Systèmes de communications numériques 2
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- Christelle Pinette
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1 Systèmes de Communications Numériques Philippe Ciuciu, Christophe Vignat Laboratoire des Signaux et Systèmes cnrs supélec ups supélec, Plateau de Moulon, Gif-sur-Yvette Université de Marne la Vallée, Équipe syst Lmes de communications esiea, 18 octobre 1999 Systèmes de communications numériques 2 Plan du cours Chapitre I : Introduction aux communications numériques. Chapitre II : Codes en lignes Chapitre III : ransmission, réception et détection en bande de base. Chapitre IV : Modélisation des signaux passe bande. Chapitre V : Modulations sur onde porteuse. Chapitre VI : ransmission sur onde porteuse (bande transposée).
2 Chapitre III : ransmission, réception et détection en bande de base ransmission en bande de base 4 ransmission en bande de base : canal de Nyquist gaussien Modèle du modulateur e(t) = k= a k h e (t k ) où a k symbole M-aire émis à l instant k, ( : durée inter-symboles). Dans h e (t) : mise en forme spectrale de e(t) pour limiter son occupation spectrale et ainsi être compatible avec la bande du canal [ B, +B]. Canal de transmission : transformations déterministes = limitation aux distorsions linéaires : filtre h c (t), modélisant canal à bande limitée : x(t) = e(t) h c (t) = a k h(t k ), k=
3 ransmission en bande de base 5 x(t) signal à support spectral limité, donc d occupation temporelle infinie. bruits aléatoires : sources internes et externes : n(t) p.a. blanc, gaussien, centré, stationnaire, et de DSP binatérale N 0 /2. canal additif blanc gaussien. Entrée du démodulateur : z(t) = k= a k h(t k ) + n(t) Démodulateur = filtre de réception de (g(t)) + échantillonneur (k ) + organe de décision concernant la valeur a k. Signal en sortie du filtre : r(t) = y(t) + w(t) où w(t) : terme de bruit gaussien, centré stationnaire, de DSP : S w (f) = N 0 2 G(f) 2 ransmission en bande de base 6 y(t) = a k p(t k ) k= où p(t) filtre de fonction de transfert : P (f) = H(f)G(f) = H e (f)h c (f)g(f) (1) filtre équivalent de la chaîne source échantillonneur. Variable de décision : Échantillonnage en k : r(k ) = r k
4 ransmission en bande de base 7 Interférence Entre Symboles (IES) Pourquoi de l IES? Choix d impulsions h e (t) spectralement limitées, donc à bande temporelle infinie. mélange temporel des impulsions envoyées : IES. y(t) = a k p(t k ) + a n p(t n ) y(k ) = a k p(0) + n=, k n n=, k n a n p((k n) ) erme d IES : n=, n 0 a np(n ) : contribution des symboles voisins Conditions de Nyquist (absence d IES) dans le domaine temporel : p(n ) = 0, n 0. Attention : contribution des symboles postérieurs à k ne signifie pas que sys- ransmission en bande de base 8 tème est non causal. Simplification dans les Eq., opérée en éliminant le retard de transmission t 0. Absence d IES se réécrit : p(n + t 0 ) = p(t 0 )δ 0,n, n avec t 0 > (2) Conditions de Nyquist dans le domaine spectral : n= P (t0) (f n ) =, f (3) Démonstration : où : P (t 0) (f) = P (f) p(t 0 ) exp (j2πft 0) (4) p e (n ) = p(t) n= δ(t n t 0 ) d où par transformée de Fourier, en utilisant successivement le th. de convolution
5 ransmission en bande de base 9 et la formule sommatoire de Poisson (signaux stables de F stable) : ( s(n u) exp (2jπnv) = exp 2jπ uv ) ( ) n v ( ŝ exp 2jπ un ) n Z n Z pour v = f, et u = t 0, on obtient : P e (f) = 1 P (f n ( ) exp 2jπn t ) 0 comme par ailleurs : on a : p e (n ) = P e (f) = n n n= p(n + t 0 )δ(t n t 0 ), p(n + t 0 ) exp ( 2jπf(t 0 + n )). (5) En égalant les 2 expressions de P e (f), et en tenant compte de (2), on obtient : P (f n (j2π(f ) exp n ) )t 0 = p(t 0 ) n ransmission en bande de base 10 soit en posant (4), on obtient (3). Interprétation des conditions de Nyquist D après (4), l impulsion p (t 0) (t) FI de P (t 0) (f) = version normalisée de p(t) avancée de t 0, et p (t 0) (0) = 1. (3) la somme des contributions obtenues en translatant la fonction P (t 0) (f), à support borné, des quantités n/ donne un spectre constant indépendant de la fréquence!! Si P (t 0) (f) = 0 pour B < f < 1/2, alors les motifs translatés ne se recouvrent pas et leur addition ne peut donner un résultat constant. Condition de Nyquist : présence d IES si et seulement si pas de recouvrement spectral. En pratique, canal à bande passante limitée [ B, +B]. ransmission sans IES impossible si B < 1/2 = /2 (frequence de Nyquist).
6 ransmission en bande de base 11 Critère spectal de Nyquist Supposons h e (t) impulsion à bande limitée avec : La condition (3) conduit à : P (t 0) (f) = 0 pour f 1. P (t 0) ( f) + P (t 0) ( 1 2 f) = Critère de Nyquist : le point S ( 1 2, 2 ) de la réponse en fréquence globale P (t 0 ) (f) doit être un point de symétrie impaire. Égalisation Filtre de réception de réponse en fréquence G(f) doit corriger la distorsion linéaire responsable de l IES introduite par le canal. Canal égalisé P (t 0) (f) vérifie le critère de Nyquist. En pratique, ajout d un filtre supplémentaire, égaliseur, placé en cascade derrière le(s) filtre(s) d entrée du récepteur, après échantillonnage. ransmission en bande de base 12 Filtrage de Nyquist en bande de base Bande de fréquence minimale : bande de Nyquist N (t 0) m (f) : fonction P (t0) (f) de largeur de bande minimale, 1/2 (freq.positives) pour garantir une IES nulle : { N (t 0) f 1 m (f) = 2 0 ailleurs On obtient : P (f) = p(t 0 )N (t 0) m (f) exp ( j2πft 0 ) et p(t) = p(t 0 )sinc t t 0 N (t 0) m (f) : discontinue aux fréquences ±1/2 : filtre passe bas idéal pas physiquement réalisable. Autre défaut : ne tolère aucune imprécision sur l instant d échantillonnage (distorsion maximale non bornée).
7 ransmission en bande de base 13 Bande de fréquence supérieure à [ 1/2, 1/2 ] Pratiquement, solution retenue : filtre en cosinus surélevé, de transmittance CS α (f) [ si f 1 α 2 CS α (f) = sin π α ( 1 2 f )] 1 α 1+α si 2 f (6) 2 0 ailleurs où α ]0, 1[ : coef. de retombée (roll-off). occupation spectrale du filtre en cosinus surélevé : [ 1 + α/2, 1 + α/2 ]. I correspondante : cs α (t) = sin ( ) πt cos ( ) παt πt satisfait critère de Nyquist. 1 4α 2 t 2 2 pour α = 0, CS 0 (f) = N (t 0) m (f). Multiplication de la bande spectrale ( B) par (1 + α) Amplitude des oscillations de cs α (t) quand α, i.e., B. écepteur sensible aux imprécisions d échantillonnage : IES quand l amplitude des oscillations. ransmission en bande de base 14 Diagramme de l oeil Diagramme obtenu en superposant toutes les traces ou réalisations du signal non bruité : cf. (figure III-3 ->III-5) y(t) = k= a k p(t k ) Pour un canal de transmission IF, supposons p(t) négligeable en dehors de ]t 1 L 1, t 1 + L 2 [ L 1, L 2 N. Pour une suite de symboles binaires, le nombre de traces de y(t + t 1 ) pour t ]0, [ est de 2 (L 1+L 2 +1). Superposition de ces traces = diagramme de l oeil sur [t 1, t 1 + [. Périodique de période. Analyse restreinte sur un intervalle quelconque de durée égale à (visualisation sur oscillo. à mémoire).
8 ransmission en bande de base 15 Mesure pratique de la gravité de l IES En l absence d IES, à l instant de décision t 0 + n, point d intersection de toutes les traces de y(t) unique. Ouverture verticale du diagramme de l oeil = immunité au bruit. IES réduit l ouverture verticale du diag. Ouverture horizontale du diagramme de l oeil = immunité aux erreurs de positionnement de l instant de décision : imprécision de l échantillonnage. ransmission en bande de base 16 Détection en présence de bruit Probabilité d erreur Décision en réception à partir r k pour estimer le symbole a k transmis. IES nulle (canal de Nyquist) : r k = p(0)a k + w k où w k est 1 réalisation du p.a. W k, centré, de variance σ 2 w = S w (f)df = N 0 2 G(f) 2 df et symbole a k = {±1, ±3,..., ±(M 1)} symbole M-aire. Comment définir l optimalité? echerche d une décision optimale : â k. Au sens d un critère satisfaisant pour destinataire et réalisable en pratique : minimum de la probabilité d erreur de symbole : P s (e) = Pr {â k a k }. (7)
9 ransmission en bande de base 17 P s (e) P b (e), Proba. d erreur binaire : relation entre les 2 dépend du codage binaire des symboles : P s (e) log 2 M P b(e) P s (e) Minimum atteint si une erreur de symbole 1 seule erreur de bit (codage de Gray). Maximum atteint si erreur de symbole tous les bits faux!! Cas binaire (P b (e) = P s (e) = P (e)) Échantillon r k comparé à un seuil S en sortie du filtre de réception, et décision prise selon la règle : r k > S alors â k = 1 (8) r k < S alors â k = 0 rappel de (??) : P b (e) = Pr(a k = 1)Pr(â k = 0 a k = 1) + Pr(a k = 0)Pr(â k = 1 a k = 0) ransmission en bande de base 18 Soit : P (e) = p 1 S + p(r 1)dr + p 0 p(r 0)dr où p ak =1(r) et p ak =0(r) représentent resp. les densités conditionnelles de la v.a. lsq a k = 1 ou a k = 0, et p i = Pr (a k = i), i = 0, 1. echerche de la probabilité d erreur minimale : Ŝopt tel que : dp (e) ds = 0 = p 0 p(r 0) + p 1 p(r 1) = 0 dp(r 0) avec : dp (e)s = p 0 dr dans la zone du seuil de décision. S + p 1 dp(r 1) dr Position seuil dépend donc de la dist. de proba. des symboles : p(ŝopt 1) p(ŝopt 0) = p 0 p 1 = S > 0
10 ransmission en bande de base 19 canal AGB = bruit additif gaussien : densités conditionnelles gaussiennes p ak =1(r) = ( 2π) 1 exp ( ) (r p(0)) 2 /2σw 2 p ak =0(r) = ( 2π) 1 exp ( ) (r + p(0)) 2 /2σw 2 [ ] p(s 1) 2Sp(0) = p(s 0) = exp Ŝ opt = σ 2 w σ2 w 2p(0) ln p 0 p 1, Si p 1 > p 0, alors Ŝopt < 0 s éloigne du symbole le plus probable et donc «favorise» la décision : â k = 1. Cas équiprobable : p 0 = p 1 = 1/2, Ŝopt à égale distance des niveaux attendus soit ici l origine, alors on a : P (e) = + S p(r 0)dr ransmission en bande de base 20 En posant t = σw 1 (r + p(0)) (loi normale centrée réduite), on trouve : + ( ) [ ] P (e) = exp t2 p(0) dr = Q 2 p(0) σw où Q = «queue de la gaussienne». (9) On utilise aussi la fonction d erreur complémentaire définie par : d où : Ordre de grandeur : erf(x) = 2 π + x exp ( t 2) dt = 2Q(x 2) P (e) = 1 p(0) derf 2 2 débit binaire de 100 Mbit/s, une proba d erreur égale à : 10 8 correspond à une erreur par seconde correspond à une erreur toutes les 2h45 mn environ.
11 ransmission en bande de base 21 Cas M-aires a k = {±1, ±3,..., ±(M 1)} = {β 1, β 2,..., β M } Pour des symboles équiprobables, on montre que les seuils de décision sont placés au milieu de chaque intervalle, comme dans le cas binaire. Proba. d erreur de symbole P s (e) : M P s (e) = Pr(e, β i ) = i=1 M Pr(β i )Pr(e β i ) i=1 Hyp : symboles équiprobables, on obtient : P s (e) = 1 M M Pr(e β i ) ( ) p(0) pour les 2 symboles «extrêmes», on a : Pr(e β 1 ) = Pr(e β M ) = Q ( ) p(0) pour chacun des M 2 autres symboles : Pr(e β i ) = Pr(e β M ) = 2Q = P s (e) = 2 M 1 M Q ( p(0) i=1 ). (10) ransmission en bande de base 22 Comme 2 M <, P s (e) varie du simple au double, avec un minimum dans le cas binaire : ( ) ( ) p(0) p(0) Q P s (e) 2Q emarque : La puissance du signal utile augmente rapidement avec M! σ 2 y = σ 2 ap(0) 2 = 2 M y(k ) = a k p(0), M/2 1 m=0 Proba d erreur binaire minimale : P b(min) (e) = 2 M 1 M log 2 M Q (2m + 1) 2 p(0) 2 = M ( ) p(0) p(0) 2. (11) (12)
12 ransmission en bande de base 23 Filtre adapté (10) et (12) montrent que P s (e) et P b (e) monotonement avec le SB = p(0)/. Pour un émetteur et un canal donnés, le SB est fonction des caractéristiques du filtre de réception. Définition le filtre adapté est un filtre linéaire qui maximise p(0)/ à l instant de décision. On a : P (f) = H(f)G(f) donc : p(0) = H(f)G(f)df, et le bruit w(t) étant de DSP S w (f) = N 0 2 G(f) 2, sa variance vaut : σw 2 = S w (f)df = N 0 G(f) 2 df 2 ransmission en bande de base 24 Le carré du SB a donc pour expression : ( ) 2 [ ] 2 p(0) = 2 H(f)G(f)df N 0 G(f) 2 df Le maximum de ce rapport est obtenu à l aide de l inégalité de Schwarz : 2 ( ) ( ) u(x).v (x)dx u(x) 2 dx v(x) 2 dx l égalité ayant lieu lorsque u(x) = kv(x). À l aide de (13), on en déduit : [ ] 2 p(0) 2 le maximum de SB étant atteint pour : G(f) = kh (f). N 0 (13) H(f) 2 df (14)
13 ransmission en bande de base 25 Au niveau temporel, la I (réelle) du filtre de réception vaut : g(t) = kh( t). (15) Max du SB obtenu à l aide d un filtre de réception possédant une I proportionnelle à l impulsion reçue retournée!! k : terme de gain sans effet. un tel filtre est dit adapté à la forme h(t). énegie E h de l impulsion de base reçue : E h = H(f) 2 df = [h(t)] 2 dt (Plancherel Parseval) (16) De (14), on tire la valeur du SB maximum : p(0) 2Eh, N 0 emarque : SB indépendant de la forme de h(t) SB dépend uniquement de l énergie E h de h(t). ransmission en bande de base 26 éponse du filtre adapté la réponse à h(t) du filtre adapté est donnée par : p(t) = (h g)(t) = h(θ).h(θ t)dθ soit encore : p(t) = γ h (t) (17) éponse proportionnelle à la fonction d autocorrélation de h(t). emarques : Si h(t) causale, la I g(t) du filtre adapté est alors non causale. En pratique, on rend celle-ci causale, en ajoutant un retard pur t 0 suffisant : g(t) = h(t 0 t) p(t) = γ h (t t 0 ) p(t) I du filtre global : sa réponse en fréquence est purement réelle (à t 0 près) : P (f) = H(f).H (f) = H(f) 2.
14 ransmission en bande de base 27 Sortie du filtre adapté En présence de bruit, pour un symbole unique (ou symbole courant dans signal sans IES), on récupère en sortie du filtre adapté : r(t) = a t0 p(0) + w(t) = a t0 γ h (t t 0 ) + w(t) Valeur échantillonnée à l instant de décision optimal t = t 0 : r(t 0 ) = a t0 γ h (0) + w(t 0 ) = E h + w(t 0 ). C est le SB de cette variable de décision qu on a maximisé!! éalisation du filtre adapté à l aide d un corrélateur Hyp : h(t) de support fini [0, ] et filtre adapté de I causale g(t) = h(t 0 t). Alors en sortie on récupère : r(t) = t t0 + t t 0 z(θ)h(t 0 t + θ)dθ La valeur de décision atteinte à l instant optimal vaut : r(t 0 ) = récepteur à corrélation : SB de r(t 0 ) maximum si z(t) = h(t). 0 z(θ)h(θ)dθ ransmission en bande de base 28 partage optimal du canal de Nyquist Fonctionnement optimal si SB maximum à l instant de décision (filtre adapté) avec simultanément une IES nulle : filtre global vérifiant le critère de Nyquist. Hyp. : H c (f) = K dans la bande utile du canal, et retard pur (causalité),i.e., filtre à phase linéaire alors : P (f) = H e (f).h e (f) = H e (f) 2 En prenant H e (f) réelle, une solution simple consiste à prendre le même filtre pour la mise en forme à l émission et le filtrage adapté en réception, soit : P (f)g(f) = H e (f) = P (f), avec P (f) + et sans IES. (18) Partage optimal du canal de Nyquist. ex : filtre global en cosinus surélevé : P (f) = CS α (f) alors G(f) = H e (f) = CSα (f). emarque : Signal e(t) émis est entaché d IES, alors que celui échantillonné, r(t) en est dépourvu G(f) agit en «égaliseur».
15 ransmission en bande de base 29 Probabilité d erreur binaire minimale Cas optimal P b (e) minimale, soit d après (12) et (16) : P b(min) (e) = 2 M 1 M log 2 M Q ( ) 2Eh N 0 (19) Expression de P b(min) (e)en fonction de l énergie moyenne par bit E b : E b = P y b = P y D b (20) avec P y : puissance moyenne du signal utile, b la période bit, et D b, le débit binaire. En reprenant (11), on a : E b = M 2 1 3log 2 M E h ransmission en bande de base 30 Avec (19), on en déduit P b (e) en fonction du SB E b /N 0 et de M : ( ) P b(min) (e) = 2 M 1 M log 2 M Q 6log2 M M 2 1. E b N 0 (21) emarques : P b(min) quand E b c est-à-dire d après (20), soit P y soit/(et) quand D b. du nombre de bits par symbole B et donc par là du bruit, mais pour un SB E b /N 0 fixé, cet effet positif ne suffit pas à compenser la dégradation des performances en terme de probabilité d erreur due à l augmentation de M. Pour maintenir une proba. d erreur constante lorsque M augmente on doit faire croître le SB E b /N 0 : pour un même débit binaire, le passage de symboles binaires à des symboles quaternaires (M = 4) nécessite une augmentation de la puissance d environ 4 db, et asymptotiquement de 6 db pour chaque doublement de M.
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