2010/2011. Espaces vectoriels

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "2010/2011. Espaces vectoriels"

Transcription

1 Université Paris-Est Marne-la-Vallée 010/011 M1 enseignement CD/Préparation au CAPES Espaces vectoriels Dans toute la suite on considèrera des espaces vectoriels sur un corps commutatif K de caractéristique 0. Exercice 1. Soit K un corps commutatif, montrer que l ensemble K[X] des polynômes à coefficients dans K est un espace vectoriel sur K. Montrer que K[X] est de dimension infinie et en donner une base. Exercice. Soit F(R) l ensemble des fonctions numériques définies sur R. 1. Vérifier que F(R) est un espace vectoriel de dimension infinie sur R.. On note I(R) et P(R) les sous-ensembles des fonctions impaires et des fonctions paires de F(R). Vérifier que I(R) et P(R) sont des sous-espaces vectoriels de F(R). Montrer que F(R) = I(R) P(R). Exercice 3. Projections. Soit E 1 et E deux sous-espaces supplémentaires d un espace vectoriel E. On appelle projection sur E 1 parallèlement à E l application p 1 : E 1 E E 1 x = x 1 + x x 1 On définit de même p la projection sur E parallèlement à E a. Montrer que p 1 L(E) et que Ker p 1 = E, Imp 1 = E 1. Montrer que p 1 p 1 = p 1 et que E 1 est l ensemble des éléments de E invariants par p 1. b. Montrer que p 1 + p = Id E et que p 1 p = p p 1 = 0 L(E). c. On suppose dans cette question que E est de dimension finie. En choisissant une base adaptée de E, donner une matrice simple de p 1.. a. Soit p un élément de L(E) tel que p p = p. Montrer que E = Ker p Im p et que p est la projection sur Im p parallèlement à Ker p. b. Montrer que q = Id E p est la projection sur Ker p parallèlement à Im p. c. Montrer que p L(E) est une projection si et seulement si pour tout x E, x p(x) Ker p. Exercice 4. Symétries. Soit E un espace vectoriel sur K (K = R ou C). Soit E 1 et E deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. On note p 1 la projection sur E 1 parallèlement à E. On appelle symétrie par rapport à E 1 parallèlement à E l application s 1 = p 1 Id. 1. a. Exprimer s 1 (x). Montrer que s 1 est involutive et donc bijective. Montrer que E 1 = {x E; s 1 (x) = x} et que E = {x E; s 1 (x) = x}. b. On suppose E de dimension finie. Donner une base de E dans laquelle la matrice de s 1 est simple. c. On note s la symétrie par rapport à E parallèlement à E 1. Montrer que s 1 s = s s 1 = Id.. Soit g L(E) involutive. Soit E 1 = {x E; g(x) = x} et E = {x E; g(x) = x}. Montrer que E 1 et E sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Montrer que g est une symétrie et préciser ses sous-espaces caractéristiques. 3. Application : donner un supplémentaire dans R 3 de l espace vectoriel engendré par ı + j + k où ( ı, j, k) est une base de R 3. Exprimer dans cette base les matrices des symétries correspondantes. Exercice 5. Soit E un espace vectoriel et f L(E). 1. Montrer que si pour tout x E, (x, f(x)) est une famille liée alors f est une homothétie.. Montrer que f commute avec tout élément de L(E) si et seulement si f est une homothétie. Exercice 6. que : Soit E, F, G trois espaces vectoriels de dimensions finies ; f L(E, F ) et g L(F, G). Montrer 1. dim Ker (g f) dim Ker g + dim Ker f.. rang f + rang g dim F rang (g f) min(rang f, rang g) 1

