II. Eléments des probabilités

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1 II. Eléments des probabilités Exercice II.1 Définir en extension l ensemble fondamental Ω des résultats associé à chacune des expériences aléatoires suivantes: 1. jeter une pièce de monnaie et observer la face visible 2. tirer une carte d un jeu de 52 cartes et observer la couleur 3. tirer une carte d un jeu de 52 cartes et observer la valeur 4. tirer une boule d une urne contenant des boules vertes, rouges et blanches et observer la couleur 5. jeter deux dés indiscernables et noter les points des faces supérieures 6. jeter deux dés, l un vert et l autre jaune, et noter les points des faces supérieures 7. jeter deux pièces de 1 euro et observer les faces visibles 8. jeter une pièce de 1 euro et une pièce de 2 euros et observer les faces visibles 9. tirer au hasard une lettre de mot assiette 10. tirer d un coup deux boules, sans remise, d un sac contenant cinq boules vertes, une boule blanche et trois boules rouges et en observer la couleur 11. tirer deux boules, avec remise, d un sac contenant cinq boules vertes, une boule blanche et trois boules rouges et en observer la couleur Exercice II.2 Pour les expériences aléatoires décrites à l exercice précédent, définir en extension les événements suivants: 1. le côté visible est pile 2. la couleur est noire 3. la carte tirée est une image 4. la boule est verte ou rouge 5. la somme des points est 6 6. la somme des points est 6 7. l une montre pile, l autre face 8. l une montre pile, l autre face 1

2 9. la lettre tirée est une consonne 10. les deux boules tirées sont rouges 11. la première boule tirée est rouge Exercice II.3 Une boîte contient trois boules, une blanche, une noire et une verte. (a) Soit l expérience aléatoire qui consiste à tirer au hasard une boule, la remettre et ensuite en tirer une seconde. Déterminer l espace fondamental Ω et calculer son cardinal. (b) Idem (a) sauf qu il n y a pas remise avant le tirage de la deuxième boule. Exercice II.4 Dans un jeu de 52 cartes, on en tire une au hasard. Calculer la probabilité de prendre (i) une carte rouge, (ii) un trèfle, (iii) un as, (iv) un roi noir, (v) la dame de coeur, (vi) une dame ou un coeur. Exercice II.5 Soit un jeu de 52 cartes. Si on extrait de ce jeu 8 cartes au hasard, quelle est la probabilité d obtenir au moins un roi? Exercice II.6 On fait trois parties consécutives de pile ou face. Quelle est la probabilité d obtenir (i) plus de face que de pile, (ii) exactement deux fois pile, (iii) pile au troisième jet, (iv) trois fois la même face? Exercice II.7 Deux emplois sont proposés par une société. Ils peuvent s adresser à une femme ou à un homme. Il y a quatre candidates et deux candidats. Chacun d entre eux a la même chance d être retenu. Quelle est la probabilité 2

3 d engager (i) deux hommes, (ii) deux femmes, (iii) deux personnes de même sexe, (iv) deux personnes de sexe différents? Exercice II.8 Supposons que la probabilité d avoir un garçon est la même que celle d avoir une fille. Dans une famille de trois enfants, calculer la probabilité qu il y ait (i) au moins un garçon, (ii) au moins deux garçons, (iii) exactement un garçon, (iv) exactement deux garçons, (v) au plus un garçon, (vi) plus de garçons que de filles, (vii) au moins une fille et un garçon, (viii) un garçon comme aîné. Exercice II.9 On jette un dé à six faces jusqu à l obtention d un 4. Quelle est la probabilité qu il faille plus de neuf jets pour arrêter le jeu? Exercice II.10 Une urne contient cinq boules bleues et trois boules rouges, indiscernables au toucher. On tire au hasard trois boules, avec remise dans l urne. Quelle est la probabilité qu elles soient toutes bleues? Même question si on effectue les tirages sans remise. Exercice II.11 Considérons un questionnaire comprenant deux questions et supposons qu il y ait trois réponses possibles (a, b et c) à la première et cinq (A, B, C, D et E) à la seconde. Supposons qu on n ait aucune idée quant aux réponses exactes et qu on réponde totalement au hasard. Les réponses exactes sont b et A. Calculer la probabilité d avoir (i) la réponse correcte aux deux questions, (ii) la réponse incorrecte aux deux questions, (iii) au moins une réponse correcte, (iv) (v) au plus une réponse correcte, la réponse correcte à la première question et une réponse incorrecte à la seconde question. Exercice II.12 On prélève au hasard quatre chaussures dans un lot de dix paires différentes. Quelle est la probabilité d avoir au moins une paire? 3

4 Exercice II.13 (a) On place dix personnes en file. Quelle est la probabilité pour que deux personnes données soit voisines? (b) Que devient cette probabilité si on place les dix personnes en cercle? Exercice II.14 Soient n objets et N boîtes (on suppose N n). On répartit aléatoirement les objets dans les boîtes et on demande la probabilité pour que (i) n boîtes données à l avance contiennent chacune un objet, (ii) n boîtes quelconques contiennent chacune un objet. Exercice II.15 Sept personnes prennent place dans l ascenseur d un immeuble de dix étages (rez-de-chaussée compris). Chacune choisit l étage où elle sort de l ascenseur. Quelle est la probabilité que (i) elles sortent toutes à des étages différents, (ii) deux personnes au moins descendent à un même étage, (iii) trois personnes déterminées à l avance descendent à un même étage et toutes les autres à des étages différents, (iv) trois personnes (n importe lesquelles) descendent à un même étage et toutes les autres à des étages différents, (v) trois personnes (n importe lesquelles) descendent à un même étage, deux autres (n importe lesquelles) descendent à un autre étage et les deux dernières encore à un autre étage. Exercice II.16 On distribue au hasard et un par un des objets dans n boîtes. On s arrête dès qu un objet est mis dans une boîte déjà occupée. Quelle est la probabilité p k de stopper en distribuant le k-ième objet? Exercice II.17 Quelle est la probabilité que deux personnes au moins, parmi n personnes choisies au hasard, fêtent leur anniversaire le même jour de l année? Exercice II.18 Soient A 1,..., A n des événements liés à une expérience aléatoire. Démontrer, pour n naturel quelconque, l inégalité suivante ( n ) P A i i=1 n P (A i ) i=1 4

5 Exercice II.19 On lance un dé dont les faces sont respectivement marquées des nombres 1 à 6. On sait par expérience que le dé est pipé et que la probabilité qu il montre la face marquée k est inversément proportionnelle à k. Quelle est la probabilité qu il montre une face marquée d un nombre pair? Exercice II.20 La probabilité pour qu un tireur atteigne la cible est de 1/4. Combien de fois doit-il tirer pour atteindre au moins une fois la cible avec une probabilité supérieure à 2/3? Exercice II.21 Si le cardinal de l ensemble Ω est n, alors quel est le cardinal de l ensemble de toutes les parties de Ω? Exercice II.22 On fait trois parties consécutives de pile ou face. Etudier l indépendance des événements suivants: (i) A 1 = obtenir face au premier jet et B 1 = obtenir pile au second jet, (ii) A 2 = obtenir trois fois le même coté et B 2 = obtenir face au moins une fois, (iii) A 3 = obtenir face au moins deux fois et B 3 = lors des trois jets, deux jets consécutifs quelconques donnent des résultats différents. Exercice II.23 (a) Démontrer que si A et B sont deux événements indépendants, alors il en est de même pour A c et B, pour A et B c, pour A c et B c. (b) Démontrer que si deux événements de probabilité non-nulle sont incompatibles, alors ils ne peuvent pas être indépendants. 5

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