant A 2 = O 3. Déterminer la dimension de l espace C = {M M 3 (R) AM MA = O 3 } Exercice 27 [ ] [Correction] Les matrices suivantes sont-elles semblables? A = et B = Exercice 28 [ ] [Correction] Soit G une partie de M n (R) non réduite à la matrice nulle. On suppose que (G, ) est un groupe. Montrer qu il existe r N tel que le groupe (G, ) soit isomorphe à un sous-groupe de (GL r (R), ). Etude théorique des éléments propres d un endomorphisme Exercice 29 [ ] [Correction] Soit f un endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer 0 / Sp(f) f surjectif Exercice 30 [ ] [Correction] Soient f un endomorphisme d un K-espace vectoriel et n N. On suppose que 0 Sp(f n ). Montrer que 0 Sp(f). Exercice 31 [ ] [Correction] Soit u un automorphisme d un K-espace vectoriel E. Établir Sp u 1 = { λ 1 λ Sp u } Exercice 32 [ ] [Correction] Soient E un K-espace vectoriel, u L(E), a GL(E) et v = a u a 1. Comparer Sp u et Sp v d une part, E λ (u) et E λ (v) d autre part. Exercice 33 [ ] [Correction] Soit u un endomorphisme d un K-espace vectoriel E tel que tout vecteur non nul en soit vecteur propre. Montrer que u est une homothétie vectorielle. Exercice 34 [ ] [Correction] Soient u, v deux endomorphismes d un espace vectoriel. a) Si λ 0 est valeur propre de u v, montrer qu il l est aussi de v u. b) Pour P E = R [X], on pose u(p ) = P et v(p ) = X 0 P (t) dt ce qui définit des endomorphismes de E. Déterminer ker(u v) et ker(v u) c) Montrer que la propriété de la première question reste valable pour λ = 0 si l espace E est de dimension finie. Exercice 35 [ ] [Correction] Soient u et v deux endomorphismes d un R-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer que si λ est valeur propre de u v alors λ est aussi valeur propre de v u. Crochet de Lie Exercice 36 [ ] [Correction] Soient A, B M n (R) vérifiant AB BA = A. a) Calculer A k B BA k pour k N. b) À quelle condition la matrice A k est-elle vecteur propre de l endomorphisme M MB BM de M n (R)? c) En déduire que la matrice A est nilpotente.

5 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 5 Exercice 37 [ ] [Correction] Soient f et g deux endomorphismes d un C-espace vectoriel E de dimension finie n 1 tels que f g g f = f a) Montrer que f est nilpotent. b) On suppose f n 1 0. Montrer qu il existe une base e de E et λ C tels que : 0 1 (0) Mat e f =... 1 (0) 0 et Mat e g = diag(λ, λ + 1,..., λ + n 1) Exercice 38 [ ] [Correction] Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle, u, v dans L(E) et a, b dans C. On suppose u v v u = au + bv a) On étudie le cas a = b = 0. Montrer que u et v ont un vecteur propre en commun. b) On étudie le cas a 0, b = 0. Montrer que u est non inversible. Calculer u n v v u n et montrer que u est nilpotent. Conclure que u et v ont un vecteur propre en commun. c) On étudie le cas a, b 0. Montrer que u et v ont un vecteur propre en commun. a) On suppose [u ; v] = 0. Montrer que u et v sont cotrigonalisables. b) On suppose [u ; v] = λu avec λ C. Montrer que u est nilpotent et que u et v sont cotrigonalisables. c) On suppose l existence de complexes α et β tels que [u ; v] = αu + βv. Montrer que u et v sont cotrigonalisables. Exercice 41 [ ] [Correction] Soient f et g deux endomorphismes d un K-espace vectoriel E tels que f g g f = I. a) Montrer que, pour tout entier n 1, on a f n g g f n = nf n 1. b) En dimension finie non nulle, montrer qu il n existe pas deux endomorphismes f et g tels que f g g f = I. c) Montrer que dans E = K [X] les endomorphismes f et g définis par f(p ) = P et g(p ) = XP conviennent. Exercice 42 [ ] [Correction] Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie, f et g deux endomorphismes de E vérifiant f g g f = f a) Calculer f n g g f n b) Soit P un polynôme. Montrer que si P (f) = 0 alors f P (f) = 0. c) En déduire que f est un endomorphisme nilpotent. Exercice 39 [ ] [Correction] Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle, (a, b) C 2, f et g dans L(E) tels que f g g f = af + bg Montrer que f et g ont un vecteur propre commun. Exercice 40 [ ] [Correction] Soit E un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle. Soient u et v des endomorphismes de E ; on pose [u ; v] = uv vu. Exercice 43 [ ] [Correction] Soit A M n (C). On considère l endomorphisme T de M n (C) défini par T (M) = AM MA a) On suppose que la matrice A est nilpotente. Montrer que l endomorphisme T est aussi nilpotent. b) Réciproque?

6 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 6 Exercice 44 [ ] [Correction] Soient A, B, C M n (R) vérifiant AB BA = C On suppose en outre que C commute avec les matrices A et B. a) On suppose que A et diagonalisable. Montrer que la matrice C est nulle. b) On suppose que la matrice C est diagonalisable. Montrer à nouveau de que la matrice C est nulle. Exercice 45 [ ] [Correction] On fixe A M p (R) et on considère : M M p (R) AM MA. a) Prouver que est un endomorphisme de M p (R) et que : n N, (M, N) M p (R) 2, n (MN) = n k=0 b) On suppose que B = (H) commute avec A. Montrer : Vérifier n (H n ) = n!b n. 2 (H) = 0 et n+1 (H n ) = 0 ( ) n k (M) n k (N) k c) Soit. une norme sur M p (R). Montrer que B n 1/n n + 0. d) En déduire que la matrice B est nilpotente. Exercice 46 [ ] [Correction] Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle, u et v deux endomorphismes de E. a) On suppose dans cette question et dans la suivante que u v v u = u. Montrer que ker(u) est stable par v. b) Montrer que ker(u) {0}. Indice : On pourra raisonner par l absurde et utiliser la trace. En déduire que u et v ont un vecteur propre commun. c) On suppose maintenant que u v v u Vect (u, v) Montrer qu il existe une base de E dans laquelle les matrices de u et v sont triangulaires supérieures. Eléments propres d un endomorphisme Exercice 47 [ ] [Correction] Soient E = C (R, R) et D l endomorphisme de E qui à f associe sa dérivée f. Déterminer les valeurs propres de D ainsi que les sous-espaces propres associés. Exercice 48 [ ] [Correction] Soient E = C N et f : E E l application qui transforme une suite u = (u n ) en v = (v n ) définie par v 0 = u 0 et n N, v n = u n + u n 1 2 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f. Exercice 49 [ ] [Correction] Soient E l espace des suites réelles convergeant vers 0 et : E E l endomorphisme défini par Déterminer les valeurs propres de. u E, n N, (u)(n) = u(n + 1) u(n) Exercice 50 [ ] [Correction] Soient E = C 0 (R, R) et I l endomorphisme de E qui à f E associe sa primitive qui s annule en 0. Déterminer les valeurs propres de I. Exercice 51 [ ] [Correction] Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continues de [0 ; + [ vers R convergeant en +. Soit T l endomorphisme de E donné par x [0 ; + [, T (f)(x) = f(x + 1) Déterminer les valeurs propres de T et les vecteurs propres associés.

7 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 7 Exercice 52 [ ] [Correction] Soit E le sous-espace vectoriel des fonctions de C([0 ; + [R) s annulant en 0. Pour tout f E, on définit ϕ(f): [0 ; + [ R par ϕ(f)(0) = 0 et ϕ(f)(x) = 1 x x 0 f(t) dt pour x > 0 a) Montrer que ϕ(f) E puis que ϕ est un endomorphisme de E. b) Déterminer les éléments propres de ϕ. Exercice 53 [ ] [Correction] Soit E l espace vectoriel des fonctions continues de [0 ; + [ vers R. Pour tout f E, on définit T (f): ]0 ; + [ R par T (f)(x) = 1 x x 0 f(t) dt pour x > 0 a) Montrer que la fonction T (f) se prolonge par continuité en 0 et qu alors T est un endomorphisme de E. b) Déterminer les éléments propres de T. Exercice 54 [ ] [Correction] Soit E l espace des fonctions f de classe C 1 de [0 ; + [ vers R vérifiant f(0) = 0. Pour un élément f de E on pose T (f) la fonction définie par T (f)(x) = x 0 f(t) t Montrer que T est un endomorphisme de E et trouver ses valeurs propres. Exercice 55 [ ] [Correction] Soit E = C([0 ; 1], R). Si f E on pose T (f): x [0 ; 1] 1 a) Vérifier que T est un endomorphisme de E. 0 dt min(x, t)f(t) dt b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de T. Exercice 56 [ ] [Correction] a) Montrer que Φ, qui à P associe est un endomorphisme de R 4 [X]. (X 2 1)P (X) (4X + 1)P (X) b) Résoudre l équation différentielle ( 5 λ y = 2(x 1) λ ) y 2(x + 1) c) En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de Φ. Exercice 57 [ ] [Correction] Déterminer valeurs propres et vecteurs propres de l endomorphisme ϕ de R n [X] défini par ϕ: P (X 2 1)P nxp Exercice 58 [ ] [Correction] Soit a R et n 2. a) Montrer que φ(p )(X) = (X a) (P (X) P (a)) 2(P (X) P (a)) définit un endomorphisme de R n [X]. b) À l aide de la formule de Taylor, déterminer l image et le noyau de φ. c) Trouver ses éléments propres. L endomorphisme est-il diagonalisable? Exercice 59 [ ] [Correction] a) Soit f un endomorphisme d un R-espace vectoriel de dimension finie. Si a est valeur propre de f, de multiplicité m, et si E(f, a) est le sous-espace propre attaché, montrer 1 dim E(f, a) m b) Soit A = Déterminer simplement les valeurs propres de A. La matrice A est-elle diagonalisable?