2 Exercice 7. Soit E un espace vectoriel et u L(E). Montrer que u = 0 si et seulement si Imu Ker u. Exercice 8. Soit E un espace vectoriel et f L(E). 1. Montrer que Ker f Ker f, Im f Im f. Montrer que Ker f = Ker f si et seulement si Im f Ker f = {0 E }. On suppose que E est de dimension finie. Montrer l équivalence des propositions suivantes : (i) E = Im f Ker f (ii) Ker f = Ker f (iii) Im f = Im f Exercice 9. Soit E un espace vectoriel de dimension et f L(E). Montrer l équivalence des propositions suivantes : (i) La somme Im f + Ker f n est pas directe (ii) Im f = Ker f (iii) f 0 et f f = 0 Exercice 10. Soit E un espace vectoriel et E son dual. Soit A un sous-espace vectoriel de E, on appelle orthogonal de A dans E, l ensemble A = {φ E, x A, φ(x) = 0}. De même soit B un sous-espace vectoriel de E, on appelle orthogonal de B dans E l ensemble B = {x E, φ B, φ(x) = 0}. Soit f L(E, F ), on appelle transposée de f et on note t f l application de F dans E définie par : pour tout φ F, t f(φ) = φ f. 1. a. Vérifier que A et B sont respectivement des sous-espaces vectoriels de E et E. Montrer que A A. b. Vérifier que t f est une application linéaire c. Soit (e i ) i I une base de E. On définit pour tout i I, e i E par { e 1 si i = j i (e j ) = 0 si i j Montrer que (e i ) i I est une partie libre de E. d. Soit u une application de E dans E définie par : pour tout x E, u(x) est l application de E dans K telle que pour tout y E, u(x)(y ) = y (x). Montrer que u est linéaire et injective.. On suppose dans cette question que E est de dimension infinie. a. Montrer que (e i ) i I n est pas une partie génératrice de E. On pourra considérer f E définie par f(e i ) = 1, pour tout i I. b. Montrer que u n est pas surjective. On pourra considérer g E telle que g(e i ) = 1, pour tout i I. 3. On suppose maintenant que E est de dimension finie. a. Montrer que (e i ) i I est une base de E. En déduire que dim E = dim E = dim E. b. Montrer que u est un isomorphisme de E sur E. c. Soit H un sous-espace vectoriel de E, montrer que dim H + dim H = dim E. Montrer que H = H. Exercice 11. Soit P 4 l espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 4. On note O q, q 4, le sous-espace vectoriel de P 4 des polynômes d ordre supérieur ou egal à q (l ordre d un polynôme est le plus petit i tel que le coefficient de X i est non nul). Soit P un polynôme de P 4, on note : X T (P ) = XP (0) 1/0X 5 P (4) (0) + t [P (t + 1) P (t) P (t)]dt 0 1. Montrer que T est une application linéaire. On pose e 0 = 1, e 1 = X, e = X, e 3 = X 3, e 4 = X 4. Vérifier qu on obtient ainsi une base de P 4. Montrer que T (P 4 ) P 4. On a donc T L(P 4 ).. Déterminer T (O 3 ), T (O ) et Ker T O. 3. Montrer que ImT = (O 1 P 1 ) O 3. Déterminer le rang de T. Montrer qu il existe un sous-espace vectoriel de P 4, V tel que Ker T = (O 1 P 1 ) V. Déterminer Ker T ImT. 4. On cherche un vecteur u non nul de O 3 tel qu il existe λ R, T (u) = λu. Montrer qu il existe deux valeurs possibles de λ : 0 < λ 1 < λ Trouver deux vecteurs non nuls u 3 et u 4 de O 3 tels que T (u 3 ) = λ 1 u 3 et T (u 4 ) = λ u On pose u 0 = e 1, u 1 = e 4e 3 + 3e 4, u = e 0. Montrer que (u 0, u 1, u, u 3, u 4 ) est une base de P 4. Ecrire la matrice de T dans cette base.

