Ajustement affine par les moindres carrés

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1 1. Nveau Termnales STG et ES Ajustement affne par les mondres carrés 2. Stuaton-problème proposée Introducton à la méthode des mondres carrés. 3. Support utlsé Tableur et calculatrce. 4. Contenu mathématque Nuage de ponts. Courbe de tendance. Sute géométrque. 5. Compétences mses en œuvre 5.1Compétences mathématques Savor représenter un nuage de ponts. Détermner l équaton de la drote de régresson. Extrapoler et nterpoler. Calculer un taux d évoluton moyen. Etuder et représenter une sute géométrque. Dscuter la pertnence d un ajustement. 5.2Compétences TICE Représenter un nuage de ponts à l ade d un tableur. Entrer une formule de calcul et la recoper. Tracer une courbe de tendance. Détermner avec une calculatrce l équaton de la drote de régresson. 6. Stratége pédagogque 1. Introducton à la méthode des mondres carrés en classe entère avec un vdéoprojecteur. 2. Apprentssage de l utlsaton de la calculatrce pour détermner la drote de régresson. 3. En salle d nformatque et sur tableur tracés de courbes de tendance. 4. En salle nformatque modélsaton de l évoluton par une sute. 7. Place de l actvté dans la progresson des apprentssages Cette actvté permet de trater l ensemble du chaptre sur l ajustement affne.

2 Termnale STG Actvté : Ajustement affne Présentaton d une actvté montrant l utlsaton des TICE en termnale STG sous dfférentes formes pédagogques. Objectfs : Introdure la méthode des mondres carrés. Fare travaller les élèves sur un tableur. Prérequs : Savor détermner une équaton de drote. Savor représenter un nuage de ponts. Durée : 3 séances d une heure Compétences travallées : Réalser un ajustement affne par une méthode graphque. Réalser un ajustement affne par les mondres carrés à l ade d un tableur et d une calculatrce. Utlser un tableur : Ecrre une formule smple avec un adressage relatf ou absolu et la recoper. Utlser un ajustement pour fare une extrapolaton. Découvrr d autres courbes de tendance. Premère parte Traval sur paper et sur tableur à l ade d un vdéoprojecteur. A propos d un problème du bac, sére ES, Amérque du Nord jun Le but de l exercce est d extrapoler le nombre d utlsateurs du téléphone portable pour le mos de mars Le nombre d utlsateurs de téléphone portable en France est donné par le tableau suvant : Mos Déc- Octobre- Ma- Octobre- Févrer- Jullet Rang x Mllons d utlsateurs y 2,5 4,5 7,2 9, ,2 Septembre Anmaton : celle-c se fat à l ade d un vdéoprojecteur. Le professeur présente l actvté à l écran, fat partcper les élèves et leur demande de prendre des notes sur le contenu de l actvté et sur les méthodes d utlsaton du tableur. 1. Compléter sur tableur les colonnes B et C du tableau c-dessous. Quelle formule faut-l écrre dans les cases B9 et C9 pour obtenr le rang moyen x et la moyenne du nombre d utlsateurs y? A B C D E F 1 Mos Rang du mos Nombre d utlsateurs x en mllons y 2 déc ,5 Tracé de la drote 3 oct ,5 a = 4 ma-98 b = 5 oct-98 x y 6 févr jul sept-99 9 Moyennes

3 2. Représenter le nuage de ponts assocé à la sére statstque (x ; y ). Tracer sur ce même graphque une drote ( ) d équaton y = ax + b, en chosssant le coeffcent drecteur a et l ordonnée à l orgne b de façon à ajuster graphquement la drote au nuage de ponts. Détermner une équaton de la drote dessnée. Les élèves font la représentaton du nuage de ponts et le tracé de la drote d ajustement sur paper, dans un repère orthonormal, d unté 0,5cm. Le professeur fat ce même traval à l ade du tableur, en explquant aux élèves le procédé, en fasant notamment compléter les cellules F3 et F4 par les coeffcents a et b de la drote et les cellules F6 et F7 par les coordonnées de deux ponts de la drote. Il s agt ensute de proposer un «concours» aux élèves : lequel obtendra la melleure drote d ajustement, le crtère étant de rendre la «dstance» totale des ponts du nuage à la drote mnmale. Pour cela on est amené à calculer la somme S = ( y ax b) 3. Quelle formule faut-l écrre dans la cellule D2 qu trée vers le bas effectue les calculs des carrés 2 ( y ax b)? Quelle formule faut-l écrre dans la cellule D9 pour obtenr la somme S? Les élèves vennent proposer leur drote d ajustement. Son tracé est projeté, ans que la valeur de S. On obtent ans un «record» de la somme S mnmale! 4. Le professeur fat ajouter au graphque une «courbe de tendance lnéare» et affche son équaton. On refat le calcul de S pour cette drote, et on fat constater aux élèves que leur record et battu. Il explque que la drote ans obtenue est appelée drote d ajustement de y en x par la méthode des mondres carrés. En utlsant la drote obtenue à l ade du tableur, quel est le nombre d utlsateurs que l on pouvat prévor pour le mos de mars 2000? 2 Deuxème parte Traval sur calculatrce. Le professeur explque aux élèves comment on obtent une drote d ajustement par la méthode des mondres carrés sur calculatrce. Pour cela l peut dstrbuer une fche pour chaque marque de calculatrce présentant la démarche à suvre pour entrer les données et obtenr l équaton de la drote d ajustement. C est l occason pour le professeur de fare la synthèse de la leçon sur l ajustement affne. Utlser la calculatrce pour détermner l équaton de la drote d ajustement au nuage de ponts de la premère parte (nombre d utlsateurs de téléphone portable en France). Comparer avec le résultat obtenu à l ade du tableur.

4 Trosème parte Les élèves devant un ordnateur et utlsaton du vdéoprojecteur. 1. Reprendre sur tableur le tableau c-dessous, représenter le nuage de ponts et tracer la drote d ajustement. A B C D 1 Mos Rang du mos Nombre d utlsateurs Sute x en mllons : y u n 2 déc ,5 2,5 3 oct ,5 4 ma ,2 5 oct ,4 6 févr jul sept , On rappelle que dans la premère parte on a utlsé comme modèle d évoluton du nombre d utlsateurs du téléphone portable la drote d ajustement affne d équaton y = 0,4284x + 1, On a ans prévu que le nombre d utlsateurs en mars 2000 serat égal à envron 17,7 mllons. Or le nombre réel d utlsateurs en mars 2000 a été de 22,6 mllons. Calculer l écart entre la prévson et la réalté. Cet écart lasse à penser que le modèle affne n est pas satsfasant. Nous allons examner d autres modèles possbles à l ade du tableur. Le professeur présente à l ade du vdéoprojecteur les tracés de courbes de tendance ( lnéare, polynomale d ordre 2, exponentelle ) et fat réagr les élèves sur la pertnence des dfférents modèles pour cet exemple. Quatrème parte Les élèves devant un ordnateur et utlsaton du vdéoprojecteur. On se propose mantenant d analyser la progresson du nombre d utlsateurs du portable à l ade d une sute. 1. Calculer le taux d évoluton global du nombre d utlsateurs du téléphone portable en France entre décembre 1996 et mars En dédure le taux mensuel moyen entre ces deux dates. 2. On consdère la sute géométrque u de premer terme u 0 = 2,5 et de rason q = 1, a. Quelle formule faut-l écrre en D3 pour calculer les termes u n de la sute u en recopant cette formule vers le bas? b. S on consdère que le nombre d utlsateurs du portable en France a évolué au même rythme au-delà du mos de mars 2000, on peut estmer que ce nombre, au mos de rang n, est envron égal au terme u n de cette sute. En utlsant ce modèle d évoluton : quel est le nombre d utlsateurs que l on pouvat prévor pour le mos de mars 2001? à partr de quelle date pouvat-on prévor plus de 35 mllons d utlsateurs de téléphone portable en France? 3. Représenter la sute u sur le même graphque que le nuage de ponts.

5 Prolongement possble : comparason des dfférents modèles d évoluton rencontrés. C-dessous on a représenté avec un grapheur : - le nuage de ponts ; - l ajustement affne par les mondres carrés ; - la courbe de tendance «polynôme du second degré» ; - la courbe de tendance exponentelle ; - la sute u. Remarques concernant cette actvté : Traval «à la mason» : on peut gagner du temps préceux en cours en fasant réalser certanes partes de l actvté à la mason. Par exemple la réalsaton sur paper du nuage de ponts, vor la préparaton sur tableur. Traval sur un modèle : l est mportant de sgnaler aux élèves que l on travalle dans le cadre de modèles. Drote d ajustement : ben précser le sens de la consgne «ajuster la drote au nuage». Utlsaton de la foncton exponentelle : tout dépend s on a déjà ntrodut la foncton exponentelle. S ce n est pas le cas on se contentera de sgnaler aux élèves l exstence du modèle exponentel d évoluton, et cela pourra servr d ntroducton aux fonctons exp. Pont moyen : on fera remarquer que la drote d ajustement obtenue par le tableur passe par le pont moyen.

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