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1 3 ème CORRECTION détaillée du Brevet blanc n 2 4 points sont réservés à : - la présentation générale de la copie : bien écrit / propre / questions numérotées / réponses soulignées.. Vous devez vous efforcer de bien présenter votre copie (vous pouvez raturer mais proprement, à la règle!) C est l impression générale de la copie qui donne envie ensuite au correcteur d être plus indulgent ou pas! - la rédaction de certaines réponses (surtout en géométrie) - l écriture de noms mathématiques : Pythagore, Thalès Il est inadmissible en 3 ème de faire encore des fautes d orthographe sur ces deux noms de mathématiciens! ou de ne pas mettre de majuscule!!! Exercice n 1 : a) D après le document n 1, le salaire moyen brut en 2010 est = /mois Et le salaire moyen net = brut diminué de 22%, donc multiplié par le coefficient 0,78 (car = 22) donc : x 0,78 = 2 155,92. Le salaire moyen net perçu par un français en 2010 était donc bien de 2 155,92. b) Le salaire médian (c est la médiane) brut correspond au salaire dont 50% des français ont un salaire inférieur ou égal et 50% des français ont un salaire supérieur ou égal. c) Le salaire médian brut : 1610 /mois et salaire moyen brut : 2764 /mois Donc : salaire médian < salaire moyen. La différence provient du fait que le taux de pauvreté ait augmenté en 2010 : il concerne 8,6 millions de français qui vivent en dessous du seuil de pauvreté (964 /mois) d après le doc.3. Le salaire médian tient compte du nombre de français qui ont un salaire faible ou élevé alors que le salaire moyen compte les salaires eux-mêmes d) D après le doc.2., on sait que 8,6 millions de français vivent en dessous du seuil de pauvreté par rapport ) 65 millions de français en On fait donc un tableau de proportionnalité : Seuil de pauvreté (en 2010) Total de français (en 2010) 8,6 millions? 65 millions 100% 8,6 100 On calcule donc :? Donc, environ 13 % de français vivent en dessous du seuil de pauvreté en Remarque : 8,6 millions = !!!! et non pas : , 6!!!! ce sont des personnes!!! donc pas de nombres décimaux! le nombre décimal ici provient du fait que l unité est million! Exercice n 2 Rappel : - pour montrer qu une affirmation est vraie, un ou des exemples ne suffisent pas!!! il faut la démontrer! - pour montrer qu une affirmation est fausse, un contre-exemple suffit. On peut aussi démontrer de manière rigoureuse.

2 * affirmation 1 : pour tout nombre a : 2a 3 ² 4a² 9 - on peut choisir un nombre a au hasard : Pour a = 1, alors on a : (2a 3)² (2 1 3)² (2 3)² 5² 25 Et 4 a² 9 41² Et comme 25 13, c est un contre-exemple, et donc cette affirmation est fausse! Ou - on développe le membre de gauche : (2a 3)² (2 a)² 2 2a 3 3² 4 a² 12a 9 Et si a 0, 12a 0, donc 4 a² 12a 9 4 a² 9 et donc cette affirmation est fausse! * affirmation 2 : Augmenter un prix de 20% puis effectuer une remise 20% sur ce nouveau prix revient à redonner à l article son prix initial. - on prend le prix d un article en exemple : Augmenter ce prix de 20%, c est le multiplier par 1,20 : donc : 50 x 1,20 = 60 - Et diminuer ce nouveau prix de 20%, c est le multiplier par 0,80 : donc : 60 x 0,80 = 48. Donc et donc cette affirmation est fausse! 32 * égalité 1 : Rappel : Pour montrer si une égalité est vraie ou fausse, on part de l une et après calculs détaillés on vérifie si on obtient la deuxième ou non. (On présente les calculs séparément!!!) CQFD. Donc cette égalité est vraie * égalité 2 : , , Et Donc Donc cette égalité est fausse Donc l égalité corrigée est : Remarque : De nombreux élèves ont oublié de corriger cette égalité, relisez la question avant de passer à la suivante!!! Exercice n 3 : 1 ) Départ à 10h00 /Durée route : 2h30 min /Pause : 80 min : soit 1h20 min /Durée route : 1h45 min Arrivée : 2h30 min + 1h20 min + 1h45 min = 4h 95 min = 5h35 min. Donc, Mr Dubois arrive au chantier à 15h35 min. Remarque : De nombreux élèves n ont pas compté le temps de pause! Mais ce temps s ajoute à la durée totale pour savoir l heure d arrivée. Si on avait calculé le temps de route, en effet on n aurait pas compter cette durée, mais ce n est pas ce qui nous est demandé ici. 2 ) deux méthodes pour résoudre cette question :

