Fiche 2 : les fonctions

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Fiche 2 : les fonctions"

Transcription

1 Nº : 300 Fice : les foctios Pl de l fice I - Limites, comportemet symptotique II - Dérivtio III - Cotiuité I - Limites, comportemet symptotique Défiitios Ue foctio f pour ite e lorsque : l foctio f est défiie sur u itervlle ilité à droite ; tout itervlle ilité à droite cotiet toutes les vleurs prises pr l foctio, l vrible étt suffismmet rde O ote f = ou f ( ) = Ue foctio f pour ite e lorsque : l foctio f est défiie sur u itervlle ilité à uce ; tout itervlle ilité à droite cotiet toutes les vleurs prises pr l foctio, l vrible étt étive et de vleur bsolue suffismmet rde O ote f = ou f ( ) = Ue foctio f pour ite e lorsque : l foctio f est défiie sur u itervlle ilité à droite ; tout itervlle ilité à uce cotiet toutes les vleurs prises pr l foctio, l vrible étt suffismmet rde O ote f = ou f ( ) = Ue foctio f pour ite e lorsque : l foctio f est défiie sur u itervlle ilité à uce ; tout itervlle ilité à uce cotiet toutes les vleurs prises pr l foctio, l vrible étt étive et de vleur bsolue suffismmet rde O ote f = ou f ( ) = Ue foctio f pour ite u réel e lorsque : l foctio f est défiie sur u itervlle ilité à droite ; tout itervlle ouvert cotet cotiet ussi toutes les vleurs prises pr l foctio, l vrible étt suffismmet rde O ote f = ou f ( ) = Ue foctio f pour ite u réel e lorsque : l foctio f est défiie sur u itervlle ilité à uce ; tout itervlle ouvert cotet cotiet ussi toutes les vleurs prises pr l foctio, l vrible étt étive et de vleur bsolue suffismmet rde O ote f = ou f ( ) = Ue foctio f pour ite e réel lorsque : l foctio f est défiie soit sur u itervlle qui cotiet, soit sur u itervlle ouvert dot est ue bore ; tout itervlle ilité à droite cotiet toutes les vleurs prises pr l foctio, l vrible étt suffismmet proce de O ote f = ou f ( ) = Ue foctio f pour ite e réel lorsque : l foctio f est défiie soit sur u itervlle qui cotiet, soit sur u itervlle ouvert dot est ue bore ; tout itervlle ilité à uce cotiet toutes les vleurs prises pr l foctio, l vrible étt suffismmet proce de O ote f = ou f ( ) = Ue foctio f pour ite u réel e réel lorsque : l foctio f est défiie soit sur u itervlle qui cotiet, soit sur u itervlle ouvert dot est ue bore ; Tous droits réservés Studyrm 00 Fice télécrée sur wwwstudyrmcom E prterit vec :

2 Nº : 300 tout itervlle ouvert cotet cotiet ussi les vleurs prises pr l foctio, l vrible étt suffismmet proce de O ote f = ou f ( ) = Asymptotes Asymptote orizotle : lorsque f = ou f = ( réel), l courbe représettive de f dmet l droite d équtio y = pour symptote orizotle Asymptote verticle : lorsque f = ou f = ( réel), l courbe représettive de f dmet l droite d équtio = pour symptote verticle f α + β = ou ( f ( ) ( α +β ) = 0, l courbe représettive de f dmet l Asymptote oblique : lorsque ( ( ) ( ) 0 droite d équtio y = α + β pour symptote oblique Métode : «Motrer qu ue droite est ue symptote oblique», fice eercices «Les foctios» Limites et opértios L lettre désie soit u réel, soit Somme Si f = ' Si f = et = Si f = b et = Si f = et = Si f = et = Produit Si f = et ' Si f = > 0 et = Si f = > 0 et = Si f = > 0 et = Si f = > 0 et = Si f = et = Si f = et = Si f = et = = lors ( + ) = + ' lors ( f +) = lors ( f +) = lors ( +) = lors ( +) =, soit Les lettres et désiet des réels f f f = lors ( ) = ' lors ( ) = lors ( ) = lors ( ) = lors ( ) = lors ( f ) = lors ( f ) = lors ( f ) = Iverse Si = et 0 lors = = Si = 0 et > 0 lors = = Si = 0 et < 0 lors = = Si = lors = = 0 Si = lors = = 0 f f f f f Il est essetiel de rder à l esprit que ces téorèmes sot des coditios suffistes Les cs o evisés sot des «formes idétermiées» qui demdet à être étudiées cs pr cs Tous droits réservés Studyrm 00 Fice télécrée sur wwwstudyrmcom E prterit vec :

3 Nº : 300 Pour détermier des ites À SAVOIR FONCTIONS DE RÉFÉRENCE est u etier strictemet positif = ; = ; 0 = ; = 0 0 ; = 0 ; = 0 0, > 0 ; = 0 si = 0 ; ; = 0, < 0 ; = 0, < 0 ; A propos des ottios : = 0, > 0 siifie que c est l foctio ] 0, + [ ; qui pour ite lorsque l vrible ted vers zéro = siifie que c est l foctio 0, < 0 ],0[ ; qui pour ite lorsque l vrible ted vers zéro Métode : «Clculer des ites», fice eercices «Les foctios» Téorèmes de compriso L lettre désie soit u réel, soit foctios, soit Les lettres et désiet des réels Les lettres f,, u et v désiet des Si f u voisie de et si f = lors = Si f u voisie de et si f = lors = Si u f v u voisie de et si u = et v = lors f = (téorème des edrmes) Si f u voisie de et si f = et = ' lors Limite d ue foctio composée Ccue des lettres, et désie u réel, ou Les lettres u et v désiet des foctios Si u = et v = ' lors v u = ' Tous droits réservés Studyrm 00 Fice télécrée sur wwwstudyrmcom E prterit vec :

