Arbitrages intertemporels, risque et actualisation

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1 DIRECTION DES ETUDES ECONOMIQUES ET DE L EVALUATION ENVIRONNEMENTALE DOCUMENT DE TRAVAIL Arbitrages itertemporels, risque et actualisatio Stéphae GALLON et Emmauel MASSE Série Méthodes N 04-M02 Site iteret : 20 aveue de Ségur Paris 07 SP

2 Arbitrages Itertemporels, Risque et Actualisatio Stéphae GALLON, Emmauel MASSE E 985, le Commissariat Gééral du Pla a fixé à 8 % le taux d actualisatio pour les ivestissemets publics. Ce taux permet de comparer les flux de coûts et de recettes liés à u projet d'ivestissemet ou à ue décisio publique, flux qui sot perçus à des dates différetes et qui ot doc pas la même valeur écoomique. Avec u taux de 8 %, o estime aisi équivalet de recevoir 00 ue aée ou 08 l aée suivate. A l aide de l actualisatio, o peut rameer tous les flux futurs à des flux équivalets perçus à la période présete, et sommer ces deriers pour trouver la valeur (dite actualisée ette) du projet cosidéré. Si cette valeur est positive, le projet est jugé retable. L utilisatio du taux de 8 % fait l objet de débats : les coditios écoomiques sous lesquelles il a été fodé ot beaucoup évolué depuis 985. E particulier, le iveau des taux d itérêt est das so esemble aujourd hui beaucoup plus faible qu à l époque. Par ailleurs, au motif de predre e compte le risque ihéret à quelques projets publics dot les flux futurs sot très icertais, d aucus modifiet parfois le taux d actualisatio (gééralemet das le ses d u accroissemet du taux avec le risque). Au total, les choix publics se retrouvet valorisés de maière hétérogèe. O trouve aisi des estimatios écoomiques fodées sur des taux différets (0 % ; 6 % ; 4 % ; % voire 0 % à très log terme ) sas que l utilisatio de l ue ou de l autre valeur soit clairemet justifiée. Outre l icohérece des choix effectués sur la base de taux différets, cette pratique est d autat plus gêate que l o costate gééralemet que le choix de la méthode d'actualisatio, et du taux parmi l esemble des valeurs jugées possibles, coditioe la coclusio du calcul (réaliser ou o l ivestissemet ), le résultat y état très sesible. Il apparaît doc importat de redéfiir la méthode d actualisatio à appliquer aux projets publics, ce qui écessite de répodre à plusieurs questios : commet fixer le taux? peut-o utiliser u taux d actualisatio uique? commet predre e compte le risque? Pour répodre à ces iterrogatios, il faut reveir aux bases théoriques qui justifiet l utilisatio d u taux d actualisatio, et sur les observatios empiriques qui doet des idicatios sur les arbitrages itertemporels qui sot réalisés au sei de l écoomie et doc sur la valeur umérique de ce taux. O commecera cette ote e se plaçat sous l hypothèse simplificatrice que tous les flux futurs sot cous avec certitude, hypothèse qui sera levée esuite. Cette ote compred ciq sectios. La première rappelle brièvemet e quoi cosiste la méthode de la valeur actualisée ette telle qu elle est traditioellemet utilisée. La secode s iterroge sur la détermiatio empirique du taux d actualisatio par observatio directe des décisios prises par les agets écoomiques, et motre l icapacité de la VAN à redre compte des comportemets costatés. La troisième partie reviet sur les fodemets théoriques de la VAN, et sur la défiitio même du taux d actualisatio, e rappelat les hypothèses, fortes, sous lesquelles elle est valide. La quatrième partie expose les substituts dispoibles à la détermiatio directe du taux d actualisatio de la collectivité. La derière partie itroduit le risque et traite le cas de l icertitude sur les flux futurs. Il s agit d u taux réel, et de l iflatio. 2

3 SOMMAIRE. Utilisatio du taux d actualisatio : la Valeur Actualisée Nette (VAN) offre ue méthode pour détermier s il faut ou o réaliser u projet dot les coséqueces s étalet das le temps Détermiatio empirique directe du taux d actualisatio : les comportemets costatés chez les agets écoomiques e sot pas explicables par la méthode de la VAN, aucu taux d actualisatio e pouvat redre ses coclusios compatibles avec la diversité des observatios empiriques Détermiatio théorique du taux d actualisatio : le taux d'actualisatio est défii localemet comme u taux de préférece psychologique portat sur les flux de reveus. La méthode de la VAN est doc valide que pour u projet modifiat margialemet les flux fiaciers et pour des flux réels (o moétarisatio des exteralités) Les substituts à l observatio directe du taux d actualisatio militet pour des taux réels de 2 %, décroissats avec le temps mais jamais uls Le taux d itérêt Effet richesse et préférece pure pour le préset La décroissace du taux d actualisatio avec le temps La retabilité du capital productif La prise e compte du risque e peut e aucu cas passer par u chagemet du taux d actualisatio La décisio par maximisatio de l espérace d utilité Les critères de décisio alteratifs Les eseigemets tirés des marchés d actifs Le cas des petits projets : eutralité au risque Le cas des grads projets : quelle relatio au risque pour la collectivité? Coclusio : propositio pour l'actualisatio publique

4 . Utilisatio du taux d actualisatio : la Valeur Actualisée Nette (VAN) offre ue méthode pour détermier s il faut ou o réaliser u projet dot les coséqueces s étalet das le temps. La méthode de la VAN, utilisée pour détermier si u projet qui egedre des flux de dépeses et de recettes étalés das le temps est retable, repose sur trois étapes. La première cosiste à détermier le flux et de bééfices qu egedre le projet chaque aée : B. Das le cas d u projet public, B est u bééfice écoomique qui compred la moétarisatio de tous les effets, y compris exteres (bééfices saitaires liés à ue moidre pollutio et exprimés e euros, par exemple). La secode étape cosiste à sommer tous les bééfices auels, chacu se voyat podéré par u facteur d'actualisatio δ, exogèe. Ce facteur traduit le fait que recevoir u bééfice d l aée équivaut à recevoir δ immédiatemet. Le résultat de cette somme est appelé VAN. VAN δ = B Le taux d'actualisatio etre l'aée et +, r, est défii par δ + δ = + r. Quad pour tout o a r = r, o désige r comme état «le» taux d'actualisatio. Si ce taux vaut 8 %, δ =.,08 Plus le taux d actualisatio est grad, plus forte est la préférece pour le préset du décideur. La troisième étape cosiste à exploiter le résultat doé par la VAN. Le projet est retable si et seulemet si sa VAN est positive. Par ailleurs, s il est impossible de réaliser tous les projets à VAN positive (soit par impossibilité techique, soit du fait d ue cotraite de fiacemet), il coviet de reteir, parmi les combiaisos de projets réalisables, celle dot la VAN est maximale. Remarque importate : la positivité de la VAN est u bo critère de choix que si l esemble des coûts et bééfices est correctemet tarifé. Par exemple, cosidéros le cas d ue route cogestioée que l o evisage de doubler par u ouvel axe de trasport. Si la VAN associée à ce projet de costructio est positive par rapport à u scéario où la cogestio sur l acie itiéraire e fait l objet d aucu paiemet par les usagers, rie e garatit qu il faille vraimet bâtir le ouvel axe. Autremet dit, face à ue augmetatio de la demade, le bo choix est pas écessairemet d ivestir : il faut s assurer au préalable que le coût de cogestio est correctemet tarifé. 2 Utilisatio de la VAN et itégratio de coûts et bééfices o «réels». O peut distiguer a priori trois types de flux : - Les flux fiaciers ayat effectivemet lieu (par exemple le paiemet d u soi) ; - Les flux implicites (c est-à-dire des flux mesurés implicitemet par des opératios réelles autres que le projet d ivestissemet étudié), par exemple la mesure d ue décote liée à ue expositio au bruit das la vete d u bie. Cette décote mesure correctemet le coût du bruit ; - Les coûts et les bééfices mesurés par des cosetemets à payer (idépedammet de toutes opératios réelles). 2 Le cas des autoroutes e Ile de Frace est symptomatique de cette situatio : les exteralités y sot pas tarifées ; les autoroutes sot cogestioées, alimetat des revedicatios pour la costructio de ouvelles ifrastructures de trasport dot les VAN peuvet apparaître faussemet positives car calculées par rapport à u scéario de trafic qui est pas le bo. 4

