Exercices de Khôlles de Mathématiques, second trimestre

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1 Exercices de Khôlles de Mathématiques, secod trimestre Lycée Louis-Le-Grad, Paris, Frace Igor Kortchemski HX /2006 Exercices particulièremet itéressats : - Exercices 2., Exercice 3. - Exercice 5. - Exercice Exercices 9., Exercice 20. Table des matières 2 Semaie 2 - Espaces vectoriels 2 3 Semaie 3 - Aalyse 2 4 Semaie 4 - Équivalets et développemets limités 3 5 Semaie 5 - Arithmétique de Termiale et Arithmétique das Z/Z 3 6 Semaie 6 - Groupe symétrique et séries 4 7 Semaie 7 - Fractios ratioelles 4 8 Semaie 8 - Foctios covexes 5 9 Semaie 9 - Itégratio 6 20 Semaie 20 - Espaces vectoriels de dimesio ie 6 2 Élémets de répose 7 2. Semaie Semaie Semaie Semaie Semaie Semaie Semaie Semaie Semaie /0

2 2 Semaie 2 - Espaces vectoriels Khôlleur: M. Tauzi. Exercice 2. (Théorème de la base icomplète e dimesio iie). Soit E u esemble partiellemet ordoé. E est dit iductif si toute partie de E o vide et totalemet ordoée (c'est-à-dire ue chaîe) possède u majorat. O doe le lemme suivat : Lemme de Zor. Tout esemble ordoé E iductif admet u élémet maximal (das le ses où si l'o est plus grad, alors o est égal). Soit E u K-espace vectoriel. Soit L ue famille libre de E. O cosidère : Γ = {K E L K et K libre}.. Motrer que Γ est iductif (Γ est evidemmet ordoé par l'iclusio). 2. Motrer que u élémet maximal de Γ est ue base de E. Soit G ue famille géératrice de E. E cosidérat motrer que : 3. E admet ue base. Γ = {K E L K G et K libre}, Exercice 2.2 (Lemme des oyaux). Soit E u K-espace vectoriel. Soiet P, Q deux élémet de K[X] premiers etre eux. Soit alemet u u edomorphisme de E. Motrer que : ker P Q(u) = ker P (u) ker Q(u). 3 Semaie 3 - Aalyse Khôlleur: M. Sage. Exercice 3.. Soit E l'esemble des foctios cotiues de [0, ] das R. O ote I a = {f E f(a) = 0}.. Soiet w i des ouverts qui vériet N w i = [0, ]. Motrer qu'il existe N N tel que w i = [0, ]. i= e gros, voir les ouverts comme des esembles qui cotieet u itervalle de la forme ]x, y[ 2/0

3 2. Soit I u idéal 2 strict de E(o réduit à {0} ou à E). Motrer qu'il existe a [0, ] tel que I I a. 3. Motrer que les idéaux maximaux 3 de E sot les I a. 4. Trouver tous les morphismes d'algèbre φ etre E et R. 4 Semaie 4 - Équivalets et développemets limités Khôlleur: Mme Miquel. Exercice 4.. Trouver le DL de la bête suivate à l'ordre 2 : 2 + e x + l(l(( + x)/x )). l(cosh(x)) + l(cos(x)) Exercice 4.2. Calculer lim. x 0 cos(x) + cosh(x) 2 Exercice 4.3. Soit (u ) ue suite qui ted vers 0. O suppose que u +u Motrer que u. 5 Semaie 5 - Arithmétique de Termiale et Arithmétique das Z/Z Khôlleur: M. Duval. Exercice 5.. O cherche à motrer que le produit de k etiers cosécutifs 'est jamais u carré parfait.. Traiter le cas k = a. Traiter le cas k = 3. b. Motrer que le produit de 3 etiers cosécutifs 'est jamais ue puissace d'u etier. 3. a. Traiter le cas k = 4. b. Traiter le cas k pair. 2 I est ici u idéal si I est u sous-groupe additif et que pour tout f E, g I o a fg I 3 U idéal J est maximal si pour tout idéal I, J I = J = I 3/0

