Devoir surveillé n o 2 niveau 2 Mercredi 27 novembre de 13h à 17h. sint t + x dt.

Transcription

1 Lycée Ponts de Tyard 3/4 ECS Devoir srveillé n o nivea Mercredi 7 novembre de 3h à 7h La qalité de rédaction, de notation et de présentation prendra ne large part dans la note finale. Le sjet comporte 5 pages. Eercice n o. Partie I : Étde de la fonction sint t + dt. On note F et G de fonctions définies sr ];+ [ à valers dans par F() = sin d et G() = cos d.. (a) Montrer qe, por tot réel ];+ [ : F() = cos + cos cos d. (b) Montrer qe l intégrale généralisée cos d est convergente. (c) En dédire qe la fonction F admet ne limite lorsqe tend vers +, on notera α cette limite. (d) De manière analoge, montrer qe G admet ne limite en +, on notera β cette limite. (e) En dédire qe les intégrales sin d et cos d convergent, et qe sin d = α F() et cos d = β G(). (a) Montrer, por tot réel ];+ [ et tot réel t ];+ [ : y dt = cos t + +y sin d sin +y cos d (on rappelle la formle trigonométriqe sin(a b) = sin a cosb cos a sinb ). /5

2 ECS Lycée Ponts de Tyard 3/4 (b) En dédire qe, por tot réel ];+ [, l intégrale dt converge et qe : t + dt = cos t + sin d sin cos d. Dans la site d problème, on note A la fonction définie sr ];+ [ à valers dans par : A() = t + dt.. Montrer qe la fonction A est de classe C sr ];+ [ et qe, por tot réel ];+ [ : A () + A() =. 3. Établir qe A() et A () tendent vers lorsqe tend vers +. e t Partie II : Étde de la fonction + t dt.. Montrer qe por tot entier ];+ [ et por tot entier k, l application t t k e t est négligeable en + devant la fonction t t. En dédire la natre de l intégrale t k e t + t dt. Dans la site d problème, on note, por tot entier natrel k, B k l application définie sr ];+ [ à valers dans, par B k () = t k e t + t dt.. (a) Montrer, en tilisant par eemple l inégalité de Taylor-Lagrange sr l intervalle [; ] :, e e. (b) En dédire, por tot réel ];+ [, por tot entier natrel k et por tot réel h tel qe < h : B k ( + h) B k () + B k + () h h B k +. (c) Montrer qe, por tot entier natrel k, B k est dérivable sr ];+ [ et qe : ];+ [, B k () = B k +(). /5

3 Lycée Ponts de Tyard 3/4 ECS (d) En dédire qe B est de classe C sr ];+ [ et qe, por tot réel ];+ [ : 3. Montrer, por tot réel ];+ [ : B () + B () =. B () et B () et en dédire les limites de B ( ) et B () lorsqe tend vers (a) Montrer : (b) En dédire : Rappeler la valer de ];+ [, e t dt e + t e Partie III : Calcl de l intégrale + t dt. + t dt B () + t dt. + t dt et montrer qe B est prolongeable par continité en. On considère l application ϕ :];+ [ définie, par : sin d. ϕ() = A( ) B ( ), où A est la fonction définie dans la partie I et B la fonction définie dans la partie II. On note U :];+ [ l application définie par :. Montrer qe U est constante sr ];+ [. U() = ϕ() + ϕ ().. Qelle est la limite de U lorsqe tend vers +? 3. En dédire qe, por tot ];+ [, A( ) = B (). 4. Qelle est la valer de Eercice n o. sin d? Une société de location de voitres possède trois agences, ne à Rennes, ne à Lyon, ne à Marseille. Lorsq n client loe ne voitre, n jor donné, dans ne des trois villes, il la restite le jor même dans ne des trois agences. On sppose q ne voitre donnée n est loée q ne sele fois dans la jornée. Une étde statistiqe a permis de montrer qe, por ne voitre donnée : 3/5

4 ECS Lycée Ponts de Tyard 3/4 si elle est loée à Rennes n certain jor, alors elle est laissée le soir à Lyon avec la probabilité 4, tandis q elle est laissée à Marseille avec la probabilité 3 4 ; si elle est loée à Lyon, alors elle est laissée à Rennes avec la probabilité, laissée à Marseille avec la probabilité 4, et ramenée à Lyon avec la probabilité 4 ; si elle est loée à Marseille, elle est laissée à Rennes avec la probabilité, laissée à Lyon avec la prob- abilité 4, et ramenée à Marseille avec la probabilité 4. Por tot n de, on note R n (respectivement L n, M n ) l événement «la voitre se trove à Rennes (respectivement Lyon, Marseille) le soir d n e jor». On considère les probabilités sivantes : r n = P(R n ),l n = P(L n ) et m n = P(M n ). On sppose q a départ, la voitre est à Rennes, et on pose donc r =, l = et m =. On désigne par I la matrice identité d ordre 3 définie par : I =.. Por tot n de, on définit la matrice colonne à trois lignes U n par : U n = (a) Vérifier qe, por tot n de, on a la relation U n+ = AU n, où A est la matrice carrée d ordre 3 sivante : / / A = /4 /4 /4. 3/4 /4 /4 (b) Epliciter U. Établir à l aide d n raisonnement par récrrence qe, por tot n de, on a : U n = A n U.. On note tr l application trace, c est à dire la forme linéaire qi à tote matrice d ordre 3 associe la somme des coefficients diagona de la matrice. (a) Calcler tr(a) où A est la matrice déterminée précédemment. (b) Montrer qe, por tot matrice M et N de M 3 ( ), on a l égalité tr(mn) = tr(nm). r n l n m n. (c) Montrer qe, si M et N sont de matrices de M 3 ( ) semblables, alors tr(m) = tr(n). (d) Soit M ne matrice de M 3 ( ) diagonalisable, appelons λ,λ et λ 3 les valers propres de M (non forcément distinctes). Montrer l égalité sivante : λ + λ + λ 3 = tr(m). (a) Déterminer le rang de A. En dédire Ker A. 4/5

5 Lycée Ponts de Tyard 3/4 ECS (b) Déterminer ne base de Ker(A I). En dédire de valers propres de A. (c) Déterminer la troisième valer propre possible de A en tilisant la qestion d. (d) La matrice A est-elle diagonalisable? si oi déterminer la matrice diagonale D associée (on rangera les valers propres dans l ordre croisant). (e) Déterminer les matrices P et P telles qe A = PDP. (f ) Déterminer A n. (g) Eprimer, por tot n, les probabilités r n, l n et m n. (a) simlation informatiqe : écrire n programme informatiqe qi simle la position de la voitre le soir d er jor. (b) simlation informatiqe : écrire n programme informatiqe qi demande à l tilisater n entier n (correspondant a nombre de jors) et qi simle la position de la voitre le soir d n e jor. (c) simlation informatiqe 3 (difficile) : la ville de Marseille est réptée dangerese, on sppose qe la probabilité qe la voitre soit accidentée dans cette ville est égale à. Dans les de atres villes, on sppose q il n y a jamais d accident. Écrire n programme informatiqe qi simle la position de la voitre chaqe soir, et qi s arrête lorsqe la voitre est accidentée. Le programme affichera le nombre de jornées de location de la voitre. 5/5