5 Faut-il iclure l esemble de ces flux réels ou potetiels das le calcul de la VAN? No car aucu modèle e justifie a priori l itégratio des flux implicites et des cosetemets à payer das le calcul de la VAN (cf. descriptio des modèles sous-tedat le modèle de la VAN à la sectio 3). Seuls les flux réels sot légitimes. Commet das ce cadre predre e compte les exteralités liées aux évetuels projets d ivestissemet? Les exteralités e sot à predre e compte que das la mesure où elles aurot des coséqueces fiacières réelles, c est-à-dire qu elles serot iteralisées par la mise e place d ue taxatio ou d u marché. Itégratio des exteralités et souteabilité de la politique d ivestissemet de l Etat Comme o le développera ultérieuremet (cf. sectio 4), l itervetio publique das les choix d ivestissemet e se justifie que si le bééfice privé d u projet diffère du bééfice socio-écoomique public, autremet dit das le cas d exteralités. Très fréquemmet, l Etat demadera la réalisatio de projets jugés o retables par le secteur privé mais qui semblerot souhaitables du poit de vue collectif e raiso d exteralités positives. Que l Etat verse alors à l opérateur privé chargé du projet ue compesatio pour ces exteralités, ou que l Etat pree directemet e charge lui-même la réalisatio du projet, sa politique d itervetio e sera pas souteable si les exteralités e sot pas réellemet tarifées. Pour ue discussio plus approfodie sur le rôle respectif du secteur privé et du secteur public das le fiacemet de l écoomie, o pourra se référer à l article de David Martimort et Jea-Charles Rochet, «Le partage privé-public das le fiacemet de l écoomie». 5

6 2. Détermiatio empirique directe du taux d actualisatio : les comportemets costatés chez les agets écoomiques e sot pas explicables par la méthode de la VAN, aucu taux d actualisatio e pouvat redre ses coclusios compatibles avec la diversité des observatios empiriques. Les choix que dicte la méthode de la VAN peuvet être comparés aux décisios effectivemet prises par les agets écoomiques, soit qu o les soumette à des expérieces prévues à cet effet 3, soit que l o costate directemet leur comportemet 4. Dès lors que les alteratives itertemporelles que doivet affroter les agets sot défiies par des bééfices B sûrs et parfaitemet cous 5, le seul paramètre pouvat ifluer sur le choix est das la logique de la VAN le taux d actualisatio. O peut doc rechercher quel est le taux qui permet de cocilier la décisio réellemet prise par u aget et ce que prédit la méthode de la VAN. Quad o se livre à ce type de comparaiso, o observe des taux extrêmemet variables d u idividu à l autre, ce qui peut être iterprété comme des simples écarts de préférece etre les agets écoomiques (certais idividus sot plus impatiets que d autres). Ce poit peut s avérer gêat quad il s agit de défiir les préféreces de la collectivité (taux d actualisatio public) puisqu il est difficile d agréger des préféreces idividuelles cotradictoires, mais il e remet pas e cause la logique de la VAN aget par aget. E revache, il est beaucoup plus délicat de costater que, pour u même idividu placé face à des alteratives de même horizo temporel, le taux r varie. O costate aisi fréquemmet des taux compris etre 6 % 6 et +. De telles observatios motret e fait que les agets obéisset pas à la logique de la VAN. L explicatio e est claire : l approche de la VAN e reflète pas la complexité des comportemets des agets idividuels. Elle est trop simple car elle ramèe l'esemble des arbitrages itertemporels etre deux aées à u uique taux, ce qui est beaucoup trop réducteur. Beaucoup d autres effets psychologiques jouet das l attitude d u aget écoomique face à l aveir. Ces effets costatés et leur icompatibilité avec le modèle de la VAN sot détaillés das l ecadré ci après. L'icapacité de la VAN à redre compte des préféreces empiriquemet costatées La faillite de la méthode de la VAN peut s iterpréter par le fait que le facteur d actualisatio δ est e fait pas exogèe : la otio de préférece pour le préset d'u aget écoomique 'est pas absolue mais relative au problème itertemporel posé. Faire retrer le comportemet costaté das le modèle de la VAN est possible qu e chageat au cas par cas δ. Par exemple, o costate empiriquemet les effets suivats das le comportemet des agets. EFFET DE SIGNE : actualisatio plus forte des gais que des pertes ( δ déped du sige de EFFET DE VALEUR : actualisatio plus forte des petits motats ( δ déped de B ) ; B ) ; EFFET DES ACTIFS REELS : à motat moétaire égal, actualisatio différete selo l'actif dot la valeur est B (actualisatio différete pour chaque bie de cosommatio, par exemple : bie de luxe, bie prioritaire ) ; 3 Par exemple, face à des alteratives du type toucher 00 maiteat ou 08 l a prochai. 4 Par exemple, décisio de sortie e rete ou e capital pour des retraités de l armée américaie. 5 E pratique, aucu aget écoomique (sauf peut-être l Etat) état certai d exister das le futur, le risque est ihéret aux choix costatés empiriquemet. Toutefois, les observatios cocrètes ici cosidérées sot telles que cet effet est égligeable (alterative temporelle de très court terme). 6 U taux égatif traduit ue préférece pour le futur. 6