4 Nº : 300 Eemples : ) ( ) = et t t = etrîet si t b) = 0 et = 0 etrîet si = cr t si si = pour > 0 = Foctios et suites Si f = lors ( f ( ) = Si ( u ) = et f = lors ( f ( u ) = Eemples : ) L suite si covere vers cr si =, d près l eercice précédet > 0 si si b) L suite covere vers 0 et l foctio pour ite e 0 Il e résulte que l suite > 0 covere vers O retrouve le résultt ci-dessus > 0 II - Cotiuité Défiitios Ue foctio f défiie sur u itervlle I est cotiue e pprtet à I lorsque f ( ) Elle est cotiue sur l itervlle I lorsqu elle est cotiue e tout poit de I f = Propriétés Toute foctio usuelle est cotiue sur tout itervlle sur lequel elle est défiie Ue somme, u produit de foctios cotiues sur I est ue foctio cotiue I L iverse d ue foctio cotiue sur I et qui e s ule ps sur I est cotiu sur I Téorème des vleurs itermédiires Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle I et deu réels et b pprtet à I et tels que < b Pour tout réel k compris etre f () et f (b), il eiste u réel c compris etre et b tel que f (c) = k Cel reviet à eprimer que le réel c est ue solutio de l équtio f () = k ds l itervlle I Corollire Pour que l équtio f () = 0 dmette ue solutio ds l itervlle I il suffit que l foctio f soit cotiue sur l itervlle I et qu il eiste ds cet itervlle deu réels dot les imes sot de sies cotrires Foctio cotiue strictemet mootoe Soit f ue foctio cotiue et strictemet mootoe sur u itervlle [, b] Pour tout réel k compris etre f () et f (b), il eiste u réel c et u seul pprtet à l itervlle [, b] tel que f (c) = k Cel reviet à eprimer que le réel c est l uique solutio de l équtio f () = k ds l itervlle [, b] Corollire Pour que l équtio f () = 0 dmette ue solutio et ue seule ds l itervlle I, il suffit que l foctio f soit cotiue et strictemet mootoe sur l itervlle I et qu il eiste ds cet itervlle deu réels dot les imes sot de sies cotrires Tous droits réservés Studyrm 00 Fice télécrée sur wwwstudyrmcom E prterit vec :

5 Nº : 300 Eemple : Résoudre ds [0, ] l équtio cos = L foctio f : cos est cotiue et strictemet croisste (somme des foctios et cos cotiues et strictemet croisstes sur [0, ]) Les imes des bores de l itervlle [0, ] sot et cos, réel strictemet étif, elles ecdret doc 0 Pr suite il eiste u réel c uique pprtet à [0, ] tel que f () = 0 Métode : «Résoudre ue équtio», fice eercices «Les foctios» Métode : «Ecdrer ue solutio d ue équtio du type f () = 0», fice eercices «Les foctios» III - Dérivtio Défiitios Soit f ue foctio défiie sur u itervlle I et u réel pprtet à I Les propositios suivtes sot équivletes : f ( ) f ( ) il eiste u réel tel que = ; f ( + ) f ( ) il eiste u réel tel que = 0 ; il eiste u réel et ue foctio ε tels que f () f () = ( ) + ( ) ε ( ) pour suffismmet proce de, vec ε( ) = 0 ; il eiste u réel et ue foctio ε tels que f ( + ) f () = + ε () pour suffismmet petit, vec ε( ) = 0 0 Lorsque ces propositios sot stisfites, o dit que l foctio f est dérivble e et que le réel e Eemples : est le ombre dérivé de f Etudier l dérivbilité de f e et détermier, le cs écét, le ombre dérivé de f e ) f : et = ( + ) f ( + ) f ( ) + + = = = pour o ul et suffismmet petit De =, il résulte que f est dérivble e et le ombre dérivé est b) f : + et = 0 f () f (0) = + ε () vec ε () = Doc f est dérivble e 0 et le ombre dérivé est c) f : et = 0 0 = pour > 0 et 0 = prouvet que f est ps dérivble e 0 d) f : et = 0 0 pour > 0 = Doc f est ps dérivble e 0 Cepedt o dit qu elle est dérivble à uce et à droite, pour < 0 le ombre dérivé à uce étt et le ombre dérivé à droite étt Cotiuité et dérivbilité Si ue foctio est dérivble e réel lors elle est cotiue e Les foctios et sot cotiues e 0 et o dérivbles e 0 Pour qu ue foctio soit cotiue e réel, il est suffist, mis o écessire, qu elle soit dérivble e Pour qu ue foctio soit dérivble e réel, il est écessire, mis o suffist, qu elle soit cotiue e Tous droits réservés Studyrm 00 Fice télécrée sur wwwstudyrmcom E prterit vec :