8 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 8 Polynômes caractéristiques Exercice 60 [ ] [Correction] a) Montrer que deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. b) Réciproque? Exercice 61 [ ] [Correction] Soit F un sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme u d un K-espace vectoriel E de dimension finie. Établir que le polynôme caractéristique de l endomorphisme induit par u sur F divise le polynôme caractéristique de u. Exercice 62 [ ] [Correction] Soient A, B M n (C). On désire établir l égalité des polynômes caractéristiques a) Établir l égalité quand A GL n (C). χ AB = χ BA b) Pour A / GL n (C), justifier que pour p N assez grand A + 1 p I n GL n (C). En déduire que l égalité est encore vraie pour A non inversible. Exercice 63 [ ] [Correction] Soient A M n,p (K), B M p,n (K) et λ K. En multipliant à droite et à gauche la matrice ( ) λin A M = M B I n+p (K) p par des matrices triangulaires par blocs bien choisies, établir λ p χ AB (λ) = λ n χ BA (λ) Exercice 64 [ ] [Correction] Soit (A, B) M p,q (R) M q,p (R). Montrer que Indice : Commencer par le cas où X q χ AB (X) = X p χ BA (X) A = ( ) Ir Exercice 65 [ ] [Correction] Soient A, B M n (K) et p N. Établir χ (AB) p = χ (BA) p Exercice 66 [ ] [Correction] Soit A M n (R) inversible de polynôme caractéristique χ A. Établir que pour tout x 0, χ A 1(x) = Exercice 67 [ ] [Correction] Soit A M n (C). Montrer Exercice 68 [ ] [Correction] xn χ A (0) χ A(1/x) χ A Ā R [X] a) Si P Z [X] est unitaire de degré n, existe-t-il une matrice A M n (Z) de polynôme caractéristique P (X)? b) Soient (λ 1,..., λ n ) C n et le polynôme P = n (X λ i ) On suppose P Z [X]. Montrer que pour tout q N le polynôme appartient encore à Z [X]. P q = i=1 n (X λ q i ) i=1 c) Soit P dans Z [X] unitaire dont les racines complexes sont de modules 1. Montrer que les racines non nulles de P sont des racines de l unité. Exercice 69 [ ] [Correction] Soient n 2 et f L(C n ) endomorphisme de rang 2. Exprimer le polynôme caractéristique de f en fonction de tr f et tr f 2.

9 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 9 Exercice 70 [ ] [Correction] Soient A et B dans M n (K)(K = R ou C). a) Comparer Sp B et Sp t B. b) Soit C M n (K). Montrer que s il existe λ pour lequel AC = λc, alors Im C ker(a λi n ). c) Soit λ une valeur propre commune à A et B. Montrer qu il existe C M n (K), C 0, telle que AC = CB = λc. d) On suppose l existence de C M n (K) avec rg C = r et AC = CB. Montrer que le PGCD des polynômes caractéristiques de A et B est de degré r. e) Étudier la réciproque de d). Exercice 71 [ ] [Correction] Soient A, B M n (R). On suppose qu il existe M dans M n (R) de rang r tel que AM = MB Montrer que deg(χ A χ B ) r. Soient A et B dans M n (K)(K = R ou C). Calcul de polynômes caractéristiques Exercice 72 [ ] [Correction] Calculer le polynôme caractéristique de la matrice a 0 a 1 a n 1 Exercice 73 [ ] [Correction] Soient A n = M n(c) et P n (x) = det(xi n A n ) a) Montrer P n (x) = xp n 1 (x) P n 2 (x) Calculer P 1 (x) et P 2 (x). b) Pour tout x ] 2 ; 2[, on pose x = 2 cos α avec α ]0 ; π[. Montrer que P n (x) = sin((n + 1)α) sin α c) En déduire que P n (x) admet n racines puis que A n est diagonalisable. Exercice 74 [ ] [Correction] Soient a 1,..., a n C, tous distincts et P (x) = det(a + xi n ) avec 0 a 2 a n A = a an a 1 a n 1 0 a) Calculer P (a i ) et décomposer en éléments simples la fraction b) En déduire det A. P (x) n i=1 (x a i) Exercice 75 [ ] [Correction] Soient a 1,..., a n C deux à deux distincts. On pose 0 a 2... a n. P (x) = det(a + xi n ) avec A = a an a 1 a n 1 0 a) Calculer P (a i ). b) Justifier que P est un polynôme unitaire de degré n. c) Former la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle d) En déduire le déterminant de A + I n. P (X) n i=1 (X a i)

10 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 10 Applications du polynôme caractéristique Exercice 76 [ ] [Correction] Soient A, B M n (R). Montrer que AB et BA ont même valeurs propres. Exercice 77 [ ] [Correction] Soit A M n (R) telle que Sp A R +. Montrer det A 0 Exercice 81 [ ] [Correction] a) Rappeler pourquoi un endomorphisme d un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle admet au moins un vecteur propre. b) Soient u, v deux endomorphismes d un C-espace vectoriel E de dimension finie non nulle. On suppose u v = v u Montrer que u et v ont un vecteur propre en commun. Exercice 78 [ ] [Correction] Soient A, B M n (C). Établir χ A (B) GL n (C) Sp A Sp B = Exercice 82 [ ] [Correction] Soient A, B M n (C) vérifiant AB = BA. Montrer que A et B ont un vecteur propre en commun. Exercice 79 [ ] [Correction] a) Soient B, C M n (C) semblables Pour x C, montrer que les matrices xi n B et xi n C sont semblables. En est-il de même de (xi n B) 1 et (xi n C) 1? b) Soit A M n (C). On note P A (x) = det(xi n A) et P A le polynôme dérivé de P A. On suppose que x n est pas valeur propre de A, montrer tr (xi n A) 1 = P A (x) P A (x) Existence de valeurs propres dans un espace complexe Exercice 80 [ ] [Correction] Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie. a) Justifier que tout endomorphisme de E possède au moins une valeur propre b) Observer que l endomorphisme P (X) (X 1)P (X) de C [X] n a pas de valeurs propres. Exercice 83 [ ] [Correction] Montrer que A, B M n (C) ont une valeur propre en commun si, et seulement si, il existe U M n (C) non nulle vérifiant UA = BU. Exercice 84 [ ] [Correction] K désigne R ou C. On dit qu une matrice A M n (K) vérifie la propriété (P ) si M M n (K), λ K, det(m + λa) 0 a) Rappeler pourquoi une matrice de M n (C) admet au moins une valeur propre. b) Soit T une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle. Calculer det(i n + λt ). En déduire que T vérifie la propriété (P ) c) Déterminer le rang de la matrice ( ) 0 Ir T r = M 0 0 n (K) d) Soient A vérifiant (P ) et B une matrice de même rang que A ; montrer et en déduire que B vérifie (P ). (P, Q) GL n (K) 2, B = P AQ

11 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 11 e) Conclure que, dans M n (C), les matrices non inversibles vérifient (P ) et que ce sont les seules. f) Que dire des cette propriété dans le cas M n (R) (on distinguera n pair et n impair)? a) Montrer que 1 Sp(A). b) Justifier que si λ C est valeur propre de A alors λ 1. c) Observer que si λ C est valeur propre de A et vérifie λ = 1 alors λ est une racine de l unité. Exercice 85 [ ] [Correction] Soient u, v deux endomorphismes d un C-espace vectoriel E de dimension finie non nulle vérifiant u v = v u. Montrer que u et v ont un vecteur propre en commun. Eléments propres d une matrice Exercice 86 [ ] [Correction] Soit A M n (K) vérifiant rg(a) = 1. Montrer qu il existe λ K tel que A 2 = λa et que ce scalaire λ est valeur propre de A. Exercice 87 [ ] [Correction] Pour A M n (R), on pose Montrer que A = sup 1 i n j=1 n a i,j Sp(A) [ A ; A ] Exercice 88 [ ] [Correction] Soit A = (a i,j ) M n (R) vérifiant pour tout i, j {1,..., n} a i,j > 0 et pour tout i {1,..., n}, n j=1 a i,j = 1. a) Montrer que 1 Sp(A). b) Justifier que si λ C est valeur propre de A alors λ 1. c) Observer que si λ C est valeur propre de A et vérifie λ = 1 alors λ = 1. Exercice 89 [ ] [Correction] Soit A = (a i,j ) M n (R) vérifiant pour tout i, j {1,..., n} a i,j R + et pour tout i {1,..., n}, n j=1 a i,j = 1. Exercice 90 [ ] [Correction] Soit la matrice A M n (R) donnée par A = (min(i, j)) 1 i,j n. a) Trouver une matrice triangulaire inférieure unité L et une matrice triangulaire supérieure U telle que A = LU. b) Exprimer A 1 à l aide de c) Montrer que Sp A 1 [0 ; 4]. 0 1 (0) N =... 1 (0) 0 Exercice 91 [ ] [Correction] Déterminer les valeurs propres de la matrice de M n (R) suivante (0) M = (0) 1 Exercice 92 [ ] [Correction] Déterminer les valeurs propres de la matrice M n(r) 1 1 1