7 PREFERENCE POUR L'ETALEMENT : litre d'eau à boire chaque jour cette aée plutôt que 365 litres aujourd'hui et rie après ; explicatio psychologique : besois vitaux irrépressibles (cf. l effet des actifs réels ci-dessus, et le fait que δ déped de toute la série des B ) ) ; PREFERENCE POUR L'AMELIORATION : gager 000 ce mois puis 2000 le suivat, plutôt que l'iverse ( δ déped de la série B ) ) ; ( k PREFERENCE POUR LE FUTUR : dîer avec sa star favorite das ue semaie plutôt que ce soir ; explicatio psychologique : satisfactio retirée de l'attete, de l'aticipatio du plaisir ( δ déped de la série ( B k ) ) ; INFLUENCE DU PASSE : si o a reçu e cadeau ue dégustatio de foie gras chacu de ces trois deriers jours, o préfère que l'o offre ue ouvelle dégustatio plus tard que ce soir ( δ déped de la B série ( k ) ) ; autre illustratio : deux idividus sot e retard d ue heure pour predre l avio, l u des avios part à l heure et l autre avec 55 mi. de retard, celui qui rate so avio de 5 mi éprouve u plus grad mécotetemet. INFLUENCE DU MODE DE FINANCEMENT : la satisfactio retirée d'u bie déped de so mode de fiacemet (emprut ou o). ( k La plupart des comportemets relevés empiriquemet das l ecadré ci-dessus 'ot rie d'irratioel et e peuvet doc pas être rejetés. Ils e costituet des aomalies que par référece au modèle de la VAN, modèle qui e peut pas redre compte de la réalité des choix idividuels. Comme o peut le costater das l ecadré, o pourrait soger à ameder le modèle de la VAN pour mieux refléter certais (mais pas tous les) comportemets des idividus, et ce uiquemet au prix de complicatios qui redet la VAN difficilemet utilisable e pratique pour prédire le comportemet de tel ou tel aget ( δ déped de très ombreux paramètres et e peut doc pas être détermié avat de calculer la VAN ). Quad o passe au choix réalisé par u groupe d'idividus qu il s agisse des actioaires d'ue société privée ou de la collectivité (Etat) - il 'y a aucue raiso pour que la méthode de la VAN soit satisfaisate : - elle e coviet déjà pas au iveau idividuel ; - quad bie même les préféreces de chaque idividu seraiet représetées simplemet par u taux d actualisatio idividuel, o e peut pas les agréger pour défiir u taux collectif 7. E particulier, o pourrait très bie imagier que l'effet 'préférece pour l'amélioratio' idetifié das l ecadré soit costaté au iveau collectif pour des sujets eviroemetaux, ce dot e pourra jamais redre compte ue approche de type VAN. Compte teu du caractère maifestemet isuffisat de la VAN, o peut s iterroger sur l origie de cette méthode, ce qui écessite de reveir aux modèles théoriques la sous-tedat, et à leurs hypothèses. 7 Le paradoxe de Codorcet et le théorème d'impossibilité d'arrow motret l impossibilité de défiir des règles d agrégatio des préféreces vérifiat les axiomes souhaitables (ratioalité des préféreces collectives, au ses de la trasitivité des choix, etc.). 7

8 3. Détermiatio théorique du taux d actualisatio : le taux d'actualisatio est défii localemet comme u taux de préférece psychologique portat sur les flux de reveus. La méthode de la VAN est doc valide que pour u projet modifiat margialemet les flux fiaciers et pour des flux réels (o moétarisatio des exteralités). Comme o va le voir, la méthode de la VAN découle e fait directemet du modèle microécoomique de base du cosommateur. Nous e supposeros vérifiées les hypothèses habituelles (existece d u préordre sur les paiers de cosommatio, etc.) ce qui garatit l existece des foctios d'utilité. Cosidéros doc u aget écoomique dot les préféreces peuvet être traduites par ue foctio d'utilité U ( x i, ) où x i, est la quatité de bie i cosommée l'aée. Les caractéristiques traditioelles de la foctio U (quasi cocavité ) sot très géérales et e préjuget e aucue faço de la maière dot l aget cosidéré réalise des arbitrages itertemporels. Aisi, o peut costater que aucue des «aomalies» au modèle de la VAN qui ot été décrites au 2 'e est ue à ce stade 8. Elles sot e effet compatibles avec des préféreces que peut traduire la foctio d'utilité (par exemple la foctio U peut très bie traduire ue préférece pour le futur). U taux d actualisatio pour chaque bie à chaque période Ue première maière d écrire simplemet, à l aide de taux, les arbitrages itertemporels que traduit la foctio U cosiste à défiir le taux de préférece psychologique pour le préset cocerat u bie doé. Aisi, pour le bie i etre l aée et l aée +, o peut défiir u taux de préférece pour le préset ψ par l'itermédiaire du taux margial de substitutio suivat : i, + ψ i, dx = dx i, + i, U = costate U x = U x L iterprétatio e est classique : pour le bie i, le cosommateur est idifféret etre e gager ue uité à la date et e gager + ψ i, uités à la date +. Il est importat de remarquer qu il s agit ici d ue défiitio locale (au voisiage d'u paier de cosommatio itertemporel), margiale (pour de petites variatios), pour u idividu fixé, pour u bie doé, et etre deux dates doées. O est doc loi d'u taux d'actualisatio commu à tous les bies et costat sur toutes les périodes. O remarquera ici que cette défiitio de ψ i, e pose toujours aucu problème par rapport aux «aomalies» du 2. O peut e particulier actualiser de maière différete chaque bie de cosommatio, et ψ i, peut être égatif (préférece pour le futur). U taux d actualisatio pour les reveus à chaque période Pour passer à u taux d actualisatio au ses plus habituel du terme, c est à dire appliqué à des flux fiaciers et o à des quatités de bies, o peut itroduire le reveu R que le cosommateur cosidéré touche à la période, et le prix de chaque bie i à chaque période p i, 9. E résolvat le programme de maximisatio de l'utilité sous cotraite de budget, o trouve la foctio d'utilité idirecte V ( R ) qui doe le iveau d utilité (maximum) qu atteit le cosommateur lorsqu il reçoit la série de i, i, + 8 Sauf celle sur le mode de fiacemet. Le modèle microécoomique de base repose sur l idée que la satisfactio des cosommateurs repose uiquemet sur les bies cosommés, pas sur le mode de fiacemet qui permet d atteidre le paier de cosommatio désiré. 9 Rappel : par hypothèse simplificatrice das cette sectio, toutes ces valeurs futures sot supposées coues avec certitude. 8