3 1 Solutions 1 Il est clair, d après la définition des polynômes (voir chapitre Polynômes) que K[X] est un espace vectoriel sur K. Par définition la famille (X i ) i N est génératrice de K[X]. Supposons que l on puisse en extraire une sous-famille B finie génératrice. Soit N le degré maximal des éléments de B. Tout élément de K[X] est combinaison linéaire des éléments de B et est donc de degré inférieur à N. Considérons alors l élément de K[X] : X N+1. Il est clair que X N+1 n est pas combinaison linéaire des éléments de B. 1. Il est facile de vérifier que F(R) est un espace vectoriel sur R. Considérons la famille de fonctions numériques (δ x ) x R, définie par : { δx (x) = 1 δ x (y) = 0 si y x Montrons que cette famille infinie est libre, on aura alors prouvé que F(R) est de dimension infinie. Soit (x i ) i I et (λ i ) i I deux familles finies de réels. Supposons i I λ iδ xi = 0. En appliquant cette fonction à chaque x i, on obtient, λ i = 0 pour tout i I. La famille est donc libre et F(R) est de dimension infinie.. On vérifie facilement que I(R) et P(R) sont des sev. de F(R). C est une astuce classique. Soit f une fonction numérique. On vérifie que la fonction f 1 définie par f 1 (x) = f(x)+f( x) est paire et de même que la fonction f (x) = f(x) f( x) est impaire. On a clairement f = f 1 + f. La somme est par ailleurs directe car seule la fonction nulle est à la fois paire et impaire a. Il est immédiat de vérifier que p 1 est linéaire. Soit x = x 1 +x la décomposition de x selon les sous-espaces supplémentaires E 1 et E. On a x Ker p 1 x 1 = 0 x E. Par suite Ker p 1 = E. Par définition, Im p 1 E 1. De plus, x E 1 x = x 1 = p 1 (x). Donc Imp 1 = E 1. Nous avons montré au passage que E 1 est l ensemble des vecteurs invariants par p 1. On a p 1 p 1 (x) = p 1 (x 1 ) = x 1 = p 1 (x). Donc p 1 p 1 = p 1. b. On a, avec les mêmes notations que ci-dessus, p 1 + p (x) = x 1 + x = x. Donc p 1 + p = Id E. De même, p 1 p (x) = p 1 (x ) = 0 et p p 1 (x) = p (x 1 ) = 0. D où le résultat voulu. c. La base que suggère l énoncé est évidemment une base suivant la décomposition E = E 1 E. On choisit donc une base de E, (e 1,, e q, e q+1, e n ) telle que (e 1,, e q ) est une base de E 1 et (e q+1,, e n ) une base de E. On a immédiatement la forme de la matrice de p 1 dans cette base : c est une matrice diagonale dont les q premiers éléments diagonaux sont égaux à 1 et les n q suivants égaux à 0.. a. On a pour tout x de E, x = p(x) + x p(x). Notons x 1 = p(x) et x = x p(x). Il est clair que x 1 Im p. De plus, p(x ) = p(x) p(p(x)) = 0, par hypothèse. On a donc bien E = Imp + Ker p. De plus, si x Imp Ker p, alors il existe y tel que x = p(y) et 0 = p(x) = p(p(y)) = p(y) = x, par suite on a la somme directe E = Imp Ker p. Par unicité de la décomposition de x selon la somme directe on a x 1 = p(x), et p est bien la projection sur Im p parallèlement à Ker p. b. On a q(x) = x p(x), donc par le même argument que précédemment q est la projection sur Ker p parallèlement à Im p. c. Si p est une projection on a immédiatement p(x p(x)) = p(x) p(x) = 0. Réciproquement, si pour tout x, p(x p(x)) = 0 alors p p = p et la question.1 permet de conclure que p est une projection a. Soit x E, on écrit comme dans l exercice précédent x = x 1 + x où x 1 E 1 et x E. Par définition, s 1 (x) = x 1 x, d où s 1 (s 1 (x)) = x 1 ( x ) = x, s 1 est donc involutive. Profitons de cet exercice pour vérifier que toute involution f est une bijection. La surjectivité est immédiate puisque x = f(f(x)) ; pour l injectivité si f(x) = f(y) alors f(f(x)) = f(f(y)) i.e. x = y. Il est immédiat que E 1 est l ensemble des invariants de s et que E est l ensemble des vecteurs transformés en leur opposé. b. En choisissant une base de E adaptée à la somme directe E = E 1 E, on obtient dans cette base la matrice de s 1 qui est diagonale. Soit q = dime 1, alors les q premiers éléments de la diagonale sont égaux à 1 et les n q suivants égaux à 1. c. On a, par définition s (x) = x x 1, par suite s 1 (s (x)) = s 1 ( x 1 + x ) = x 1 x = x. De meme s (s 1 (x)) = s (x 1 x ) = x 3

