Groupe de travail master MASEF-Université Paris-Dauphine Optimisation d une fonction d utilité sous contraintes de risques

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1 Groupe de ravail maser MASEF-Universié Paris-Dauphine Opimisaion d une foncion d uilié sous conraines de risques Benedea Baroli Thibau Masrolia Eienne Pillin sous la direcion d Anhony Réveillac 13 sepembre Inroducion En 25, Hu, Imkeller e Müller [2] on éudié un problème d opimisaion d uilié sous une conraine représenée par un ensemble fermé, en affaiblissan l hypohèse classique de convexié. Ils se placen dans l hypohèse d un marché comple e don la dynamique des acifs risqués qui le composen es donnée par le modèle de Black-Scholes. Par le biais des Equaions Différenielles Sochasiques Rérogrades EDSR, ils donnen une expression du maximum d uilié aein ainsi que des condiions sous lesquelles il y a exisence d une sraégie opimale au sens de l uilié considérée. Cee sraégie opimale s exprime sous la forme d une projecion sur un espace de conraines. Moreno, Pirvu e Réveillac [6] on exploié e généralisé le cas de l uilié puissance au cas de conraines associées à des mesures de risque dynamiques. Le bu de nore ravail es de reprendre la ravail de Moreno, Pirvu e Réveillac e de l appliquer au cas de l uilié exponenielle. Dans la secion 2 de nore rappor, nous inroduisons le problème, les noaions e définiions nécessaires à son éude. Nous faisons ensuie des rappels fondamenaux sur les EDSR lipschiziennes e quadraiques secion 3. Puis, dans la secion 4, nous reprenons l éude du cas exponeniel de [2]. Dans les paries 5 e 6, nous généralisons au cas de conraines associées à des mesures de risques dynamiques e présenons nos résulas numériques concernan le calcul de sraégies opimales. Nous remercions Anhony Réveillac pour son encadremen e son aide ou au long de ce ravail. baroli.bd@gmail.com hibau.masrolia@ceremade.dauphine.fr pillin.eienne@gmail.com 1

2 2 Mise en place du problème e noaions On s occupe du problème de maximisaion d uilié d un invesisseur, qui a la possibilié d invesir dans des acifs risqués e non risqués, dans un inervalle de emps fini [, T ]. Soi Ω, F, P un espace probabilisé. On considère un mouvemen brownien W = W [,T ] m- dimensionnel sur ce espace. Soi F = F [,T ] la filraion engendrée par W e compléée. Noaion 2.1. On noe EM = expm 1 2 M, la maringale exponenielle associée à M, où M désigne la variaion quadraique de M. Remarque 2.1. On défini les processus prévisibles comme les procéssus mesurables par rappor à la ribu prévisible, engendrée par les processus adapés e coninus à gauche. Soi H k R d l ensemble des processus X à valeur dans R d T, F-prévisibles, els que E X k d < +. On noe H R d l ensemble des processus F-prévisibles à valeur dans R d e λ P-presque parou bornés sur [, T ] Ω. On se place dans le cas où le marché es composé de deux ypes d acifs : Un acif sans risque par exemple le placemen sur un livre de processus de prix associé S = S er où r désigne le aux d inérê, ici fixé à. d acifs risqués de processus de prix S i R + où i {1,..., d}, qui suiven la dynamique suivane : ds i S i = b i d + σdw i i {1,..., m}. où les b i resp. σ i son des processus F-prévisibles, à valeur dans R resp. R 1 m \{}, uniformémen bornés. Pour simplifier l éude, on se place dans le cas où d = m = 1, i.e il n y a qu un seul acif risqué. Pour simplifier les noaions, on pose S := S 1 e π := π 1 pour ou dans [, T ]. On défini le marke price of risk le processus θ à valeurs dans R el que : Sous les condiions précédenes, θ es uniformémen borné. [, T ], θ := σ 1 b. 1 Définiion 2.1. Soien C un sous-ensemble fermé de R, e a un élémen quelconque de R. Nous définissons la disance enre a e C comme dis C a = min a b. 2 b C Nous définissons égalemen Π C a comme l ensemble des élémens de C pour lesquelles la valeur du minimum es aeine, c es-à-dire Π C a = {b C a b = dis C a}. 3 Remarque 2.2. Ce espace es nécessairemen non vide, mais peu conenir plus d un poin. 2