6 Nº : 300 Foctio dérivée Lorsqu ue foctio f est dérivble e tout poit d u itervlle I, o dit qu elle est dérivble sur I L foctio f, qui à tout poit de I ssocie le ombre dérivé de f e, est l foctio dérivée de f Désormis le ombre dérivé de f e est oté f () Foctios usuelles f () f () Coditios sur I ucue vec >, ucue vec < 0, 0 I 0 I I ] 0,+ [ si > 0 si < 0 0 I si cos ucue cos si ucue t + t = cos I {, cos 0} Tete Lorsqu ue foctio f est dérivble e l droite de coefficiet directeur f () qui psse pr le poit A(, f ()) est l tete e A à l courbe représettive de f Cette droite pour équtio y = ( ) f ()+ f () Dérivtio et opértios Si les foctios u et v sot dérivbles ds l itervlle I lors les foctios u + v et uv sot dérivbles ds I u Si les foctios u et v sot dérivbles ds l itervlle I et si v e s ule ps ds I lors l foctio est dérivble ds I v Si l foctio u est dérivble ds I lors l foctio u est dérivble ds I pour tout etier turel o ul Si l foctio u est dérivble ds I et e s ule ps ds I lors l foctio u est dérivble ds I pour tout etier reltif strictemet étif Si l foctio u est dérivble ds l itervlle I et si l foctio v est dérivble ds l itervlle J tel que u(i) est iclus ds J lors v u est dérivble ds I Si l foctio u est dérivble ds I et est strictemet positive ds I lors l foctio u est dérivble ds I Formules à ppliquer selo les téorèmes ci-dessus (u + v) = u + v (uv) = u v + uv u u 'v u v' = v v ( u ) = u u ' ( v u) = ( v' u) u ' u ' u = u ( ) Ces téorèmes sot des coditios suffistes et o ps des coditios écessires A ce sujet, se reporter u poit métode idiqué ci-dessous Métode : «Etudier l dérivbilité d ue foctio sur u itervlle», fice eercices «Les foctios» Tous droits réservés Studyrm 00 Fice télécrée sur wwwstudyrmcom E prterit vec :

7 Nº : 300 Eemples : ) L foctio f : est dérivble ds ], [ et '( ) = 3 ( ) ( ) 3 π b) L foctio : cos 3 6 est dérivble ds et '( ) = 3 si 3 c) L foctio : 3 est dérivble ds [, ] et ( ) 6 3 f pour ], [ = ( ) 4 π pour tout 6 3 ' = pour [, ] 3 Du bo use de l djectif «dérivble» Cet djectif doit être eclusivemet suivi d ue locutio d u des types suivts : «e réel», «ds l itervlle» Aisi, écrire : «l foctio f : est dérivble ds l itervlle ], [ et ds l itervlle ], [» est correct, écrire : «l foctio f : est dérivble ds ], [ ], [» est icorrect ( ) 3 ( ) 3 Vritios d ue foctio dérivble Soit f ue foctio dérivble sur u itervlle I Si f est strictemet positive sur I suf peut-être e des poits isolés où elle s ule lors f est strictemet croisste sur I Si f est strictemet étive sur I suf peut-être e des poits isolés où elle s ule lors f est strictemet décroisste sur I Si f est ulle sur I lors f est costte sur I Eemple : L foctio s ule 4 est strictemet croisste sur cr s dérivée est strictemet positive sur suf e 0 où elle Etremum Soit f ue foctio dérivble sur u itervlle ouvert I et u élémet de I Si f dmet u etremum locl e lors f () = 0 Si f s ule e e cet de sie lors f dmet u etremum locl e Métode : «Optimiser», fice eercices «Les foctios» Métode : «Etblir ue iélité sur u itervlle», fice eercices «Les foctios» Métode : «Résoudre ue équtio», fice eercices «Les foctios» Métode : «Utiliser ue foctio uiliire pour étudier ue foctio f», fice eercices «Les foctios» Métode : «Ecdrer f (α) lorsque l foctio f présete u etremum e α», fice eercices «Les foctios» Tous droits réservés Studyrm 00 Fice télécrée sur wwwstudyrmcom E prterit vec :

1 Convergence simple et convergence uniforme

1 Convergence simple et convergence uniforme Mster Métiers de l Eseigemet, Mthémtiques - ULCO, L Mi-Voi, 0/03 ANALYSE Fiche de Mthémtiques 5 - Suites et séries de foctios Soiet E et F deu espces métriques quelcoques et (f ) ue suite d pplictios de

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

Cours (Terminale S) Limite d une fonction

Cours (Terminale S) Limite d une fonction Cours (Termile S) Limite d ue octio Limite d ue octio e + ou Foctio déiie u voisige de + (resp ) Soit ue octio d esemble de déiitio D O dir que «l octio est déiie u voisige de + (resp )» s il eiste u réel

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

Résumé sur les Intégrales Impropres & exercices supplémentaires

Résumé sur les Intégrales Impropres & exercices supplémentaires L-MATH II-(25-26). Résumé sur les Intégrles Impropres & eercices supplémentires Une fonction définie sur un intervlle I est dite loclement intégrble sur I si f est Riemnnintégrble sur tout intervlle [,

Plus en détail

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C. 16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme

Plus en détail

2009/2010. Elaboré par : ALI AKIR

2009/2010. Elaboré par : ALI AKIR BAC MATHS 9/ Cors et 8 eercices Elboré pr : ALI AKIR Doe des cors prticliers e mthémtiqes por tos les ive Pls d iformtios : Cotcter à GSM : 4 96 4 Emil : kircm@gmilcom Site Web : http://mths-kirmidiblogscom/

Plus en détail

2 Exercice 15 : les intégrales de Wallis

2 Exercice 15 : les intégrales de Wallis Exercice sur les itégrles Exercice 5 : les itégrles de Wllis O pose si xdx ) Clculer I et I ) Motrer que l suite ( ) coverge 3) Etblir ue formule de récurrece etre et 4) Motrer que le produit ( + ) + est

Plus en détail

Chapitre 1 Calculs algébriques dans... 3. Chapitre 2 Logique... 27. Chapitre 3 Fonctions numériques... 41. Chapitre 4 Calcul intégral...

