1 Introduction. 2 Modèle

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1 Projet d introduction à l analyse numérique : Etude de la dynamique d une centrale hydroélectrique Premier Bachelier en sciences de l ingénieur Année académique Introduction Parmi les systèmes mis au point par l homme, les réseaux d énergie électrique se distinguent par leur très grande taille et la complexité de leur fonctionnement. Il faut maintenir à tout instant l équilibre entre la puissance électrique produite et la puissance consommée 1, l énergie électrique ne pouvant être stockée en grande quantité. De plus, les systèmes d énergie électrique sont soumis à de nombreuses perturbations : variation continue de la demande, incidents climatiques (tels les coups de foudre) ou encore des interventions humaines. L accroissement de la production à base d énergies renouvelables (éoliennes, panneaux photovoltaïques, production hydroélectrique) et les contraintes sociétales limitant les possibilités de développement du réseau par la construction de nouvelles lignes de transport rend l exploitation et la conduite de ces systèmes plus complexes. En dépit de ces multiples facteurs, les réseaux électriques modernes fonctionnent avec une grande fiabilité. Cependant, si les grandes défaillances de ces systèmes ou black-outs sont rares, leurs conséquences sont très lourdes pour la société. C est pourquoi les centres de conduite ou dispatchings sont dotés de logiciels capables de mesurer la robustesse du réseau face à des aléas et proposer si nécessaire des mesures curatives. Au coeur de ces outils, on trouve des logiciels de simulation numérique du fonctionnement dynamique du système. Dans ce projet, nous considérons un modèle simplifié d une centrale hydroélectrique dimensionnée pour produire une puissance nominalep N égale à 500 MW 2 et connectée à un réseau de transport d énergie électrique à haute tension au moyen d un transformateur. L énergie électrique est obtenue par conversion de l énergie potentielle liée au dénivelé d une chute d eau d eau en électricité. Au passage dans une turbine, l énergie associée au courant d eau sous forme d énergie cinétique et/ou de pression est transformée en énergie mécanique, puis en énergie électrique par un alternateur. Les principaux composants du modèle - la conduite d eau, la turbine, l alternateur, le transformateur et la ligne de transport à très haute tension - sont indiqués sur le schéma illustratif de la figure 1. 2 Modèle La conversion d énergie mécanique en énergie électrique réalisée par l alternateur repose sur le phénomène d induction électromagnétique régi par les lois de Faraday et Lenz. Un circuit soumis à une induction magnétique variable est le siège d une force électromotrice (f.e.m.) donnée par : E = dψ dt 1. Ce qui inclut celle dissipée sous forme de pertes Joule 2. 1 MW=10 6 W 1

2 FIGURE 1 Schéma simplifié d une centrale hydroélectrique. (http ://rascol.free.fr/2a_99_2000/hydro/les_centrales_hydro.htm) oùψ est le flux d induction magnétique B embrassé par le circuit. Si le circuit est fermé et conducteur, il est le siège d un courant induit. L alternateur utilisé dans une centrale hydroélectrique est un générateur synchrone triphasé constitué, comme indiqué à la figure 2, d un élément mobile, le rotor, et d un élément fixe, le stator. Le rotor est un électroaimant et joue le rôle de l inducteur. Son bobinage, appelé enroulement d excitation, est alimenté par une source de tension continue. Le stator joue le rôle de l induit ; il est constitué de trois enroulements décalés spatialement l un par rapport à l autre d un angle de2π/3. En régime établi, le rotor est entraîné par la turbine et tourne à la vitesse angulaire ω N appelée vitesse de synchronisme. Le champ magnétique créé par le rotor tourne à la même vitesse et, conformément à la loi de Faraday, engendre dans chaque enroulement statorique une f.e.m. alternative de la forme : E = 2Ecos(ω N t+θ) où E est appelé valeur efficace de la f.e.m. et θ la phase. Remarquons que la pulsation de la f.e.m. et aussi des courants induits dans les circuits statoriques est égale à la vitesse angulaire du rotor. Etant donné le décalage de 2π/3 entre les trois enroulements, les trois f.e.m. générérées sont de même amplitude mais déphasées d un tiers de période l une par rapport à l autre. L alternateur alimente trois circuits ou phases, supposés identiques. L étude de ce type de fonctionnement, dit triphasé équilibré, peut se ramener à celle d une seule des trois phases. Le modèle dynamique simplifié décrit ci-après s écrit sous la forme de six équations différentielles ordinaires qu il faudra traiter numériquement. A l exception de la vitesse angulaire ω (rad/s), de la position du rotor δ (rad) et du temps t (s), les autres variables et paramètres apparaissant dans ces équations sont adimensionnels. A cette fin, chaque grandeur a été rapportée à sa valeur dite de base et s exprime donc comme fraction de celle-ci. Considérons par exemple le cas de la puissance produite par le générateur : la valeur de base utilisée étant la puissancep N = 500 MW, une production 2

3 FIGURE 2 Alternateur triphasé. (http ://fi26.bulot-fr.com/wiki/index.php?title=machine_synchrone) de 400 MW correspond à une valeur adimensionnelle : P = 400/500 = Equations de mouvement du rotor Les deux premières équations différentielles expriment la loi de Newton appliquée au mouvement du rotor. Le rotor reçoît un couple mécanique T m de la turbine tandis que l interaction entre les courants circulant dans les enroulements développe un couple de rappel dit électromagnétique T e. En fonctionnement établi, c est-à-dire à l équilibre, les deux couples sont de même amplitude et de sens opposés de sorte que le rotor n est ni accéléré ni décéléré mais tourne à la vitesse de synchronisme ω N. En fonctionnement perturbé, par exemple suite à une augmentation de la puissance fournie par la turbine, dans les premiers instants la vitesse angulaire ω s écarte de la vitesse de synchronisme ω N. Ensuite, sous l effet des couples, le rotor oscille autour de sa position d équilibre. La position relative du rotor est définie par l angle δ qui représente la position d un repère solidaire du rotor par rapport à un référentiel qui tourne à la vitesse angulaire de synchronismeω N. On écrit : dδ dt = ω ω N (1) 1 dω ω N dt = ω N 2H (T m T e ) (2) oùh est une constante représentative de l inertie du rotor. 2.2 Turbine La puissance mécanique fournie par la turbine est fixée par le degré z d ouverture des vannes d admission de l eau dans la conduite. Une valeur z = 1 correspond à la production de la puissance 3

4 nominalep N. Lorsque l on modifie l ouverture des vannes z, le débit d eau Q dans la conduite n atteint pas instantanément sa nouvelle valeur d équilibre car la masse d eau a une inertie. L équation différentielle qui traduit cette variation dynamique s écrit : 1 dq ω N dt = 1 T w ( 1 ( ) ) 2 Q z oùt w est appelé le temps de démarrage de l eau et représente le temps mis par l eau pour atteindre sa vitesse nominale en partant du repos. Comme indiqué précédemment, dans cette équation, Q, z et T w sont adimensionnels. La puissance mécanique est donnée par : P m = Q Q V 1 Q V (3) ( ) 2 Q (4) z où Q V traduit les pertes de charges, la puissance mécanique recueillie par la turbine est en effet inférieure à la puissance totale cédée par l eau. Une partie est perdue en frottements de l eau avec la conduite et la turbine. On déduit le couple mécaniquet m = ω N ω P m. En variables adimensionnelles, on tire de (4) : T m = ω N ω ( Q z ) 2 Q Q V 1 Q V. (5) 2.3 Partie électromagnétique L alternateur délivre une tension et un courant alternatifs aux bornes du réseau auquel il est connecté. Ces grandeurs dépendent non seulement des flux d induction magnétiques existant au stator et au rotor de l alternateur mais aussi des paramètres du réseau R, de la ligne de transport à haute tension et du transformateur. Dans le modèle simplifié considéré, la ligne et le transformateur sont simplement représentés par une réactance équivalentex e = ω N L e. Le système électrique se met sous la forme indiquée à la figure 3. Comme indiqué précédemment, on n étudie qu une seule des trois phases. Le réseau R est supposé présenter une tension alternative d amplitude constante et est représenté par une source de tension équivalente délivrant la tension d amplitudev R, tandis quev est l amplitude de la tension délivrée par l alternateur. La relation entre ces deux tensions peut être obtenue par application des lois de Kirchhoff. D autre part, le circuit modélisant l enroulement d excitation installé sur le rotor est donné à la figure 4 ; v f représente la source continue d alimentation du circuit, R f la résistance du circuit, ψ f le flux d induction magnétique embrassé par l enroulement et i f le courant le parcourant. La relation entre ces grandeurs s écrit : v f = R f i f + 1 dψ f (6) ω N dt On montre que la chute de tension R f i f peut se calculer comme suit à partir des variables δ et ψ f : R f i f = X e +X d T d0 (X e +X d )ψ f X d X d V X e +X R cosδ (7) d 4

5 Alternateur + X e + Réseau R - V V R - FIGURE 3 Modèle de la partie électrique R f v f + i f 1 dψ f ω N dt FIGURE 4 Modèle du circuit d excitation où X d, X d,t d0 sont des paramètres caractéristiques de l alternateur, fournis par le constructeur. En plus de l enroulement d excitation, le rotor est également pourvu d un circuit d amortissement (fermé sur lui-même) dit enroulement d amortissement. En régime établi, les inductions magnétiques sont fixes par rapport au rotor, le flux d induction magnétique est constant et le circuit d amortissement n est parcouru par aucun courant. En présence d oscillations du rotor, par contre, un courant est induit dans cet enroulement et, en vertu de la loi de Lenz, ce courant tend à s opposer à la cause qui le crée. Cela donne lieu à un couple de rappel supplémentaire qui tend à amortir les oscillations du rotor (d où le nom du circuit en question). Le circuit correspondant est donné à la figure 5 ; ψ q1 représente le flux d induction magnétique embrassé par l enroulement et i q1 le courant le parcourant. La relation entre ces grandeurs s écrit : avecr q1 la résistance du circuit. R q1 i q1 + 1 dψ q1 ω N dt = 0 (8) R q1 i q1 1 dψ q1 ω N dt FIGURE 5 Modèle du circuit d amortissement Après calculs, l expression de la chute de tensionr q1 i q1 est : R q1 i q1 = X e +X q T q0(x e +X q) ψ q1 X q Xq V X e +X R sinδ (9) q où X q, X q,t q0 sont des paramètres caractéristiques de l alternateur, fournis par le constructeur. 5

6 Le couple électromagnétique T e peut également être exprimé en fonction des variables δ, ψ f et ψ q1. Il s écrit : T e = VR 2(X d X q ) 2(X e +X d )(X e +X q ) sin2δ V R V R T q0 (X e +X q )ψ q1cosδ + T d0 (X e +X d )ψ f sinδ. (10) La puissance électrique délivrée par la centrale est donnée par : 2.4 Régulateur de tension P = ω ω N T e. Afin de ne pas endommager ou perturber différents composants du réseau, il est important de maintenir l amplitude de la tension V dans des plages acceptables. C est pourquoi les machines synchrones sont équipées d un régulateur de tension. Celui-ci agit sur la tension d alimentation de l enroulement d excitation v f afin de maintenir l amplitude de la tension délivrée V proche d une valeur de consignev 0. Le fonctionnement d un tel système est régi par l équation différentielle suivante : 1 dv f ω N dt = v f T + G(V 0 V) T où la constante de tempst et le gaingcaractérisent les performances du régulateur de tension. La tensionv, exprimée en fonction deδ, ψ f et ψ q1 s écrit : ( V = X d V Rcosδ +X e ψ f /T d0 X e +X d ) 2 +( X q V Rsinδ +X e ψ q1 /T q0 X e +X q ) 2 1/2 (11) (12) 3 Paramètres du modèle On considère des conditions de fonctionnement telles que la puissance produite par la centrale est égale à 80% de sa valeur nominale. Les paramètres du modèle sont fixés comme suit. Rappelons qu à l exception de ω N, toutes les valeurs fournies sont adimensionnelles. Réseau : V R = 1, X e = 0.2, ω N = 2π50 rad/s Alternateur : X d = 1.1, X d = 0.3, T d0 = 7ω N, X q = 0.7, X q = 0.25,T q0 = 0.4ω N, H = 4ω N Régulateur de tension : G = 70, T = 0.5ω N Turbine : Q V = 0.1,T w = 2ω N conditions de fonctionnement :V 0 = 1.06,z =

7 Question 1 : Simulation autour d un point d équilibre du système La première partie de ce projet vise à montrer l existence d un point d équilibre stable, c est à dire un pointxvers lequel tendent, après un certain temps, les valeurs des différentes variables. 1. Définir dans MATLAB une fonction qui reçoit en arguments le tempstet les valeurs courantes des six variables d état X = [δ, ω, Q, ψ f, ψ q1, v f ] T et fournit la dérivéeẋen utilisant les équations (1), (2), (3), (6), (8) et (11). 2. Utiliser cette fonction pour résoudre le système d équations différentielles en utilisant comme conditions initiales les valeurs suivantes des 6 variables d état : δ = 0.55 rad, ω = 317 rad/s, Q = 0.81, ψ f = 2530, ψ q1 = 40.6, v f = Tracer l évolution temporelle des six variables et observer qu un équilibre a été atteint. 4. Comparer les solutions obtenues au point 3 par deux algorithmes de résolution de votre choix et analyser leur précision et leur coût en temps de calcul en fonction des tolérances numériques. Justifier ainsi le choix d une méthode et des tolérances. 5. Programmer une fonction qui effectue un test afin de vérifier qu un point d équilibre a été atteint et qui détermine le temps écoulé. Donner les résultats fournis par cette fonction. 6. Ecrire une fonction qui permet de calculer la puissance produite par la centrale et vérifier, qu à l équilibre, celle-ci est égale à 80% dep N. Question 2 : Augmentation de la puissance produite (a) z (b) z t t FIGURE 6 Evolution dez en fonction du temps Dans cette question, on demande de faire varier la puissance produite par le générateur en agissant sur le degré d ouverture des vannes d admission de l eau. Partant de la puissance initiale égale à 80% de P N à l équilibre, on souhaite porter cette puissance à une fraction a donnée de P N pour un autre point d équilibre. 1. Simuler une modification de z à un instant donné en envisageant le cas d une variation en échelon (Figure 6(a)) ou en rampe (Figure 6(b)). Observer l évolution des variables et de la puissance électrique produite par le générateur jusqu à atteindre un nouvel équilibre. 2. Etablir un algorithme qui détermine à partir de simulations numériques la valeur de z permettant d obtenir la puissance demandée. 3. Utiliser le code pour trouver la valeur de z permettant d atteindre une puissance a = 89% de P N. 7

8 Question 3 : Simulation d un court-circuit et détermination du temps critique d élimination de ce dernier Il est important de pouvoir analyser la capacité du système à maintenir la fourniture d électricité. Pour cela, il faut vérifier que, suite à une perturbation, le système se stabilise autour d un point d équilibre. Dans cette section, on demande d étudier la capacité du système à retrouver un équilibre après un coup de foudre qui frapperait la ligne à haute tension, causant un court-circuit entre la ligne et la terre. Si la durée du court-circuit est trop importante, le système ne peut retrouver un équilibre. La durée maximale assurant le retour à l équilibre est appelée temps critique d élimination. Les lignes sont équipées de systèmes de protection qui ouvrent la ligne en cas d intensité trop élevée du courant, liée ici au court-circuit. Ces protections agissent après un certain délai. En pratique, il faut faire fonctionner le réseau de manière à ce que ce délai soit inférieur au temps critique d élimination. Considérer le point de fonctionnement initial pour lequel z = 0.82 et rechercher le temps critique d élimination correspondant. On demande de réaliser les étapes suivantes. 1. Simuler l apparition d un court-circuit à un instant t. Pour cela on imposera V R = 0 pendant une durée d cc. Observer l évolution de l angle δ et de la vitesse angulaire ω pour une durée d cc = 250 ms et une durée d cc = 320 ms. Comparer les deux simulations temporelles. Que peut-on en conclure? 2. Ecrire une fonction qui permet de détecter l instabilité du système et programmer l arrêt de la simulation dès queω > 1.1ω N. 3. Utiliser cette fonction pour déterminer le temps critique d élimination. Question 4 : Etude de sensibilité au paramètret q0 L enroulement q1 est constitué de barres conductrices dont les caractéristiques (section, disposition, conductivité du métal) déterminent la valeur du paramètre T q0 et influencent la qualité de l amortissement des oscillations rotoriques. En pratique, le constructeur dimensionne le circuit q1 en vue d optimiser l amortissement sur base d études numériques. L amortissement est mesuré par le temps d établissement qui est défini comme suit. Le temps d établissement est le temps mesuré entre l instant auquel est appliquée une perturbation et l instant à partir duquel l angle rotorique δ reste compris dans un intervalle de ± 1% autour de sa valeur d équilibre final. Dans cette question, on demande d étudier l influence du paramètre T q0 sur la valeur du temps d établissement. La perturbation considérée consiste en la perte d une ligne de transport entre la centrale et le réseau. Au niveau du modèle, cette perturbation se traduit par une augmentation de la réactance équivalentex e. 1. Ecrire une fonction qui impose la perte de la ligne à l instant t = 10 s, passer de X e = 0.2 à X e = Ecrire une fonction qui détermine le temps d établissement sur base de l évolution temporelle deδ. 8

9 3. Développer un algorithme permettant de déterminer la valeur de T q0 qui procure un temps d établissement donné. 4. Bonus : Ecrire une fonction qui fournit la valeur de T q0 conduisant à un temps d établissement minimal. Consignes Le travail comporte un code de calcul MATLAB et un rapport d une longueur de 15 pages maximum. Le code doit être correct et écrit par vous (ce que nous vérifierons à la présentation orale). Le code doit être soigné et commenté. Le code doit utiliser au maximum les possibilités vectorielles de MATLAB. Pour toute fonction, nous sommes susceptibles de vous demander de montrer un profile MAT- LAB et de l interpréter. La question bonus est facultative et peut être traitée avec une priorité inférieure. Les choix numériques doivent être justifiés et l aptitude du code à traiter des situations pathologiques doit être démontrée. Critères d évaluation La note finalen f sera définie par la moyenne géométrique pondérée n f = nm 0.2 n0.35 r no 0.45 oùn m est la note de l évaluation continue (milestones),n r est la note du rapport et du code MATLAB et n o est la note de la présentation orale. Évaluation continue (poids 0,2) En plus de l évaluation basée sur le tutoriel le vendredi 22 février, un milestone organisé le vendredi 15 mars permettra de vérifier votre état d avancement en cours de projet. Lors de cette séance, votre groupe devra effectuer une démonstration du programme développé pour la question 1. Une cote sur 10 sera attribuée selon les critères suivants : le programme donne une réponse complète à la question : 10/10 ; le programme donne une réponse partielle à la question : entre 5 et 9/10 ; le programme est bien avancé mais il ne fonctionne pas : entre 3 et 4/10 ; le programme n est pas bien avancé : entre 1 et 2/10. Une absence non justifiée sera sanctionnée par une note individuelle de 0/10, indépendamment du résultat du groupe. Rapport et code MATLAB (poids 0,35) Un fichier.zip par groupe comprenant un rapport au format PDF et accompagné des fichiers.m de votre programme doit être envoyé par mail pour le dimanche 7 avril. 9

10 Le nom du fichier.zip doit respecter le format suivant : NumeroGroupe_NomA_NomB_NomC.zip (exemple : 27_Dupond_Beckers_Bastin.zip ). Vous ne recevrez pas d accusé de réception mais la liste des travaux reçus sera publiée sur la page web du cours la semaine qui suit l échéance. La longueur du rapport ne peut dépasser 15 pages. Pour chaque question, les résultats obtenus doivent être illustrés. La justification des choix numériques est très importante. Pensez à expliquer les choix qui vous ont semblé cruciaux. Pour la question 4.4, une bonne réponse peut apporter un point de bonus (sur 20), mais l absence de réponse n est pas sanctionnée. La forme du rapport est prise en compte. Il est recommandé de suivre les règles de bonne pratique pour la réalisation d un rapport scientifique qui feront l objet d une présentation le mercredi 27 mars. Le nombre de pages étant limité, il est inutile de répéter l énoncé. Allez donc à l essentiel. La qualité du code (efficacité et soin) est également considérée dans l évaluation. Présentation orale (poids 0,45) La présentation orale est individuelle. Vous devez faire une démonstration du programme de votre groupe et répondre à des questions supplémentaires. Les éléments suivants seront pris en considération : les justifications et éclaircissements par rapport aux choix réalisés et aux résultats présentés dans le rapport ; la maîtrise du programme réalisé par votre groupe ; la maîtrise des notions théoriques vues au cours. Deuxièmes sessions Lors de la session de septembre, l oral doit être représenté et compte pour 100% de la note finale. Un nouveau code et un nouveau rapport peuvent être remis mais il n y a pas d obligation. Références [1] Thierry Van Cutsem. Analyse et fonctionnement des systèmes d énergie électrique, Notes du cours ELEC0029, vct/elec029/elec029.pdf, Université de Liège, [2] Thierry Van Cutsem. Power systems dynamics, control and stability, Notes du cours ELEC0047,http://www.montefiore.ulg.ac.be/ vct/, Université de Liège,

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