12 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 12 Exercice 93 [ ] [Correction] Soit n N, n 2. Déterminer les valeurs propres de la comatrice de A M n (C). On commencera par étudier le cas où la matrice A est inversible. Exercice 94 [ ] [Correction] Soient n 3 et 0 (0) 1. A = M n(r) 1 (0) 0 a) Calculer les rangs de A et A 2. b) Soit f l endomorphisme de R n canoniquement représenté par la matrice A. Montrer ker f Im f = R n c) En déduire que la matrice A est semblable à une matrice de la forme 0 (0)... 0 avec B GL 2(R) (0) B d) Calculer tr B et tr B 2. En déduire les valeurs propres de B puis celles de A. e) La matrice A est-elle diagonalisable? Exercice 95 [ ] [Correction] Soit (a 0,..., a p 1 ) C p. On suppose que 1 est racine simple de P (X) = X p ( a p 1 X p a 1 X + a 0 ) On suppose la convergence d une suite (u n ) n N déterminée par ses p premiers termes u 0,..., u p 1 et la relation de récurrence Déterminer la limite de (u n ) n N. u n+p = a p 1 u n+p a 1 u n+1 + a 0 u n Exercice 96 [ ] [Correction] Expliquer brièvement pourquoi t Com(A)A = det(a)i n On suppose que A admet n valeurs propres distinctes ; que vaut det(a)? Que représente un vecteur propre de A pour t Com(A)? On suppose de plus que A n est pas inversible. Déterminer dim ker t Com A Prouver que t Com A n admet que deux valeurs propres, les expliciter. Exercice 97 [ ] [Correction] Soient 0 1 (0). A n = M n(c) (0) 1 0 et χ n son polynôme caractéristique. a) Calculer pour tout α ]0 ; π[. u n = χ n (2 cos α) b) Déterminer les valeurs propres de A n. Quelle est la dimension des sous-espaces propres de A n? c) Déterminer les sous-espaces propres de A n Indice : on pourra, pour λ valeur propre de A n, chercher X = x 1. x n M n,1 (C) vérifiant AX = λx et poser x 0 = x n+1 = 0. Eléments propres d un endomorphisme matriciel Exercice 98 [ ] [Correction] Soient n N et E = M n (R). Pour A E, on introduit u: E E défini par u(m) = AM

13 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 13 Montrer que A et u ont les mêmes valeurs propres et préciser les sous-espaces propres de u en fonction de ceux de A. b) On suppose K = R. La matrice A est-elle diagonalisable? c) Mêmes questions avec B. Exercice 99 [ ] [Correction] Soient A M n (C) et Φ A l endomorphisme de M n (C) définie par Φ A (M) = AM. a) Montrer que les valeurs propres de Φ A sont les valeurs propres de A. b) Déterminer les valeurs propres de Ψ A : M MA. Exercice 100 [ ] [Correction] On considère les matrices réelles ( ) ( ) 1 0 a b A = et M = 0 2 c d a) Calculer AM MA. b) Déterminer les éléments propres de l endomorphisme M AM M A. Diagonalisabilité d une matrice par similitude Exercice 101 [ ] [Correction] Montrer que si A est diagonalisable alors t A l est aussi. Exercice 102 [ ] [Correction] Soient A GL n (K) et B M n (K). On suppose la matrice AB diagonalisable. Montrer que BA est diagonalisable. Diagonalisabilité d une matrice par l étude des éléments propres Exercice 103 [ ] [Correction] Soient α R et ( ) ( ) cos α sin α cos α sin α A = M sin α cos α 2 (K) et B = M sin α cos α 2 (K) a) On suppose K = C. La matrice A est-elle diagonalisable? Exercice 104 [ ] [Correction] Soient a, b, c R. La matrice 0 b c M = a 0 c M 3 (R) a b 0 est-elle diagonalisable? Exercice 105 [ ] [Correction] Soient a, b R tels que a b et a b a b b a b a A = a b a b b a b a M 2n (R) (avec n 2) a) Calculer le rang de A. En déduire que 0 est valeur propre de A et déterminer la dimension du sous-espace propre associé. b) Déterminer deux vecteurs propres non colinéaires et en déduire que A est diagonalisable. Exercice 106 [ ] [Correction] Monter que la matrice suivante est diagonalisable 0 1 (0). n.. 2 A =. n n (0) 1 0 M n+1 (C) (indice : on pourra interpréter A comme la matrice d un endomorphisme de C n [X])

14 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 14 Exercice 107 [ ] [Correction] a) Exprimer le polynôme caractéristique de la matrice en fonction du polynôme M = a 0 a 1 a n 1 P (X) = X n (a n 1 X n a 1 X + a 0 ) b) Soit λ une racine de P. Déterminer le sous-espace propre de M associé à la valeur propre λ. c) À quelle condition la matrice M est-elle diagonalisable? Exercice 108 [ ] [Correction] Considérons la matrice A suivante : A = 1 k M 4(C) a) On suppose k réel, la matrice A est-elle diagonalisable dans M 4 (R)? (sans calculs) ; b) Déterminer le rang de A. c) Donner la raison pour laquelle le polynôme caractéristique de A est de la forme X 2 (X u 1 )(X u 2 ) avec u 1, u 2 appartenant à C et vérifiant u 1 + u 2 = k et u u 2 2 = k d) Étudier les éléments propres dans le cas où u 1 = u 2. e) En déduire les valeurs de k pour que A soit diagonalisable dans M 4 (C). Exercice 109 [ ] [Correction] Pour quelle(s) valeurs de x R, la matrice suivante n est-elle pas diagonalisable? 2 x 5 + x x A = x 2 x x Exercice 110 [ ] [Correction] Soient a, b, c, d quatre nombres complexes avec a 2 + b 2 0 et a b c d A = b a d c c d a b d c b a a) Calculer A t A, det A et montrer que rg(a) = 2 ou 4. b) On pose α 2 = b 2 + c 2 + d 2 supposé non nul. Montrer que A est diagonalisable. Exercice 111 [ ] [Correction] Soit (a 1,..., a n 1 ) C n 1. a) Quel est le rang de A M n (C) définie par 0 0 a 1 A = a n 1? a 1 a n 1 0 b) Avec la trace, que peut-on dire des valeurs propres? c) A est-elle diagonalisable? Exercice 112 [ ] [Correction] ( ) O In Soient A M n (K) et B =. A O a) Étudier les valeurs propres de B en fonction de celles de A. b) On suppose A diagonalisable. B est-elle diagonalisable? Exercice 113 [ ] [Correction] Soient A 1 M p (K), A 2 M q (K) et A M p+q (K) définie par ( ) A1 O A = O A 2 Montrer que A est diagonalisable si, et seulement si, A 1 et A 2 le sont.