9 reveus reveus R. 0 O peut alors défiir u taux de préférece psychologique pour le préset cocerat les ψ aussi appelé taux d'escompte psychologique, à ouveau via u taux margial de substitutio + ψ dr = dr + V = costate V R = V R L iterprétatio est là ecore classique : le cosommateur est idifféret etre recevoir à la date et e recevoir +ψ à la date +. Il faut ecore oter ici qu il s agit d ue défiitio locale (au voisiage d'ue séquece de reveus), etre deux dates doées. Elle est valable que pour les reveus réels, et o, par exemple, pour des effets exteres valorisés. + Le résultat précédet légitime la méthode de la VAN, sous réserve de e travailler que sur des projets modifiat margialemet les flux reçus par u aget écoomique, de e predre e compte que les flux réels (et o des valorisatios d exteralités), et d'utiliser comme taux d'actualisatio etre deux périodes le taux margial de substitutio de la foctio d'utilité idirecte. C'est ici u taux puremet psychologique (découlat des préféreces traduites par la foctio d'utilité). Exemple : démostratio de la légitimité de la règle de la VAN das u cas simple Pour mieux voir le lie etre ce qui précède et la méthode habituellemet utilisée, et pour e retrouver le cadre habituel, preos comme aget l'etat (e supposat qu'il existe bie ue foctio d'utilité collective) et traitos u cas simple où le projet à aalyser e joue que sur deux périodes. Supposos que la collectivité perçoive des flux R, et qu elle evisage u projet se traduisat par des flux additioels F et F 2 petits devat R et R 2. La théorie écoomique ous dit qu il faut etrepredre ce projet si et seulemet si : V R + F ; R + F ; R ) V ( R ; R ; R ) ( V V V ( R; R2; R ) + F + F2 V ( R; R2; R ) R R V R2 F + F2 0 V R F F ( + ) ψ ce qui est bie de la forme VAN 0 e preat ψ comme taux d'actualisatio. Il faut ici rappeler que le projet evisagé doit être petit (ψ est défii localemet et varie avec R et R 2 ). 2 Commet détermier le taux d actualisatio, i.e. le taux d'escompte psychologique à chaque période E théorie, la valeur du taux d escompte psychologique découle de la spécificatio de la foctio d'utilité qu il suffit doc de coaître pour trouver le taux d actualisatio à employer das la VAN. C est évidemmet impossible e pratique, surtout pour u taux collectif : o e peut i coaître directemet 0 O e fait ici aucue hypothèse sur la maière dot le cosommateur peut, ou o, trasférer des reveus d ue période sur l autre. O coserve aisi le cas le plus gééral. E ajoutat certaies hypothèses sur le marché fiacier (cf. 4) o peut motrer d autres résultats itéressats, mais plus particuliers (lie etre taux d actualisatio et taux d itérêt). 9

10 les préféreces de la collectivité (aucu aget e les porte ) i les obteir par agrégatio des préféreces idividuelles (cf. 2). Ue alterative pourrait cosister à poser ormativemet certaies valeurs, même de maière arbitraire. E effet, même s il e reflète pas correctemet les préféreces, l emploi d u taux précis présete u grad mérite : celui d assurer la cohérece des choix. Heureusemet, faute d'observer directemet la psychologie d'u décideur, o peut recourir à la théorie pour trouver des substituts permettat d'approcher le taux d escompte psychologique, ce que détaille la sectio suivate. La limite de cette solutio proviet du fait, comme o va le voir, que ces substituts reposet sur des modèles théoriques qui e sot guère validés empiriquemet. De plus, les géératios futures e sot otoiremet pas représetées. 0

11 4. Les substituts à l observatio directe du taux d actualisatio militet pour des taux réels de 2 %, décroissats avec le temps mais jamais uls. Différets modèles écoomiques permettet de relier le taux d actualisatio ψ (c est à dire le taux d escompte psychologique décrit à la partie 3) à d autres paramètres empiriquemet plus faciles à mesurer. O peut e particulier comparer les valeurs aisi obteues aux derières précoisatios du Commissariat Gééral au Pla, datat du milieu des aées 980, qui fixaiet à 8 % le taux d actualisatio des projets publics Le taux d itérêt Sous certaies hypothèses, o peut motrer que le taux d'escompte psychologique ψ est égal au taux d'itérêt ρ sur le marché fiacier. Pour rappeler la démostratio de ce résultat, et surtout les hypothèses qui le légitimet, cosidéros le modèle simple à u bie et portat sur deux périodes. U cosommateur cherche à maximiser so utilité U ( C, C2 ) e choisissat le iveau de cosommatio C i à chaque période compte teu de so reveu R i à chaque période (i= ou 2). Le prix p i du bie de cosommatio à chaque période est cou à l avace 3. O suppose qu il existe u marché fiacier permettat de trasférer 'importe quelle valeur d'ue période à l'autre avec u taux d itérêt réel 4 ρ. O vérifie facilemet que la cotraite budgétaire s écrit alors de la maière suivate : pc 2 R2 p C + = R + + ρ + ρ Le terme de droite est le reveu actualisé, celui de gauche la dépese actualisée (au taux d itérêt réel). Pour maximiser U ( C, C2 ) sous la cotraite précédete, o peut utiliser la méthode de Lagrage. Le multiplicateur de Lagrage λ associé à la cotraite doit alors vérifier U U + λ p = 0 et + λ p = 0 C C2 + ρ U C O e déduit facilemet = + ρ soit U C2 ψ = ρ E coséquece, u cosommateur maximisat so utilité sous cotraite itertemporelle de reveus ajuste sa cosommatio de telle sorte que so taux d escompte psychologique soit égal au taux d itérêt réel sur le marché des fods prêtables. Avec plusieurs agets, l équilibre sur le marché de l offre et de la demade de fods prêtables (sas risque) traduit das ce cadre la préférece collective pour le trasfert de richesse d ue période sur ue autre. De plus, le modèle ci-dessus a u atout majeur : il motre que tous les projets retables peuvet être fiacés par appel au marché fiacier (parfait). Autremet dit, sous les hypothèses de ce modèle, l Etat est sûr qu il trouvera de quoi fiacer les projets dot la valeur actualisée ette au taux ψ = ρ est positive. Ceci e foctioe toutefois que si les exteralités sot tarifées et fot l objet de réels flux moétaires (cf. ecadré à la sectio ). Das le cas cotraire, la VAN fiacière pour l Etat est égative, et les fiaces publiques sot etraîées das u déficit o souteable à terme. 2 Rappelos qu ue valeur ormative présete toujours l avatage d assurer la cohérece des choix de projets etre eux. 3 O se situe toujours ici e certitude. 4 E élimiat le taux d iflatio p2 p, l emploi d u taux réel facilite l écriture de la cotraite budgétaire car le p prix p 2 du bie e deuxième période apparaît plus cotrairemet à ce qui arriverait avec le taux omial.

12 Les taux sas risque actuellemet mesuré sur les marchés fiaciers pour ue maturité de 0 as est compris etre 3 et 4 % e terme omiaux (taux moye podéré de 4,43 % pour l adjudicatio du 6//2003 des OAT (Obligatios assimilables du Trésor) de maturité 0 as). Le passage à des taux d itérêt réels écessite d aticiper l iflatio future. Les OAT idexées sur l iflatio doet des taux réels de 2,2 % à maturité juillet 203. L approche par les taux d itérêt est critiquable à plusieurs titres car le modèle sous-tedat l égalité ψ = ρ coaît des défauts : - Comme o l a vu à la sectio 2, l idée même d u arbitrage itertemporel traduit uiquemet par ue foctio d utilité U ( C, C2 ) est cotredite par l expériece ; - L hypothèse d u marché fiacier parfait - c est à dire où importe quel motat peut être trasféré d ue période à l autre au même taux - est pas vérifiée e pratique (la fiscalité des empruts ou des placemets perturbe le taux réel proposé aux agets ; le crédit est ratioé, même pour les Etats avec les cotraites moétaires iteratioales) ; - Le marché fiacier sas risque décrit est e pratique celui des empruts d Etat. C est doc pricipalemet la cotraite budgétaire de l Etat qui fixe alors le taux d actualisatio et o l iverse. O e fiace pas écessairemet tous les projets retables mais ceux qui respectet la cotraite budgétaire. A l opposé, o peut fiacer des projets o retables parce que les taux sot faibles et l arget facilemet dispoible. - E outre, les taux d itérêt e sot pas cocrètemet dispoibles pour des échéaces supérieures à 30 as, et o sait qu ils varierot jusqu à cette échéace (ous traiteros das la partie 5 la questio du caractère aléatoire des fluctuatios des taux d itérêt au cours du temps). E résumé, les taux d itérêt dispoibles sur les marchés sot pertiets das ue optique fiacière (les taux sot défiis à partir des besois de fiacemet de l Etat), mais ils e reflètet alors probablemet pas les préféreces itertemporelles de la collectivité Effet richesse et préférece pure pour le préset Sous certaies hypothèses, o peut motrer que le taux d'escompte psychologique ψ est égal à la somme de deux termes qui traduiset deux raisos pour lesquelles u aget est ameé à préférer les cosommatios présetes : u effet richesse (le iveau de vie futur sera plus élevé ; doc u même surcroît margial de cosommatio y apportera mois de satisfactio que maiteat) et ue préférece pure pour le préset (plus difficile à expliquer psychologiquemet 5 ). Pour rappeler la démostratio de ce résultat, et surtout les hypothèses qui le légitimet, repreos le modèle simple à deux périodes e supposat de plus que la foctio d utilité est de la forme : U ( C, C ) 2 µ µ C C2 = + µ + r µ L idée que ous détailleros ultérieuremet - est que le paramètre r est lié à la préférece pure pour le préset (à cause de r, u certai iveau de cosommatio das l aveir apporte mois de satisfactio qu u iveau idetique das le préset) et que µ mesure l effet richesse (c est à dire la décroissace de l utilité margiale avec le iveau de cosommatio). U C Par défiitio du taux d actualisatio ψ, +ψ = d où U C C ψ 2 + = ( + r ) C 2 5 E fait, cette préférece pure pour le préset peut proveir du fait que le cosommateur sait qu il mourra u jour. Cet argumet a que peu de place pour l Etat ou la collectivité au ses large (géératios futures comprises). De plus, das l hypothèse de certitude reteue ici, l iquiétude quat à sa fiitude a pas à être reteue. µ 2

13 Si la croissace écoomique fait augmeter le iveau de cosommatio au tauxκ, o obtiet : d où : µ ( + κ ) + + µκ + ψ = ( + r) r ψ = r + µκ Il est doc légitime de décomposer le taux de préférece psychologique e deux élémets : L effet richesse mesuré par le produit µκ, produit qui augmete avec la croissace de l écoomie 6 et avec la décroissace de l utilité margiale ; La préférece dite «pure» pour le préset r. L effet richesse correspod à la prise e compte de l aticipatio (au regard du passé) du iveau de vie des populatios das le futur. Etat plus aisé, u habitat das le futur retire ue moidre utilité de supplémetaire de reveu. Cela correspod à l hypothèse habituelle d utilité margiale décroissate. Pour estimer cet effet richesse, o peut predre e compte le taux de croissace moye du reveu par habitat sur des logues périodes ( κ 2 % )et ue sesibilité de la valorisatios des bies aux variatios de reveu ( µ = ), soit u effet richesse d eviro %. 2 La préférece pure pour le préset part de la costatatio que les idividus accordet das la plupart des situatios ue plus grade importace au préset qu au futur (voir 2). Si cette préférece pure était pas strictemet positive (abstractio faite des autres composates de la préférece pour la préset), o costaterait des taux d éparge très supérieurs à ce qu ils sot et les agets reoceraiet à toute cosommatio présete pour cosommer plus tard. Cette préférece pure est certaiemet faible, de l ordre de %. E combiat ces deux élémets, o peut estimer u taux d actualisatio réel d eviro 2 %. Cette approche est critiquable sous plusieurs aspects. D ue part les hypothèses théoriques (et e particulier les formes des foctios d utilité reteues) sot discutables. D autre part, l effet richesse et surtout la préférece pure pour le préset sot difficiles à évaluer. Les hypothèses sur la croissace future par tête à log terme sot discutables et discutées (modèles macro-écoomiques de log terme, croissace edogèe, souteabilité de la croissace actuelle ), tout comme celles portat sur l utilité margiale (celle-ci varie d u idividu à u autre, il est doc écessaire d agréger les foctios d utilité idividuelles). Fialemet rie e garatit avec cette approche le fiacemet de l esemble des projets jugés retables. E outre, le taux d actualisatio reteu risque de coduire à la substitutios des ivestissemets publics aux ivestissemets privés das la mesure où le taux reteu est pas écessairemet compatible avec ceux observés sur les marchés La décroissace du taux d actualisatio avec le temps Das u modèle de géératios imbriquées, C. Hery motre que - das la mesure où chaque géératio e s itéresse qu à so bie-être et à celui de ses efats - l esemble des décisios iter temporelles qui sot prises sot équivaletes à celles que predrait u plaificateur à la date zéro, fixat les décisios pour tout l aveir, à coditio de predre u taux d actualisatio décroissat avec le temps. Le décroissace du taux d actualisatio est cohérete avec les costatios empiriques faites au 2. Cette décroissace à très log terme du taux d actualisatio permet de predre e compte les impacts das u futur loitai sas pour autat hypothéquer la ratioalité des taux à court et moye terme qui doivet être cohérets avec ceux observés sur les marchés par exemple. Le modèle développé présete éamois u caractère ormatif, et le les paramètres s avèret difficiles à estimer. 6 A l équilibre, κ est aussi le taux de croissace gééral de l écoomie décrite ici. 3