4 . On peut écrire x = x+g(x) + x g(x). Comme g est involutive, on a bien x+g(x) E 1 et x g(x) E. Par suite E = E 1 + E. Il est clair que tout élément de E 1 E est nul, la somme est donc directe. On a de plus g(x) = x+g(x) x g(x), g est donc la symétrie par rapport à E 1, parallèlement à E. 3. On peut choisir par exemple E = R ı R j comme supplémentaire de E 1 = R( ı+ j+ k) (il y en d autres, par exemple R ı R k). Notons s 1 et s respectivement les symétries par rapport à E 1 ( resp. E ) parallèlement à E (resp. E 1 ). Ecrivons la matrice de s 1 dans la base ( ı, j, k). On a ı, j E, par suite s 1 ( ı) = ı et s 1 ( j) = j. Par ailleurs, k = ( ı + j + k) ( ı + j), donc s 1 ( k) = ı + j + k + ı + j = ı + j + k. Par conséquent, la matrice de s 1 dans la base ( ı, j), k est donc M 1 = Des calculs analogues nous donnent la matrice de s dans cette même base : 1 0 M = Par hypothèse, il existe pour tout x un réel λ x tel que f(x) = λ x x. Il nous reste maintenant à montrer que ce réel est le même pour tous les éléments de E. Fixons un vecteur non nul x E. Soit y un élément non nul de E. Supposons x et y liés, i.e., y = kx, avec k 0. Alors, d une part f(y) = λ y y = λ y kx, d autre part, f(y) = f(kx) = kf(x) = kλ x x. On obtient en égalisant, λ x = λ y. Supposons maintenant x et y libres. On a alors, d une part f(x + y) = λ x+y (x + y) = λ x+y x + λ x+y y, et d autre part, f(x + y) = f(x) + f(y) = λ x x + λ y y. Ces deux égalités et la liberté de (x, y) entrainent λ x+y = λ x = λ y.. Un homothétie commute avec tout élément de L(E). Réciproquement, soit f une application linéaire qui commute avec tout élément de L(E). Soit x un élément de E,nous allons montrer que (x, f(x)) est lié ; on aura ainsi le résultat en utilisant la première question. Soit g x une projection parallèlement à < x > ( en fait toute application linéaire de noyau < x > convient pour notre démonstration). Par hypothèse, f et g x commutent. Par suite, g x (f(x)) = f(g x (x)) = f(0) = 0, ce qui signifie que f(x) appartient au noyau de g x autrement dit que (x, f(x)) est lié. Par la question précédente, f est donc une homothétie. On remarque que l on peut affaiblir les hypothèses de la facon suivante : si f commute avec toute les projections sur un hyperplan alors f est une homothétie. 6 Supposons que u = 0 L(E). Soit x Im u, il existe donc y E tel que x = u(y). On a alors, u(x) = u (y) = 0. Donc Im u Ker u. Réciproquement, soit x E, u(x) appartient à Im u et donc par hypothèse à Ker u, on a donc u(u(x)) = 0, i.e. u = 0 L(E) Il est clair que l on a Ker f Ker f et Im f Im f. Supposons que Ker f = Ker f. Soit x Im f Ker f, alors il existe y tel que x = f(y). On a alors, f (y) = f(x) = 0. Par suite, y Ker f = Ker f, donc x = f(y) = 0. Par conséquent, Im f Ker f = {0}. Réciproquement, soit x Ker f. Alors f(x) Im f Ker f. Par hypothèse, f(x) = 0 donc x Ker f.. Montrons (i) (ii). Puisque la somme est directe on a, Im f Ker f = {0} d où par la question précédente, Ker f = Ker f. Nous allons montrer directement l équivalence (ii) (iii). On a dim E = dim Ker f + dim Im f = dim Ker f + dim Im f. Par suite l égalité (ii) implique dim Im f = dim Im f. On conclut ensuite en utilisant la question précédente. la démonstration de (iii) (ii) est identique. Montrons (ii) (i). La question précédente et (ii) implique que la somme Im f +Ker f est directe. L égalité des dimensions montre ensuite que cette somme est égale à E. 8 Montrons (i) (ii). Comme la dimension de E est et que la somme n est pas directe, la dimension de l intersection Im f Ker f est 1 ou. Ce qui implique que la dimension de Im f et de Ker f est supérieure ou égale à 1. Par ailleurs dim Im f +dim Ker f = dim E =, la seule posibilité est donc dim Im f = dim Ker f = 1. On a alors Im f Ker f = Im f = Ker f. Montrons maintenant (ii) (iii). Soit x E, f(x) appartient à 4