Chapitre 1 Calculs algébriques dans... 3. Chapitre 2 Logique... 27. Chapitre 3 Fonctions numériques... 41. Chapitre 4 Calcul intégral... Avt-propos Cet ouvrge est coçu pour permettre u étudits des clsses préprtoires ECE d order leur première ée ds les meilleures coditios e fcilitt l trsitio vec l eseigemet secodire Aisi, l ojectif est i

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

Intégration sur un intervalle compact de IR

Intégration sur un intervalle compact de IR PREMIERE PARTIE Itégrtio sur u itervlle compct de IR CHAPITRE I PSEUDO-MESURES, MESURES, FONCTIONNELLES SOMMABLES SUR [,b] Comme océ ds l itroductio, ce premier chpitre pour objectif de fourir le plus

Plus en détail

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan.

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan. Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable FNCTIN RECIPRQUE D'UNE FNCTIN CNTINUE, D'UNE FNCTIN DERIVABLE EXEMPLES N SE LIMITERA AUX FNCTINS NUMERIQUES DEFINIES SUR UN INTERVALLE DE R Notatios

Plus en détail

4. Puissances et racines

4. Puissances et racines PUISSANCES ET RACINES 4. Puissces et rcies 4.. Puissces à exposts etiers Défiitio L puissce ième d'u ombre réel est u produit de fcteurs tous égux à : =, =, etc. O dit que est l bse de l puissce et l'expost.

Plus en détail

Dans ce cas de figure, on voit que f(x) prend des valeurs très proche de l quand x devient très grand.

Dans ce cas de figure, on voit que f(x) prend des valeurs très proche de l quand x devient très grand. Chpitre IV : Limites de foctios I. Limite d ue foctio et symptotes. Limite fiie e l ifii Eemple : C f est l courbe représettive de l foctio f. Ds ce cs de figure, o voit que f() pred des vleurs très proche

Plus en détail

1. Limites. Les limites dans la vie courante. Vitesse instantanée. Pente d'une courbe en un point LIMITES

1. Limites. Les limites dans la vie courante. Vitesse instantanée. Pente d'une courbe en un point LIMITES LIMITES. Limites.. Les ites ds l vie courte Vitesse isttée L otio de vitesse, et e prticulier l vitesse d'u objet à u istt précis, est, étommet, subtile et difficile à défiir précisémet. Cosidérez cette

Plus en détail

Limite et continuité d une fonction

Limite et continuité d une fonction Limite et cotiuité d ue octio 1 Limites iies Soit ue octio et D so domie de déiitio. Déiitio 1 : O dit que le ombre réel est u poit dhéret de D si >, D et tel que - < ( - < < + ). Le ombre est dit isolé

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009 Bcclurét S Nouvelle - Clédoie Mrs 009 Exercice Commu à tous les cdidts (5 poits) r r Le pl est rpporté à u repère orthoorml direct ( O, u, v) d uité grphique cm O cosidère les poits et B d ffixes respectives

Plus en détail

Agrégation de Mathématiques 2012-2013. Intégration

Agrégation de Mathématiques 2012-2013. Intégration Agrégtio de Mthémtiques -3 CMI Uiversité d Aix-Mrseille Itégrtio. Itégrles défiies. Subdivisio. Soiet et b deux ombres réels tels que < b. O ppelle subdivisio de l itervlle [, b] toute suite fiie strictemet

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL Corrigé du baccalauréat Polyésie 6 jui 4 STID STL spécialité SPCL EXERCICE 4 poits Cet eercice est u questioaire à choi multiples. Pour chacue des questios suivates, ue seule des quatre réposes proposées

Plus en détail

DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S

DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S 1 SUITES Propriété : Si q > 1 lors lim + q = + D1 - Démostrtio u progrmme (eigible BAC) : Prérequis : Pour tout etier turel, o : ( ) pr récurrece) O suppose que

Plus en détail

Terminale S (2014-2015) Suites numériques

Terminale S (2014-2015) Suites numériques Termiale S (04-05) Suites umériques Raisoemet par récurrece. Itroductio E Mathématiques, u certai ombre de propriétés dépedet d u etier aturel. Par exemple, la ( + ) somme des etiers aturels de à est égale

Plus en détail

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio

Plus en détail

Limites de fonctions. que l'on veut" (respectivement "négatif et aussi grand que l'on veut en valeur absolue") dès que x est "assez grand".