3 Un processus réel F-mesurable π [,T ] es une sraégie d invesissemen si π ds S es bien T définie. Par exemple, sous l hypohèse E π 2 d < +. La quanié d argen invesie dans l acif risqué au emps es représenée par le processus π, donc le nombre d acions correspondan es π. On remarquera qu on ne fai aucune hypohèse sur π S 1 [,T ] pour s assurer que N, on suppose donc que l acif es infinimen divisible. π S 1 On ne considère que les sraégies auofinancées, c es-à-dire elles qu il n y ai aucun appor ou rerai d argen exérieur. Le processus de richesse X π associé à la sraégie π e paran de la richesse iniiale x saisfai donc l équaion suivane : X π = x + π u S u ds u = x + π u σ u dw u + θ u du. 4 Définiion 2.2. On di qu un processus F T -mesurable H es réplicable s il exise une sraégie d invesissemen π elle que X π T = F. Définiion 2.3. On di qu un marché es comple si ou acif coningen H, processus F T - mesurable, es réplicable. Remarque 2.3. Dans nore cas, le marché es comple. On suppose de plus que l invesisseur a une obligaion en anglais liabiliy F au emps T. Elle désigne une variable F T -mesurable e bornée, qui peu êre posiive ou négaive. On supposera que les invesisseurs son resreins à invesir suivan des sraégies admissibles. On noera par la suie A ce espace de sraégies, e il sera défini plus ard. Sous ces hypohèses, nore objecif es d éudier les valeurs e les sraégies de rading opimales associées au problème d opimisaion : V x := sup E [UXT π F ] 5 π A où A désigne l ensemble des sraégies admissibles, e U es l une des foncions d uilié suivanes : Uilié exponenielle x exp αx avec α >. Uilié puissance x xγ γ avec x, γ ], 1[ e F =. Uilié logarihmique x logx avec x > e F =. 3 Généraliés sur les EDSR L objecif de cee secion es d inroduire les équaions différenielles sochasiques rérogrades, qu on noera EDSR, uilisée pour le problème de maximisaion d uilié. Nous donnons dans cee parie des résulas d exisence e d unicié dans le cas lipschizien e dans le cas quadraique. 3.1 Noaions Soi Ω, F, P un espace de probabillié comple e W un mouvemen brownien d dimensionnel sur ce espace, en noan F T la filraion naurelle associée à ce mouvemen brownien. On considère les deux espaces vecoriels suivans : 3

4 L espace vecoriel, noé H R k, formé des processus Y progressivemen mesurables à valeur dans R k els que : Y 2 H := E sup Y 2 < +. T L espace vecoriel, noé H 2 R k d, formé des processus Z progressivemen mesurables à valeur dans R k d els que : Z 2 H := E Z 2 2 < +. Remarque 3.1. On a l inclusion ensemblise suivane : H H 2. Dans la suie, on considère une foncion f définie sur [, T ] Ω R k R k d à valeur dans R k, elle que pour ou y, z R k R k d, le processus f, y, z T soi progressivemen mesurable. On considère de plus une variable aléaoire ξ, F T -mesurable e à valeur dans R k. On veu alors résoudre l EDSR suivane : Y = ξ + fr, Y r, Z r dr Z r dw r, T 6 ou de manière équivalene, sous forme différenielle : dy = f, Y, Z d Z dw, Y T = ξ, T. On di que f es le généraeur ou driver de cee EDSR e ξ sa condiion erminale. Une EDSR es donc caracérisée par son couple ξ, f. La définiion suivane perme de préciser ce que l on enend par soluion de cee EDSR. Définiion 3.1. Pour des paramères f e ξ vérifian les hypohèses précédenes, une soluion de l EDSR 6 es un couple de processus progressivemen mesurables Y, Z := Y, Z T à valeur dans R k R k d el que : a P-p.s. fr, Y r, Z r + Z r 2 dr < où Z es la norme au sens des marices R k d. b P-p.s. Y = ξ + fr, Y r, Z r dr Z r dw r, T. Remarque 3.2. Sous la condiion a, on en dédui que Y es une semi-maringale coninue. 3.2 Exisence e unicié dans le cas Lipschizien On veu mainenan monrer que sous ceraines condidiions sur le couple ξ, f, l EDSR 6 adme un unique couple soluion dans H H 2. On rappelle que f es une foncion définie sur [, T ] Ω R k R k d à valeur dans R k e elle que pour ou y, z R k R k d, f, y, z [,T ] soi progressivemen mesurable. On rappelle égalemen que ξ es une variable aléaoire F T - mesurable. On se place alors sous les condiions suivanes, noées L : 4