15 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 15 Diagonalisabilité des matrices de rang 1 Exercice 114 [ ] [Correction] Soit A M n (C) telle que rg A = 1. Établir A diagonalisable si, et seulement si, tr A 0 Exercice 115 [ ] [Correction] Soient X, Y M n,1 (K) non nuls. À quelle condition la matrice X t Y est-elle diagonalisable? Exercice 116 [ ] [Correction] Soient K un sous-corps de C et 1 1 J =.. M n (K) 1 1 Montrer que J est diagonalisable. Exercice 117 [ ] [Correction] Soit (a 1,..., a n ) C n. La matrice (a i a j ) 1 i,j n est-elle diagonalisable? Exercice 118 [ ] [Correction] Parmi les matrices élémentaires E i,j de M n (K), lesquelles sont diagonalisables? Exercice 119 [ ] [Correction] Soient (a 1,..., a n ) (R +) n et a 1 a 1 a 1 a 2 a 2 a 2 N =... a n a n a n Calculer N 2, la matrice N est-elle diagonalisable? Montrer que M = 2N + I n est inversible et calculer M 1. Diagonalisation d une matrice Exercice 120 [ ] [Correction] On pose a 2 ab ab b 2 M(a, b) = ab a 2 b 2 ab ab b 2 a 2 ab b 2 ab ab a 2 pour tous a, b réels. a) Ces matrices sont-elles simultanément diagonalisables? b) Étudier et représenter graphiquement l ensemble des (a, b) R 2 tel que M(a, b) n tend vers 0 quand n tend vers. Exercice 121 [ ] [Correction] Soient a, b deux réels et les matrices a b b b b a. A = b a b et B =. a b b. b b a a b b Réduire ces deux matrices. Exercice 122 [ ] [Correction] Diagonaliser les matrices de M n (R) et Exercice 123 [ ] [Correction] Soit 0 (b) M n =... M n (C) (a)

16 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 16 À quelle condition la matrice M n est-elle diagonalisable? Déterminer alors une base de vecteurs propres Calcul de puissances d une matrice Exercice 124 [ ] [Correction] Calculer A n pour A = Exercice 125 [ ] [Correction] Soit ( ) cos θ 2 sin θ A = 1 2 sin θ cos θ a) Déterminer deux réels α, β tel que A 2 = αa + βi 2. b) Calculer A n pour n 1. Exercice 126 [ ] [Correction] Soit 0 1 M =... M n (R) avec n a) Montrer que M est diagonalisable. b) Déterminer le polynôme minimal de M. c) Calculer M p pour p N. Applications diverses de la diagonalisabilité b) Combien y a-t-il de matrice M telle que M 2 = A dans M n (C)? dans M n (R)? Exercice 128 [ ] [Correction] Soit ( ) 5 3 A = M (R) a) Diagonaliser la matrice A en précisant la matrice de passage P b) Soit M M 2 (R) une matrice telle que M 2 + M = A. Justifier que la matrice P 1 MP est diagonale. c) Déterminer les solutions de l équation M 2 + M = A. Exercice 129 [ ] [Correction] Soit pour n 2 la matrice 0 1 (0). J = a) Montrer que la matrice J est diagonalisable dans M n (C) b) Application : exprimer a 0 a 1 a n 1. a..... n a1 a 1 a n 1 a 0 Exercice 127 [ ] [Correction] a) Déterminer les valeurs propres de A = Exercice 130 [ ] [Correction] Les matrices et sont-elles semblables?

17 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 17 Exercice 131 [ ] [Correction] Soit G un sous-groupe de (GL n (R), ) vérifiant a) Montrer que G est commutatif. M G, M 2 = I n b) En déduire que les éléments de G sont codiagonalisables. c) En déduire Card G 2 n d) Application : Montrer que s il existe un isomorphisme entre (GL n (R), ) et (GL m (R), ) alors n = m. Exercice 132 [ ] [Correction] Soient A, B M n (R) avec B diagonalisable. Montrer AB 3 = B 3 A = AB = BA Exercice 133 [ ] [Correction] Soient p, q N et A, B, M M n (C) avec A, B diagonalisables. Montrer Exercice 136 [ ] [Correction] Soit M M n (R) telle que M 2 soit triangulaire supérieure à coefficients diagonaux deux à deux distincts. Montrer que M est aussi triangulaire supérieure. Exercice 137 [ ] [Correction] a) Soit D M n (C). Déterminer l inverse de ( ) In D O n I n b) Soient A, B M n (C) diagonalisables telles que Sp A Sp B =. Montrer que pour tout matrice C M n (C), les matrices suivantes sont semblables ( ) ( ) A C A On et O n B O n B Exercice 138 [ ] [Correction] a) Déterminer les entiers k pour lesquelles l équation A p MB q = O n = AMB = O n e iθ + e ikθ = 1 Exercice 134 [ ] [Correction] Soit ϕ une application de M 2 (C) vers C vérifiant : Montrer que ϕ = det. A, B M 2 (C), ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) et ϕ ( ) λ 0 = λ 0 1 Exercice 135 [ ] [Correction] On considère trois suites réelles (u n ) n 0, (v n ) n 0 et (w n ) n 0 vérifiant u n+1 = u n + v n + w n v n+1 = u n v n + w n w n+1 = u n + v n w n À quelle condition sur (u 0, v 0, w 0 ), ces trois suites sont-elles convergentes? admet au moins une solution θ R. b) Soit S k l ensemble des suites réelles u telles que n N, u n+k = u n + u n+k 1 À quelle condition sur k, S k contient-il une suite périodique non nulle. Diagonalisabilité d un endomorphisme par l étude de ses éléments propres Exercice 139 [ ] [Correction] Soit u un endomorphisme d un K-espace vectoriel de dimension finie E. On suppose que Im(u Id E ) Im(u + Id E ) = {0 E } Montrer que u est diagonalisable.

18 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 18 Exercice 140 [ ] [Correction] Soit E = R n [X]. Pour P E, on pose ϕ(p ) = P (X + 1)P. a) Justifier que ϕ définit un endomorphisme de R n [X]. b) Déterminer les valeurs propres de ϕ et justifier que ϕ est diagonalisable. Exercice 141 [ ] [Correction] Montrer que l application f : P (X) (X 2 1)P (X) + 2XP (X) est un endomorphisme de l espace vectoriel réel E = R n [X]. Former la matrice de f relative à la base canonique de E. En déduire la diagonalisabilité de f ainsi que ses valeurs propres et la dimension des sous-espaces propres associés. Exercice 142 [ ] [Correction] Soient E = R n [X] et deux réels a b. Pour P E, on pose ϕ(p ) = (X a)(x b)p nxp a) Montrer que ϕ est un endomorphisme de E. b) Déterminer les valeurs propres de ϕ et en déduire que ϕ est diagonalisable. Exercice 143 [ ] [Correction] L endomorphisme φ de M n (R) défini par est-il diagonalisable? φ(m) = M + tr(m).i n Exercice 144 [ ] [Correction] Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, f L(E) et F L(L(E)) définie par F (u) = f u. a) Montrer que f est diagonalisable si, et seulement si, F l est. b) Montrer que f et F ont les mêmes valeurs propres. c) Soit λ une valeur propre de f. Établir dim E λ (F ) = dim E dim E λ (f). Exercice 145 [ ] [Correction] Soient E un espace vectoriel de dimension finie, un projecteur fixé de E et F : L(E) L(E) définie par a) F est-elle linéaire? b) F est-elle diagonalisable? F : f 1 (f p + p f) 2 c) Quelle est la dimension des sous-espaces propres associés? Exercice 146 [ ] [Correction] Soient A R [X] et B R [X] scindé à racines simples de degré n + 1. Soit Φ l endomorphisme de R n [X] qui à P R [X] associe le reste de la division euclidienne de AP par B. Déterminer les éléments propres de Φ. L endomorphisme Φ est-il diagonalisable? Exercice 147 [ ] [Correction] Soient A, B fixés dans R n [X]. On note f l application qui, à P R n [X] associe le reste de la division euclidienne de AP par B. a) Montrer que f est un endomorphisme ; est-ce un isomorphisme? b) On suppose dans la suite que les polynômes A et B premiers entre eux avec B scindé à racines simples ; donner les valeurs propres de f. c) L endomorphisme f est-il diagonalisable? Exercice 148 [ ] [Correction] Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie, f L(E) tel que f 2 = f. Étudier les éléments propres et la diagonalisabilité de l endomorphisme u fu uf de L(E). Exercice 149 [ ] [Correction] Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie et f L(E). On définit T L(E) L(E) par T (g) = f g g f Montrer que si f est diagonalisable, alors T est diagonalisable ; si f est nilpotente, alors T est nilpotente.

19 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 19 Exercice 150 [ ] [Correction] Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie et e = (e 1,..., e n ) une base de E. On considère l endomorphisme f de E déterminé par a) Donner la matrice de f dans e. k {1,..., n}, f(e k ) = e k + b) Déterminer les sous-espaces propres de f. c) L endomorphisme f est-il diagonalisable? d) Calculer le déterminant de f. L endomorphisme f est-il inversible? Exercice 151 [ ] [Correction] On considère un R-espace vectoriel de dimension finie E, u un endomorphisme de E, U = (u i,j ) la matrice de u dans une base de E, e i,j les projecteurs associés à cette base et E i,j la matrice de ces projecteurs. On considère ϕ l endomorphisme dans L(E) tel que ϕ(v) = u v a) Montrer que ϕ et u ont les mêmes valeurs propres. b) Calculer UE i,j en fonction des E k,j. En déduire qu il existe une base de L(E) dans laquelle la matrice de ϕ est diagonale par blocs. c) Exprimer cette matrice. Exercice 152 [ ] [Correction] Soient D = diag(λ 1,..., λ n ) et ϕ: M DM MD endomorphisme de M n (K). a) Calculer ϕ(e i,j ) où E i,j désigne la matrice élémentaire d indice (i, j) de M n (K). Quelle particularité présente la matrice de ϕ relativement à la base canonique de M n (K)? b) Soit f un endomorphisme diagonalisable d un K-espace vectoriel E de dimension finie. L endomorphisme φ: u f u u f de L(E) est-il diagonalisable? n i=1 e i Exercice 153 [ ] [Correction] Soient E = S 2 (R), ( ) a b A = M c d 2 (R) et Φ: S 2 (R) S 2 (R) définie par Φ(S) = AS + S t A a) Déterminer la matrice de Φ dans une base de E. b) Quelle relation existe-t-il entre les polynômes caractéristiques χ Φ et χ A? c) Si Φ est diagonalisable, la matrice A l est-elle? d) Si A est diagonalisable, l endomorphisme Φ l est-il? Applications de la diagonalisabilité d un endomorphisme Exercice 154 [ ] [Correction] Soit f un endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension n admettant exactement n valeurs propres distinctes. a) Montrer qu il existe a E tel que la famille (a, f(a),..., f n 1 (a)) soit une base de E. b) Quelle est la forme de la matrice de f dans cette base? Exercice 155 [ ] [Correction] Soit f un endomorphisme diagonalisable d un K-espace vectoriel E de dimension n. On note C f l ensemble des endomorphismes qui commutent avec f. a) Montrer que C f est un sous-espace vectoriel de L(E). b) Montrer qu un endomorphisme g appartient à C f si, et seulement si, chaque sous-espace propre de f est stable par g. c) En déduire que dim C f = λ Sp(f) où α λ est l ordre de multiplicité de la valeur propre λ. d) On suppose que les valeurs propres de f sont simples. Montrer que (Id, f,..., f n 1 ) est une base de C f. α 2 λ