5 Im f et par (ii) à Ker f, donc f (x) = 0, i.e. f = 0. Pour des raisons de dimension, comme dans la question précédente, Im f = Ker f implique dim Im f = dim Ker f = 1. Par conséquent, f 0. Pour (iii) (ii), il suffit de remarquer que f = 0 implique Im f Ker f, donc la somme n est pas directe Considérons l application linéaire h obtenue par restriction de f à l ev. Ker g f. Soit y Im h alors il existe x Ker g f tell que y = f(x), on a alors g(y) = g(f(x)) = 0, par suite Im h Ker g. Par ailleurs, soit x Ker h, on h(x) = 0 d où f(x) = 0, par définition de h. On a donc Ker h Ker f. Par suite dim Ker g f = dim Ker h + dim Im h dim Ker f + dim Ker g.. On a immédiatement par ce qui précède, rang g f = dim E Ker g f dim E dim Ker f dim Ker g = dim Im f dim Ker g = dim Im f dim F + rang g. On a ensuite dim E = dim Ker f + dim Im f = dim Ker (g f) + Im (g f). Comme dim Ker f dim Ker (g f), on en déduit dim Im f dim Im (g f). De plus il est clair que dim Im (g f) dim Im g, car le premier est inclu dans le second. On a donc rang (g f) min(rang f, rang g) Les démonstrations qui suivent sont quasiment triviales dès que l on a bien compris les définitions des objets que l on manipule. a. On vérifie sans difficulté que A est un sev de E et B un sev de E. Par définition A = {x E, φ A, φ(x) = 0}. Par définition de A, pour tout x A et tout φ A, φ(x) = 0, par suite, A A. b. Soient φ et φ deux éléments de E et λ un réel. Soit x E, on a t f(λφ)(x) = λφ f(x) = λ(φ f(x)) = λ t f(φ)(x). De meme, t f(φ + φ )(x) = (φ + φ ) f(x) = φ(f(x) + φ (f(x)) = t f(φ)(x) + t f(φ )(x) = ( t f(φ) + t f(φ ))(x). Par suite, t f est bien un élément de L(F, E ). c. Soit J une sous-famille finie de I, et (λ j ) j J une famille de réels telle que j J λ je j = 0. On a alors en particulier, pour tout i J, j J λ je j (e i) = 0. Alors, par défition des e j, on obtient λ j = 0 pour tout j J. La famille (e i ) i I est donc libre. d. Soient x et y deux éléments de E et λ un réel. Soit z un élément de E. On a, u(x + y)(z ) = z (x + y) = z (x) + z (y) = u(x)(z ) + u(y)(z ) = (u(x) + u(y))(z ). De meme, u(λx)(z ) = z (λx) = λz (x) = λu(x)(z ). Dans les deux démonstrations, on a utilisé successivement la définition de u et la linéarité de z. Soit x = j J λ je j, où J est une partie finie de I. Supposons u(x) = 0. En particulier, pour tout e i, i I, u(x)(e i ) = 0. On obtient en remplacant x par son écriture en fonction de e j, λ i = 0 pour tout i J. Par conséquent, x = 0 et u est donc injective.. On est maintenant en dimension infinie. a. Il suffit donc de trouver un élément de E qui ne peut pas s écrire comme combinaison linéaire des éléments d une partie finie de (e i ) i I. Considérons l application linéaire f définie de la facon suivante par l image de la base : f(e i ) = 1 pour tout i I. Supposons que f s écrit comme combinaison linéaire des éléments de (e j ) j J, où J est une partie finie de I. Soit alors i 0 un élément de I qui n est pas dans J, on a f(e i0 ) = 0, ce qui contredit la définition de f. b. Comme le suggère l énoncé, considérons la forme linéaire sur E définie par g(e i ) = 1 pour tout i I et g(z ) = 0 pour tout z appartenant à un supplémentaire fixé du sous-espace engendré par les e i. Supposons maintenant qu il existe x E tel que u(x) = g. On a donc en particulier pour tout i I, 1 = g(e i ) = u(x)(e i ) = e i (x). On obtient clairement une contradiction en écrivant x comme somme finie d éléments de la base (e i ) i I. 3. On suppose maintenant que l espace est de dimension finie. Les contre-exemples précédents ne sont plus valables puisqu ils reposaient précisement sur la dimension infinie. a. Il suffit de montrer que la famille est génératrice. Soit f E, f est déterminée par l image λ i de e i, pour tout i I. On voit aisément que f = i I λ ie i. On a donc dim E = dim E et par le meme argument appliqué à l ev. E, dim E = dim E. b. Grace à l égalité des dimensions il suffit de montrer que u est injective ce que l on sait déjà (1.4). c. Soit (a 1,, a p ) une base de H que l on complète en une base (a 1,, a n ) de E (on pose dim E = n). Alors (a i )n i=1 est une base de E. Soit φ H, alors il existe de réels λ i tels que φ = n 1 i p, on a par définition de H, φ(e i ) = 0 ce qui entraine λ i = 0. Par suite, φ = n i=1 λ ia i. Soit i, i=p+1 λ ia i, donc H est engendré par (e i )n i=p+1. Donc dim H = n p. 5