4 4. Traiter le cas k = 5. O supposera ques les 5 etiers e questios sot a, a 2, a 3, a 4, a 5, o motrera que a i s'écrit sous la forme a i = 2 α i 3 β i c 2 i avec α i, β i {0, }, puis o regardera le ombre de valeurs que peut predre (α i, β i ) pour alemet tôrcher. O peut procéder aisi jusqu'à 843. Erd s a motré que le produit de k etiers cosécutifs 'est jamais ue puissace d'u etier. 6 Semaie 6 - Groupe symétrique et séries Khôlleur: Mlle. Gicquel. Exercice 6. (Questio de cours). Soit ɛ déi par : ɛ : S {, } σ σ(i) σ(j). i j i<j Motrer que ɛ est u morphisme de groupes qui coïcide avec le morphisme de groupe ɛ, égal à la sigature d'ue permutatio. O admet que l'image d'ue traspositio par ɛ vaut. Exercice 6.2. Soit ue série divergete de terme gééral u (il a été précisé 20 miutes plus tard que cette série est à termes positifs...). Motrer qu'il existe ue série divergete de terme gééral v qui vérie u = o(v ). Exercice 6.3. Soit σ ue bijectio de N sur N. Étudier la ature des séries de terme gééral u = σ() et u = σ(). 2 7 Semaie 7 - Fractios ratioelles Khôlleur: Mlle. Gicquel. Exercice 7.. Soit P R[X] scidé simple. Trouver le ombre de solutios réelles de l'équatio suivate, où λ R : P (x) P (x) = λ. 4/0

5 Exercice 7.2. Soit R C(X) et Z l'esemble de ses pôles. Soit λ C. Trouver le ombre de racies distictes de R(z) = λ sur C Z. O essayera d'étudier u peu plus les cas où il y a mois de racies que prévu. Exercice 7.3. Soit R C(X) o costate. Motrer que R est surjective sur C, sauf évetuellemet sur C privé d'u poit. 8 Semaie 8 - Foctios covexes Khôlleur: Mme. Miquel. Exercice 8.. Soit f ue foctio covexe sur u itervalle. Motrer que si elle admet u miimum local, alors ce miimum est global 4. Que peut-o dire sur l'esemble des poits où f pred la valeur de ce miimum? Exercice 8.2. Soit f ue foctio strictemet covexe sur u itervalle I. Motrer qu'il existe u itervalle J, o vide et o réduit à u poit, tel que f restreite à J soit strictemet mootoe. Exercice 8.3 (Oral Ulm). Soiet f et g deux foctios covexes cotiues sur [0, ] telles que sup(f, g) 0. Motrer qu'il existe deux réels positifs α et β de somme tels que αf + βg 0. 4 Sas utiliser les demi-tagetes... 5/0

6 9 Semaie 9 - Itégratio Khôlleur: M. Tauzi. Exercice 9.. Soit φ ue applicatio R C localemet itégrable 5 et f ue applicatio itégrable de [a, b] das C. Motrer que : E déduire que : b lim + a f(t)φ(t)dt = T b lim + a ( T 0 f(t)e it dt = 0. ) ( b ) φ(t)dt f(t)dt. a Exercice 9.2. Soit u = équivalet de u l. k= k Motrer que (u ) admet ue limite l, la calculer, et trouver u 20 Semaie 20 - Espaces vectoriels de dimesio ie Khôlleur: M. Duval. Exercice 20.. Soit d N. O déit la suite (u ) à valeurs réelles de la maière suivate. u 0,..., u d état doés, pour tout N : u +d = d (u + u u +d ).. Motrer que l'esemble des suites vériat cette coditio est u sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites à valeurs réelles. Quelle est la dimesio de ce sous-espace vectoriel? 2. Motrer que (u ) coverge. 3. (hors colle) Calculer cette limite e foctio de u 0,..., u d. 5 itégrable sur tout itervalle 6/0

