[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x

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1 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés Dérivation Dérivabilité Eercice [ 0354 ] [Correction] Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : a) 2 3 b) 2 ) arccos 2 ) Eercice 2 [ ] [Correction] Sur quelles parties de R, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables? a) b) + Eercice 3 [ ] [Correction] Sur quelles parties de R, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables? a) f : { sin/) si 0 0 sinon Eercice 4 [ 0359 ] [Correction] Soit f : [0 ; ] R une fonction dérivable. On définit une fonction g : [0 ; ] R par : g) b) g : { f2) si [0 ; /2] f2 ) sinon À quelle conditions) la fonction g est-elle dérivable? { 2 sin/) si 0 0 sinon Eercice 5 [ 0360 ] [Correction] Soit f : I C une fonction dérivable. Montrer que f : I R est dérivable en tout point où f ne s annule pas et eprimer sa dérivée. Calcul de dérivées Eercice 6 [ 0355 ] [Correction] Après avoir déterminé le domaine d eistence, calculer les dérivées des fonctions suivantes : a) arctan 2 + b) +) 2 c) sin cos +2) 4 Eercice 7 [ ] [Correction] Après avoir déterminé le domaine d eistence, calculer les dérivées des fonctions suivantes : a) b) c ) c) ln Eercice 8 [ ] [Correction] Calculer les dérivées des fonctions suivantes f ) arctan e ), f 2 ) arctan s ) et f 3 ) arctan Qu en déduire? Dérivation d application réciproque Eercice 9 [ 0367 ] [Correction] Soit f : [0 ; π/2] R définie par f) sin + t ) 2 Justifier que f réalise une bijection vers un intervalle à préciser, puis que f est continue et dérivable sur cet intervalle. Application de la dérivation Eercice 0 [ 0356 ] [Correction] Pour λ R, on considère les fonctions f λ : + λ 2 +

2 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés 2 a) Montrer que les tangentes en 0 au fonctions f λ sont parallèles. b) Observer que les tangentes en sont concourantes. Eercice [ 0366 ] [Correction] Soit f : [0 ; + [ R de classe C telle que f0) et lim + f + Montrer que si f s annule au moins deu fois alors f aussi. Eercice 2 [ 0365 ] [Correction] Déterminer toutes les applications f : R R dérivables telles que Calcul de limites, y) R 2, f + y) f) + fy) Eercice 3 [ 0357 ] [Correction] Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I qui n en soit pas une etrémité. Si le rapport fa + ) fa )) 2 admet une limite finie quand tend vers 0, celle-ci est appelée dérivée symétrique de f en a. a) Montrer que, si f est dérivable à droite et à gauce en a, elle admet une dérivée symétrique en a. b) Que dire de la réciproque? Eercice 4 [ 0358 ] [Correction] Soit f : R R une fonction dérivable en a R. Étudier fa) af) lim a a Calcul de dérivées n-ième Eercice 5 [ 0362 ] [Correction] Calculer la dérivée n-ième de a) 2 + ) n b) 2 + )e Eercice 6 [ 036 ] [Correction] Calculer la dérivée n-ième de, + Eercice 7 [ 0025 ] [Correction] Calculer la dérivée n-ième de Eercice 8 [ ] [Correction] Calculer la dérivée n-ième de cos 3 2 puis 2 Eercice 9 [ ] [Correction] Calculons la dérivée n-ième de la fonction réelle t cost)e t. Eercice 20 [ 0363 ] [Correction] Soit f : R R définie par f) e 3 sin. Montrer que f n) ) 2 n e 3 sin + nπ ) 6 Eercice 2 [ ] [Correction] Montrer que la dérivée d ordre n de n e / est Eercice 22 [ ] [Correction] Soit f : arctan. a) Montrer que pour tout n ) n n+) e / f n) ) n )! cos n f)) sinnf) + nπ/2)