20 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 20 Exercice 156 [ ] [Correction] Soit E un espace vectoriel de dimension finie n 2. a) Donner un exemple d endomorphisme f de E dont l image et le noyau ne sont pas supplémentaires. b) On suppose, dans cette question seulement, que f est une endomorphisme de E diagonalisable. Justifier que l image et le noyau de f sont supplémentaires. c) Soit f un endomorphisme de E. Montrer qu il existe un entier nature non nul k tel que Im(f k ) ker(f k ) = E L endomorphisme f k est-il nécessairement diagonalisable? d) Le résultat démontré en c) reste-t-il valable si l espace est de dimension infinie? Exercice 157 [ ] [Correction] Soit v un endomorphisme d un C-espace vectoriel E de dimension finie diagonalisable. a) Montrer qu il existe un endomorphisme u de E vérifiant u 2 = v. b) Montrer qu on peut choisir u solution qui soit un polynôme en v. Exercice 158 [ ] [Correction] Soit f un endomorphisme d un R-espace vectoriel E de dimension n possédant exactement n valeurs propres. a) Déterminer la dimension des sous-espaces propres de f. b) Soit g un endomorphisme de E vérifiant g 2 = f. Montrer que g et f commutent. En déduire que les vecteurs propres de f sont aussi vecteurs propres de g. c) Combien y a-t-il d endomorphismes g de E solutions de l équation g 2 = f Exercice 160 [ ] [Correction] Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et u L(E), v L(E) diagonalisables vérifiant u 3 = v 3 Montrer que u = v. Trigonalisabilité d une matrice Exercice 161 [ ] [Correction] Montrer qu une matrice triangulaire inférieure est trigonalisable. Exercice 162 [ ] [Correction] Soient A, B M n (C) vérifiant AB = O n. a) Montrer que les matrices A et B ont un vecteur propre en commun. b) Établir que A et B sont simultanément trigonalisables. Exercice 163 [ ] [Correction] Soient A, B M n (C) vérifiant AB = BA. a) Montrer que les matrices A et B ont un vecteur propre en commun. b) Établir que les matrices A et B sont simultanément trigonalisables. Trigonalisation d une matrice Exercice 164 [ ] [Correction] Soit A = a) Calculer le polynôme caractéristique de A. b) Trigonaliser la matrice A. Exercice 159 [ ] [Correction] Soit f un endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension n N. On suppose que f possède exactement n valeurs propres distinctes. Montrer que seuls les polynômes en f commutent avec f (indice : on pourra introduire un polynôme interpolateur convenable). Exercice 165 [ ] [Correction] Soit A =

21 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 21 a) Calculer le polynôme caractéristique de A. b) Trigonaliser la matrice A. «Tout sous-espace vectoriel stable par u admet un supplémentaire stable» Montrer que l endomorphisme u est diagonalisable. Exercice 166 [ ] [Correction] Trigonaliser la matrice A = Exercice 171 [ ] [Correction] Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie. Déterminer les f L(E) tels que tout sous-espace vectoriel de E stable par f possède un supplémentaire stable. Exercice 167 [ ] [Correction] Montrer que la matrice est trigonalisable et préciser une matrice de passage. Exercice 168 [ ] [Correction] a) Déterminer l ensemble Ω des réels a tels que A = 1 a n est pas diagonalisable. b) Pour a Ω, trouver P inversible telle que P 1 AP soit triangulaire supérieure. Réduction et sous-espaces stables Exercice 169 [ ] [Correction] Soient f, g endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension finie. On suppose que f est diagonalisable. Montrer : f g = g f chaque sous - espace propre de f est stable par g Exercice 170 [ ] [Correction] Soit u un endomorphisme d un C-espace vectoriel E de dimension finie vérifiant : Exercice 172 [ ] [Correction] Soient E un K-espace vectoriel muni d une base B, f L(E) et H un hyperplan. a) Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel {u E u(h) = {0}}. b) Montrer que si H a pour équation u(x) = 0 alors H est stable par f si, et seulement si, u f est colinéaire à u. c) Soient A et L les matrices dans B de f et u. Montrer que H est stable par f si, et seulement si, t L est vecteur propre de t A d) Déterminer les plans stables par A = Exercice 173 [ ] [Correction] Soit u un endomorphisme d un R-espace vectoriel E de dimension finie non nulle Montrer qu il existe une droite vectorielle ou un plan vectoriel stable par u. Exercice 174 [ ] [Correction] Soient f une endomorphisme de R n et A sa matrice dans la base canonique de R n. On suppose que λ est une valeur propre non réelle de A et que Z C n est un vecteur propre associé. On note X et Y les vecteurs de R n dont les composantes sont respectivement les parties réelles et imaginaires des composantes de Z. a) Montrer que X et Y sont non colinéaires. b) Montrer que Vect(X, Y ) est stable par f.

22 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 22 c) On suppose que la matrice de f est donnée par A = Déterminer tous les plans stables par f. Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA Exercice 175 [ ] [Correction] Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et u L(E) tel que u 3 = Id Décrire les sous-espaces stables de u. Même question avec E un R-espace vectoriel. Exercice 176 [ ] [Correction] Soit u un endomorphisme diagonalisable d un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer qu un sous-espace vectoriel F non nul est stable par u si, et seulement si, il possède une base de vecteurs propres de u. Exercice 179 [ ] [Correction] Soit A M n (K). On suppose χ A scindé. a) Justifier que A est trigonalisable. b) Établir que pour tout k N, Sp(A k ) = { λ k λ Sp(A) } Exercice 180 [ ] [Correction] Soit A M n (Z) de polynôme caractéristique n (X λ i ) avec λ i C i=1 Déterminer une matrice à coefficients entiers de polynôme caractéristique Exercice 181 [ ] [Correction] Montrer que pour tout A M n (C), n (X λ p i ) i=1 det(exp(a)) = exp(tr A) Exercice 177 [ ] [Correction] Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice est dans la base canonique. Déterminer les sous-espaces vectoriels stables par f. Application de la trigonalisabilité Exercice 178 [ ] [Correction] Expliquer pourquoi le déterminant de A M n (R) est le produit des valeurs propres complexes de A, valeurs propres comptées avec multiplicité. Exercice 182 [ ] [Correction] Soient A M n (K) et P K [X]. On suppose le polynôme caractéristique de A de la forme χ A (X) = n (X λ k ) k=1 Exprimer le polynôme caractéristique de P (A). Exercice 183 [ ] [Correction] a) Soient A et B dans M 2 (K) telles que AB = BA. Montrer que B K [A] ou A K [B]. b) Le résultat subsiste-t-il dans M 3 (K)?