6 d. On sait déjà que H H. De plus dim H + dim H = E et de même, dim H + dim H = dim E = dim E. Par conséquent, dim H = dim H. D où l égalité de ces deux sous espaces. On déduit en particulier de cette étude que le noyau d une forme linéaire φ est l hyperplan (Rφ) et de même tout hyperplan H de E est le noyau d une forme linéaire engendrant H Il est clair que T est une application linéaire et que (e 0, e 1, e, e 3, e 4 ) est une base de P 4. On calcule les images des éléments de cette base par T. On obtient sans difficultés : T (e 3 ) = 3X4 4 On constate donc que T (P 4 ) P 4. T (e 0 ) = X = e 1, T (e 1 ) = 0, T (e ) = X3 3 = 1/3e 3 + X3 3 = 1/3e 3 + 3/4e 4, T (e 4 ) = X 4 + x3 3 = 1/3e 3 + e 4.. Par définition, O 3 est engendré par (e 3, e 4 ). Les résultats précédents montrent que T (O 3 ) est engendré par (1/3e 3 + 3/4e 4, 1/3e 3 + e 4 ) qui est une partie libre de O 3, par conséquent T (O 3 ) = O 3. De la même facon, O est engendré par (e, e 3, e 4 ). Donc par les calculs précédents, T (O ) est l espace engendré par (1/3e 3, 1/3e 3 + 3/4e 4, 1/3e 3 + e 4 ). Autrement dit, T (O ) = O On cherche donc les polynômes P de la forme ax 4 + bx 3 + cx tels que T (P ) = 0. On trouve, en utilisant les résultats précédents : T (P ) = ( 3b 4 + a)x4 + ( a+b+c 3 )X 3. On a donc, P Ker T O ssi c = b/4 et a = 3b/4. Par suite, Ker T O est donc l espace de dimension 1 engendré par 1/4e + e 3 3/4e L image de T est l espace vectoriel engendré par (T (e 0 ), T (e 1 ), T (e ), T (e 3 ), T (e 4 )) ou encore comme T (e 0 ) = e 1, T (e 1 ) = 0 et T (O ) = O 3, l image de T est Re 1 + O 3. La somme est clairement directe et on peut écrire Re 1 = RX = O 1 P 1. Par suite on a, Im T = (O 1 P 1 ) O 3. Le rang de T est donc la dimension de cet espace c est à dire dim(o 1 P 1 ) + dim O 3 = 3. Par conséquent dim Ker T = 5 dim Im T =. De plus, O 1 P 1 Ker T. Notons V 1 un supplémentaire de O 1 P 1 dans Ker T, V est de dimension 1 et on a bien Ker T = (O 1 P 1 ) V. On a (O 1 P 1 ) Im T Ker T. Or, le vecteur 1/4e + e 3 3/4e 4 est dans Ker T (cf 3.) et n appartient pas à Im T car le vecteur e n est pas dans Im T. Par suite, Ker T n est pas dans Im T, donc la dimension de l intersection est 1, d où Im T Ker T = O 1 P On cherche donc les vecteurs de O 3 qui sont vecteurs propres de T (cf ch?). Soit u = ae 3 + be 4, (a, b) (0, 0). On a alors, T (u) = λu at (e 3 ) + bt (e 4 ) = λae 3 + be 4 (3a/4 + (1 λ)b)e 4 + ((1/3 λ)a + b/3)e 3 = 0. Par suite u est un vecteur propre ssi il existe λ R tel que (a, b) soit solution du système { a(1 3λ) + b = 0 3a + (4 4λ)b = 0 Ce système homogène a des solutions non nulles ssi son déterminant D = 1λ 16λ+1 est nul. Ce qui est réalisé pour les valeurs de λ, λ 1 = et λ = ; avec 0 < λ 1 < λ. On a alors, pour chacune des valeurs de λ, une infinité de solutions. Le choix a = 1 conduit à b = 3λ 1, et on obtient respectivement u 3 = e 3 + ( 1 13 )e 4 et u 4 = e 3 + ( )e 4. On vérifie facilement que (u 0, u 1, u, u 3, u 4 ) est une famille libre et donc une base de P 4. Cette base a été choisie de telle sorte que u 0 et u 1 soient dans Ker T, T (u ) = u 0, T (u 3 ) = λ 1 u 3 et T (u 4 ) = λ u 4. On obtient donc la forme simple de la matrice de T dans cette base : M = λ λ 1 1. Il est clair que (L, +) est un groupe commutatif et que sa structure de corps commutatif contenant K lui confère une structure d espace vectoriel sur K (la loi externe provient de la multiplication des éléments de L par les éléments de K).. a. Puisque L est fini, il est en particulier un espace vectoriel de dimension finie sur F p. Soit n cette dimension, un argument simple de dénombrement montre que cardl = p n. Si l on est un peu plus savant, 6