3 - avec la formule : V D, où V est la vitesse moyenne (en km/h) ; D est la distance parcourue (en km) T et T la durée (en h) On a : D = 442 km et T = 6h30 min, que l on doit convertir en heure décimale! = 6,5 h 442 donc : V 68. Donc le camion des déménageurs a roulé à 68 km/h. 6,5 - avec un tableau de proportionnalité : Distance parcourue (en km) 442? Durée (en heure) Ou (en min) 6,5 h 390 min 1h 60 min Donc le camion des déménageurs a roulé à 68 km/h. On calcule : 1 442? 68 6, Ou? Exercice n 4 : 1 ) Aire du cylindre = aire de la base x 2 + aire de la surface latérale Aire de la base = aire du disque de base = π x r² = π x 4² = 16 π cm² Aire de la surface latérale = aire du rectangle ( de longueur = hauteur du cylindre et de largeur = périmètre du disque de la base) = (2 x π x r ) x h = 2 x π x 4 x 12 = 96 π cm² Donc : Aire du cylindre = 2 x 16 π + 96 π = 128 π cm². Réponse C. sina 2 ) on utilise la formule : tana cos a 0,6 Donc : tana 0,75. Réponse A. 0,8 3 ) On a les longueurs données, dans la configuration : - deux droites (BC) et (DE) sécantes en A, - points C, B et A d une part et D, E et A d autre part sont alignés dans le même ordre, AB 4 On calcule : 0,8 AC 5 et AE 4,8 0,8 AD 6 Comme : AB AE, On peut donc appliquer la réciproque du théorème de Thalès. Réponse C. AC AD 4 ) il y a 9 valeurs : médiane : 5 ème valeur : 12 moyenne 14,7 donc : médiane < moyenne donc réponse C. 5 ) on réduit, en supprimant les parenthèses : (2x 1) ( x 3) 0 2x 1 x 3 0 x 4 0 x 04 x 4 La solution de cette équation est donc 4. Réponse C. Remarque : on peut aussi procéder en testant les valeurs proposées dans l expression littérale. Par exemple : pour x = 0,5 : (2x( 0,5)+1 ) ( 0,5 3) = ( ) ( 3,5) = 0 + 3,5 = 3,5 et 3,5 0, donc 0,5 n est pas solution

4 Etc 6 ) L écriture scientifique de : 0, , réponse B. 7 ) (5 2)² 5² ( 2)² réponse B. 8 ) L image de 3 par la fonction f ( x) 2 x² 5x 3 est : f ( 3) 2 ( 3)² 5 ( 3) 3 29 ( 15) Réponse A. Exercice n 5 : Avant de répondre aux questions posées, il faut bien entendu répondre aux questions du test de l énoncé : * Q1 : NON, 195 n est pas un nombre premier car il est divisible par 5 (il n est donc pas divisible que par 1 et par lui-même). * Q2 : NON, 1309 n est pas un nombre premier car il est divisible par 7. * Q3 : OUI, car : On calcule le PGCD de 1309 et 195 (par la méthode que vous voulez) Ici, par l algorithme d Euclide : Donc le PGCD (1309 ; 195) = 1 dividende diviseur quotient reste Cela signifie que les nombres 1309 et 195 sont premiers entre eux * Q4 : NON, car 45 admet 6 diviseurs : 1, 3, 5, 9, 13, 45 1 ) C est Davy qui a donné les 4 bonnes réponses. 2 ) Au moins 75% des bonnes réponses cela signifie 3 ou 4 bonnes réponses!. (attention à «au moins»!!!) C est donc Célia et Davy qui ont donné au moins 75 % des bonnes réponses. 3 ) Personne n a répondu tout faux. Exercice n 6 : 1 ) On a : * les droites (IK) et (JL) sont sécantes en O. OI 1,5 * on calcule séparément : 0,75 OK 2 et OJ 1,65 0,75 OL 2,2 Comme : OI OJ OK OL et que les points O, I, K d une part et O, J, L d autre part sont alignés dans le même ordre d après la réciproque du théorème de Thalès,

5 on déduit que les droites (IJ) et (KL) sont parallèles donc les deux bras du balancier sont parallèles. 2 ) Dans le triangle ABC, on a : * le côté le plus long est [AC], donc : AC² = 25² = 625 * et AB² + CB² = 15² + 20² = = 625 Comme : AC² = AB² + CB² D après la réciproque du théorème de Pythagore, on déduit que le triangle ABC est rectangle en B Donc la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier. 3 ) Dans le triangle ABC rectangle en B, on utilise la formule : côté opposé AB tan( ACB ) OU bien les autres formules : côté adjacent BC côté adjadcent BC 20 cos( ACB ) 15 0,8 Donc tan( ACB ) 0,75 hypoténuse AC OU 1 Donc, on tape à la calculatrice : tan (0,75) côté opposé AB 15 sin( ACB ) 0,6 Et donc : ACB 37 (arrondi au degré près) hypoténuse AC 25 Exercice n 7 : 1 ) voir figure ci-contre : Attention les codages sont importants!!! 2 ) ABCD est un carré de centre O. Or, les diagonales d un carré sont : - de même longueur - perpendiculaires - et se coupent en leur milieu Donc : (AC) (BD) en O Et OB = OA = OC = OD Donc : le triangle BCO est rectangle et isocèle en O. 3 ) Dans le triangle BCO rectangle en O, On applique le théorème de Pythagore : BC² = BO² + OC² Donc : BC² = 3² + 3² = = 18 (et comme une longueur est toujours positive) Donc : BC 18 cm 4 ) voir figure. 5 ) On a : * les droites (OE) et (BF) sont sécantes en A * les droites (BC) et (EF) sont parallèles On applique donc le théorème de Thalès : donc : AC AB BC donc : 6 18 donc : AE AF EF 9 EF EF cm ( EF )

6 6 ) base hauteur AF EF * On calcule l aire du triangle AEF = 2 2 Et AF = EF car AEF est aussi un triangle rectangle isocèle. Donc : A(AEF) = A AEF ,25 cm² * on calcule l aire du carré ABCD = côté² = BC² = ( 18)² 18 cm² Donc on a : Aire (AEF) > Aire (ABCD) Donc Laura a raison. Remarque : On peut aussi résoudre cette question avec le rapport d agrandissement entre le triangle ABC et AEF : AE 9 3 Rapport = AC Donc : aire( AEF ) ( )² aire( ABC ) aire( ABC ) Et aire( ABC ) aire( ABCD ) Donc : aire( AEF ) aire( ABCD ) Donc : aire( AEF ) aire( ABCD) et comme Alors Aire (AEF) > Aire (ABCD) * exercice n 8 : Formule A : 75 euros par jour de croisière ; Formule B : un forfait de 450 euros, puis 25 euros par journée de croisière. 1 ) Voici le tableau complété (qui était à compléter sur l annexe jointe!!!! ) Nombre de jours x Prix (en euros) avec la Formule A x Prix (en euros) avec la Formule B x ) D après le tableau, on voit qu il peut partir, 3 jours ou bien 8 jours avec 750 euros. MAIS ce n est pas le maximum Pour trouver le maximum de jours où il peut partir avec 750 avec la formule B, on résout l équation : x x 25x 300 Il peut donc partir au maximum 12 jours avec 750 euros avec la formule B. x ) graphiques :

7 Formule A Formule B 4 ) La formule B est plus avantageuse que la formule A lorsque : formule B formule A 25x x x 25x x 50x x 50 x 9 La formule B est donc plus avantageuse que la formule A à partir de 10 jours. (remarque : pour 9 jours, les tarifs sont égaux) 5 ) a) D après le graphique, la formule la plus intéressante pour partir 7 jours est la formule A. Il va payer environ 525 euros. (Ne pas oublier les pointillés! c est demandé dans l énoncé, il y a donc des points!) b) formule A, pour 7 jours : 75 x 7 = 525 (valeur exacte) Il bénéficie de 5% de réduction donc : 525 x 0,95 = 498,75. Julien va donc payer ses vacances finalement 498,75.

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