23 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 23 Exercice 184 [ ] [Correction] Soit A M n (C) telle que tr(a m ) 0 quand m +. Montrer que les valeurs propres de A sont de module < 1 Exercice 185 [ ] [Correction] Soient A, B M n (C) vérifiant m N, tr(a m ) = tr(b m ) Montrer que les matrices A et B ont les mêmes valeurs propres. Exercice 186 [ ] [Correction] Pour A = (a i,j ) M n (C) et B = (b i,j ) M n (C), on définit A B M n 2(C) par a 1,1 B a 1,n B A B =.. a n,1 B a n,n B a) Montrer que si A, A, B, B M n (C) alors (A B)(A B ) = (AA ) (BB ). b) En déduire que A B est inversible si, et seulement si, A et B sont inversibles. c) Déterminer le spectre de A B. En déduire le polynôme caractéristique, la trace et le déterminant de A B. Exercice 187 [ ] [Correction] Soit A M n (C). Déterminer les valeurs propres de A k pour k N. Polynômes en un endomorphisme ou une matrice Exercice 188 [ ] [Correction] Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et u L(E). On suppose qu il existe un vecteur x 0 E telle que la famille (x 0, u(x 0 ),..., u n 1 (x 0 )) soit libre. Montrer que seuls les polynômes en u commutent avec u. Exercice 189 [ ] [Correction] Soient A et B deux matrices réelles carrées d ordre n telles qu il existe un polynôme P R [X] de degré au moins égal à 1 et vérifiant P (0) = 1 et AB = P (A) Montrer que A est inversible et que A et B commutent. Exercice 190 [ ] [Correction] Soient A, B M n (K). On suppose qu il existe un polynôme non constant P K [X] vérifiant AB = P (A) et P (0) 0 Montrer que A est inversible et que A et B commutent. Exercice 191 [ ] [Correction] Soient A et B dans M n (R). On suppose que A est nilpotente et qu il existe P R [X] tel que P (0) = 1 et B = AP (A). Montrer qu il existe Q R [X] tel que Q(0) = 1 et A = BQ(B). Exercice 192 [ ] [Correction] Soient A GL n (C) et B M n (C) telle que B p = O n. a) Montrer que I n + A 1 BA est inversible et exprimer son inverse. b) On pose H = {I n + P (B)/P C [X], P (0) = 0} Montrer que H est un sous-groupe commutatif de (GL n (C), ). Exercice 193 [ ] [Correction] Dans M n (R), on considère la matrice 0 1 (0) J =... 1 (0) 0 Exprimer simplement P (ai n + J) pour P R [X]. Lemme de décomposition des noyaux Exercice 194 [ ] [Correction] Soit u L(E) vérifiant u 3 = Id E. Justifier ker(u Id E ) ker(u 2 + u + Id E ) = E

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. d) Soient A vérifiant (P ) et B une matrice de même rang que A ; montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. d) Soient A vérifiant (P ) et B une matrice de même rang que A ; montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés Exercice [ 02598 ] [Correction] Soient A et B deux matrices réelles carrées d ordre n telles qu il existe un polynôme P R [X] de degré au

Plus en détail

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire P. HUBERT La plupart des exercices ci-dessous se trouvent dans les livres suivants : - E. Leichtnam, X. Schaeur, Exercices corrigés de mathématiques

Plus en détail

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 48 Chapitre 4 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées La motivation de ce chapitre est la suivante. Étant donné un endomorphisme f d un espace E de dimension finie, déterminé par sa matrice

Plus en détail

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I Rappels d Algèbre Linéaire de PCSI Table des matières 1 Structure d espace vectoriel sur IK 3 11 Définition et règles de calcul 3 12 Exemples de référence 3 13 Espace vectoriel produit 4 14 Sous-espaces

Plus en détail

Applications linéaires, matrices, déterminants

Applications linéaires, matrices, déterminants Applications linéaires, matrices, déterminants Exercice 1. Soit u: R 3 R défini pour tout x = (x 1, x, x 3 R 3 par u(x = (x 1 + x + x 3, x 1 + x x 3 1. Montrer que u est linéaire.. Déterminer ker(u. Allez

Plus en détail

Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie Espaces vectoriels de dimension finie 1 Questions de cours 3 Exercices 1. Énoncer et montrer le théorème de la base incomplète. 2. Soit E de dimension finie n et F un sousespace de E. Montrer que F est

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016 Enoncés 1 Applications linéaires Etude de linéarité a) Montrer que ϕ et ψ sont des endomorphismes de E. b) Exprimer ϕ ψ et ψ ϕ. c) Déterminer images et

Plus en détail

ALGÈBRE BILINÉAIRE 1

ALGÈBRE BILINÉAIRE 1 3-8- 213 J.F.C. Eve p. 1 ALGÈBRE BILINÉAIRE 1 P mentionne des résultats particulièrement utiles et souvent oubliés dans la pratique de l algèbre bilinéaire... mentionne des erreurs à ne pas faire où des

Plus en détail

Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé. Réduction pratique de matrices

Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé. Réduction pratique de matrices Réduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Spé - Diagonaliser les matrices suivantes : 0 2 1 A = 3 2 0 B = 2 2 1 0 3 2 2 5 2 2 3 0 On donnera aussi la matrice de passage

Plus en détail

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11.1. Espaces vectoriels, algèbres 11.1.1. Structure d espace vectoriel et d algèbre 11.1.2. Combinaisons linéaires 11.1.3. Espaces vectoriels et algèbres

Plus en détail

Correction du devoir maison n o 7 PARTIE I

Correction du devoir maison n o 7 PARTIE I Lycée Kléber Pour le 5 décembre 2014 PSI* 2014-2015 Correction du devoir maison n o 7 (Mines I PSI 2001) MATHEMATIQUES PARTIE I Remarquons d abord que la définition de la semi-linéarité de u est équivalente

Plus en détail

PROBLÈME : Endomorphismes semi-linéaires et valeurs co-propres. Partie I

PROBLÈME : Endomorphismes semi-linéaires et valeurs co-propres. Partie I PROBLÈME : Endomorphismes semi-linéaires et valeurs co-propres Sujet complet Mines Pont 2001 - PSI Partie I 1. Premières propriétés Remarquons d abord que la définition de la semi-linéarité de u est équivalente

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES

ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES 30-9- 2010 J.F.C. p. 1 ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES Exercice 1 Intersection d hyperplans. E est un espace vectoriel de dimension n sur K (n [2, + [). Q1. Montrer que si F et G sont deux

Plus en détail

Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2. Guillaume CARLIER

Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2. Guillaume CARLIER Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2 Guillaume CARLIER L1, année 2006-2007 2 Ce support de cours est basé sur le poly de Tristan Tomala des années précédentes.

Plus en détail

Isométries d'un espace euclidien.

Isométries d'un espace euclidien. Isométries d'un espace euclidien. Dans ce chapitre, le corps des scalaires est R et l'espace (E ; ) est un espace euclidien de dimension finie n. 1. Isométries vectorielles d'un espace euclidien...p.1

Plus en détail

TD 5- Applications linéaires

TD 5- Applications linéaires TD 5- Applications linéaires Exercice 1. Soit f l'application dénie sur R 2 par f(x, y) = (2x y, 3x + y). 1. Montrer que f est un endomorphisme de R 2. 2. Montrer que f est injective. 3. Montrer que f

Plus en détail

en dimension finie Table des matières

en dimension finie Table des matières Maths PCSI Cours Algèbre linéaire en dimension finie Table des matières 1 Rappels d algèbre linéaire 2 1.1 Applications linéaires......................................... 2 1.2 Familles libres, génératrices

Plus en détail

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale Devoir maison n 5 MP Lycée Clemenceau A rendre le 7 janvier 214 Centrale - Dans le problème, λ désigne toujours une application continue de IR + dans IR +, croissante et non majorée. - Dans le problème,

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 3 4 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document : Solution des exercices d algèbre linéaire Table des matières

Plus en détail

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 POLYNÔMES Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 Polynômes 1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n N. a K, P(X) = k=0 P (k) (a) (X a) k et en particulier P(X)

Plus en détail

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f.

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f. escp-eap 2(Ecole de commerce) OPTION SCIENTIFIQUEMATHEMATIQUES I adapté en retirant certaines question qui sont du cours de PC et en ajoutant le dernier exemple.. a) question de cours b) P(f) est un polynôme

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Exercice oral des mines : pour voir si vous avez compris l analogie de l exercice précédent.

Exercice oral des mines : pour voir si vous avez compris l analogie de l exercice précédent. Lycée Pierre de Fermat 203/204 MPSI Devoir maison Devoir maison n 20 Exercice : utilisation du produit matriciel par blocs. Dans l exercice K est un corps commutatif quelconque de caractéristique différente

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Matrices. 3 Théorie du rang 11 3.1 Opérations élémentaires... 11 3.2 Rang d une matrice, pivot de Gauss... 11 3.3 Inversion des matrices...

Matrices. 3 Théorie du rang 11 3.1 Opérations élémentaires... 11 3.2 Rang d une matrice, pivot de Gauss... 11 3.3 Inversion des matrices... Maths PCSI Cours Matrices Table des matières Présentation de M n,p (K) 2 Espace des matrices (n, p) 2 2 Lien avec les applications linéaires 3 3 L algèbre M n (K) 5 4 Transposition 6 2 Représentation des

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Résumé de Math Sup et compléments : algèbre linéaire

Résumé de Math Sup et compléments : algèbre linéaire Résumé de Ma Sup et compléments : algèbre linéaire I - Espaces vectoriels - Sous espaces vectoriels 1) Structure de K-espace vectoriel Soient K un sous-corps de C et E un ensemble non vide muni d une l.d.c.i.

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

Matrices et déterminants

Matrices et déterminants Matrices et déterminants Matrices Définition.. Une matrice réelle (ou complexe) M = (m i,j ) (m, n) à m lignes et n colonnes est un tableau à m lignes et n colonnes de réels (ou de complexes). Le coefficient

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Exercice 1 On considère sur R la loi de composition définie par x y = x + y xy. Cette loi est-elle associative, commutative?