7 2 Élémets de répose 2. Semaie 2 Exercice 2... Motrer que toute chaîe K I de Γ est majorée par i I K i. 2. Supposer que ce 'est pas géérateur. O peut rajouter u élémet à cet élémet maximal pour que la ouvelle famille soit libre, cotradictio. 3. Le même raisoemet aboutit. Il sut alors de predre L = et G = E. Exercice 2.2. O remarque d'abord que P (u) et Q(u) commutet. D'après Bézout, il existe R,S tels que P R+QS =. Alors P (u) R(u)+Q(u) S(u) = Id E. E déduire que ker P (u) et ker Q(u) sot disjoits. De plus, soit x ker P Q(u). D'où x = x + x 2, avec x = ( P (u) R(u) ) (x) et x 2 = ( Q(u) S(u) ) (x). Voir que x ker Q(u) et x 2 ker P (u). 2.2 Semaie 3 Exercice 3... Par l'absurde : pour tout N, [0, ] N w i. Costruire ue suite X N de poits qui vériet X N i= N w i. Coclure avec Bolzao-Weierstrass. i= 2. Par l'absurde : pour tout a [0, ], I I a. Alors pour tout a [0, ], il existe f a I tel que f a (a) 0. E particulier, les f a sot o uls autour d'u voisiage w a, qui est u ouvert. O a alors w i = [0, ]. Il existe alors u recouvremet i de [0, ] par w a,..., w a. La stûce est de motrer que I pour motrer que I = E. O cosidère g(t) = λ a (t)f a (t)+λ a2 (t)f a2 (t)+ +λ a (t)f a (t), où les λ ai E. La stûce suprème est de predre λ ai = f ai. O a alors g(t) = f a (t) 2 + f a2 (t) f a (t) 2, qui est immédiatemet o ul sur [0, ]. g admet doc u iverse g. Alors gg = I. O a alors I = E, absurde. 3. Soit I a. C'est u idéal. Soit J u idéal qui vérie I a J. Supposos J E. Alors il existe b [0, ] tel que I a J I b. O a clairemet I b E. Or f(x) = x a est telle que f I a, mais f I b, absurde. Réciproquemet, Soit J u idéal maximal alors il existe a [0, ] tel que J I a. Comme J est maximal, J = I a. 4. ker φ est u idéal de E. Il existe a [0, ] tel que ker φ I a. Soit δ a déi par : δ a : E R f f(a). Alors I a = ker δ a, et ker φ ker δ a. O suppose que φ 0. φ et δ a état des formes liéaires, u résultat classique motre qu'il existe λ R tel que δ = λφ. E preat f, o obtiet λ =. Les solutios sot doc la foctio idetiquemet et les foctios de la forme δ a avec a [0, ]. 2.3 Semaie 4 Exercice x x2 + o(x 2 ). Exercice 4.2. La limite vaut 8. 7/0

8 Exercice 4.3. Soit v = u. O a doc lim v = 0 et lim (v + v 2 ) = 0. A partir d'u certai rag, (v + v 2 ) ɛ. Ecrire v = v + v 2 (v 2 + v 4 ) +. Alors v v +v 2 + v 2 +v v 2 k +v 2 k+ + v 2 k+ ɛ ( k )+ v 2 k+ 2ɛ + v 2 k+. Coclure avec lim v = Semaie 5 Exercice 5... Cas k = 2 : ( + ) = p 2. + =, doc et + sot des carrés distats de. 2. a. Cas k = 3 : ( )( + ) = p 2. Le même raisoemet appliqué suivat la parité de aboutit. b. 2 =. et 2 sot alors des puissaces, coclure. 3. Ecadrer l'expressio par deux carrés d'etiers cosécutifs, plus précisémet par deux expressios du type P () 2 où P () est u polyôme à coeciets etiers e. 4. Cas k = 5 : voir que seuls les puissaces de 2 et de 3 sot problématiques. (α i, β i ) pred alors 4 valeurs. O a 5 etiers. Appliquer le pricipe des tiroirs pour voir que deux etiers sot distats de plus de Semaie 6 Exercice 6.2. La série état à termes positifs, u +. E déduire l'existece d'idices N, N 2,..., N k,... qui vériet pour tout etier l : N l+ i=n l u i. Soit i u idice vériat N l i < N l+. O déit alors v i par v i = u i l. Voir que v = o(u ). Puis : v Nl + v Nl + + v Nl v Nl+ = u N l + u Nl + + u Nl u Nl+ l E déduire que pour tout N, il existe A N tel que : l. Cela prouve la divergece de v! m A m v i i=0 i=0 i. Exercice Soit N. Soit A = max(σ(), σ(2),..., σ()). O e déduit que m A première série est doc divergete. 2. Par u argumet vaguemet similaire, i= σ(i) 2 i=0 m i= σ(i) i=0. La. La deuxième série est doc covergete. i2 8/0

9 2.6 Semaie 7 Exercice 7.. Soiet x,..., x les racies de P. Écrire : P (x) P (x) = i= x x i. E déduire que, sur tout itervalle e coteat pas u x i, P (x) P (x) P (x) e, à gauche et à droite de chaque x i et e +. Répose : si λ 0, si λ = 0. P (x) est décroissate. Étudier les limites de Exercice 7.2. Soit R = P Q. Alors R(z) = λ P (z) λq(z) = 0. Voir que z Z. Si deg(p ) deg(q), o a gééralemet max(deg(p, deg(q)) racies. Das le cas d'ue racie double, P (z) λq (z) = 0 et P (z)q(z) Q (z)p (z) = 0. Voir qu'o peut supposer ce derier polyôme o ul. Si = deg(p ) = deg(q), o a gééralemet racies, sauf évetuellemet si P (z) λq(z) 'est plus de degré ou s'il y a des racies de multiplicité multiple. Poursuivre comme ci-dessus. O peut aussi cosidérer les esembles ( ) ( ) j F j = P (i) (z) ({λ}) Q (i) (z) i=0 et cosidérer le plus grad etier k tel que F k. E eet, la plus grade multiplicité des racies de P λq vaut alors k + et Card F i doe le ombre de racies de P λq de multiplicité au mois i +. O peut alors détermier le ombre de racies distictes de P λq. Exercice 8.3. Supposer que λ et λ e sot pas atteits, écrire les deux coditios et coclure e motrat que R est forcémet costate. 2.7 Semaie 8 Exercice 8.. Il existe a et η tels que x [a η, a + η] f(a) f(x). Supposer qu'il existe par l'absurde b, a < b tel que f(a) > f(b). Premier cas : il existe x 0 ]a, a + η] tel que f(x 0 ) > f(a). Aboutir sur ue cotradictio e examiat deux petes. Deuxième cas : predre x 0 ]a, a + η] et faire de même. Il est alors facile de voir que l'esemble des poits où ce miimum est atteit est covexe, c'est doc u itervalle. Exercice 8.2. Predre u itervalle susemet petit cetré e u miimum global de f de sorte que f soit ijective sur cet itervalle. 2.8 Semaie 9 T T Exercice 9.. Se rameer au cas φ(t)dt = 0 e posat g(x) = φ(x) φ(t)dt. 0 0 Puis motrer le résultat das le cas où f = χ [c,d], c-à-d la foctio caractéristique du segmet [c, d]. Il sut alors de motrer que d lim + c φ(t)dt = 0. 9/0

10 Faire u chagemet de variable, découper le ouveau itervalle e traches de logeur T, puis majorer sur le bout restat. Coclure par covergece uiforme. Exercice 9.2. C'est ue somme de Riema classique : u =. k= + ( u k coverge vers )2 0 + x dx. 2 Soit F (x) ue primitive de f(x) = de sorte que u +x 2 coverge vers F () F (0). Écrire alors : Soit : v = F () F (0) u = v = k= [ F k= [ F ( k ( ) k F ) F ( k Utiliser Taylor-Youg et recoaître ue somme de Riema. 2.9 Semaie 20 ( k )] ) ( )] k f. k= + ( k )2. Exercice Soit S l'esemble de ces suites. O vérie que Φ : S R d (u ) (u 0, u,..., u d ) est u isomorphisme d'espaces vectoriels. La dimesio du sev est alors d. 2. Cosidérer v = max(u, u +,..., u +d ), w = mi(u, u +,..., u +d ). Motrer que (v ) est décroissate et que (w ) est croissate. Elles sot alors covergetes vers respectivemet l v et l w. Motrer que l v = l w e observat que pour assez grad, das tout paquet de d termes cosécutifs il y a au mois u élemet très proche de l v. E déduire ue majoratio de v. E déduire que v w. Motrer de même l'autre iégalité. 0/0

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