Université de Picardie Jules Verne Faculté de Mathématiques et d Informatique

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1 Uiversité de Picardie Jules Vere Faculté de Mathématiques et d Iformatique Licece metio Mathématiques - Deuxième aée - Semestre 4 Probabilités Elémetaires Exame du ludi 4 jui 007 Durée h00 Documet joit : tableaux des variables aléatoires usuelles, tables de la loi Normale Tout autre documet iterdit - Calculatrices autorisées Les 3 arties de ce roblème sot idéedates Das tout le roblème, les variables aléatoires sot suosées être défiies sur u même esace robabilisé,a,p. Soucieux d améliorer le flux de sa clietèle lors du assage e caisse, u gérat de magasi a réalisé les études suivates. Partie - Mode de aiemet de la clietèle. ) L étude du mode de aiemet e foctio du motat des achats a ermis d établir, our chaque cliet se résetat à ue caisse, les robabilités suivates : PA 0 B 0 0,4, PA 0 B 0,3, PA B 0 0, et PA B 0, où A rerésete la variable aléatoire reat la valeur 0 si le motat des achats est iférieur ou égal à 50 euros, reat la valeur sio, et B la variable aléatoire reat la valeur 0 si la somme est réglée ar carte bacaire, reat la valeur sio. U cliet se résete à ue caisse. a) Détermier les lois de A et B et vérifier que la robabilité que le cliet règle ar carte bacaire est égale à 0,6. b) Calculer la covariace du coule A,B. Les variables aléatoires A et B sot-elles idéedates? c) Quelle est la robabilité que la somme réglée soit suérieure strictemet à 50 euros sachat que le cliet utilise u autre moye de aiemet que la carte bacaire? ) Ue caissière reçoit cliets das la jourée, avec. O défiit les deux variables aléatoires Y et Z telles que Y (resectivemet Z) comtabilise le ombre de cliets qui aiet (resectivemet e aiet as) ar carte bacaire. O suose que les modes de règlemet sot idéedats etre les cliets. a) Doer, sas calcul mais e justifiat la réose, les lois de robabilité de Y et de Z. b) Détermier la loi cojoite du coule Y,Z. c) Les variables aléatoires Y et Z sot-elles idéedates? d) O suose que 50. Calculer la robabilité qu il y ait etre 5 et 35 cliets qui aiet ar carte bacaire. O ourra calculer ue valeur arochée e utilisat ue loi arochée et e justifiat la méthode utilisée. e) Comarer le résultat du d) avec la mioratio doée ar l iégalité de Bieaymé-Tchebychev. 3) O suose maiteat que le ombre de cliets se résetat à la caisse est ue variable aléatoire X suivat la loi de Poisso de aramètre, avec 0. a) Doer, sas calcul et our N, la loi de robabilité de Y coditioelle à X. b) Démotrer que Y suit la loi de Poisso de aramètre. c) Doer, ar aalogie, la loi de Z. d) Détermier la loi cojoite du coule X,Y. E déduire celle du coule Y,Z ; o ourra utiliser le fait que Y Z X. e) E déduire que les variables aléatoires Y et Z sot idéedates? Comarer avec )c).

2 Partie - Etude du tems moye de assage e caisse. Arès equête, o estime que le tems de assage à ue caisse, exrimé e uités de tems, est ue variable aléatoire T dot ue desité de robabilité est doée ar la foctio f T défiie ar : f T x xe x si x 0 0 six 0 ) a) Raeler la défiitio d ue desité de robabilité d ue variable aléatoire X suivat ue loi exoetielle de aramètre. Doer la valeur de l esérace et de la variace de X ; e déduire la valeur de l esérace de X. b) Utiliser la questio récédete our vérifier que f T est bie ue desité de robabilité, uis motrer que T admet ue esérace que l o détermiera. Quel est le tems moye de assage e caisse? ) a) Vérifier que la foctio de réartitio F T de T est défiie ar F T x x e x si x 0 0 six 0 b) Motrer que la robabilité que le tems de assage e caisse soit iférieur à deux uités (de tems) sachat qu il est suérieur à ue uité est égale à e e 3. 3) U jour doé, trois cliets A,B,C se résetet simultaémet devat deux caisses libres. Par courtoisie, C décide de laisser asser A et B et de redre la lace du remier d etre eux qui aura termié. O suose que les variables T A et T B corresodat au tems de assage e caisse de A et B sot idéedates et de même loi que T. a) M désigat le tems d attete du cliet C, justifier l égalité M mit A,T B. b) Détermier la foctio de réartitio F M de la variable aléatoire M. c) E déduire ue desité de robabilité de M. Partie 3 - Etude d ue loi de durée de vie d u comosat de termial de carte bacaire Soiet a et b des réels strictemet ositifs. Par défiitio, o dit d ue variable aléatoire X qu elle suit la loi de Pareto de aramètres a et b si elle admet our desité de robabilité la foctio f X défiie sur ar f X x a ba si x b x a 0 six b Soit alors X ue variable aléatoire de loi de Pareto de aramètres a et b. ) Calculer l esérace de X, e récisat à quelle(s) coditio(s) elle existe. ) a) Détermier la foctio de réartitio F X de X. b) E déduire la foctio de survie G X défiie sur ar G X x PX x. c) Démotrer que, our tout réel y ositif ou ul, la robabilité coditioelle P X x y / X x ted vers quad x ted vers. Iterréter ce résultat si X rerésete la durée de vie d u comosat. 3) O cosidère la variable aléatoire Y l X b. Détermier la foctio de réartitio, uis ue desité de Y. Recoaître ue loi usuelle.

3 Tableau des variables aléatoires discrètes usuelles Nom Loi de robabilité Esérace Variace Uiforme sur,,..., PX k k,,, Biomiale B, PX k C k k k k 0,,, Hyergéométrique H N,, N N PX k C N k k C N N C N k comris etre max0, N N et min, N N N N N N N N Pascal Pr, PX k C r k r k r k r,r, r r Poisso P k PX k e k! k N Loi de Beroulli : Biomiale B, B Loi Géométrique : Pascal P, G 3

4 Tableau des variables aléatoires à desité usuelles Nom Desité de robabilité Esérace Variace Uiforme sur a, b b a si x a,b 0six a,b a b b a Normale N, e x Chi-deux e x x Γ si x 0 Studet S x 0, si si 3 Fisher F,, x x si x 0 si 3 4 si 5 Exoetielle Ex e x si x 0 0six 0 Cauchy C, x Gamma Ga, a Γ x e ax si x 0 a a Beta B,q,q x x q si x 0, 0six 0, q q q q 4

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