3 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés 3 b) En déduire les racines de f n) pour n. Eercice 23 [ 0364 ] [Correction] Calculer de deu façons la dérivée n-ième de 2n. En déduire une epression de n ) 2 n k Téorème de Rolle k0 Eercice 24 [ 0370 ] [Correction] Soit f : R R dérivable. On suppose que f ne s annule pas. Montrer que f ne peut être périodique. Eercice 25 [ 037 ] [Correction] Soit a, b, c R. Montrer qu il eiste ]0 ; [ tel que 4a 3 + 3b 2 + 2c a + b + c Eercice 26 [ ] [Correction] Soit f : [a ; b] R dérivable et vérifiant f a) > 0 et f b) < 0. Montrer que la dérivée de f s annule. b) Calculer f) et f ). c) Montrer que f possède eactement n racines distinctes toutes dans ] ; [. Eercice 29 [ ] [Correction] Soient f : I R une fonction deu fois dérivable sur I et a, b, c trois points distincts de I. Montrer d I, fa) a b)a c) + fb) b c)b a) + fc) c a)c b) 2 f d) Eercice 30 [ 0376 ] [Correction] Soient n N, a < b R et f : [a ; b] R une fonction n fois dérivable. Montrer que si fa) f a)... f n ) a) 0 et fb) 0 alors il eiste c ]a ; b[ tel que f n) c) 0. Eercice 3 [ 0373 ] [Correction] Soit f : R R dérivable telle que lim f lim f + + Montrer qu il eiste c R tel que f c) 0. Eercice 27 [ 0372 ] [Correction] Soit n N et f : I R une application de classe C n s annulant en n + points distincts de I. a) Montrer que la dérivée n-ième de f s annule au moins une fois sur I. b) Soit α un réel. Montrer que la dérivée n ) -ième de f + αf s annule au moins une fois sur I. indice : on pourra introduire une fonction auiliaire.) Eercice 28 [ ] [Correction] On pose f : [ 2 ) n] n). a) Montrer que f est une fonction polynomiale de degré n. Eercice 32 [ 0374 ] [Correction] Soit f : [0 ; + [ R une fonction dérivable telle que lim f f0) + Montrer qu il eiste c > 0 tel que f c) 0. Eercice 33 [ 0377 ] [Correction] Soit a > 0 et f une fonction réelle continue sur [0 ; a] et dérivable sur ]0 ; a]. On suppose f0) 0 et fa)f a) < 0 Montrer qu il eiste c ]0 ; a[ tel que f c) 0.

4 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés 4 Eercice 34 [ 0380 ] [Correction] Soit a > 0 et f : [0 ; a] R une fonction dérivable telle que f0) fa) 0 et f 0) 0 a) Montrer que la dérivée de f)/ s annule sur ]0 ; a[. b) En déduire qu il eiste un point autre que l origine en lequel la tangente à f passe par l origine. Eercice 35 [ 0378 ] [Correction] [Règle de L Hôpital] Soient f, g : [a ; b] R deu fonctions dérivables. On suppose que [a ; b], g ) 0 a) Montrer que ga) gb). b) Montrer qu il eiste c ]a ; b[ tel que Eercice 36 [ 0375 ] [Correction] Soit f : [a ; b] R dérivable vérifiant fb) fa) gb) ga) f c) g c) fa) fb) 0 et f a) > 0, f b) > 0 Montrer qu il eiste c, c 2, c 3 ]a ; b[ tels que c < c 2 < c 3 et Eercice 37 [ ] [Correction] Soit f : [a ; b] R de classe C 2 vérifiant Montrer qu il eiste c ]a ; b[ tel que f c ) fc 2 ) f c 3 ) 0 fa) f a) et fb) f b) fc) f c) Indice : on pourra introduire une fonction auiliaire dépendant de f), f ) et e Téorème des accroissements finis Eercice 38 [ 0386 ] [Correction] Soit f : I R dérivable. Montrer que f est lipscitzienne si, et seulement si, sa dérivée est bornée. Eercice 39 [ 038 ] [Correction] Soit f : R R une fonction dérivable. Montrer que > 0, c > 0, f) f ) f c) + f c)) Eercice 40 [ 0382 ] [Correction] Soit f une fonction de classe C 2 sur [a ; a + 2] avec a R et > 0). Montrer c ]a ; a + 2[, fa + 2) 2fa + ) + fa) 2 f c) indice : introduire ϕ) f + ) f).) Eercice 4 [ 0384 ] [Correction] À l aide du téorème des accroissements finis déterminer ) + )e + e lim + Eercice 42 [ ] [Correction] Montrer à l aide du téorème des accroissements finis que n+ n + n n ln n n 2 Eercice 43 [ 0385 ] [Correction] Montrer que > 0, + < ln + ) ln) < En déduire, pour k N \ {0, }, lim kn n pn+ p

5 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés 5 Eercice 44 [ 034 ] [Correction] Soit f : ]0 ; ] R dérivable. On suppose de f) l et f ) l quand 0. Que dire de l? Eercice 45 [ ] [Correction] Soit f C 2 R +, R) telle que lim + f) a R. a) Si f est bornée, que dire de f ) quand +? b) Le résultat subsiste-t-il sans l ypotèse du a)? Classe d une fonction Eercice 49 [ 0387 ] [Correction] Soit f : [a ; b] R de classe C. Montrer que f est lipscitzienne. Eercice 50 [ 0388 ] [Correction] Soit f : R C de classe C et périodique. Montrer que f est lipscitzienne. Eercice 46 [ ] [Correction] Une fonction f : I R est dite öldérienne d eposant α > 0 s il eiste M R + vérifiant, y I, fy) f) M y α a) Soit f : [a ; b] R de classe C. Montrer que f est öldérienne d eposant α. b) Démontrer que les fonctions öldériennes d eposant > sont constantes. c) On considère la fonction f : ln définie sur ]0 ; ]. Montrer que la fonction f n est pas öldérienne d eposant. d) Vérifier cependant que f est öldérienne d eposant α pour tout α ]0 ; [. Obtention d inégalités Eercice 47 [ 0383 ] [Correction] Établir les inégalités suivantes : a) ] ; + [, + ln + ) b) R +, e Eercice 48 [ 0402 ] [Correction] Soit p ]0 ; ]. a) Établir que pour tout t 0, on a Eercice 5 [ 0389 ] [Correction] Montrer que la fonction f : R + R définie par : { 2 ln si 0 f) 0 si 0 est de classe C sur R +. Eercice 52 [ 0390 ] [Correction] Soit n N, montrer que la fonction est de classe C n sur R. f n : { n+ si 0 0 sinon Eercice 53 [ 0368 ] [Correction] Soit f : R + R de classe C 2 telle que f 0) 0. Montrer qu il eiste g : R + R de classe C telle que R +, f) g 2 ) b) En déduire que pour tout, y 0, + t) p + t p + y) p p + y p

6 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Corrections 6 Corrections Eercice : [énoncé] a) f) 2 3 est définie et continue sur ] ; ]. Par opérations, f est dérivable sur ] ; 0[ ]0 ; [. Quand 0 +, f) f0) et quand 0, f) f0) f n est pas dérivable en 0 mais y admet un nombre dérivée à droite et à gauce. Quand 0, f + ) f) 22 3 f n est pas dérivable en, il y a une tangente verticale à son grape en cet abscisse. b) f) 2 ) arccos 2 est définie et continue sur [ ; ]. Par opération f est dérivable sur ] ; [. Quand 0, f + ) f) 2 + ) arccos + ) 2 ) 0 f est dérivable en et f ) 0. Par parité, f est aussi dérivable en et f ) 0. Eercice 2 : [énoncé] a) f) est définie et continue sur R. Par opérations, f est dérivable sur R. Quand 0 +, f) f0) 0 et quand 0, f) f0) 0 f est dérivable en 0 et f 0) 0. b) f) + est définie et continue sur R. Par opérations f est dérivable sur R. Quand 0, f) f0) + donc f est dérivable en 0 et f 0). Eercice 3 : [énoncé] a) f est définie et continue sur R. Par opérations, f est dérivable sur R. Quand 0, ) f) f0) sin n a pas de limite. La fonction f n est pas dérivable en 0. b) g est définie et continue sur R. Par opérations, g est dérivable sur R. Quand 0, g) g0) sin La fonction g est dérivable en 0 et g 0) 0. ) 0 Eercice 4 : [énoncé] g est dérivable sur [0 ; /2[ et ]/2 ; ]. g est continue en /2 si, et seulement si, f) f0). Si tel est le cas, g g/2) 2f ) et g d/2) 2f 0) Finalement g est dérivable si, et seulement si, f0) f) et f 0) f ) Eercice 5 : [énoncé] ft) ft)ft) est dérivable par opérations en tout t I tel que ft) 0. ft) ft)ft)) 2 ft)ft) f t)ft) + ft)f t) 2 ft) Ref t)ft)) ft)

7 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Corrections 7 Eercice 6 : [énoncé] a) arctan 2 + est définie et dérivable sur R, b) +) 2 ) arctan 2 arctan ) 2 est définie et dérivable sur R \ { }, ) 2 + ) 2 + ) 3 c) sin cos +2) 4 est définie et dérivable sur R, sin ) cos + 2) 4 Eercice 7 : [énoncé] cos cos + 2) 4 + a) est définie et dérivable sur R +, 4 sin2 cos + 2) cos 3 cos2 cos + 2) 5 ) e ln ) + ln ) b) c ) est définie et dérivable sur R, c ) ) e ln c ) ln c + t )c ) c) ln est définie et dérivable sur R, ln ) Eercice 9 : [énoncé] f est continue et strictement croissante, f0) 0 et fπ/2) + π/2 donc f réalise une bijection de [0 ; π/2] vers [0 ; + π/2] et son application réciproque f est continue. f est dérivable sur ]0 ; π/2] avec f ) cos 2 sin + > 0 donc f est dérivable sur f]0 ; π/2]) ]0 ; + π/2]. Étude de la dérivabilité de f en 0 Quand 0 +, en posant f ) 0 Or f) f ) f 0) sin + donc f est dérivable en 0 et f ) 0) 0. Eercice 0 : [énoncé] f λ est dérivable et f) + o ) + 0 f λ) 2 2λ ) 2 a) Pour tout λ R, on a f λ 0) donc les tangentes en 0 sont parallèles. b) L équation de la tangente en à f λ est ou encore y λ λ + ) y λ 2 2) + 2 Ces tangentes concourent au point d abscisse 2 et d ordonnée /2. Eercice 8 : [énoncé] On en déduit f ) e + e 2, f 2) 2 e + e 2 et f 3) e + e 2 f ) 2 f 2) + π 4 f 3) + π 4 Eercice : [énoncé] Si f ne s annule pas alors f est strictement croissante donc injective. Elle ne s annule alors qu une fois. Si f ne s annule qu une fois alors le tableau de signe de f est de la forme 0 α + f ) ou 0 α + f )

8 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Corrections 8 et le tableau de variation de f est 0 α + f) fα) + ou 0 α + f) fα) + a) 2 + ) n) ) ) ) n) n 2 + ) n ) n) n + 2 ) + ) n ) n ) n + 2 ) + ) 0 2 La fonction f ne peut donc s annuler qu une fois. Eercice 2 : [énoncé] Soit f solution. En dérivant la relation par rapport à, on obtient : f + y) f ) La fonction f est donc de dérivée constante et par suite f est affine. De plus la relation f0 + 0) f0) + f0) entraîne f0) 0 et donc f est linéaire. Inversement : ok. Eercice 3 : [énoncé] a) Si f d a) et f ga) eistent alors fa + ) fa )) fa + ) fa)) + fa ) fa)) et donc fa + ) fa )) f d a) + f ga) ) b) Pour f), la dérivée symétrique en 0 eiste alors que la fonction n y est pas dérivable ni à droite, ni à gauce. Eercice 4 : [énoncé] Quand a, fa) af) a Eercice 5 : [énoncé] On eploite la formule de Leibniz a)fa) + afa) f)) a fa) af a) b) donc 2 + ) n ) n) n! 2 + 2n.n! + ) + nn ) n! + ) )e ) n) n k0 Eercice 6 : [énoncé] En calculant les dérivées successives ) ) 2, on montre par récurrence ) n 2 + ) k) e ) n k) 2 + 2n + nn ) + ) e k ) ) 2 ) n) n! ) n+ De même, mais en gérant de plus un signe Enfin donc ) n) ) n n! + + ) n ) ) n) n! 2 2 ) n+ + )n n! 2 + ) n+ Eercice 7 : [énoncé] Par décomposition en éléments simples ) 3

9 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Corrections 9 Or donc ) n) n! et ) n+ Eercice 8 : [énoncé] a) On a donc on peut linéariser On sait ) n) ) n n! + + ) n+ ) n) n! 2 2 ) n+ + )n n! 2 + ) n+ cos 3 4 cos 3 3 cos cos 3 3 cos + cos 3) 4 cos ) n) cos + nπ/2) et cos 3) n) 3 n cos3 + nπ/2) et on obtient donc cos 3 ) n) 4 3 cos + nπ/2) + 3n cos3 + nπ/2)) Eercice 20 : [énoncé] Par récurrence sur n N. Pour n 0 : ok Supposons la propriété établie au rang n 0. donc puis Récurrence établie. On peut aussi écrire f n+) ) f n+) ) 2 n 3 sin + nπ 6 2 n e 3 sin + nπ 6 f n+) ) 2 n+ sin + )) ) + cos + nπ 6 ) n + )π e 3 6 f) e 3 sin Im e ) 3+i) et eploiter ceci pour calculer directement la dérivée d ordre n. Eercice 2 : [énoncé] Par récurrence sur n N. Pour n 0 : ok. Supposons la propriété établie au rang n 0. )) e 3 n e /) n+). n e /) n+) n e /) n+) +n+) n e /) n) Eercice 9 : [énoncé] On peut écrire cost)e t Re e +i)t) donc n e /) n+) ) n n+) e /) + n + ) ) n n+) e / et donc cost)e t ) n) Or + i) n 2 n/2 e inπ/4 puis ) n) Ree +i)t ) Re + i) n e +i)t) ce qui donne Récurrence établie. n e /) n+) ) n+ n+2) e / cost)e t ) n) 2 n/2 e t cost + nπ/4) Eercice 22 : [énoncé]

10 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Corrections 0 a) Par récurrence sur n. Pour n f ) + 2 et cosf)) sinf) + π/2) cos2 arctan + 2 Supposons la propriété vérifiée au rang n [ ] f n+) ) n! sinf)) sin nf) + nπ/2) + 2 cos n f)) + cos nf) + nπ/2) cosf)) Or donc puis f n+) ) n! Récurrence établie. + 2 cos2 f)) [ sinf)) cos nf) + n + )π/2) + sin nf) + n + )π/2) cosf)) ] cos n+ f)) f n+) ) n! sin n + )f) + n + )π/2) cos n+ f)) b) Puisque arctan ] π/2 ; π/2[, cosf)) 0. Par suite f n) ) 0 sinnf) + nπ/2) 0 et donc f n) ) 0 f) kπ n π 2 Au final, les racines de f n) sont les Eercice 23 : [énoncé] D une part D autre part cot kπ n avec k {,..., n } 2n ) n) 2n)! n n! 2n ) n) n n ) n) n k0 avec k {,..., n } ) n n ) k) n ) n k) k et donc On en déduit 2n ) n) n k0 n k0 ) n n! n! k n k)! k! n n! ) 2 n 2n)! k n!) 2 ) 2n n n k0 ) 2 n n k Eercice 24 : [énoncé] Si f est T -périodique avec T > 0 alors en appliquant le téorème de Rolle entre par eemple 0 et T, la dérivée de f s annule. Eercice 25 : [énoncé] Soit ϕ: [0 ; ] R définie par ϕ) a 4 + b 3 + c 2 a + b + c) ϕ est dérivable et ϕ0) 0 ϕ). Il suffit d appliquer le téorème de Rolle pour conclure. Eercice 26 : [énoncé] f admet un maimum sur [a ; b] qui ne peut être ni en a, ni en b : la dérivée de f s y annule. Eercice 27 : [énoncé] a) Notons a 0 < a <... < a n les n + points où nous savons que f s annule. Pour tout i {,..., n}, on peut appliquer le téorème de Rolle à f sur [a i ; a i ]. En effet f est continue sur [a i ; a i ], dérivable sur ]a i ; a i [ et fa i ) 0 fa i ). Par le téorème de Rolle, il eiste b i ]a i ; a i [ tel que f b i ) 0. Puisque b < a < b 2 < < a n < b n, les b,..., b n sont deu à deu distincts. Ainsi f s annule au moins n fois. De même, f s annule au moins n fois et ainsi de suite jusqu à f n) s annule au moins une fois.

11 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Corrections b) Considérons g) f)e α. g s annule n + fois donc g s annule au moins n fois. Or g ) f ) + αf)) e α donc les annulations de g sont les annulations de f + αf. Puisque f + αf s annule n fois, la dérivée n )-ième de f + αf s annule au moins une fois. Eercice 28 : [énoncé] a) X 2 ) n est de degré 2n donc [ X 2 ) n] n) est de degré n. b) Introduisons g : 2 ) n de sorte que f g n) Quand On a g) + ) n ) n 2 n ) n + o ) n ) Par la formule de Taylor-Young, on a parallèlement donc et de manière similaire g) gn) ) ) n + o ) n ) n! f) g n) ) 2 n n! f ) ) n 2 n n! c) et sont racines de multiplicité n de g : 2 ) n, et sont donc racines de g, g,..., g n ). En appliquant le téorème de Rolle, on montre que g, g,..., g n) f admettent resp., 2,..., n racines dans ] ; [. Puisque f est de degré n, celles-ci sont simples et il ne peut y en avoir d autres. Eercice 30 : [énoncé] En appliquant le téorème de Rolle à f entre a et b : il eiste c ]a ; b[ tel que f c ) 0. En appliquant le téorème de Rolle à f entre a et c : il eiste c 2 ]a ; c [ tel que f c 2 ) En appliquant le téorème de Rolle à f n ) entre a et c n : il eiste c n ]a ; c n [ tel que f n) c n ) 0. c c n résout le problème. Eercice 3 : [énoncé] Puisque lim f + et lim + f +, il eiste a < 0 et b > 0 tels que fa) > f0) + et fb) > f0) + En appliquant le téorème des valeurs intermédiaires entre a et 0, d une part, et 0 et b d autre part, il eiste α ]a ; 0[ et β ]0 ; b[ tels que fα) f0) + fβ). En appliquant le téorème de Rolle entre α et β, il eiste c ]α ; β[ R tel que f c) 0. Eercice 32 : [énoncé] Si f est constante, la propriété est immédiate. Sinon, il eiste 0 ]0 ; + [ tel que f 0 ) f0). Posons y 2 f 0) + f0)) qui est une valeur intermédiaire à f0) et f 0 ). Par le téorème des valeurs intermédiaires, il eiste a ]0 ; 0 [ tel que fa) y. Puisque lim + f f0), y est une valeur intermédiaire à f 0 ) et une valeur f ) avec suffisamment grand. Par le téorème des valeurs intermédiaires, il eiste b ] 0 ; ] tel que fb) y. En appliquant le téorème de Rolle sur [a ; b], on peut alors conclure. Eercice 29 : [énoncé] Considérons g : b)fa) + a )fb) + b a)f) a b)b ) a)k 2 où la constante K est coisie de sorte que gc) 0 ce qui est possible). La fonction g s annule en a, en b et en c donc par le téorème de Rolle, il eiste d I tel que g d) 0 ce qui résout le problème posé. Eercice 33 : [énoncé] Quitte à considérer f, on peut supposer fa) > 0 et f a) < 0. Puisque f a) < 0, il eiste b ]0 ; a[ tel que fb) > fa). En appliquant le téorème de valeurs intermédiaires entre 0 et b, il eiste α ]0 ; b[ tel que fα) fa). En appliquant le téorème de Rolle entre α et a, on obtient c ]α ; a[ ]0 ; a[ tel que f c) 0.

12 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Corrections 2 Eercice 34 : [énoncé] a) La fonction g : f)/ est définie, continue et dérivable sur ]0 ; a]. Quand 0, g) f 0) 0 b) Prolongeons g par continuité en 0 en posant g0) 0. Puisque g est continue sur [0 ; a], dérivable sur ]0 ; a[ et puisque g0) ga), le téorème de Rolle assure l annulation de la dérivée de g en un point c ]0 ; a[. g ) f ) f) 2 donc g c) 0 donne cf c) fc). La tangente à f en c a pour équation : Elle passe par l origine. Eercice 35 : [énoncé] y f c) c) + fc) f c) a) Si ga) gb) alors on peut appliquer le téorème de Rolle et contredire l ypotèse [a ; b], g ) 0 b) Soit : g)fb) fa)) f)gb) ga)) est continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[, a) ga)fb) gb)fa) b) En vertu du téorème de Rolle, la dérivée de s annule et cela résout le problème posé. Eercice 36 : [énoncé] Puisque fa) 0 et f a) > 0, il eiste ]a ; b[ tel que f ) > 0. En effet, si pour tout ]a ; b[, f ) 0 alors quand 0 +, fa+) fa) 0 et donc f a) 0. De même, puisque fb) 0 et f b) > 0, il eiste 2 ]a ; b[ tel que f 2 ) < 0. Puisque f prend une valeur positive et une valeur négative dans ]a ; b[, par le téorème des valeurs intermédiaires, f s y annule. Ainsi il eiste c 2 ]a ; b[ tel que fc 2 ) 0. En appliquant le téorème de Rolle sur [a ; c 2 ] et [c 2 ; b], on obtient c et c 3. Eercice 37 : [énoncé] Introduisons ϕ: f) f )) e. La fonction ϕ est définie et continue sur [a ; b], ϕ est dérivable sur ]a ; b[ et ϕa) 0 ϕb). Par le téorème de Rolle, on peut affirmer qu il eiste c ]a ; b[ tel que Or donc ϕ c) 0 donne ϕ c) 0 ϕ ) f) f )) e fc) f c) Eercice 38 : [énoncé] ) En vertu de l inégalité des accroissements finis. ) Si f est k lipscitzienne alors, y I tels que y on a f) fy) y À la limite quand y on obtient f ) k. Par suite f est bornée. Eercice 39 : [énoncé] Soit g : R R la fonction définie par g) f) f ) g est dérivable et g0) 0. Par le téorème des accroissements finis, il eiste c ]0 ; [ tel que g) g0) g c) ce qui résout notre problème. Eercice 40 : [énoncé] La fonctionϕ proposée est définie et de classe C 2 sur [a ; a + ]. fa + 2) 2fa + ) + fa) ϕa + ) ϕa) Par le téorème des accroissements finis appliqué à ϕ entre a et a +, il eisteb ]a ; a + [ tel que ϕa + ) ϕa) ϕ b) f b + ) f b)) Par le téorème des accroissements finis appliqué à f entre b et b +, il eiste c ]b ; b + [ ]a ; a + 2[ tel que f b + ) f b) f c) puis fa + 2) 2fa + ) + fa) 2 f c) k.

13 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Corrections 3 Eercice 4 : [énoncé] Par le téorème des accroissements finis appliqué à la fonction e / entre et + : il eiste c ] ; + [ tel que ) + )e /+) e / c e c + ) Quand +, c + car c. Par suite ) c e c et donc c c ) lim + )e + e + c c ) e c Eercice 42 : [énoncé] En appliquant le téorème des accroissements finis à / entre n et n +, on obtient n+ n + n n ln c c 2 c /c avec c ]n ; n + [. Puisque c n +, ln c ln n et puisque c /c n+ n + n n ln n n 2 donne Par le téorème des gendarmes ln kn + n + lim kn n pn+ kn pn+ p ln k p ln k Eercice 44 : [énoncé] Nous allons montrer l 0 en raisonnant par l absurde. Supposons l > 0. Il eiste α > 0 tel qu au voisinage de 0 f ) α Pour et 2 dans ce voisinage, on peut écrire en vertu du téorème des accroissements finis f2) f) f c) avec c compris entre et 2. Puisque cf c) α, on obtient f2) f) α c α 2 Or quand 0 + f2) f) l l 0 Eercice 43 : [énoncé] On applique le téorème des accroissements finis à ln entre et +. Il eiste c ] ; + [ tel que Or < c < + donne puis l encadrement voulu. kn pn+ lnp + ) ln p ln + ) ln c + < c < kn pn+ p kn pn+ ln p lnp ) C est absurde. De même, supposer l < 0 est absurde. Eercice 45 : [énoncé] a) Posons M R + tel que f ) M pour tout R +. Soit ε > 0. La suite n ) de terme général diverge vers + et donc n n ε M f n+ ) f n ) 0

14 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Corrections 4 Par suite il eiste N N tel que pour tout n N f n+ ) f n ) ε2 M Par le téorème des accroissements finis, il eiste c n ] n ; n+ [ tel que ce qui donne f c n ) n+ n ) ε2 M f c n ) ε Puisque f est bornée par M, la fonction f est M-lipscitzienne et donc puis u [ n ; n+ ], f u) f c n ) M u c n ε u [ n ; n+ ], f u)) ε + f c n ) 2ε et, puisque ceci vaut pour tout n N, on a en posant A N, u A, f u) 2ε On peut conclure que f converge vers 0 en +. b) Posons ft) cost2 ) t + On vérifie aisément que f est de classe C 2 et converge en + sans que f converge en 0. Eercice 46 : [énoncé] a) La fonction f est continue sur le segment [a ; b] donc bornée. En introduisant M sup f t) t [a;b] l inégalité des accroissements finis donne, y I, fy) f) M y b) Soit f : I R öldérienne d eposant α >. Pour I f + ) f)) M α 0 0 La fonction f est donc dérivable et sa dérivée est nulle. C est donc une fonction constante. c) Par l absurde, supposons f öldérienne d eposant. Il eiste alors M R + vérifiant, y ]0 ; ], fy) f) M y Pour y 2, on obtient puis ]0 ; /2], ln + 2 ln 2 M ]0 ; /2], ln + 2 ln 2 M Quand 0 +, on obtient une absurdité. d) Soit α ]0 ; [ et, y > 0. Quitte à écanger, on peut supposer < y. On peut écrire y ln y ln y ) ln y + ln + y ) Or, on sait ln + u) u pour tout u > donc y ln y ln y ) ln y + ) puis y ln y ln y α y ) α + ln y ) Puisque 0 < y y et α 0, on obtient encore Considérons maintenant la fonction y ln y ln y α y α + ln y ) y y α + ln y ) Cette fonction est continue sur ]0 ; ] et se prolonge par continuité en 0 par la valeur 0 car α > 0. Cette fonction est donc bornée et l on peut introduire M R + vérifiant y ]0 ; ], y α + ln y ) M On obtient alors, y ]0 ; ], fy) f) M y α

15 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Corrections 5 Eercice 47 : [énoncé] a) Soit f : ln + ) définie et de classe C sur ] ; + [. f ) Le tableau des variations de f est alors f) On en déduit que f est positive. Soit g : ln + ) / + ) définie et de classe C sur ] ; + [. g ) Le tableau des variations de g est alors On en déduit que g est positive. + ) g) b) Soit f : e 2 2 définie et de classe C sur R +. f ) e 0 b) Pour 0, l inégalité est immédiate et pour > 0, + y) p p + ) y p p y p ) + ) p + y p Eercice 49 : [énoncé] f est continue sur le segment [a ; b] elle y est donc bornée par un certain M. Par l inégalité des accroissements finis, f est M lipscitzienne. Eercice 50 : [énoncé] La dérivée de f est continue et périodique donc bornée par son ma sur une période qui eiste par continuité sur un segment). Par l inégalité des accroissements finis, il en découle que f est lipscitzienne. Eercice 5 : [énoncé] f est continue sur R + et de classe C sur ]0 ; + [. Pour > 0, f ) 2 ln +. Quand 0 +, f ) 0 donc f est dérivable en 0 et f 0) 0. De plus, f est continue en 0 et finalement f est de classe C sur R +. On obtient les variations suivantes On en déduit que f est positive. Eercice 48 : [énoncé] 0 + f ) 0 + f ) 0 + f) 0 + a) Étudions la fonction δ : t + t p + t) p définie continue sur R + et dérivable sur R +. On a δ0) 0 et pour t > 0, δ t) p t p + t) p ) Puisque p 0, t p + t) p et donc δ t) 0. On en déduit que pour tout t 0, δt) 0 puis l inégalité demandée. Eercice 52 : [énoncé] Procédons par récurrence sur n N. Pour n 0, la fonction considérée est continue. Supposons la propriété établie au rang n 0. f n+ est continue sur R et dérivable sur R. Pour 0, f n+) n + 2)f n ). Quand 0, f n+) 0 n + 2)f n 0) donc f n+ est dérivable en 0 et f n+0) 0. Ainsi f n+ est dérivable sur R et f n+ n + 2)f n. Par ypotèse de récurrence, f n est de classe C n et donc f n+ est de classe C n+. Récurrence établie. Eercice 53 : [énoncé] Posons g : R + R définie par gt) f t)

16 [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Corrections 6 Par composition g est de classe C sur R + et g est continue et > 0, g t) f t) 2 t g t) f t) f 0) 2 t donc g est dérivable et g est continue en 0. Ainsi g est de classe C. f 0) t 0 2

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