14 La difficile prise e compte des géératios futures 7 ou l impossibilité d être équitable Est-il possible de traduire e ue seule valeur (u seul ombre) la satisfactio que retire la collectivité d u flux d utilités affectat chaque géératio, présete et futures? La répose est égative dès lors que l o demade au processus de calcul d ue telle valeur de vérifier l axiome d équité itergéératioelle. Autremet dit, dès que l o accepte de résumer e ue seule valeur présete toute ue séquece de flux affectat des géératios futures, o est codamé à faire l hypothèse que certaies géératios valet plus que d autres, qu u même bééfice vaut mois pour certaies (actualisatio o ulle). La preuve mathématique de ce résultat s obtiet e modélisat le problème de la maière suivate. Cosidéros ue suite ( u ) 0 d utilités traduisat le fait que la géératio i reçoit l utilité u i R. Attribuer à cette suite d utilités géératioelles, ue valeur présete pour la collectivité reviet à chercher ue foctio V qui à la suite ( u ) 0 attribue u réel v. Il est aturel de demader que la foctio V vérifie l axiome de Pareto : si toutes les géératios gaget plus (ou autat) avec la séquece ( u ' ) 0 qu avec la séquece ( u ) 0, la valeur v ' de la première séquece doit être supérieure (ou égale) à celle v de la secode. Commet traduire esuite l idée d équité itergéératioelle? De la maière suivate : si, das deux séqueces ( u ) 0 et ( u ' ) 0, les utilités de chaque géératio sot les mêmes sauf pour deux géératios (j et k) où elles sot permutées, alors la foctio V doit attribuer à ces deux séqueces la même valeur. Ceci reviet à dire que la géératio j compte autat que la géératio k. Autremet dit, si u j = u' k et u ' j = uk, et que i { j; k} u i = u' i alors v = v'. O peut alors motrer qu il y a aucue foctio V qui satisfasse simultaémet cet axiome d équité itergéératioelle et celui de Pareto La retabilité du capital productif L équilibre du marché de l éparge et de l ivestissemet coduit à l équilibre etre le taux d itérêt pour le fiacemet d u projet et la retabilité margiale du capital productif. E effet, les projets dot la retabilité margiale est supérieure au taux d itérêt demadé par les épargats sot réalisés, les autres o. Das la mesure où la retabilité du capital productif présete u fort caractère aléatoire, il doit écessairemet être étudié das u cadre preat e compte l icertitude. Nous revoyos doc ce substitut à la sectio suivate ( 5.3.3). 7 «Aggregatig ifiite utility streams with itergeeratioal equity : the impossibility of beig paretia», K. Basu, T. Mitra, Ecoometrica, Vol 7, 5, Septembre

15 5. La prise e compte du risque 8 e peut e aucu cas passer par u chagemet du taux d actualisatio. Jusqu à maiteat, ce documet s est limité au cas où les flux futurs étaiet certais. Cette hypothèse est bie sûr très restrictive, l icertitude jouat u rôle fodametal das les critères de décisio tat des idividus que des pouvoirs publics. Das certais cas (ivestissemets de trasport ou éergétiques à log terme, lutte cotre le réchauffemet climatique ), la prise e compte du risque deviet cruciale. Après la modélisatio essetiellemet statique de la décisio sous forme de résultat de la maximisatio d espérace d utilité, le texte propose ue discussio des critères de décisio alteratifs (maximi gai, miimax regret) et quelques eseigemets tirés des marchés d actifs. Efi, ue distictio est faite etre petits et grads projets. 5.. La décisio par maximisatio de l espérace d utilité 5... Le modèle issu de l axiomatique de Savage Leoard Savage das les aées 940 met e évidece l existece d u jeu d axiomes et démotre que, das ce cadre, toute décisio découle implicitemet de la maximisatio de l espérace d ue foctio d utilité, avec des probabilités (dites subjectives) attribuées aux différets scéarios à veir. La foctio d utilité traduisat l attitude du décideur vis à vis du risque est dite de Vo Neuma Morgester (VNM). E termes mathématiques, il existe ue foctio d utilité U (dépedat de la décisio prise d D et de l état de la ature) et ue probabilité P sur les états de la ature, telles que toute décisio résulte du programme mathématique suivat : Max E d D P ( U ( d )) Cette approche semble a priori très prometteuse das la mesure où elle exhibe u cadre cohéret pour décrire les décisios idividuelles et collectives : si l o admet que les axiomes de Savage sot satisfaits, alors il doit être possible de caractériser les décisios prises par u aget par ue foctio d utilité et par des probabilités de réalisatio des scéarios futurs Les limites du modèle Malheureusemet ce programme est de peu d utilité pour détermier la décisio publique à predre e cas d icertitude, et ce e raiso d u certai ombre d obstacles difficilemet surmotables : Tout d abord, il est légitime de mettre e cause la validité otammet expérimetale - des axiomes de Savage. Si certais d etre eux sot effectivemet acceptables au regard de critères ratioels de décisio (trasitivité 9 des choix par exemple) certais autres, comme l axiome dit «de la chose sûre» 20, sot discutables. Par exemple, le paradoxe de l ure d Ellsberg motre expérimetalemet que les idividus e se comportet pas e maximisateurs d ue espérace d utilité selo l axiomatique de Savage. 2 8 E théorie, o distigue le risque - qui correspod à u dager cou podéré par ue probabilité coue - de l icertitude (situatio où le dager ou la probabilité de surveace sot icous). Ici o e tiedra pas compte de cette distictio. 9 Malgré so caractère «évidet», cette axiome est pas toujours vérifié empiriquemet das les décisios idividuelles. 20 L axiome «de la chose sûre» affirme qu u choix e doit pas être modifié par l ajout d ue même loterie à tous les scéarios evisagés. La remise e cause de cet axiome a coduit à gééraliser la théorie de Savage par la otio d ambiguïté. Cette derière otio [Gilboa I. et Schmeilder D. «Maximi expected utility with o-uique prior», Joural of Math. Ecoomics, 8, 989] s avère ecore plus difficilemet applicable e pratique. 2 Das cette expériece, o propose aux idividus de parier sur la couleur de la boule qui va être retirée d ue ure opaque. Deux ures leur sot proposées. La compositio de la première (i.e. la proportio de boules de chaque couleur) est parfaitemet coue ; das la secode, le joueur igore cette répartitio. O motre que les décisios prises sot icompatibles avec la maximisatio d ue espérace de gai (aucue probabilité subjective sur la compositio de la secode ure e permet d expliquer les choix costatés). 5

16 La détermiatio empirique des foctios d utilité et des probabilité subjectives implicites das l axiomatisatio de Savage est très difficile, les foctios d utilité calculées se rapportat souvet à des situatios de jeu ou de loterie peu compatibles avec les décisios réelles e situatio complexe. Quat aux probabilités, il faut bie oter qu il e s agit ici pas écessairemet de probabilités objectives ou historiques 22. Quad bie même les idividus obéiraiet à l axiomatique de Savage et que l o pourrait trouver les foctios d utilité et les probabilité subjectives propres à chacu, l agrégatio de ces foctios d utilité idividuelles (comme celle des probabilités subjectives) pour préciser ue règle de décisio pour la collectivité serait impossible. Le problème est comparable à celui évoqué das la sectio 2 (le paradoxe de Codorcet motre à u iveau simple la difficulté liée à l agrégatio des préféreces idividuelles, Keeth Arrow obteat u résultat plus gééral e démotrat que tous les systèmes de vote, la dictature exceptée, coduiset à des décisios icohéretes). Malgré ces défauts, l approche de Savage fourit ue approche itéressate du poit de vue ormatif La otio d aversio pour le risque Malgré ses limites, l approche de Savage permet d itroduire la otio d aversio pour le risque. Défiitio qualitative Face à ue loterie biaire (gai r i avec probabilité π i, i=,2), o peut défiir e effet : l espérace de gai E ( ~ r ) r = π l espérace d utilité de gai = i i r i E ( U ( ~ r )) π U ( ) = i l équivalet certai rˆ tel que U ( rˆ) = E( U ( ~ r )) i r i la prime de risque r rˆ O peut représeter ces différets gais sur le graphique doat l évolutio de la foctio d utilité Vo Neuma Morgester U selo le gai r (cf. exemple sur le schéma ci dessous, e preat π = π 2 = ). 2 Utilité U ~ ( E ( r ) U ( r ˆ ) rl rˆ E ~ = ( r ) r r2 Gais Prime de risque 22 Ue probabilité est dite historique ou objective si elle se fode sur l utilisatio de la loi des grads ombres, ce qui suppose que l o dispose d u échatillo de doées. 6

17 Quad la prime de risque est positive, le décideur est averse au risque (il préfère u reveu sûr à importe quel reveu aléatoire de même espérace). L aversio au risque se traduit doc par la cocavité de la foctio d utilité Vo Neuma Morgester. Appréciatio du risque Prime de risque U ''( r) U Aversio Positive Négative Cocave Neutralité Nulle Nulle Affie Goût Négative Positive Covexe Défiitio quatitative L aversio au risque est évaluée par le coefficiet absolu d aversio face au risque (Arrow-Pratt), coefficiet local ivariat par trasformatio affie de la foctio d utilité : U ''( r) ρ ( r) = U '( r) Le terme e U ''( r) traduit la cocavité de la foctio d utilité. Celui e U '( r) permet de s affrachir du choix particulier d ue défiitio de U (les foctios d utilité VNM sot défiies à ue foctio affie près). ρ est d autat plus grad que le décideur est averse au risque. Il est ul quad le décideur est eutre au risque, et égatif quad il est risquophile. Remarques - La défiitio de l aversio au risque est locale (au voisiage de r) et o globale. La valeur et le sige de ρ, peuvet varier tout au log de la courbe d utilité. Il s agit doc là ecore d ue otio applicable au voisiage d u iveau de reveus. Habituellemet, u décideur est averse au risque à certais iveaux et risquophile à d autres. Ce sot ces comportemets risquophiles pour de faibles motats qui expliquet par exemple pourquoi ue part importate de la populatio joue au loto, e dépit du fait que l espérace de gai est égative. - L aversio au risque est défiie que pour des loteries sur des gais. Autremet dit, cette otio est statique. Aucue otio d aversio au risque a actuellemet pu être défiie e dyamique, otammet face à des flux futurs de reveus, et ecore mois e cas d acquisitio progressive d iformatios Le taux d actualisatio L approche de Savage sous les hypothèses et les limites que ous avos précisées précédemmet défiit u cadre complet de décisio. Das la mesure où l o cosidère comme différets des bies cosommés à des dates différetes, la foctio d utilité défiit implicitemet les préféreces itertemporelles de l aget. Malheureusemet, cette foctio peut être très complexe et rie e permet d affirmer que les choix itertemporels puisset être caractérisés par u seul paramètre o aléatoire : le taux d actualisatio Les critères de décisio alteratifs Face à ue décisio à predre e icertitude, chaque aget écoomique réagit selo sa psychologie et avec plus ou mois de ratioalité. La diversité des comportemets costatés peut s expliquer par l emploi de différets critères de décisio. Parmi ces deriers, o retiet gééralemet ceux qui ot de boes propriétés, c est à dire qui assuret otammet la trasitivité des choix. O distigue e particulier le maximi du gai et le miimax du regret détaillés ci après. Das les deux cas, o appelle Ω l esemble des scéarios possibles ω (états de la ature), et I l esemble des décisios possibles i. Le gai obteu avec la décisio i das la situatio ω est i oté V ω. 7

18 5.2.. Maximi gai L attitude la plus «prudete» cosiste à reteir le projet qui doe le meilleur retour das la situatio la plus défavorable. O retiet alors le(s) projet(s) i * tel(s) que i * i réalise(t) max ( mi ( ) termes, o a : i I ( mi ( V i ) i* arg max. ω Ω ω i I ω Ω V ω. E d autre Autremet dit, l approche maximi de gai suppose d aticiper que le pire va arriver et eted maximiser le gai obteu das le pire état de la ature evisageable. Le tableau ci dessous doe l exemple d u problème très simple. Tableau des gais Situatio favorable Situatio défavorable Choix peu risqué 0 0 Choix risqué Le choix «peu risqué» doe u gai miimal de zéro, cotre u gai miimal de -500 pour le choix «risqué». Le critère du maximi de gai coduit dot à privilégier le choix «peu risqué» Miimax regret Ue autre attitude cosiste à miimiser les regrets possibles. Pour u état de la ature ω et pour u projet i, le regret est l écart etre la VAN du projet i das cette situatio ω et la VAN du projet i ω qui aurait été le plus retable das cette situatio ω. E d autres termes, pour u projet i, le regret s écrit e foctio de la situatio ω effectivemet recotrée de la maière suivate : ~ i i iω i ( ω, i) max ~ ( V ) V = V V = i I Regret. Le choix du miimax regret cosiste alors à reteir le(s) projet(s) i * tel(s) que i * réalise(t) ( Regret( ω i) ) mi. E d autres termes, o a : i I max, ω Ω ω ω ω ( Regret( i) ) i* arg mi max ω i I, ω Ω Autremet dit, il s agit d u critère de décisio visat o plus à limiter les coséqueces de la situatio la plus défavorable mais à miimiser le regret qui serait le plus élevé. Le regret est défii précisémet comme la différece etre le maximum des gais qu il aurait été possible de faire das l état de la ature doé et la situatio étudiée. Cette approche présete l avatage de predre e compte les opportuités. Das l exemple simple précédet, le tableau des regrets s écrit : Tableau des regrets Situatio favorable Situatio défavorable Choix peu risqué Choix risqué ω Le regret maximal est de 000 avec le choix peu risqué cotre 500 pour le choix risqué. C est ce derier qui est doc préféré Avatages et icovéiets des critères alteratifs Les critères alteratifs du Maximi de gai et du Miimax regret e écessitet pas de coaître les probabilités d occurrece pour s appliquer. Cela peut sembler au premier abord u avatage, das la mesure où la détermiatio des probabilités des états futurs est parfois très difficile, mais cela coduit e 8

19 fait à des décisios trop «extrêmes» ou «simplistes». E repreat l exemple exposé précédemmet, si la 0 probabilité que l état défavorable se produise est ifime, égale à 0 par exemple, le comportemet e maximi de gai semble difficilemet acceptable, car l évéemet «cas favorable» est pratiquemet sûr de se produire. Ce critère traduit l approche de précautio poussée à ses limites : aussi faible que soit u risque, il faut e teir compte et agir e coséquece de sorte à miimiser les dégâts associés à cette situatio. Il s agit d ue demade de risque zéro, icompatible avec ue prise de décisio das le mode réel 23. Il e va de même avec le miimax regret où la peur de perdre ue opportuité est tellemet grade que l o est prêt à predre des décisios icosidérées. Par ailleurs, pour éprouver u regret, ecore faut-il savoir que l o a perdu quelque chose, autremet dit coaître le gai que l o aurait pu obteir avec ue décisio plus adaptée à l état de la ature. Tel est pas toujours le cas (par exemple, si l o e pred pas le risque de creuser u puits, o e saura pas s il y a du pétrole e sous-sol). Efi, les deux critères sot peu robustes, au ses où ils doet u résultat excessivemet sesible à la descriptio des coséqueces du scéario du pire (maximi gai) ou du scéario du meilleur (miimax regret) Les eseigemets tirés des marchés d actifs Plutôt que de s itéresser à la décisio de tel ou tel aget face à tel ou tel problème, o peut examier directemet commet sot valorisés collectivemet les actifs présetat des risques (actios, etc.). E effet, dès lors que ces actifs sot échagés sur des marchés suffisammet parfaits, leur prix itègre l appréciatio collective des risques. O peut alors : - trouver la valeur d u projet e costruisat des portefeuilles d actifs cotés fourissat exactemet les mêmes reveus das les mêmes circostaces ( 5.3..) ; - s ispirer du lie etre le risque et l espérace de retabilité des actifs cotés pour détermier u taux d actualisatio compatible avec l icertitude ( ) ; - exploiter l espérace de retabilité du capital productif ( ). Les deux premières méthodes amèet à préseter les deux grades catégories de modèles pour la valorisatio des actifs : la valorisatio par équilibre et la valorisatio par arbitrage La valorisatio par arbitrage 24 Cette méthode cosiste à trouver ue combiaiso d actifs cotés ayat exactemet les mêmes caractéristiques de profitabilité que le projet que l o cherche à évaluer. La combiaiso d actifs trouvée et le projet sot alors deux bies écoomiques idetiques : leur prix doit doc être le même et la valeur du projet est autre que le prix de la combiaiso d actifs (les actifs état cotés, leur prix est cou). O va détailler ci-dessous les fodemets théoriques de cette méthode, et o e doera u exemple d applicatio tiré du secteur fiacier. Le lecteur pressé, ou peu itéressé par les mathématiques fiacières, peut se coteter de reteir le pricipe sur lequel repose la méthode par arbitrage (cf. ci dessus) et doit savoir qu elle est d applicatio limitée das le mode réel (faute d actifs cotés permettat de costruire la combiaiso recherchée) 25. Sous des hypothèses de marché complet (o coaît le prix d u esemble d actifs dits «primaires» et d u actif sas risque) et d absece d opportuité d arbitrage 26, la valorisatio d u projet peut être réalisée par la costructio d u portefeuille d actifs primaires doat à chaque période les mêmes gais das les mêmes états de la ature 27. Le prix du portefeuille répliquat est alors la valeur écoomique du projet 23 Surtout que, e pratique, il y a des risques tat à predre ue décisio qu à rester das l iactio. 24 La termiologie de valorisatio par arbitrage fait référece à l utilisatio de la propriété d absece d opportuité d arbitrage sur les marchés pour le valorisatio d u actif. 25 La méthode par arbitrage foctioe toutefois bie pour certais projets, das le secteur pétrolier par exemple : o peut trouver des actifs cotés dot la possessio équivaut au développemet et à l exploitatio d u champ pétrolifère 26 O dit qu il existe ue situatio d arbitrage sur u marché quad il est possible de faire u gai strictemet positif sas predre aucu risque. Ue telle situatio est bie etedue pas péree. 27 La compositio du portefeuille peut varier au cours du temps pour respecter cette cotraite, l hypothèse de complétude des marchés assure qu u tel portefeuille existe 9

20 evisagé. Cette approche présete l avatage fodametal de e écessiter que la coaissace du prix de l actif sas risque 28 pour évaluer u projet itertemporel. O peut alors démotrer que la valeur du projet correspod aux flux futurs actualisés au taux d itérêt sas risque sous des probabilités dites «risque-eutres». O se situe doc bie das le cadre de la maximisatio de l espérace de VAN. Ceci équivaut à ue foctio d utilité qui s écrit comme ue VAN au taux sas risque et avec des probabilités calculables (elles dépedet du prix des actifs primaires et des probabilités associées aux états du mode). L ecadré ci-dessous détaille u exemple d applicatio de cette méthode. Exemple de valorisatio par arbitrage O va appliquer cette méthode pour trouver la valeur d ue optio d achat sur u actif risqué, par exemple ue optio d achat sur ue actio Frace Telecom. L optio d achat cosidérée est u titre qui doe le droit, mais pas l obligatio, d acquérir l aée prochaie l actif (ue actio Frace Telecom) pour u prix fixé à l avace (disos 00 euros). Evidemmet, si l actio Frace Telecom vaut mois de 00 euros l a prochai, 90 euros par exemple, l optio e servira à rie et so prix sera ul. E revache, si l actio Frace Telecom vaut plus de 00 euros l a prochai, disos 20 euros par exemple, l optio sera itéressate à utiliser et aura ue valeur positive (20-00=20 euros das l exemple pris ici). S il est doc facile de détermier le prix de l optio das u a (à so échéace) e foctio du cours de so sousjacet (l actio Frace Telecom), il est plus difficile de trouver so prix actuel. Le réflexe aturel pour trouver ce derier cosiste gééralemet à écrire que le prix actuel de l optio est égal à l espérace actualisée de sa valeur future mais comme o va le voir la méthode par arbitrage permet e fait de trouver directemet la valeur actuelle sas se préoccuper de fixer u taux d actualisatio. Cosidéros doc u actif risqué valat 00 à la date 0, et dot la valeur à la date est aléatoire, avec ue probabilité 0,5 de valoir 20 et ue probabilité 0,5 de valoir 90. O cherche à calculer le prix à la date 0 d ue optio d achat sur l actif risqué, d échéace u a et de prix d exercice 00. Cette optio vaut évidemmet 20 à la date si le sous-jacet (l actif risqué) vaut 20 et 0 das le cas cotraire. O suppose e outre l existece d u actif sas risque ayat u redemet fixe de 3 % (peser aux bos du Trésor ). Le tableau suivat résume cette situatio : Valeur à la date Etat haut Etat bas Actif sas risque Actif risqué Optio 20 0 Pour valoriser l optio à la date 0, o cherche à costituer u portefeuille costitué de l actif risqué et de l actif sas risque qui, à la date, doe les mêmes flux que l optio. Essayos doc u portefeuille costitué de δ actifs risqués et λ actifs sas risque (ous allos détermier δ et λ pour que ce portefeuille coviee). Les équatios suivates sot écessaires et suffisates pour que ce portefeuille ait les mêmes flux que l optio à la date : soit : δ *03+ λ *20 = 20 δ *03+ λ *90 = λ = = δ = * λ = Le taux d actualisatio sas risque est facilemet mesurable sur les marchés, il correspod au taux d itérêt des empruts d Etat (das la mesure où ces Etats sot estimés fiables écoomiquemet, pricipalemet les pays du G7). 20

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