7 cet argument montre que tout corps fini à un cardinal de la forme pn. En effet, d une part tout corps fini est commutatif et de caractéristique non nulle qui est donc un nombre premier. Si p est sa caractéristique il contient un plus petit sous-corps qui n est autre que F p. On conclut alors en utilisant ce qui précède. On trouvera plus de détail sur ces questions dans le chapitre Anneaux - Corps. b. Le nombre de base de L est le nombre de parties libres à n éléments. Supposons choisis les k premiers éléents d une base. Le k + 1-ième éléments ne doit pas appartenir à l espace vectoriel engendré par les k-premiers. Or, par ce qui précède le cardinal de cet espace vectoriel de dimension k est p k. On a donc p n p k choix pour le k+-ième élément. Par un dénombrement classique (cardinal du produit cartésien), le nombre de bases est donc (p n 1)(p n p) (p n p n 1 ). c. Fixons une base B de L. Un endomorphisme de L est entièrement déterminé par l image de cette base. De plus un endomorphisme de L est un automorphisme ssi l image de B est une base de L. Par suite, soit B une base de L, il existe un unique élément de GL(L) qui envoie B sur B. L ensemble des bases de L et GL(L) sont donc en bijection et ont même cardinal. 7

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1 [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation

Plus en détail

Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.

Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q

Plus en détail

Marc HINDRY. Introduction et présentation. page 2. 1 Le langage mathématique page 4. 2 Ensembles et applications page 8

Marc HINDRY. Introduction et présentation. page 2. 1 Le langage mathématique page 4. 2 Ensembles et applications page 8 COURS DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ANNÉE (L1) UNIVERSITÉ DENIS DIDEROT PARIS 7 Marc HINDRY Introduction et présentation. page 2 1 Le langage mathématique page 4 2 Ensembles et applications page 8 3 Groupes,

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr

Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie

Plus en détail

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2 33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières

Plus en détail

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3)

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de

Plus en détail

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,

Plus en détail

2 Division dans l anneau des polynômes à plusieurs variables

2 Division dans l anneau des polynômes à plusieurs variables MA 2 2011-2012 M2 Algèbre formelle 1 Introduction 1.1 Référence Ideals, varieties and algorithms, D. Cox, J. Little, D. O Shea, Undergraduate texts in Mathematics, Springer 1997. Using algebraic geometry,

Plus en détail

VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE

VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif

Plus en détail

Produit semi-direct. Table des matières. 1 Produit de sous-groupes 2. 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3. 3 Produit semi-direct de groupes 4

Produit semi-direct. Table des matières. 1 Produit de sous-groupes 2. 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3. 3 Produit semi-direct de groupes 4 Produit semi-direct Table des matières 1 Produit de sous-groupes 2 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3 3 Produit semi-direct de groupes 4 1 1 Produit de sous-groupes Soient G un groupe et H et K deux

Plus en détail

Mathématiques Algèbre et géométrie

Mathématiques Algèbre et géométrie Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements

Plus en détail

C1 : Fonctions de plusieurs variables

C1 : Fonctions de plusieurs variables 1er semestre 2012/13 CPUMP 3 U 11 : Abrégé de cours Compléments Analyse 3 : fonctions analytiques Les notes suivantes, disponibles à l adresse http://www.iecn.u-nancy.fr/~bertram/, contiennent les définitions

Plus en détail

Programme de la classe de première année MPSI

Programme de la classe de première année MPSI Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT

Plus en détail

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

RAPHAËL ROUQUIER. 1. Introduction

RAPHAËL ROUQUIER. 1. Introduction CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Trois exposés à la semaine «Géométrie algébrique complexe» au CIRM, Luminy, décembre 2003 1. Introduction On étudie dans un premier temps les propriétés internes

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

CHAPITRE IV. L axiome du choix

CHAPITRE IV. L axiome du choix CHAPITRE IV L axiome du choix Résumé. L axiome du choix AC affirme qu il est légitime de construire des objets mathématiques en répétant un nombre infini de fois l opération de choisir un élément dans

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Chapitre VI - Méthodes de factorisation

Chapitre VI - Méthodes de factorisation Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.

Plus en détail

1 Complément sur la projection du nuage des individus

1 Complément sur la projection du nuage des individus TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent

Plus en détail

Espérance conditionnelle

Espérance conditionnelle Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle

Plus en détail

Cours de Probabilités et de Statistique

Cours de Probabilités et de Statistique Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles

Plus en détail

6 Equations du première ordre

6 Equations du première ordre 6 Equations u première orre 6.1 Equations linéaires Consiérons l équation a k (x) k u = b(x), (6.1) où a 1,...,a n,b sont es fonctions continûment ifférentiables sur R. Soit D un ouvert e R et u : D R

Plus en détail

Axiomatique de N, construction de Z

Axiomatique de N, construction de Z Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation

Plus en détail

PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?

PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Qu est-ce qu une probabilité?

Qu est-ce qu une probabilité? Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail