MASTER de Génie Civil, Lyon Année scolaire DYNAMIQUE DES SOLS ET DES STRUCTURES. Sujet No 1, durée : 2 heures

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1 MASTER de Génie Civil, Lyon Année scolaire 6-7 Epreuve du 6 mars 7 DYNAMIQUE DES SOLS ET DES STRUCTURES GENIE PARASISMIQUE Sujet No, durée : heures Les copies doivent être rédigées en français et écrites à l encre La qualité de la présentation peut influencer la note jusqu à + ou points Le document comprend 6 pages, celle-ci comprise. INTRODUCTION Dans la première partie, on s intéresse à une structure très semblable à l exemple introductif du cours. Dans la seconde partie on s intéresse au déplacement différentiel entre deux structures voisines, semblables à celle de la première partie.

2 PREMIERE PARTIE Description du modèle de structure considéré La structure considérée est décrite par un modèle à un seul degré de liberté, x(t), présenté sur la figure. Le modèle comprend une masse m = 3 tonnes, portée par trois poteaux de sections différentes. Les poteaux sont encastrés à leurs extrémités : en pied dans une structure indéformable (la base) et en tête dans la structure massive de 3 tonnes, elle aussi réputée indéformable. Les rigidités des poteaux sont données avec la figure. On trouvera une définition de la rigidité d un poteau et un formulaire utile dans l annexe. m = 3 t x(t) 3 Rigidité des poteaux : k = k 3 = 9,3 6 N/m k = 8 k (t) Base Figure : Présentation du modèle de structure considéré Description du mouvement excitateur La structure est soumise à une excitation sismique, qui dans notre modèle se réduit à un mouvement de translation rectiligne imposé à la base comme indiqué sue la figure. Ce mouvement est décrit par (voir le rappel de cours en annexe ) : - le maximum en valeur absolue au cours du temps,, de son accélérogramme, (t), - un spectre de pseudo accélération absolue normalisée décrit en annexe. Au cours de cet exercice on utilisera toujours le même spectre normalisé, mais on considérera plusieurs valeurs de, repérées par des indices. On désignera par le maximum de x(t) au cours de la réponse sous séisme ; portera différents indices suivant les cas traités. Réponse en comportement élastique linéaire.. Calculer la rigidité, k E, de l ensemble des trois poteaux, en déduire la fréquence propre, f E, de la structure... On admet que la structure possède un amortissement E =5% par rapport au critique. En déduire le déplacement maximum E, engendré par une excitation telle que = m/s². Quelle est la force F E alors appliquée à la masse m?.3. En déduire la déformation maximale en pied et en tête des poteaux. On admet que la limite d élasticité correspond à une déformation e =, (=,%). A-t-on plastifié les poteaux? (L annexe fournit une formule donnant la déformation maximale dans les poteaux.)

3 Comportement post élastique et réponse dans ces conditions Le comportement post-élastique de chaque poteau est décrit dans l annexe. La base de la structure restant fixe, on peut en déduire que la relation entre une force appliquée statiquement en tête du modèle, F, et le déplacement correspondant, x, se met graphiquement sous la forme présentée sur la figure..4. Remplir le tableau des coordonnées des points A, B, U, associé à la figure. Pour répondre à cette question on pourra utilement tracer sur un même schéma les courbes F-x de chaque poteau F B U A A B U x F k eq Figure Relation entre F et x ; tableau associé. On tient compte maintenant des conséquences du passage en régime post-élastique sur la réponse sismique. Le passage en régime post-élastique a deux conséquences : a) La rigidité de la structure est affectée : On admet qu au déplacement maximum (<x U ) on peut associer une «rigidité équivalente» k eq dont la valeur est donnée par la pente de la droite qui joint l origine au point d abscisse sur la courbe de la figure. b) L amortissement de la structure est affecté : On admet qu au déplacement maximum (<x U ) on peut associer un «amortissement équivalent» donné par la formule : eq = 5 [ + (-x A )/(x U -x A )], valide pour >x A, en %..5. Calculer la valeur A de qui conduit à = x A..6. Calculer la fréquence équivalente f B et l amortissement équivalent B correspondant à =x B ; en déduire valeur B de qui conduit à = x B..7. Calculer la fréquence équivalente f U et l amortissement équivalent U correspondant à =x U ; en déduire valeur U de qui conduit à = x U..8 Une pratique courante d ingénierie est de considérer qu on peut déterminer de la façon suivante la valeur maximale admissible de : a) Calculer la réponse en supposant le comportement élastique et en déduire la force exercée sur la masse m (voir la question.), puis b) limiter la force exercée à la valeur F U. A quelle la valeur U de cette pratique conduit-elle? comparer à U et commenter. x

4 DEUIEME PARTIE On considère deux bâtiments, B et B, semblables à celui qui a été modélisé dans la première partie, et encastrés sur une même base indéformable. Si les deux bâtiments étaient rigoureusement identiques, leurs réponses sous l effet du même mouvement excitateur seraient identiques et le déplacement différentiel entre eux serait nul. En pratique on doit tenir compte des aléas de construction et d exploitation qui font que les bâtiments ne sont pas rigoureusement identiques. Pour appréhender les conséquences de cette situation, on admet que - B a une fréquence propre f = f (- ), - B a une fréquence propre f = f (+).. On prend comme hypothèse que f est la fréquence équivalente du modèle de la première partie pour un déplacement en tête = 5cm. Calculer cette fréquence. Quelle est la valeur d amortissement équivalent correspondante? On désigne par cette valeur d amortissement, et dans toute la suite on considère que les amortissements sont fixés à cette valeur.. On construit un modèle constitué des modèles des deux bâtiments, encastrés sur la même base indéformable. x (t) désigne le déplacement en tête de B, idem x (t). x (t) x (t) (t) Ce modèle comprend deux modes propres. Tracer les déformées modales normées au plus grand déplacement égal à. Il est inutile de faire des calculs pour répondre à cette question..3 Donner l expression du coefficient de corrélation entre les deux modes en fonction de selon la formule CQC simplifiée du cours. Calculer les valeurs de pour ;.4 On admet (et on peut aisément vérifier) qu au voisinage de f, le spectre de réponse donné en annexe peut s écrire : S(f, ) = f / f S(f, ) Calculer / en fonction de ; idem /..5 On désigne par le déplacement différentiel maximum au cours du temps entre B et B. Donner l expression de / en fonction de et. Simplifier cette expression pour ²<< et déterminer le développement de / au voisinage de =. Tracer / en fonction de / pour / variant entre et (on admet qu on satisfait alors la condition ²<<)..6 Les normes de sûreté nucléaire considèrent que l incertitude sur la fréquence propre d un bâtiment est de ± 5%. Que faut-il en conclure pour notre exemple?

5 Annexe Considérations de résistance des matériaux applicables au problème traité F M Rigidité d un poteau : définition : k = F/u valeur: k = EI / h 3 h u Moment de flexion en tête et en pied : M =,5 F h Déformation de la fibre externe en tête et en pied : = 3 u B / h² B M F h=3m ; B =,3m ; B =,6m. Comportement post-élastique des poteaux En fixant à,% la limite d élasticité dans le matériau constituant les poteaux, on en déduit pour chacun d eux la valeur de déplacement u e (et donc aussi de force F e ) correspondant à la limite de comportement élastique. Ensuite en fixant à % la déformation «ultime» acceptable et en faisant appel à des considérations sur le développement des rotules plastiques, on peut calculer le «déplacement ultime», u u, de chaque poteau (déplacement en tête qui ne doit pas être dépassé). On obtient les valeurs suivantes : F e en N u e en cm u u en cm Poteaux et 3 8,6 4, 7, Poteau 74,4 4, 6, La loi de comportement de chaque poteau (relation entre F et u définis dans le schéma cidessus) peut alors se mettre de façon simplifiée sous la forme suivante : F e u e u u

6 Annexe Spectre normalisé et mode d emploi Le tableau ci-dessous décrit un spectre à 5% d amortissement de pseudo accélération absolue normalisée, désignée par (grandeur sans dimension). NB : la figure est donnée à titre indicatif ; on utilisera le tableau. f,,55,3,5,5,44 3,5 4,8 5,8 7,,5 5 f : fréquence en Hz : pseudo accélération absolue normalisée Spectre de réponse normalisé à 5% d'amortissement,, fréqence, en Hz Rappel de cours : Pour un mouvement sismique décrit par - son maximum d accélération en valeur absolue au cours du temps,, - le spectre normalisé ci-dessus, la pseudo accélération maximale à la fréquence f, pour un amortissement de 5%, s écrit : a =, où est lue dans le tableau ci-dessus. Calcul de = S(f,) pour des valeurs non tabulées de f et. Pour déterminer une valeur de correspondant à une fréquence, f, et/ou à un amortissement, non tabulés, on procèdera comme suit : a) interpolation linéaire en fréquence, b) extrapolation dans le domaine des amortissements selon la formule : S(f,) = S(f,5) (5/) /, en %. Par exemple, pour trouver = S(,6 Hz, 7%), on procèderait comme suit : a) interpolation en fréquence : S(,6, 5) = S(,5, 5) + [(,6-,5)/(-,5)] [S(, 5) S(,5, 5)] =,44 +,.,56=,55. b) extrapolation en amortissement: S(,6, 7) = S(,6, 5) (5/7) / =,55.,845 =,47.

7 MASTER de Génie Civil, Lyon DYNAMIQUE DES SOLS ET DES STRUCTURES Epreuve du 6 mars 7 ; Sujet No, Corrigé. k E = k + k + k 3 = k = 93 6 N/m ; E ² = k E / m = 93/,3 = 3 ; f E = E / =,8 Hz. E = a / E ² = (f E, E ) / E ² =.,4 / 3 = 5,5 mm ; F E = k E E = 44,5 4 N..3 E = 3 E B / h² ; Poteau : E =,55-3 < e ; Poteau : E = 3, -3 > e. On a plastifié le poteau. Dans ce calcul on reste en deçà de la limite d élasticité pour les poteaux et 3 ; mais en conclure qu on ne les plastifie pas serait hâtif car la plastification du poteau crée un report de charge vers les autres poteaux ( voir la question.6).4 Le point A correspond au franchissement du seuil de plasticité du poteau ; le point B au franchissement du seuil pour les poteaux et 3. Le point U correspond à la limite ultime dans le poteau puisque celle-ci est atteinte la première. x F A cm 93 4 N B cm,6 4 N U 6 cm,6 4 N.5 Il suffit de reprendre le calcul de la question. en limitant le déplacement à la valeur x A = cm. Il vient : A = E x A / x E =,9 ms -..6 Pour =x B il vient k B =F B /x B =,6 4 /,=55,8 6, d où B ² k B /m = 86 et f B =,7 Hz Avec les valeurs du tableau, la formule de l énoncé s écrit : eq = 4 +, en cm ; B = 6%. (,7, 6) =,85.,93 =,9. On applique la formule déjà utilisée au. : = a /² = (f,) / ² avec les caractéristiques du point B pour en déduire B = B ² x B / B,96 ms -. Remarque : Contrairement à ce qu on aurait pu hâtivement déduire des résultats du. on est amené à la conclusion qu on plastifie aussi les poteaux et 3 pour = ms -..7 Le principe du calcul est le même qu au.6 : k U = 8,6 6, U ² = 6 ; f U =,5 Hz ; U = % ; U =,884 ;. U = ms -..8 Il suffit de reprendre le calcul de la question. en limitant l effort sur la masse à,6 4 N. Il vient : U = E F U / F E =,55 ms -. Cette méthode basée sur une approche «en forces» ne rend pas compte des capacités de déformation ductile de la structure. Elle conduirait au même résultat quelle que soit cette capacité de déformation. Elle procure des marges, mais ces marges ne sont pas contrôlées. L approche développée dans les questions.6 et.7 permet d accéder à cette marge en décrivant la capacité de déformation ductile de la structure. Si on souhaite disposer d une marge explicite, celle-ci est alors à rechercher dans la capacité de déformation qu on retient pour le calcul (dite «ultime») par rapport à la capacité réelle de la structure.

8 . Le principe du calcul est le même qu au.6 : k =,3 6, ² = 74,4 ; f =,37 Hz ; = 9%.. Mode Mode.3 La formule de corrélation simplifiée s écrit : f f avec, soit dans notre cas : f f.4 = (f, ) / ² = (f, ) / ² d où Et de même f f f f..5 Le schéma de la question. montre que le maximum du déplacement différentiel x x vaut = - dans le mode et = + dans le mode. On estime ensuite par la formule du cours : ² = ² + + ², ce qui donne ici : ² = ² - + ². Il vient alors : [ ], soit [ ] / pour ² << /,4, Il faut remarquer que / peut être de l ordre de même avec e² <<. et donc au voisinage de.,8,6 On obtient le graphe ci contre. On observe en particulier que / = pour,4,,5,5.6 Dans notre exemple on a donc =,5, soit =,67. Bien que les bâtiments soient réputés identiques (et que leur réponses soient voisines), on constate sur le graphe qu on devra considérer que leur déplacement différentiel n est pas faible. Au contraire il est supérieur au déplacement de l un ou de l autre pris séparément. Il faudra ménager entre les bâtiments un joint supérieur à pour éviter qu ils s entrechoquent.

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