Limites de fonctions. que l'on veut (respectivement négatif et aussi grand que l'on veut en valeur absolue) dès que x est assez grand. Termile S Ch7 Limites de foctios I Limite d'ue foctio e l'ifii / Limite ifiie Approche ituitive Dire qu'ue foctio f dmet pour limite (respectivemet ) e sigifie que f ( ) peut être "ussi grd que l'o veut"

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

Les intégrales. f(x) dx. f(x) dx est appelée intégrale définie, c est un nombre. La variable x ne sert qu à décrire la fonction f, on a b

Les intégrales. f(x) dx. f(x) dx est appelée intégrale définie, c est un nombre. La variable x ne sert qu à décrire la fonction f, on a b Les intégrles Introduction Etnt donnée une fonction positive f définie sur un intervlle borné [, b], on veut évluer l ire comprise entre l e des bscisses, l courbe représentnt f et les verticles = et =

Plus en détail

7 Fonctions d une variable réelle

7 Fonctions d une variable réelle 7 Foctios d ue vrile réelle 7.1 Cotiuité Pour ce chpitre les référeces clssiques ([Liret Mrtiis, Lelog-Ferrd Arudiès, Moier Alyse, Rmis Deschmps Odou] etc. ) 7.1.1 Défiitios des limites et cotiuité O défiit

Plus en détail

Primitives et intégrales

Primitives et intégrales Termile S Primitives et itégrles Note : Ds tout ce cours, les ires sot eprimées e uité d ire (u. : ire du rectgle de côté ds u repère orthogol) et les volumes sot eprimés e uité de volume (u.v : volume

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Centrale PSI 1 un corrigé

Centrale PSI 1 un corrigé Cetrle PSI u corrigé L foctio Γ. I.A. f : t t e t est cotiue sur R + ; les seuls problèmes d itégrbilité sot u voisiges de et de +. - Au voisige de, f (t) t est itégrble si et seulemet si < (foctios de

Plus en détail

Fiche 2 : Les fonctions

Fiche 2 : Les fonctions Nº : 300 Fiche : Les foctios Calculer des limites O commece par aalyser f (). Peut o directemet appliquer l u des théorèmes du cours (limites et opératios, théorèmes de comparaiso)? Das la égative, il

Plus en détail

1. Justifier que l intégrale I est l aire d une partie du plan que l on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie).

1. Justifier que l intégrale I est l aire d une partie du plan que l on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). Atilles-ue septembre 0 EXERCICE poits Commu à tous les cdidts O cosidère l foctio f défiie ] 0 ; + [ pr : f () = l Prtie A : Étude d ue foctio Détermier l limite de l foctio f e + b Détermier l limite

Plus en détail

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces 013-014 Feuille : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissemets fiis, étude des variatios Les eercices sas ( ) sot des applicatios directes du cours.

Plus en détail

TS Fonction logarithme népérien (1)

TS Fonction logarithme népérien (1) TS Foctio logritme épérie () Logos : rpport riso Aritmos : ombre Néper : stroome écossis du XVI e siècle I. Géérlités ) Défiitio Nous dmettros provisoiremet qu il eiste ue uique foctio f défiie sur ]0

Plus en détail

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice Mots de logueur doée à base de lettres, et foctio géératrice Cosidéros les mots de logueur à base de lettres, avec etier positif. ) Combie existe-t-il de tels mots? La première lettre du mot est l ue des

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

c) représentation graphique T est la tangente à C exp au point A d abscisse 0. Une équation de T est de la forme : y = x + 1.

c) représentation graphique T est la tangente à C exp au point A d abscisse 0. Une équation de T est de la forme : y = x + 1. Chapitre VI : Foctio expoetielle I. La foctio expoetielle a) Défiitio La foctio expoetielle, otée exp, est la foctio défiie sur! par exp(x) = e x, e x état l uique ombre réel strictemet positif dot le

Plus en détail

CHAPITRE 15 : PUISSANCES D EXPOSANTS REELS - FONCTIONS PUISSANCES - CROISSANCES COMPAREES

CHAPITRE 15 : PUISSANCES D EXPOSANTS REELS - FONCTIONS PUISSANCES - CROISSANCES COMPAREES Croisscs comprés Cours CHAPITRE 5 : PUISSANCES D EXPOSANTS REELS - FONCTIONS PUISSANCES - CROISSANCES COMPAREES. Puisscs d posts réls b.. L ottio Défiitio b R, R, o ot l rél + b bl Propriété b R, b' R

Plus en détail

λ(c) = De la question 2., déduire la majoration de l erreur commise en remplaçant l arc de courbe par sa corde sur le segment [a, b] :

λ(c) = De la question 2., déduire la majoration de l erreur commise en remplaçant l arc de courbe par sa corde sur le segment [a, b] : PCSI DEVOIR de MATHÉMATIQUES 4 pour le 5// EXERCICE : Soit f : [, b] IR ue foctio de clsse C O ote M = mx [,b] f Justifier l existece de M Motrer qu il existe ue uique foctio ffie ϕ telle que ϕ = f et

Plus en détail

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

Chapitre 7: Calculs approchés d intégrale

Chapitre 7: Calculs approchés d intégrale Lycée Mssé Chpitre 7: Clculs pprochés d itégrle 1 Itroductio Les foctios usuelles qu o mipule possèdet souvet des primitives que l o peut exprimer à l ide des foctios usuelles. Cepedt, ce est ps le cs

Plus en détail

Intégration et primitives

Intégration et primitives DERNIÈRE IMPRESSIN LE 8 mrs 24 à 4:2 Itégrtio et primitives Tle des mtières Notio d itégrle 2. Défiitio................................. 2.2 Exemple de clcul d itégrle : l qudrture de l prole.... 3.3 Itégrle

Plus en détail

Théorème de convergence dominée

Théorème de convergence dominée [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le juillet 4 Eocés Théorème de covergece domiée Eercice [ 9 ] [correctio] Clculer les ites des suites dot les termes gééru sot les suivts : ) u = π/4 t b) v = + e Eercice

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Centre Régional des Métiers de l Éducation et de la Formation MARRAKECH

Centre Régional des Métiers de l Éducation et de la Formation MARRAKECH R O Y A U M E D U M A R O C Miistère de l Educatio Natioale et de la Formatio Professioelle Cetre Régioal des Métiers de l Éducatio et de la Formatio Académie Régioale de l Éducatio et de la Formatio Marrakech-Tesift

Plus en détail

Comportement asymptotique

Comportement asymptotique Comportemet asymptotique NB: Les phrases écrites etre guillemets e italique sot écessaires à la compréhesio de la otio de ite, mais sot peu utilisées das la pratique où l o fait plutôt appel au propriétés

Plus en détail

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède).

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède). #4 Itégrale de Riema Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel Exercice Soit f ue foctio cotiue sur [, ] telle que Motrer que f ab f(t)dt = O pose a = mi f et b = max f Exercice x ) Motrer

Plus en détail

Intégration et calcul de primitives

Intégration et calcul de primitives École polytechique Itégrtio et clcul de primitives Tble des mtières Les foctios usuelles. Foctios primitives et foctios réciproques................... Les foctios logrithme et epoetielle......................3

Plus en détail

Suites géométriques suite géométrique suite géométrique de raison q

Suites géométriques suite géométrique suite géométrique de raison q Sites géométriqes Itrodctio : M. Fiace dispose d e somme de 5 FF et désire faire frctifier so pactole ; por cela il va voir so baqier qi li propose de optios : e agmetatios forfaitaire, aelle, de 5 F =

Plus en détail

CAPES épreuve 1 session 2014

CAPES épreuve 1 session 2014 ... CAPES épreuve 1 sessio 214 A. P. M. E. P. Problème 1 : sommes de Riem Ds ce problème, o suppose itroduite à l ide des foctios e esclier l otio d itégrle u ses de Riem d ue foctio. Prtie A : covergece

Plus en détail

Corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat S de la Réunion /5 N 2 4/5 R 2 R 3 3/5 4/ c) Comme dans la question précédente :

Corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat S de la Réunion /5 N 2 4/5 R 2 R 3 3/5 4/ c) Comme dans la question précédente : Corrigé de l épreuve de mthémtiques du bcclurét S de l Réuio 5 Eercice ) Les propositios b) et c) sot vries ) Les propositios b) et d) sot vries Les propositios b) et d) sot vries 4) Les propositios b)

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Algorithmique sur les automates. Recherche de motifs. On cherche toutes les occurrences

Algorithmique sur les automates. Recherche de motifs. On cherche toutes les occurrences Algorithmiqe r le tomte Recherche de motif O cherche tote le occrrece. Algorithme tilit de tomte Recherche de motif. Recherche de réglrité. Compreio.. Algorithme por l étde de tomte Compleité d étt : coût

Plus en détail

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie A CORRIGE DE LA ère COMPOSITION DE MATHEMATIQUES Eercice. Calculer, e, la dérivée de : Arc ta( ) Soit f ( ) Arc ta( ), alors f ( ) Arc ta( )

Plus en détail

E(X i ) par linéarité de l espérance.

E(X i ) par linéarité de l espérance. Statistiques appliquées. L3 Iterrogatio Questios de cours. 3 poits 1) Eocer le théorème cetral limite (1 pt). Si (X ) est ue suite de v.a. idépedates et de même loi, admettat des momets d ordre u et deux

Plus en détail

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot Septembre 2 CPI 37 Exercices Agès Bachelot Table des matières - Séries Numériques.......................................... 3 - Séries à termes positifs.................................... 3-2 Séries quelcoques......................................

Plus en détail

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3 LES SUITES. Défiitio.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique et u désige l'image de l'etier (appelé

Plus en détail

Calcul de déterminants

Calcul de déterminants [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le juillet 4 Eocés Clcul de détermits Exercice [ 693 ] [correctio] Clculer le détermit + x (x) où x,,, réels (x) + x Exercice 5 [ 386 ] [correctio] Soit λ,, λ C disticts

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france. Exo7 Applicatios liéaires cotiues, ormes matricielles Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr Exercice * * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile

Plus en détail

Théorème de Rolle et formules de Taylor

Théorème de Rolle et formules de Taylor Théorème de Rolle et formules de Tylor 1 Extrémums des fonctions différentibles à vleurs réelles 1. Soient K un compct d un espce vectoriel normé (E, ) et f une fonction définie sur K à vleurs dns R. Montrer

Plus en détail

Calculs de ζ(2) = n 2. 1 n. 1) 1er calcul de. . En voici. n 2. De nombreux développements en série de Fourier fournissent la valeur de 1. un exemple.

Calculs de ζ(2) = n 2. 1 n. 1) 1er calcul de. . En voici. n 2. De nombreux développements en série de Fourier fournissent la valeur de 1. un exemple. Clculs de ζ er clcul de u exemple De ombreux développemets e série de Fourier fourisset l vleur de E voici Soit f l foctio défiie sur R à vleurs ds R, π-périodique telle que x [ π, π], fx x y fx 6 5 4

Plus en détail

b) Par définition, ln 1 est le nombre dont l'exponentielle est 1. Or e = 1. Donc ln 1 = 0 2) Traduction de la définition.

b) Par définition, ln 1 est le nombre dont l'exponentielle est 1. Or e = 1. Donc ln 1 = 0 2) Traduction de la définition. Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page sur 2 I) Défiitio et propriétés algébriques : ) La foctio : Défiitio : La foctio logarithme épérie, otée, est la foctio défiie sur ;+ qui, à tout réel >

Plus en détail

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3.

