EXERCICES Optique physique 2 Michelson et diffraction

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1 EXERCICES Optique physique 2 Michelson et diffraction O21 Interféromètre de Michelson On raisonne sur l interféromètre de Michelson réglé de telle sorte que l on observe des anneaux avec une source étendue. La lumière utilisée est une source monochromatique de longueur d onde λ = 589 nm. 1 ) Préciser la position relative des miroirs. 2 ) On veut observer ces franges sur un écran placé à 1,5 m des miroirs à l aide d une lentille placée à la sortie de l interféromètre. Comment doit-on placer l écran par rapport à la lentille? On dispose de lentilles de distance focale 10 cm, 50 cm et 1m. Laquelle permettra d obtenir les anneaux projetés de plus grande taille? - Partant du réglage pour lequel la figure observée est uniformément éclairée et de même couleur que la source (teinte plate), on translate l un des miroirs de 1 mm. Calculer le rayon sur l écran des 5 premiers anneaux brillants. O22 Mesure d une distance avec un Michelson 1 ) Décrire le montage utilisant un interféromètre de Michelson permettant d obtenir à partir d une source étendue, les franges du coin d air observées à l aide d un viseur. On utilise ce montage par la suite. 2 ) La source lumineuse est une lampe à incandescence (lampe blanche). Quelle est la figure d interférences observée? On place ensuite un filtre jaune ne laissant passer que les longueurs d onde voisine de 0,55 µm. 3 ) Si la distance mesurée entre deux franges à l aide du micromètre du viseur est de 0,11 mm, quel est l angle entre les miroirs? 4 ) Sous l action d une contrainte, un des bras du Michelson s allonge. La position de la frange centrale vue dans le viseur s est décalée de 0,2 mm. Quelle est l élongation du bras? Sachant que l on peut apprécier un déplacement d 1/10 ème d interfrange, quelle est la précision de la mesure? O23 Franges d égales inclinaisons observées à l interféromètre de Michelson Un interféromètre de Michelson est éclairé par une source ponctuelle et monochromatique de longueur d onde 0,4427 µm. On suppose que les deux miroirs sont perpendiculaires et que leur distance à la séparatrice diffère de 1 cm. On observe le phénomène d interférence dans le plan focal P d une lentille mince convergente L de focale f = 1 m. 1 ) Montrer que les franges d interférence obtenues en P sont des anneaux. Calculer les rayons des 5 premiers anneaux brillants. 2 ) Calculer la demi-largeur des anneaux. On la définit en disant que si, dans la direction du maximum d intensité celle-ci vaut I M, on trouve à demi-largeur I M /2.

2 O2 4 Bande passante d un filtre On cherche à mesurer la bande passante Δλ d un filtre jaune. On utilise pour cela un interféromètre de Michelson. 1 Qu appelle-t-on longueur de cohérence temporelle d une source? Quel est son rôle dans les conditions d observation des franges d interférences? 2 A partir de la situation pour laquelle les deux miroirs de l interféromètre de Michelson sont parfaitement perpendiculaires et à même distance de la lame séparatrice, on translate le miroir «chariotable» d une distance e. Montrer, à l aide d un schéma que le phénomène d interférences observé est équivalent à celui d une lame d air à faces parallèles. 3 On considère un rayon incident d angle d incidence i faible (devant le radian). Faire un tracé des rayons émergents de l interféromètre associés à cet incident. Où vont-ils interférer? On place un écran à 1 m de l interféromètre. Comment observer la figure d interférences dans ces conditions? 4 L interféromètre est éclairé par une source de lumière blanche devant laquelle on interpose le filtre étudié. Au centre de la figure d interférences, on place un capteur photoélectrique qui donne une tension proportionnelle à l intensité lumineuse qu il reçoit. Cette tension est enregistrée à l aide d un logiciel d acquisition. On «chariote» un miroir du Michelson en couplant sa vis de translation à un moteur à vitesse de rotation très faible et constante. Au début de l enregistrement, de durée totale 5 mn, la vis micrométrique du Michelson indique X 1 = 38,61 mm. À la fin, X 2 = 38,53 mm. Le résultat de l acquisition est donné figure En interpréter la forme. 4 2 Un «zoom» de la partie la plus intéressante est présenté figure 2. figure 1

3 figure 2 Déduire de ces deux enregistrements la longueur d onde centrale du filtre ainsi que sa bande passante. O2 5 Doublet du mercure On cherche à mesurer l écart Δλ et la longueur d onde moyenne du doublet du mercure. On utilise pour cela un interféromètre de Michelson. L interféromètre est éclairé par une lampe à vapeur de mercure devant laquelle on interpose un filtre interférentiel selectionnant le doublet du mercure. Au centre de la figure d interférences, on place un capteur photoélectrique qui donne une tension proportionnelle à l intensité lumineuse qu il reçoit. Cette tension est enregistrée à l aide d un logiciel d acquisition. On «chariote» un miroir du Michelson en couplant sa vis de translation à un moteur à vitesse de rotation très faible et constante.