5 1 Condiion de Lipschiz : il exise une consane λ >, elle que P-p.s. on a : f, y, z f, y, z λ y y + z z, y, y, z, z [, T ] R k 2 R k d 2 2 Condiion d inégrabilié : E ξ 2 + fr,, 2 dr < +. On a alors le résula suivan, dû à Pardoux e Peng [7] : Théorème 3.1. Sous l hypohèse L, l EDSR 6 adme un unique couple soluion Y, Z dans H R k H 2 R k d. Démonsraion. La preuve de ce résula es basée sur un argumen de poin fixe. Voir [7] 3.3 Exisence dans le cas quadraique On éudie dans cee parie des EDSR quadraiques, qui nous seron uiles pour résoudre le problème de maximisaion d uilié 5. On fai mainenan les hypohèses suivanes : i La foncion f es à valeurs réelles. ii Il exise C > elle que P-p.s., f, y, z C1 + y + z Q 2 pour ou, y, z [, T ] R R d. iii P-p.s., pour ou [, T ], y, z f, y, z es coninue. iv La variable aléaoire ξ es bornée. On pose B l ensemble des processus F -mesurable, bornés e coninus. Théorème 3.2 Kobylanski [4]. Sous l hypohèse Q, l EDSR 6 a une soluion maximale Y, Z e une soluion minimale Y, Z. De plus, Y e Y appariennen à B. Démonsraion. On renvoi à [4] pour la preuve de ce héorème. L unicié de la soluion a éé monrée par M. Kobylanski à l aide d un héorème de comparaison voir [4] héorème 2.6, que l on énonce ici. On reprend l EDSR 6 sous l hypohèse Q e on fai de plus l hypohèse C suivane : C ii La foncion f es différeniable en y, z sur [ K, K] R d elle que : i Il exise C 1 > elle que f z, y, z c 1 + C 1 z Il exise C 2 > elle que f y, y, z c 2 + C 2 z 2 Définiion 3.1. On appelle sur-soluion resp. sous-soluion de l EDSR 6, un processus adapé Y, Z, C [,T ] saisfaisan : Y = ξ + fs, Y s, Z s ds Z s dw s + dc s resp. dc s où C es un processus croissan adapé, coninu à droie e Y, Z H H 2. 5

6 On a alors le héorème de comparaison de Kobylanski : Théorème 3.3 Théorème de comparaison. Soien Y 1, Z 1, C 1 une sous soluion de l EDSR de paramères f 1, ξ 1 saisfaisan l hypohèse Q e Y 2, Z 2, C 2 une sur-soluion de l EDSR de paramères f 2, ξ 2 saisfaisan l hypohèse Q. On suppose : ξ 1 ξ 2 P-p.s. e d P-p.s. y, z, f 1, ω, y, z f 2, ω, y, z e que l hypohèse C es saisfaie pour f 1 e f 2. On a alors : Y 1 Y 2 P-p.s. [, T ]. Démonsraion. Voir la preuve du héorème 2.6 de [4] On en dédui donc, grâce au héorème de comparaison précéden, sous l hypohèse C, que l EDSR 6 adme une unique soluion maximale e une unique soluion minimale, sous la condiion Q. 4 Foncion d uilié exponenielle On suppose dans cee secion que l uilié de l invesisseur es de la forme : où α es un réel sricemen posiif. Ux = exp αx x R, α > Définiion 4.1. Soi C un sous-espace fermé de R, on défini à comme l ensemble des processus prévisibles π [,T ], à valeurs dans R, vérifian les propriéés suivanes : Pour ou [, T ], π C, λ P-p.p. E[ π σ 2 d] < +. {exp αxτ π avec τ un F-emps d arrê} es une famille de variables aléaoires uniformémen inégrable. Le problème de maximisaion 5 se reformule donc de la façon suivane : [ ] V x := sup E exp αxt π F π à [ = sup E π à exp α x + π σ dw + θ d F ] 7 Remarque 4.1. La foncion d uilié exponenielle choisie dans cee parie sancionne foremen les peres lorsque la valeur de porefeuille X π es faible, alors qu elle valorise rès peu les gains lorsque l on déien une grande valeur de porefeuille. Pour ou [, T ], e ou ω Ω, on défini l ensemble C ω R comme C ω = Cσ ω. 8 6

7 On remarque, puisque σ [,T ] es uniformémen ellipique, qu il exise une consane k 1 elle que min{ a a C ω} k 1 λ P p.p. 9 De plus, C ω es fermé pour ou couple, ω. On noe Soi P l ensemble des processus prévisibles à valeur dans R. p := π σ, [, T ]. 1 Définiion 4.2 Sraégie admissible. On appelle sraégie admissible, ou processus p P vérifian : 1. [, T ], p C, P-p.s.. 2. E p 2 d < La famille {exp αx p τ, avec τ un emps d arrê à valeurs dans [, T ]} es uniformémen inégrable. On noe alors A l ensemble des sraégies admissibles. Le problème de maximisaion d uilié es donc équivalen à [ V x := sup E exp αx p T F ] 11 p A Afin de résoudre ce problème, on consrui une famille de processus sochasiques {R p [,T ], p A} vérifian le principe d opimalié maringale, c es-à-dire elle que : i R p T = exp αxp T F pour ou p A. ii R p = R, pour ou p A. iii R p es une surmaringale pour ou p A. iv Il exise p A elle que R p es une maringale. Proposiion 4.1. Sous condiion d avoir consrui la famille R p vérifian les propriéés i,ii,iii, iv précédenes, le problème de maximisaion 7 adme une soluion. Une sraégie opimale es p donnée par iii e de valeur de porefeuille : [ V x = E exp αx p T ]. F 12 Démonsraion. On suppose avoir consrui une famille de processus {R p [,T ], p A} vérifian les propriéés i, ii e iii. On a alors, pour ou p A : E[UX p T F ] = E[ exp αxp T F ] = E[R p T ] d après i E[R p ] d après iii e la définiion d une surmaringale. Or, d après ii R p = R, consane, quel que soi p A, donc en pariculier pour le processus p. Par conséquen : E[UX p T F ] E[Rp ] = E[Rp ] d après iv e la définiion d une maringale. T 7

8 En réappliquan i, on a donc : E[UX p T F ] E[UXp T F ] pour ou p A. Donc p es une soluion du problème de maximisaion 7 donnan la valeur de porefeuille 12. Pour consruire cee famille de processus, on pose : où Y, Z es un couple soluion à l EDSR : R p := exp αxp Y, [, T ], p A 13 Y = F Z s dw s fs, Z s ds, [, T ]. Dans la formule ci-dessus, f désigne une foncion qui rend R p surmaringale pour ou p A, e elle qu il exise une sraégie p A elle que R p soi une maringale. Sous ces condiions, on a alors, d après la proposiion 4.1 : V x = R p = exp αx Y, p A. Dans le bu de calculer f, on écri R p comme le produi d une maringale locale posiive M p e d un processus décroissan D p, qui es consan pour un p A. Alors, R p es bien une surmaingale d après le lemme suivan. Lemme 4.1. Soi X [,T ] un processus défini par : [, T ] X = M D avec M [,T ] une F-maringale posiive e D [,T ] un processus F-adapé décroissan. Alors, sous ces condiions, X [,T ] es une surmaringale. Démonsraion. La preuve de ce lemme résule des définiions d une maringale e d une surmaringale. où Les processus M p e D p son définis de la façon suivane : M p = exp αx Y exp αp s Z s dw s 1 2 D p = exp vs, p s, Z s ds, [, T ] α 2 p s Z s 2 ds v, p, z = αp θ + αf, z + α2 2 p z 2. Afin que le processus D p saisfasse les propriéés requises, on doi consruire f de elle sore que { v, p, Z p A p A, v, p, Z =. 8

9 Or, pour [, T ], on a Donc si on pose : 1 α v, p, Z = p θ + f, Z + α 2 p Z 2 = α 2 p 2 αp Z + θ α = α 2 p = α 2 p Z + θ α Z + θ α + α 2 Z 2 + f, Z 2 α 2 Z + θ α α 2 Z2 + f, Z Z θ 1 2α θ 2 + f, Z. f, z = zθ + 1 2α θ 2 α 2 dis2 C ω z + 1 α θ, 14 on obien que v, p, z e v, p, Z = pour p ω = Π Cω Z ω + θ ω α Théorème 4.1. La valeur opimale du problème 7 es donnée par [, T ]. 15 V x = exp αx Y, 16 où Y es défini par l unique couple Y, Z H R H 2 R soluion de l EDSR Y = F Z s dw s avec f, z = zθ + 1 2α θ 2 α 2 dis2 C définie par : p ω = Π Cω fs, Z s ds [, T ], 17 z + 1 α θ. De plus il exise une sraégie opimale p A Z ω + θ ω α [, T ]. Démonsraion. Dans un premier emps, nous allons monrer l exisence d un couple soluion Y, Z H R H 2 R à l EDSR 17. Nous avons besoin du lemme suivan, que l on admera voir [2] pour la démonsraion. Lemme 4.2 Mesurabilié. Soi a [,T ], σ [,T ] des processus prévisibles à valeurs dans R, C R e C = Cσ, [, T ]. 1. le processus d el que d ω = dis Cω a ω es prévisible. [,T ] 2. il exise un processus prévisible a el que a ω Π Cω a ω. D après ce lemme, pour z R, le processus f, z es prévisible. De plus, en uilisan [,T ] 9 : dis 2 C z α θ 2 z α θ + k

10 Puisque θ es uniformémen borné, le processus prévisible f, z vérifie donc [,T ] H1 c, c 1 consanes.q. f, z c + c 1 z 2 z R P-p.s. alors on a exisence d un couple soluion Y, Z H R H 2 R à l EDSR 17, d après le Théorème 3.2. Pour éablir l unicié de la soluion on suppose que Y 1, Z 1, Y 2, Z 2 H R H 2 R son deux soluions à 17. Par conséquen : de plus, Y 1 Y 2 = fs, z 1 fs, z 2 = On pose mainenan e on en dédui que Zs 1 Zs 2 dw s fs, Z 1 s fs, Zs 2 ds θ sz 1 z 2 α 2 [dis 2Cs z α θ s dis 2Cs z s] α θ c 1 z 1 z 2 + c 2 z 1 + z 2 z 1 z 2 c z 1 + z 2 z 1 z 2. β = { f,z 1 f,z 2 Z 1 Z2 si Z 1 Z 2 si Z 1 Z 2 = β c1 + Z 1 + Z 2, [, T ] Lemme 4.3. Soi Y, Z H R H 2 R un couple soluion à l EDSR 17 e soi p donné par le lemme 4.2, avec a = Z + 1 αθ. Alors les processus son des P-BMO maringales. Z s dw s, p sdw s Démonsraion. On renvoie à l appendice A pour la définiion d une P-BMO maringale. E au lemme 12 de [2] pour la preuve de ce lemme. On en dédui que l inégrale sochasique Zi sdw s, avec i 1, 2 es une P-BMO maringale e il en va de même pour βsdw s. Il s en sui que l exponenielle sochasique E βdw es une maringale d après le héorème 2.3 de [3]. 1

11 Par le héorème de Girsanov, W := W + βsds es un mouvemen Brownien sous la probabilié Q, équivalene à P e de densié E T βsdw s. On peu écrire : Y 1 Y 2 = = Zs 1 Zs 2 dw s βszs 1 Zs 2 ds 19 Zs 1 Zs 2 d W s qui es donc une Q-maringale. Comme YT 1 = F = Y T 2, on obien que Y 1 s Ys 2 = E Q [YT 1 YT 2 F s] = p.s. pour ou s T. Donc, Y 1 = Y 2 P-p.s. De plus, en reprenan l équaion 19, on obien pour ou [, T ] : = Z 1 s Z 2 s d W s. Par la héorème de Burckholder-Davis-Gundy, on en dédui, pour ou [, T ] : [ = E Q T ] T sup Zs 1 Zs 2 d W s C E Q Zs 1 Zs 2 2 ds [,T ] où C es une consane. Donc Z 1 = Z 2 d P-p.s. Monrons mainenan que p es admissible, e que R p es une maringale. Par consrucion, [, T ], v, p, Z =, donc D p = 1, P-p.s. De plus, [ ] { [ ess sup E p 2 T ] [ s Z s F τ 2 ess sup E p s 2 T ds F τ + E τ emps d arrê τ emps d arrê τ τ + Z 2 s ] } F τ puisque que Z sdw s e p sdw s son des BMO-maringales. Il s en sui que le processus E p s Z s dw s es une maringale uniformémen inégrable. Par conséquen le processus R p = exp αx Y E p s Z s dw s es égalemen une maringale uniformémen inégrable. Remarquons égalemen que Y es une processus borné, ce qui implique que la famille {exp αxτ p, τ emps d arrê} es uniformémen inégrable par 13. Par définiion, p es P-p.s. à valeurs dans C, donc p A. Par conséquen, la valeur opimale du problème es donnée par 2 ER p T = ERp = exp αx Y. 21 Rese à monrer que R p es une surmaringale pour p A. On considère une suie de emps d arrês τ n associée à la maringale locale M, e elle que lim τ n = T P-p.s.. Par conséquen n M τn [,T ] es une maringale posiive pour ou n, e d après le lemme 4.1, R τn es une surmaringale. 11

12 Par conséquen < s <, A F s, on a : ER p τ n 1 A ER p s τ n 1 A En uilisan la définiion de R p donnée par 13, le fai que Y es borné e la roisième asserion de la définiion 4.2 d une sraégie admissible, on en dédui que les familles R p τ n n N e R p s τ n n N son uniformémen inégrables. En veru du héorème de convergence dominée, on peu passer à la limie dans L 1, donc R p es une surmaringale pour ou p admissible. 5 Généralisaion à des conraines de risque Cee parie es basée sur l aricle de Morenu, Pirvu e Réveillac dans [6], qui on éudié ce problème pour une uilié logarihmique. Nous reprenons cee éude avec la foncion d uilié exponenielle. On noe τ X π = X π +τ X π le gain sur l inervalle de emps [, + τ]. Soi ρ [,T ] une famille d applicaions elles que : ρ : C L 2 F T, P L 2 F, P où C = { } τ X π π es une sraégie admissible A ou couple π s s [,], ˆπ A R n, on associe la sraégie π : Ω [, + τ[ R n elle que { π = π sur [, [ π = ˆπ sur [, + τ] Par définiion du processus de richesse, on a X π = X, π e on remarque que la grandeur τ X π ne dépend que de ˆπ, e non de π. En effe, rappelons que le processus de richesse au emps s écri : X π π u = x + ds u = x + π u σ u dw u + b u du. S u a : En supposan de plus que les paramères σ e b son consans sur l inervalle [, + τ], on X ˆπ = π +τ On défini un espace d accepance comme { } A ρ,π ω := ˆπ R n ρ τ X π ω K ω σ dw u + b du. 22 [, T ] où K [,T ] es un processus à valeurs réelles, exogène, prévisible e el que [, T ], K ρ P-p.s. Proposiion 5.1. Pour oue conraine de risque ρ, K, la saégie n invesir en aucun acif risqué apparien à l espace de conraine. Auremen di, [, T ], R n A ρ,ζ P p.s 12

13 Démonsraion. On sai, d après l équaion 22 que X =, P-p.s.. Par définiion du processus K, on en dédui que A ρ,π, P-p.s.. L inérê de cee axiomaique es que l espace des conraines es non vide. Définiion 5.1. On redéfini l espace de sraégies risque-admissibles comme A ρ vérifian { } A ρ ρ,π1 := π = π s s [,T ] π admissible e elle que π A [,[ 23 Hypohèse 5.1. L applicaion ρ définie par : ρ : C L 2 F T, P L 2 F, P +τ π, ω, ρ ˆπ σ dw u + b du ω es une foncion de Carahéodory, c es-à-dire qu elle vérifie les propriéés suivanes : - pour ou couple ω, dans Ω [, T ], l applicaion π ρ X π ω es coninue - pour ou ˆπ R n, l applicaion ω, ρ X ˆπ ω es P-mesurable. On peu alors formuler le problème d opimisaion de la façon suivane : pour une ceraine mesure de risque dynamique ρ saisfaisan l hypohèse 5.1, e une maurié T, il exise une sraégie π A ρ qui maximise la foncion d uilié exponenielle. En d aures ermes, pour ou R + e pour ou π A ρ, on a E[UX π T ] E[UX π T ] 24 On réuilise le principe d opimalié maringale comme précédemmen. On obien alors, d après 15 : π ω = ΠÃω Z ω + θ ω, [, T ]. α Le héorème suivan assure que cee sraégie π es bien admissible au sens de la définiion 4.2. Théorème 5.1. Soi Z un processus prévisible el que [ ] E Z u 2 du alors, pour ou couple ω, Ω [, T ], l applicaion ω, ΠÃρ ω Z ω + 1 α θ ω es prévisible. De plus, il exise un processus prévisible π à valeurs dans R n el que 1 E πuσ u 2 2 du < 25 e disz, Ãρ = disz, π σ. 13

14 Démonsraion. On défini ou d abord pour k N l ensemble : A ρ,k ω := {π [ k, k]n, ρ τ X π ω K ω }. 26 Lemme 5.1. Pour ou k N e pour ou, ω [, T ] Ω, l ensemble A ρ,k ω es non vide e à valeurs dans un compac. Preuve du lemme 5.1. Par la proposiion 5.1, on sai que pour ou k N e pour ou, ω [, T ] Ω, l ensemble A ρ,k ω es non vide. Par définiion, on sai égalemen que our ou k N e pour ou, ω [, T ] Ω, l ensemble A ρ,k ω es borné. Soi ω Ω e monrons que les ensembles A ρ,k ω son fermés. Soi π n n N une suie délémens de A ρ,k ω convergean vers π. Par l hypohèse 5.1, on en dédui que pour ou, T ] : ρ X π ω K ω = Donc π A ρ,k ω. Donc Aρ,k ω es fermé. lim n + ρ X πn ω K ω. En uilisan ensuie les résulas de l appendice, issus du livre de C. Alipranis e K. Border, on sai que dans le cas de correspondances à valeurs dans un compac, les noions de faible mesurabilié e de mesurabilié au sens de Borel en erme de σ-algèbre générée par la disance de Hausdorff coïnciden. D après la proposiion 7.1 de l appendice, pour ou, T ] e pour ou k N, la correspondance ω, Ãρ,k ω es faiblemen P-mesurable. On pose alors CR n, H l espace non vide des sous-ensembles compacs de R n muni de la disance de Hausdorff. Ce espace es un espace mérique, séparable dans lequel à ρ,k es à valeurs. D après le héorème 7.1 de l appendice, pour ou z R n e pour ou [, T ], l applicaion disance : ω, z dis z, A ρ,k ωσ es une foncion de Carahéodory. Si Z es un processus prévisible, alors comme z dis z, A ρ,k ωσ es coninue pour ou ω Ω e que θ es prévisible au vu de l équaion 1, on en dédui que l applicaion : es P-mesurable. Par ailleurs, ω, dis Z ω + θ ω α, Aρ,k ωσ disz ω + θ ω α, Aρ ωσ = inf disz ω + θ ω k N α, Aρ,k ωσ, on en dédui alors que 1 pour ou couple ω, Ω [, T ], l applicaion ω, ΠÃρ ω Z ω + 1 α θ ω es prévisible. 1. En effe, une suie de processus prévisibles convergeane converge vers un processus prévisible. On écri alors inf dis Z ω, A ρ,k ωσ = lim dis Z k N n ω, A ρ,k n ωσ. 14

15 On va mainenan monrer la deuxième parie du héorème. Comme Ãρ ω es un sous-espace fermé de R n, on en dédui que l ensemble : A ρ ω := argmin a Ãρ ω { disz ω, a } es compac. On uilise alors le Théorème Measurable Maximum Theorem de [1] donné page 65 pour en déduire que la correspondance, ω Ãρ ω es faiblemen P-mesurable. Par le héorème de sélecion de Kuraowski-Ryll-Nardzewski voir [5], il exise un séleceur mesurable π σ pour A ρ, i.e. il exise un processus π : [, T ] Ω R el que : disz ω + θ ω α, Ãρ ω = disz ω, π ωσ ω, où π ωσ ω Ãρ ω. Il rese à monrer que π vérifie 25. En uilisan le fai que Ãρ, e que le processus θ es uniformémen borné, on obien : π σ 2 d < +. π σ Z + 1 α θ 2 d + 2 disz + 1 α θ, Ãρ 2 d + 2 Z + 1 α θ 2 d Z + 1 α θ 2 d Z + 1 α θ 2 d 6 Simulaions numériques 6.1 Calculs préliminaires Nous avons résolu numériquemen l EDSR 6 en uilisan la méhode de Longsaff-Schwarz avec les polynômes d Hermie pour le calcul des espérances condiionnelles, ainsi que l iéraion de Picard. Pour nous assurer de la jusesse des résulas, nous affichons sysémaiquemen l erreur associée au problème des moindres carrés. Nos calculs concernen le calcul de sraégies opimales sans conraines, avec conraine saique, e avec conraine de risque dynamique : la Value a Risk VaR. Déerminons l espace de conraines lorsque ρ désigne la VaR, Puisque ρ τ X π = γ + où γ vérifie P τ X π γ = β P πσ τn + b τ γ = β où N sui une loi normale cenrée réduie P N 1 γ π σ b τ = β τ 15

16 Par conséquen Pour l espace d accepaion, on s inéresse à 1 1 Φ γ π σ b τ = β τ γ + = [ πφ 1 1 ασ τ + b τ ] + A ρ, = {π ρ τ X π K } L ensemble des conraines cherché es donc : A ρ, = {π [ πφ 1 1 ασ τ + bτ ] } + K où α =.5. Si K es choisi supérieur à bτ : A ρ, = sachan que Φ1 β si β = Résulas numériques, ] K bτ Φ 1 1 βσ τ L ensemble de nos résulas numériques a éé obenu avec les paramères b =.3, σ =.1 pour ou emps [, T ] avec T = 1., τ =.1, F = 1.. On représene ou d abord la différence en valeur absolue des processus Y dans les cas sans conraines e avec conraine de risque saique voir la figure 1. 16

17 Figure 1 Différence en valeur absolue des processus Y dans les cas sans conraines e avec conraine saique [.25,.3], pour des paramères α e x ideniques. Figure 2 Comparaison de sraégies opimales sans conraines obenu pour des paramères α différens. En rouge, α = 1., en ver 1.1 e en bleu

18 Figure 3 Exemple de résula obenu avec une conraine saique. En rouge, la sraégie associée au problème sans conraine, en ver, la sraégie conraine sur l espace [.25;.3]. Figure 4 Exemple de résula obenu avec une conraine dynamique de ype VaR. En rouge, la sraégie iniiale, e en ver la sraégie conraine avec K =.3Φ 1 1 ασ τ + bτ. 18

19 Figure 5 Graphes de la foncion valeur sans conraine de risque en foncion du emps avec α = 1 pour des valeurs de x différenes. 6.3 Commenaires sur les résulas Les figure 3 e 4 représenen un processus de sraégie opimale au problème sans conraine ou avec conraine saique ou VaR. On voi clairemen la projecion de la sraégie lorsqu on ajoue des conraine saique ou de ype VaR. En ce qui concerne la foncion valeur, le fai d avoir choisi un modèle de Black-Scholes à coefficiens consans e une condiion erminale consane pour l EDSR associée au problème semble rop simple ici, puisque la foncion valeur voir figure 5 es une exponenielle négaive où on ne disingue pas précisémen les variaions liées au mouvemen brownien. C es ce dernier graphe e plus pariculièremen la valeur opimale du problème donnée par 16 qui va inéresser le régulaeur. 7 Conclusion Dans le cadre de ce ravail, nous avons éudié un problème de maximisaion de la foncion d uilié exponenielle sous conraine de risque avec simulaions de sraégies opimales sous C++, en reprenan la héorie de [2] e en s inspiran, pour l ajou de conraines de risque, de [6] qui raie le même problème dans le cas de l uilié puissance. Afin d éendre cee éude on pourrai évidemen choisir un modèle à volailié sochasique pour la dynamique de l acif risqué, prendre une condiion erminale de l EDSR associée au problème non consane ec... D aures mesures de risque peuven aussi êre uilisées cions par exemple l Expeced Shorfall pour la définiion de l ensemble des conraines. 19

20 Appendice A : Maringale BMO Soi Ω, F, P un espace probabilisé, comple e filré. Soi M une maringale locale coninue sur ce espace el que M =. Alors M es une P-BMO maringale si pour ou p [1, + : M BMOp := sup E M T M τ p 1 F p τ <. τ F emps d arrê Proposiion A 1 Equivalence des normes. Soien 1 p < + e 1 q < +. M es une BMO p maringale si e seulemen si M es une BMO q maringale. Démonsraion. Voir le corollaire 2.1 de [3]. En pariculier M es une BMO-maringale si e seulemen si : M BMO2 = sup E M T M τ F τ <. τ F emps d arrê Les maringales locales de la forme M := ξ sdw s son donc des BMO-maringales si e seulemen si : M BMO2 = sup τ F emps d arrê On a le héorème suivan, uilisé dans la preuve du héorème 4.1 : E τ ξ s 2 ds F τ <. Théorème A 1. Soi M une BMO-maringale. Alors l exponenielle sochasique associée noée EM es une maringale uniformémen inégrable. Démonsraion. Voir la preuve du héorème 2.3 de [3]. 2

21 Appendice B : Faible mesurabilié Dans ce appendice, on reprend les résulas du livre de Alipranis e Border voir [1]. On commence ou d abord par donner la définiion d une correspondance die faiblemen mesurable. Définiion 7.1. Une correspondance φ enre un espace mesurable Θ, G e un espace opologique X es die faiblemen mesurable si pour ou F sous-espace fermé de X, l inverse inférieure de F, définie par : φ l F := {θ Θ, φθ F }, apparien à G. Pour la suie, on pose : f, ω, π = ρ τ X π ω K ω. On rappelle que P représene la σ-algèbre prévisible sur [, T ] Ω. Par l hypohèse 5.1, la foncion f,, es une foncion de Carahéodory par rappor à P, i.e., elle es coninue en π e P-mesurable en, ω. Proposiion 7.1. Pour ou k N, la correspondance A π,k : [, T ] Ω Rn es faiblemen P-mesurable. Démonsraion. Cee proposiion es basée sur le Lemme de [1]. Soi F R n un sousespace fermé. Soi π n n N une suie dense de F. Soi η N, on pose : η A ρ,k ω := {π [ k, k]n, f, ω, π < 1 η }. Alors : η A ρ,k l F = {, ω [, T ] Ω, il exise π F el que f, ω, π < 1 η } Or on sai que f es coninue en π, puisque cee foncion es de Carahéodory, on obien alors par densié : η A ρ,k l F = {, ω [, T ] Ω, il exise m N el que f, ω, π m < 1 η } = + m=1 f 1,, π m, 1 η. Comme f es une foncion de Carahéodory, f 1,, π, 1 η P. On en dédui que pour ou η N, la correspondance η A ρ,k es faiblemen P-mesurable. On a alors : Donc : A ρ,k ω η A ρ,k ω {π [ k, k]n, f, ω, π 1 η }. 21

22 + A ρ,k ω = η A ρ,k ω. η=1 D après la roisième proposiion du Lemme de [1], on en dédui que Pour ou k N, la correspondance A π,k : [, T ] Ω Rn es faiblemen P-mesurable. Le héorème suivan es le principal ouil de la preuve du héorème 5.1. Théorème 7.1. Une correspondance à valeurs non vide d un espace mesurable dans un espace mérique e séparable es faiblemen mesurable si e seulemen si la foncion disance qui lui es associée es une foncion de Carahéodory. 22

23 Références [1] C.D. Alipranis and K.C. Border. Infinie Dimensional Analysis. Springer-Verlag, Berlin, hird ediion, 26. [2] Y. Hu, P. Imkeller, and M. Müller. Uiliy maximizaion in incomple markes. The Annals of Applied Probabiliy, 153 : , 25. [3] N. Kazamaki. Coninuous Exponenial Maringales and BMO. Springer-Verlag, Berlin, [4] M. Kobylanski. Backward sochasic differenial equaions and parial differenial equaions wih quadraic growh. Annals of Probabiliy, 28 :558 62, 2. [5] K. Kuraowski and C. Ryll-Nardzewski. A general heorem on selecors. Bullein de l Académie Polonaise des Sciences, Série des Sciences Mahmaiques, Asronomiques e Physiques, 13 :39743, [6] S. Moreno-Bromberg, T.A. Pirvu, and A. Réveillac. CRRA uiliy maximizaion under risk consrains. Communicaion on Sochasic Analysis, 72 :23 225, 213. [7] E. Pardoux and S. Peng. Adaped soluions of backward sochasic differenial equaion. Sysems and Conrol Leers, 14 :55 61,