Plus en détail

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume.

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume. Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1.

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1. 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R 2 (2x + y, x y) R 2, f 2 : (x, y, z) R 3 (xy, x, y) R 3 f 3 : (x, y, z) R 3 (2x +

Plus en détail

Carnet de voyage en Algébrie

Carnet de voyage en Algébrie Université Claude Bernard-Lyon 1 Carnet de voyage en Algébrie Is(T ) S 4 Notes de TD de : Chrystel Bouvier Elisabeth Bruyère Encadrées par : Philippe Caldero 2 J aimerais vivre en Théorie, parce qu en

Plus en détail

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n = 2

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n = 2 33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n = 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre

Plus en détail

I. SYMÉTRIES. F = {x E σ(x) =x }, G = {x E σ(x) = x }.

I. SYMÉTRIES. F = {x E σ(x) =x }, G = {x E σ(x) = x }. Dans tout ce qui suit on désigne par k un corps commutatif de caractéristique différente de 2 (par exemple R ou C) etpare un k-espace vectoriel de dimension finie n>0. On appelle L(E) l anneau des endomorphismes

Plus en détail

PC* Espaces préhilbertiens réels

PC* Espaces préhilbertiens réels I. Espace préhilbertien réel................................... 3 I.1 Produit scalaire dans un espace vectoriel réel................... 3 I.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski..................

Plus en détail

2010/2011. Espaces vectoriels

2010/2011. Espaces vectoriels Université Paris-Est Marne-la-Vallée 010/011 M1 enseignement CD/Préparation au CAPES Espaces vectoriels Dans toute la suite on considèrera des espaces vectoriels sur un corps commutatif K de caractéristique

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

1.3 Produit matriciel

1.3 Produit matriciel MATRICES Dans tout ce chapitre, K désigne les corps R ou C, p et n des entiers naturels non nuls 1 Matrices à coefficients dans K 11 Définition Définition 11 Matrice On appelle matrice à coefficients dans

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot ESPACES VECTORIELS 1 Définition et exemples fondamentaux 1.1 Définition Définition 1.1 Espace vectoriel Soient K un corps et E un ensemble muni d une loi interne + et d une loi externe. i.e. d une application

Plus en détail

Algèbre linéaire 3 : produits scalaires, espaces euclidiens, formes quadratiques.

Algèbre linéaire 3 : produits scalaires, espaces euclidiens, formes quadratiques. Université Paris-Dauphine DU MI2E, 2ème année Algèbre linéaire 3 : produits scalaires, espaces euclidiens, formes quadratiques. Cours 2010/2011 Olivier Glass Le polycopié qui suit peut avoir des différences

Plus en détail

Espaces euclidiens. 1 Définitions et exemples. 2 Orthogonalité, norme euclidienne 2. 3 Espaces euclidiens, bases orthonormées 2

Espaces euclidiens. 1 Définitions et exemples. 2 Orthogonalité, norme euclidienne 2. 3 Espaces euclidiens, bases orthonormées 2 Espaces euclidiens Table des matières 1 Définitions et exemples 1 Orthogonalité, norme euclidienne 3 Espaces euclidiens, bases orthonormées 4 Orthogonalisation de Schmidt 3 5 Sous-espaces orthogonaux 3

Plus en détail

Feuille 5 : Exercices sur les déterminants, quelques corrections

Feuille 5 : Exercices sur les déterminants, quelques corrections Université de Poitiers Mathématiques L SPIC, Module 2L2 2/2 Feuille 5 : Exercices sur les déterminants, quelques corrections Exercice 3 : Dans cet exercice, pour obtenir directement les polnômes sous forme

Plus en détail

Banque d'exercices pour l'épreuve orale de mathématiques de la lière MP des concours communs polytechniques

Banque d'exercices pour l'épreuve orale de mathématiques de la lière MP des concours communs polytechniques Banque d'exercices pour l'épreuve orale de mathématiques de la lière MP des concours communs polytechniques A cette épreuve, les élèves ont deux exercices à résoudre. Le premier, noté sur 8 points, porte

Plus en détail

Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 2015 Prof. A. Abdulle J =

Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 2015 Prof. A. Abdulle J = Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 205 Prof. A. Abdulle EPFL Série 4 (Corrigé) Exercice Soit J M 2n 2n (R) la matrice définie par J 0 In, I n 0 où I n est la matrice identité de M n n (R) et 0

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail

Autour de Perron, Frobenius et Markov

Autour de Perron, Frobenius et Markov Université Claude Bernard Lyon 1-2007/2008 Préparation Capes - Algèbre et Géométrie - Devoir à rendre le 12 février 2008 - Autour de Perron Frobenius et Markov Rappels et notations On note M mn (K) le

Plus en détail

Table des matières. 1. Espaces propres et espaces caractéristiques

Table des matières. 1. Espaces propres et espaces caractéristiques RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES OLIVIER DEBARRE Table des matières 1. Espaces propres et espaces caractéristiques 1 2. Décomposition de Dunford 4 3. Structure des endomorphismes nilpotents et réduite de Jordan

Plus en détail

Algèbre linéaire de PCSI

Algèbre linéaire de PCSI Algèbre linéaire de PCSI I- Structure d espace vectoriel K désignerouc. 1) Définition On appellek-espace vectoriel tout triplet(e,+,.) où : 1) E est un ensemble dont les éléments sont appelés vecteurs.

Plus en détail

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail

Autour de la diagonalisation

Autour de la diagonalisation Autour de la diagonalisation Cédric Gérot, Pierre Granjon, Nicolas Le Bihan Laboratoire des Images et des Signaux Grenoble January 22, 2003 Contents 1 Eléments d algèbre 2 11 Espace vectoriel 2 111 Définition

Plus en détail

MAT 253: Introduction à l algèbre linéaire (II) Chapitre V: Applications linéaires d espaces vectoriels

MAT 253: Introduction à l algèbre linéaire (II) Chapitre V: Applications linéaires d espaces vectoriels MAT 253: Introduction à l algèbre linéaire (II) Chapitre V: Applications linéaires d espaces vectoriels On a étudié des propriétés élémentaires d espaces vectoriels Dans la plupart de cas, il est utile

Plus en détail

1 Programme de Colles : Espaces vectoriels.

1 Programme de Colles : Espaces vectoriels. Lycée Louis le grand Année scolaire 2007/2008 Mathématiques Supérieure MPSI Semaine 12 11 mai 2009 1 Programme de Colles : Espaces vectoriels. On note K le corps R ou C. 1.1 Axiomes d espace vectoriel.

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE POITIERS

UNIVERSITÉ DE POITIERS UNIVERSITÉ DE POITIERS Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées Mathématiques PREMIÈRE ANNEE DE LA LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES UE L «algèbre linéaire» Plan du cours Exercices Enoncés des

Plus en détail

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense.

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense. 1 Feuille d exercices n o 1 1. Deuxième forme géométrique du théorème de Hahn-Banach Soient A E et B E deux convexes, non vides, disjoints (E est une espace vectoriel normé). On suppose que A est fermé

Plus en détail

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 Voici une fiche contenant 100 exercices de difficulté raisonable, plutôt techniques, qui recouvrent l ensemble du programme étudié cette année. A raison

Plus en détail

Les Mathématiques pour l Agrégation. C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud

Les Mathématiques pour l Agrégation. C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud Les Mathématiques pour l Agrégation C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud 24 avril 2002 Table des matières 1 Algèbre linéaire 2 1.1 Généralités...............................

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

Exercices fondamentaux

Exercices fondamentaux Université de Nantes Département de Mathématiques DEUG MIAS - Module M2 Algèbre Année 2002/2003 Liste d exercices n 1 Exercices fondamentaux Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 1. Montrer que l

Plus en détail

Cours Diagonalisation

Cours Diagonalisation Cours Diagonalisation par Pierre Veuillez 1 Objectif Pour une matrice A donnée, déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que A = P D P 1. Interprètation : Quelle relation reconnaît-on?

Plus en détail

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme...

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme... Maths PCSI Cours Espaces affines Table des matières 1 Espaces et sous-espaces affines 2 1.1 Espaces affines et translations.................................... 2 1.2 Exemples d espaces affines......................................

Plus en détail

Université de Poitiers Année 2012-2013 L1 M2IPC Algèbre linéaire. Algèbre linéaire. rédigé par. Anne Moreau

Université de Poitiers Année 2012-2013 L1 M2IPC Algèbre linéaire. Algèbre linéaire. rédigé par. Anne Moreau Université de Poitiers Année 2012-2013 L1 M2IPC Algèbre linéaire Algèbre linéaire rédigé par Anne Moreau 1 2 Table des matières 1 Espaces Vectoriels 5 11 Structure d espace vectoriel 5 111 Espaces vectoriels

Plus en détail

Algèbre Linéaire. Victor Lambert. 24 septembre 2014

Algèbre Linéaire. Victor Lambert. 24 septembre 2014 Algèbre Linéaire Victor Lambert 24 septembre 2014 Table des matières 1 Généralités 2 1.1 Espaces vectoriels............................ 2 1.2 Applications linéaires.......................... 4 1.3 Familles

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés Dérivation Dérivabilité Eercice [ 0354 ] [Correction] Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : a) 2 3 b) 2 ) arccos 2 ) Eercice 2

Plus en détail

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

EMLYON 2015 S. Éléments de correction

EMLYON 2015 S. Éléments de correction EMLYON 15 S Éléments de correction ECS Lycée La ruyère, Versailles Année 1/15 Premier problème Première partie 1. On peut vérifier le critère de sous-espace vectoriel E et, pour P 1, P E et λ R, λp 1 +

Plus en détail

A. 1. Définitions 96/154. Cas particuliers

A. 1. Définitions 96/154. Cas particuliers I II III IV V VI VII VIII Cours de Mathématiques IUT Orsay DUT INFORMATIQUE A - Semestre 0-0 Introduction Wims Calcul ensembliste Relations binaires, applications Logique Raisonnements par récurrence,

Plus en détail

LISTE DE QUESTIONS DE COURS

LISTE DE QUESTIONS DE COURS LISTE DE QUESTIONS DE COURS sur le polycopié d Algèbre de 2008/2009 Chapitre 1 1. Définition 1.1 : Espace vectoriel. 2. Proposition 1.3 : Espace vectoriel produit. 3. Définition 1.2 : Sous-espaces vectoriels.

Plus en détail

Chapitre 3. Espaces vectoriels

Chapitre 3. Espaces vectoriels Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 3 Espaces vectoriels Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé

Plus en détail

Structures algébriques : groupes, anneaux et corps

Structures algébriques : groupes, anneaux et corps Maths PCSI Cours Structures algébriques : groupes, anneaux et corps Table des matières 1 Groupes 2 1.1 Lois de composition interne..................................... 2 1.2 Groupes................................................

Plus en détail

1 Séancs du 14/21.11.08

1 Séancs du 14/21.11.08 1 1 Séancs du 14/21.11.08 1.1 Le rayon spectral Le spectre d un opérateur (ici, élément d une algèbre stellaire) est un compact non vide. La compacité est immédiate, car, pour z > u, u zi peut être inversé

Plus en détail

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Nom Formule Espaces vectoriels Famille libre On dit que la famille est libre si Famille liée On dit que la famille est liée si Théorème de la base

Plus en détail

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire Université de Paris X Nanterre UFR Segmi Année 7-8 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II Chapitre Algèbre linéaire Table des matières Espaces vectoriels Espaces et sous-espaces

Plus en détail

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3.

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3. Mathématiques Devoirs de Vacances MPSI/PCSI août 5 Partie I : Manipulation d inégalités Eercice Soit m un réel Déterminer l'ensemble E des réels tels que e + e l'ensemble E des réels tels que (m + + m

Plus en détail

MATHÉMATIQUES I. lorsqu elle est périodique à partir d un certain rang, c est-à-dire s il existe

MATHÉMATIQUES I. lorsqu elle est périodique à partir d un certain rang, c est-à-dire s il existe MATHÉMATIQUES I On dit qu une suite réelle a = ( a n ) n IN est ultimement périodique lorsqu elle est périodique à partir d un certain rang, c est-à-dire s il existe n 0 IN et p IN tels que : ( R) n IN,

Plus en détail

APPLICATIONS LINÉAIRES

APPLICATIONS LINÉAIRES 21-10- 2007 J.F.C. A.L. p. 1 APPLICATIONS LINÉAIRES I GÉNÉRALITÉS 1. Définition et vocabulaire 2. Conséquences de la définition 3. Caractérisation II OPÉRATIONS SUR LES APPLICATION LINÉAIRES 1. Somme,

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Ó Ø Ó Ö ¾¼½ PSI Aurélien Monteillet ii Ce document contient les notes d un cours de mathématiques pour la classe de PSI. Les démonstrations non exigibles ou hors programme sont explicitement

Plus en détail

Algèbre linéaire. 1 Espaces vectoriels R n. Jean-Paul Davalan. 1.1 Les ensembles R n. 1.2 Addition dans R n. (R n, +) désigne R n muni de l addition.

Algèbre linéaire. 1 Espaces vectoriels R n. Jean-Paul Davalan. 1.1 Les ensembles R n. 1.2 Addition dans R n. (R n, +) désigne R n muni de l addition. Algèbre linéaire. Jean-Paul Davalan 2001 1 Espaces vectoriels R n. 1.1 Les ensembles R n. Définition 1.1 R 2 est l ensemble des couples (x, y) de deux nombres réels x et y. D une manière générale, un entier

Plus en détail

ESPACES PRÉHILBER TIENS RÉELS

ESPACES PRÉHILBER TIENS RÉELS ESPACES PRÉHILBER TIENS RÉELS 1 Produit scalaire et norme 1.1 Produit scalaire Définition 1.1 Soit E un R-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

Définition d une norme

Définition d une norme Définition d une norme Définition E est un K-ev. L application N : E R + est une norme sur E ssi 1. x E, N(x) = 0 x = 0. 2. k K, x E, N(k.x) = k N(x). 3. x, y E, N(x + y) N(x) + N(y) Notation N,. Propriété

Plus en détail

LES ROTATIONS DE R 3 : VERSION MATRICIELLE

LES ROTATIONS DE R 3 : VERSION MATRICIELLE LES ROTATIONS DE R : VERSION MATRICIELLE. L espace R n Les structures dont R n est muni appartiennent à quatre niveaux : Structure vectorielle: Vecteur. Combinaison linéaire. Familles libres et liées.

Plus en détail

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007 ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 27 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS DU CONTRÔLE DE LA NAVIGATION AÉRIENNE Épreuve commune obligatoire de MATHÉMATIQUES Durée : 4 Heures Coefficient

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0)

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0) NOMBRES COMPLEXES 1 Corps C des nombres complexes 1.1 Construction de C Construction de C On munit R de deux lois internes + et de la manière suivante. Pour (a, b, c, d) R 4, on pose (a, b) + (c, d) =

Plus en détail

UNIVERSITE PAUL SABATIER 2008/2009. Le déterminant d une matrice carrée à deux lignes et colonnes A = définition le nombre réel (ou complexe)

UNIVERSITE PAUL SABATIER 2008/2009. Le déterminant d une matrice carrée à deux lignes et colonnes A = définition le nombre réel (ou complexe) UNIVERSITE PAUL SABATIER 2008/2009 YjY L1 - PCP - DETERMINANTS (COURS-EXERCICES) YjY 1 Déterminant, définition, propriètés Le déterminant d une matrice carrée à deux lignes et colonnes A = définition le

Plus en détail

Les espaces vectoriels Partie 1

Les espaces vectoriels Partie 1 Les espaces vectoriels Partie 1 MPSI Prytanée National Militaire Pascal Delahaye 1 er février 2016 1 Définition d un Espace Vectoriel Soit ( K,+, ) un corps commutatif (le programme impose K = R ou C).

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Tatiana Labopin-Richard Mercredi 18 mars 2015 L algèbre linéaire est une très grosse partie du programme de Maths. Il est

Plus en détail

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin.

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin. Exo7 Espaces vectoriels Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin. Définition, sous-espaces Exercice Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur R) : E = { f : [,] R } :

Plus en détail

Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année 2014-2015 Préparation à l écrit - Samedi 13 décembre 2014

Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année 2014-2015 Préparation à l écrit - Samedi 13 décembre 2014 Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année 04-05 Préparation à l écrit - Samedi 3 décembre 04 Durée : 4 à 6 heures - Le sujet comporte 6 pages. Dans ce problème, on se propose de prouver

Plus en détail

objectifs de formation et programme de mathématiques I objectifs de formation

objectifs de formation et programme de mathématiques I objectifs de formation page 1 classe de deuxième année mp objectifs de formation et programme de mathématiques 1) Objectifs généraux de la formation objectifs de formation Dans la filière Mathématiques et Physique, les mathématiques

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51 Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes Polytech Paris-UPMC - p. /5 Rappels mathématiques s Propriétés - p. 2/5 Rappels mathématiques Soit à résoudre le système linéaire Ax = b. Rappels mathématiques

Plus en détail

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Arithmétique Algorithmique http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Partie III Algorithmes classiques 1 Coût de la multiplication et de la division 2 Exponentiation rapide 3 Algorithme d Euclide

Plus en détail

C) Fiche : Espaces vectoriels.

C) Fiche : Espaces vectoriels. C) Fiche : Espaces vectoriels. 1) Définition d'un espace vectoriel. K= I ou est le corps des scalaires. E est un K-espace I vectoriel si et seulement si : C'est un ensemble non vide muni de deux opérations,

Plus en détail

Les théorèmes de Gerschgorin et de Hadamard

Les théorèmes de Gerschgorin et de Hadamard Localisation des valeurs propres : Quelques propriétés sur les disques de Gerschgorin. Jean-Baptiste Campesato 22 septembre 29 Gerschgorin est parfois retranscrit en Gershgorin, Geršgorin, Hershhornou

Plus en détail