4 PSI Brizeux Au début de l enregistrement, de durée totale 20 mn, la vis micrométrique du Michelson indique X1 = 37,77 mm. À la fin, X2 = 35,21 mm. Le résultat de l acquisition est donné figure 1. 1 ) En interpréter la forme. 2 ) Un «zoom» d une partie intéressante est présenté figure 2. figure 1 figure 2 Déduire de ces deux enregistrements la longueur d onde centrale du doublet du mercure ainsi que Δλ.

5 PSI Brizeux O26 Mesures interférentielles Un interféromètre de Michelson est éclairé avec une source à vapeur de sodium que nous assimilerons à une source monochromatique de longueur d onde λ = 589 nm. Les deux miroirs ont un diamètre de 20 mm et l interféromètre est réglé en coin d air. L écran est parallèle à un des deux miroirs et situé à 1,25 m de ce miroir. 0 D = 8 cm D = 8 cm Figure 1 Figure 2 1 ) Parmi les deux photos d écran suivantes, laquelle correspond au réglage effectué? Quelle lentille est utilisée pour projeter les franges? On précisera sa distance focale et sa position. En exploitant la photo, évaluer l angle α du coin d air. 2 ) Une autre expérience est réalisée avec le même interféromètre et la même source et des réglages a priori différent. L expérimentateur a placé un briquet devant un des deux miroirs et envoyé un jet de gaz. Une photo d écran a été prise (figure 3). Quelles sont les mesures pertinentes à effectuer afin de déterminer l indice du gaz? Figure 3

6 O2 6b Franges d égale épaisseur observées au Michelson (CCP) Pour un TP d optique, on dispose de : un interféromètre de Michelson, une source de lumière blanche, une lampe spectrale (λ=589 nm), un condenseur, un diaphragme à iris, une fente fine rectangulaire, 4 lentilles de focale 20 cm, 100 cm, -5 cm et -100 cm. On observe sur un écran des franges rectilignes d interférences : 1 ) Représenter le montage expérimental permettant d obtenir cette figure d interférences sur un écran. Vous justifierez le choix du matériel utilisé par le tracé de rayons lumineux. 2 ) La distance entre les miroirs de l interféromètre et l écran est d environ 2 m. Pensez-vous qu il soit nécessaire d utiliser une lentille pour observer la figure d interférence? Pourquoi? 3 ) On observe un système de franges rectilignes d interférences. On place un jet gazeux d indice n gaz de largeur constante d ~3mm parallèlement à un miroir et perpendiculairement à l autre. On obtient la figure déformée suivante : Evaluer n gaz " n air. Questions subsidiaires : type d interférences obtenues en lumière blanche ; en configuration lame d air.! O2 7 Anneaux de Newton Une lentille plan convexe L est en contact par sa face sphérique, de rayon R = 2 m, avec une glace plane P. Le rayon de la face plane circulaire de L est y =1 cm. Imaginer un dispositif optique permettant d'éclairer le système par un faisceau parallèle monochromatique en incidence normale, et d'observer l'image de la lame d'air comprise entre L et G. L G Montrer qu'on observe, au voisinage de cette lame, des anneaux d'interférences. Calculer le nombre d'anneaux sombres observables pour λ = 589 nm. Que se passe-t-il si le contact entre L et G n'est pas parfait?

7 O2 8 Anneaux d interférence On éclaire une lame de verre à faces parallèles d épaisseur e et d indice n avec une source S ponctuelle et monochromatique de longueur d onde dans le vide " 0. On utilise le montage suivant où l on considère qu au delà de deux réflexions dans la lame de verre, l intensité lumineuse est trop atténuée pour être observée. La droite (SO) est confondue avec l axe optique de la lentille.! (L) S M O e f 1. Justifier qualitativement que ce dispositif permet l observation d interférences lumineuses à deux ondes en tout point M de l écran et que les franges sont circulaires centrées sur O. 2. Est-il indispensable que la source soit ponctuelle? 3. Évaluer le rayon du premier anneau brillant. On donne " 0 = 546,1 nm, f = 1,0 m, e = 1,0 mm et n = 1,5. O29 Monochromateur à réseau! R L 0 x onde monochromatique L 1 F 1 L 2 source blanche La figure ci-dessus représente un monochromateur à réseau, c et à dire un dispositif permettant d obtenir une onde quasi-monochromatique à partir d une lampe blanche ; le réseau par réflexion, de plan R, possède les caractéristiques suivantes : nombre de traits par millimètre : n = 500 et nombre total de traits : N =

8 Les lentilles L 1 et L 2 permettent, avec la fente source F 1, d éclairer le réseau R sous l incidence i. La lentille L 0, de distance focale f = 1m, a son axe normal au plan R ; en son foyer O se trouve la fente F 0 ; les angles sont comptés positivement dans le sens trigonométrique. 1 ) Quelle valeur doit-on donner à l angle d incidence i pour obtenir sur la fente F O la radiation de longueur d onde λ 0 = 0,5µm dans le spectre d ordre 2? Dans la question suivante, on gardera cette incidence. 2 ) Pour une longueur d onde λ différente de 0,5µm, les rayons diffractés par le réseau dans l ordre 2 convergent en un point du plan focal de L 0 d abscisse x. Donner une expression approchée de x en fonction de λ - λ 0 si l on considère des longueurs d onde λ très voisines de λ 0. Donner à ce résultat une forme semi-numérique avec x en millimètre et λ-λ 0 en µm. O210 Spectroscopie à réseau On considère un goniomètre à réseau plan utilisé en transmission. L éclairage est effectué en lumière parallèle sous incidence i ; l observation se fait à l infini. 1 ) Ecrire la formule des réseaux donnant l ensemble des angles d émergence i où l on observe une raie lumineuse, lorsque le rayonnement incident est un faisceau de lumière parallèle et monochromatique (on fera intervenir l ordre d interférence p). 2 ) Pour un ordre donné, mettre en évidence l existence d un minimum de déviation et indiquer les conditions de son obtention. Quel est l intérêt expérimental de travailler dans ces conditions? 3 ) Dans l ordre p = 2, on désire séparer les deux raies jaunes du sodium (λ 2 = 589,6 nm et λ 1 = 589 nm) ; la largeur de la zone de réseau éclairé est d = 3 cm ; l observation s effectue dans le direction normale au réseau. Discuter le choix des caractéristiques du réseau. On donne la largeur à mi-hauteur angulaire d un pic correspondant à une longueur d onde λ : Δi = λ Na le nombre de traits éclairés et a le pas du réseau. % ' i'= 0 " sin i = 2# a < 1 " a > 1,18µm Réponses : 3 ) & 2$# > # a Na " a < 2$#.d " a < 61,1µm (' # O2 11 Mesure d un longueur d onde par un spectromètre à réseau où N est! Un réseau de pas a est éclairé par une source de longueur d onde λ 0 = 0,5461 µm sous incidence quasinormale. Pour les ordres ±1 et ±2, on donne les valeurs des angles réfractés : k = 1 k = - 1 k = 2 k = -2 θ 1 = θ 1 = θ 2 = θ 2 = Déterminer l angle d incidence du faisceau incident. Calculer le pas du réseau et le nombre de traits par mm. - On éclaire le réseau avec une longueur d onde inconnue λ 1. On obtient θ 1 = et θ -1 = Calculer λ 1.

9 O2 12 Batterie de haut-parleurs Deux haut-parleurs (HP) émettant des ondes sonores cohérentes et de même intensité, sont disposés à une distance b = 1,0 m l un de l autre. Les HP sont assimilés à des sources sonores ponctuelles. Des auditeurs sont disposés en arc de cercle autour de ces HP à une distance d >>b. b S 2 S 1! x Déterminer le nombre d auditeurs qui n entendront pas un signal sonore de 440 Hz. 2. Cette fois, c est une colonne de 10 haut-parleurs, de hauteur L qui est disposée verticalement pour sonoriser un spectacle en plein air. Les 10 haut-parleurs sont identiques, équidistants (S i S i+1 = b =1,0 m ) et émettent des ondes sonores cohérentes. Un auditeur éloigné dans la direction formant l angle θ avec l horizontale perçoit le son émis par les 10 hautparleurs dont l intensité est représentée ci-dessous en fonction de sin(θ) pour une fréquence f 1. Pour quelle fréquence f 1 ce graphe de l intensité a-t-il été tracé? 3. Lorsque la colonne de haut-parleurs diffuse de la musique, un auditeur placé dans une direction θ donnée, n observe jamais l extinction totale du son, mais plutôt une déformation du son. Expliquer. 4. En plaçant tous les auditeurs dans une ouverture angulaire de ± 30 autour de la direction θ = 0 quelle serait la distance à donner entre les HP pour que tous les auditeurs entendent un signal comportant des fréquences dans la plage 20 Hz 10 khz sans déformation? 5. Calculer, pour b = 1,0 m la fréquence critique f c correspondant à la plus petite fréquence pour laquelle le premier angle d extinction du son est de 90. Conclure quant aux conditions d une bonne écoute.

10 O2 13 Interférences et mesure de pression Un interféromètre de Michelson réglé en lame d air d épaisseur e = 5,4 mm est éclairé avec un laser (λ = 632 nm). On observe dans le plan focal d une lentille convergente (de focale f ) une douzaine d anneaux. Pour la pression initialement égale à P 0 = Pa, l indice de l air est alors n 0 = 1, L air vérifie la loi de Gladstone reliant l indice n et la masse volumique µ : (n 1)/µ = Cte. On admet que l on peut apprécier un déplacement des anneaux de 1/10 de frange. On pourra faire des hypothèses supplémentaires justifiées. 1) a) Exprimer la différence de marche en fonction de la distance r au centre de l écran. b) Calculer la plus petite variation de pression qui provoque, à température fixée, un déplacement appréciable des franges. 2) L air subissant une détente adiabatique considérée comme réversible, de Δp = 1500 Pa à partir de l état initial, calculer le déplacement des anneaux, en interfranges. On donne γ = 1,4 pour l air. Commenter le résultat et proposer éventuellement un moyen d améliorer la mesure. O214 Gyromètre optique Un gyromètre est un dispositif destiné à mesurer, à chaque instant, la vitesse angulaire de rotation du support sur lequel il est fixé autour d un axe perpendiculaire à celui-ci. On se propose d établir une équivalence entre un interféromètre de Michelson réglé dans les conditions d une lame d air. lumière incidente D z' L éclairage de l interféromètre est effectué en lumière parallèle et monochromatique (longueur d onde λ), d intensité I 0, suivant la direction xx. S représente l ensemble «séparatrice + compensatrice» supposé parfait. Un détecteur D, délivrant un signal proportionnel à l éclairement reçu, est placé au foyer de la lentille L. x A' z O S M' A M x' 1 ) Dans les conditions de réglage définies ci-dessus, - définir et exprimer la différence de marche, puis le retard temporel entre les ondes interférant en D ; - exprimer l intensité reçue en D. La constitution d un gyromètre peut être schématisée, moyennant quelques simplifications, comme indiqué cidessous. L éclairage du dispositif a les mêmes caractéristiques que précédemment. Après division d amplitude par S, les deux ondes obtenues parcourent N spires circulaires de rayon R (milieu assimilé au vide pour simplifier), les faisceaux émergents, après une nouvelle division par S, interfèrent en D. Lorsque le dispositif est animé d une vitesse de rotation Ω autour de l axe y, on constate qu une différence de marche apparaît entre les faisceaux reçus en D. 2 ) Dans cette question, on s intéresse à l intervalle de temps pendant lequel la lumière parcourt un tour (une seule spire), dans le référentiel lié au support. - Montrer que le chemin parcouru dans le référentiel lié à (x,y,z) est supérieur au périmètre de la spire, selon le sens de rotation considéré. - En déduire les temps de parcours correspondants en fonction de R, c et Ω. - Exprimer le retard Δt puis le déphasage Δφ entre les ondes interférant en D ; on pourra faire un d.l. à l ordre 1 en Ω. 3 ) Pour le dispositif complet, on assimile le déphasage total obtenu à N.Δφ. En déduire l expression de l intensité I reçue en fonction de Ω. Tracer le graphe de la fonction I/I 0 en fonction de Ω. Commenter.

11 A.N. : λ = 580 nm ; R = 0,5 m ; N = A-t-on accès au signe de Ω. Si non, que peut-on proposer pour y remédier? 4 ) Comment sont modifiés les résultats précédents si l onde incidente n est plus rigoureusement monochromatique mais présente un spectre à profil rectangulaire de largeur Δλ autour de λ 0? D z' lumière incidente x O N spires y

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