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3. T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l ure : Si la boule

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

IV. La fonction logarithme népérien

IV. La fonction logarithme népérien 04_fct _LDOC /5 IV La foctio logarithme épérie / Défiitio et premières propriétés a) Défiitio La foctio logarithme épérie, otée l est l uique foctio défiie sur ]0; [ dot la dérivée est et qui s aule e

Plus en détail

TS ROC Année 2014/2015

TS ROC Année 2014/2015 TS ROC Aée 214/215 Commetires : - Les ROC mrquées d u fot prtie des cpcités ttedues et sot doc eigibles. - Les ROC mrquées sot difficiles. - Lorsqu ue ROC est ccompgée de questios, il fut se lisser guider

Plus en détail

Dérivées des fonctions de référence Du nombre dérivé à la fonction dérivée. 1 ère S. f a h f a k k h h. Objectifs : f a h f a lim 0

Dérivées des fonctions de référence Du nombre dérivé à la fonction dérivée. 1 ère S. f a h f a k k h h. Objectifs : f a h f a lim 0 ère S Objectifs : Dérivées des foctios de référece Du ombre dérivé à l foctio dérivée Poursuivre l objet d étude des deu cpitres précédets : l tgete à ue courbe Psser de l otio de ombre dérivé à l otio

Plus en détail

PUISSANCES D'EXPOSANTS REELS, FONCTIONS PUISSANCES, CROISSANCES COMPAREES

PUISSANCES D'EXPOSANTS REELS, FONCTIONS PUISSANCES, CROISSANCES COMPAREES PUISSANCES D'EXPOSANTS REELS, FONCTIONS PUISSANCES, CROISSANCES COMPAREES ) PUISSANCES D'EXPOSANTS REELS A ) La otatio a Si est u etier aturel, la otatio a a u ses pour tout réel a Das le cas où est u

Plus en détail

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3.

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3. Mathématiques Devoirs de Vacances MPSI/PCSI août 5 Partie I : Manipulation d inégalités Eercice Soit m un réel Déterminer l'ensemble E des réels tels que e + e l'ensemble E des réels tels que (m + + m

Plus en détail

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS . Qu'est-ce qu'une fonction? Vocabulaire GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Définition Notion de fonction À chaque fois que l'on associe à une quantité une (autre) quantité, on dit que que l'on définit une

Plus en détail

EXPOSE 73 : FORMULES DE TAYLOR. APPLICATIONS. Pré-requis : Intégrale, intégration par parties Théorème de Rolle Règle de L Hôpital.

EXPOSE 73 : FORMULES DE TAYLOR. APPLICATIONS. Pré-requis : Intégrale, intégration par parties Théorème de Rolle Règle de L Hôpital. ETIENNE Sylvi PLC, groupe EXPOSE 73 : FORMULES DE TAYLOR APPLICATIONS Niveu : Complémetire Pré-requis : Itégrle, itégrtio pr prties Théorème de Rolle Règle de L Hôpitl I INTRODUCTION Ett doé u polyôme

Plus en détail

Feuille d exercices 5

Feuille d exercices 5 Mathématiques Physique S3, 205/206 Uiversité Blaise Pascal Feuille d exercices 5 Ex.. Tracer le graphe des foctios périodiques suivates, doer leur développemet e série de Fourier et discuter la covergece

Plus en détail

COURS DE TERMINALE S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE PROGRAMME 2002. Demaria Philippe : mademi-4@scs-net.org

COURS DE TERMINALE S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE PROGRAMME 2002. Demaria Philippe : mademi-4@scs-net.org COURS DE TERMINALE S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE PROGRAMME 2002 Demri Philippe : mdemi-4@scs-et.org Avt - Propos Ce cours de Termile S s ppuie sur le progrmme de 200 de l eseigemet obligtoire. Il s dresse

Plus en détail

Lois de probabilité à densité

Lois de probabilité à densité Lois de probbilité à densité Christophe ROSSIGNOL Année scolire 0/03 Tble des mtières Loi à densité sur un intervlle I. Deux exemples pour comprendre..................................... Densité de probbilité...........................................3

Plus en détail

Bulletin officiel spécial n 8 du 13 octobre 2011

Bulletin officiel spécial n 8 du 13 octobre 2011 Bulleti officiel spécil 8 du 13 octobre 2011 Aee Progrmme d eseigemet de mthémtiques Clsse termile des séries techologiques STI2D et STL, spécilité SPCL L eseigemet des mthémtiques u collège et u lycée

Plus en détail

et arctanx + arctan 1 x = sgn(x)π 2. 3. Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres.

et arctanx + arctan 1 x = sgn(x)π 2. 3. Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres. Eo7 Foctios circulaires et hyperboliques iverses Correctios de Léa Blac-Ceti. Foctios circulaires iverses Eercice Vérifier arcsi + arccos π et arcta + arcta sgπ. Idicatio Correctio Vidéo [00075] Eercice

Plus en détail

Temps moyen de lecture par page (exercice compris) : 10 minutes

Temps moyen de lecture par page (exercice compris) : 10 minutes MOTS BINAIRES Mots biaires de logueur 2 Rappel : le logarithme e base b 3 Le choix de la logueur des mots biaires 4 Calculs avec les mots de logueur 5 Le poids d u mot biaire de logueur 6 La distace de

Plus en détail

TECHNIQUE: Distillation

TECHNIQUE: Distillation TECHNIQUE: Distillatio 1 Utilité La distillatio est u procédé permettat la séparatio de différetes substaces liquides à partir d u mélage. Les applicatios usuelles de la distillatio sot : l élimiatio d

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

Chapitre 7 : Racines carrées

Chapitre 7 : Racines carrées Chpitre : Rcies crrées. Itroductio, défiitios et eemples Scht que les crreu ci-dessous ot comme dimesios cm, costruisez ) u crré A d ire égle à 9 cm ; c) u crré C d ire égle à cm ; ) u crré B d ire égle

Plus en détail

Intégration. Calcul d intégrales. Calcul de primitives. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

Intégration. Calcul d intégrales. Calcul de primitives. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [hp://mp.cpgedupuydelome.r] édié le juille 4 Eocés Iégrio Clcul d iégrles Clcul de primiives Eercice [ 96 ] [correcio] Déermier les primiives suives : e b l c l Eercice [ 79 ] [correcio] Déermier les primiives

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année.

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année. MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polcopié conforme au programme 00, regroupe les documents distribués au élèves en cours d année. Année 0-0 Année 0-0 T le ES A. YALLOUZ (MATH@ES) TABLE DES MATIÈRES

Plus en détail

IUFM de La Réunion Préparation au CAPES de mathématiques. Exercices d analyse. Dominique Tournès 2000/2001. Newton Leibniz Taylor Euler

IUFM de La Réunion Préparation au CAPES de mathématiques. Exercices d analyse. Dominique Tournès 2000/2001. Newton Leibniz Taylor Euler IUFM de La Réuio Préparatio au CAPES de mathématiques Eercices d aalyse Domiique Tourès / Newto Leibiz Taylor Euler Lagrage Legedre Fourier Gauss Cauchy Abel Dirichlet Weierstrass Riema Lipschitz Ruge

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

ÉTUDES DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

ÉTUDES DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako ÉUDES DE FONCIONS NUMÉRIQUES Site MthsICE de Adm roré Lycée echnique Bmko I Pln d étude d une fonction numérique : Pour étudier une fonction numérique nous dopterons le pln suivnt : Déterminer l ensemble

Plus en détail

Intégrale de Riemann

Intégrale de Riemann IUT Orsy Mesures Pysiques Itégrle de Riem Berrd RIEMANN 86-866 (Allemge) Cours du er semestre No stisfit de l téorie de l itégrtio de Cucy ortt sur les foctios cotiues qui lui rît isuffiste our miuler

Plus en détail

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités Sujet Métropole 01 EXERIE 1. [4 pts] Probabilités Une jardinerie vend de jeunes plants d arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 5% des plants proviennent de l horticulteur H 1, 5% de l horticulteur

Plus en détail

CHAPITRE 7 : DERIVATION DES FONCTIONS COMPOSEES - DERIVEE N-IEMES

CHAPITRE 7 : DERIVATION DES FONCTIONS COMPOSEES - DERIVEE N-IEMES Dérivatio des octios composées Cours CHAPITRE 7 : DERIVATION DES FONCTIONS COMPOSEES - DERIVEE N-IEMES. DERIVATION d ue FONCTION COMPOSEE.. Dérivée d ue octio composée Théorème Soit ue octio dérivable

Plus en détail

Application du logiciel Excel

Application du logiciel Excel Applicatio du logiciel Ecel Utilisatio du Solver du logiciel Ecel Table de matiers Lacemet du logiciel... Optimisatios... Programmatio liéaire... Problème du trasport... 8 Problème de programmatio quadratique...

Plus en détail

Exo7. Trigonométrie. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Trigonométrie. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Trigoométrie Exercices de Je-Louis Rouget Retrouver ussi cette fiche sur wwwmths-frcefr * très fcile ** fcile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourble T : pour trviller

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

On admet que l ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué de nombres complexes.

On admet que l ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué de nombres complexes. Chapitre 1 Nombres complexes Le buts du chapitres sot : Cosolider les aquis de termiale, Savoir maipuler les ombres complexes, e particulier la factorisatio par l agle de moitié. Avoir des otios sur le

Plus en détail

DEVOIR DE SYNTHESE N 2

DEVOIR DE SYNTHESE N 2 EDUCATION EN LIGNE PARTAGE DU SAVOIR DEVOIR DE SYNTHESE N 2 4ème Ecoomie et Gestio Mthémtique WWW.NETSCHOOL1.NET Bri Power School Lycée secodire Ghzl Devoir de sythése 2 MATHEMATIQUES 4EG M r :WALID Jebli

Plus en détail

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski Dossier : Actualité de l Aalyse e Lycée 447 Qu est-ce qu u bo éocé de bac? Aalyse de l exercice de spécialité de TS de Podichéry 2013 Jacques Lubczaski «Podichéry est tombé!» : cela ressemble à l aoce

Plus en détail

Plan d étude d une fonction

Plan d étude d une fonction Début de TS Pla d étude d ue octio ➀ Esemble de déiitio «eiste si et seulemet si» «eiste» A B eiste si et seulemet si B A eiste si et seulemet si A ➁ Parité - Périodicité Foctio paire D cetré e D C admet

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail