Mathématiques appliquées : Utilisation pratique des nombres complexes en Electricité et Electronique

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1 Mathématiques appliquées : Utilisation pratique des nombres complexes en Electricité et Electronique Version.0.8 Sommaire - Forme algébrique (ou forme cartésienne) - Partie réelle et partie imaginaire 3- Addition ou soustraction des nombres complexes 4- Multiplication d un nombre réel et d un nombre complexe 5- Multiplication de deux nombres complexes 6- Forme trigonométrique (ou forme polaire) d un nombre complexe 7- Module et ument 8- Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique 9- Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique 9-- Plan complexe 9-- Module 9-3- Argument 0- Multiplication de deux nombres complexes avec la forme trigonométrique - Division de deux nombres complexes - Nombre complexe conjugué 3- Exemples d application en électricité : les impédances complexes 3-- Exemple n : Circuit RLC série 3-- Exemple n : Circuit RL parallèle 4- Exemple d application en électronique : fonction de transfert d un filtre 5- Réponse aux questions - Forme algébrique (ou forme cartésienne) Voici un nombre complexe que nous appellerons (avec une barre en dessous pour bien montrer qu il s agit d un nombre complexe). La forme algébrique est une façon de représenter un nombre complexe : + 3j (ou + 3 j) se lit «complexe» ou «nombre complexe» + 3j se lit «deux plus trois j» Remarque : En mathématiques, on utilise i à la place de j : + 3i «deux plus trois i» Fabrice Sincère Page /4

2 - Partie réelle et partie imaginaire Un nombre complexe possède une partie réelle et une partie imaginaire : Remarques : { + { 3 j partie réelle partie imaginaire j est le nombre imaginaire unité. Un nombre réel est un nombre complexe qui n a pas de partie imaginaire :,5 + 0j ou plus simplement:,5 Un nombre imaginaire est un nombre complexe qui n a pas de partie réelle : 0 + 3j ou plus simplement: 3j Question n : Que valent la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe : 5, j,5? Question n : Que valent la partie réelle et la partie imaginaire du nombre réel π? Question n 3 : Que valent la partie réelle et la partie imaginaire du nombre imaginaire j? (Solution à la fin) 3- Addition ou soustraction des nombres complexes Les parties réelles s additionnent (ou se soustraient). Les parties imaginaires s additionnent (ou se soustraient). Soit : et : Addition : + Soustraction : 5 + 7j + j 5 + 7j + j (5 ) + (7 + ) j 3 + 8j j ( + j) j+ j (5 + ) + (7 )j 7 + 6j Question n 4 : Additionner les nombres complexes 3 4j et 3 + 4j. Question n 5 : Soustraire les nombres complexes 3 4j et 3 + 4j. Fabrice Sincère Page /4

3 4- Multiplication d un nombre réel et d un nombre complexe Soit : 3+ 5j Multiplions le nombre complexe par le nombre réel 8 : 8 8 (3+ 5j) On développe : 8 (3 + 5j) j j 5- Multiplication de deux nombres complexes Les choses se compliquent! j, le nombre imaginaire unité, a la propriété étonnante suivante : j j ou j² ou j j «j fois j est égal à -» «j au carré est égal à -» Soit : et : Multiplication : 5 + j On développe : (6 + 3j) (5 + j) j+ 3j 5 + 3j j 30 + j+ 5j+ 6j 30 + j+ 5j 6 (30 6) + ( + 5)j j 6 + 3j (6 + 3j) (5 + j) avec: j Question n 6 : Multiplier les nombres complexes j et 4 + j. Question n 7 : Multiplier les nombres complexes 3 4j et 3 + 4j. Question n 8 : Multiplier les nombres complexes j et 3 + 4j. Fabrice Sincère Page 3/4

4 6- Forme trigonométrique (ou forme polaire) d un nombre complexe La forme trigonométrique est une autre façon de représenter un nombre complexe : Exemple : ; + rad 3 ou : ( ; + 60 ) 7 Module et ument Un nombre complexe possède un module et un ument : π { ; + rad module 3 3 ument Le module du nombre complexe se note : ou Ici : Le module est un nombre réel positif ou nul. L ument d un nombre complexe est un angle que l on peut exprimer en degrés ( ) ou en radians (80 π radians). L ument du nombre complexe se note : ( ) π 3 Ici : ( ) + rad 8- Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique C est très simple : partie réelle module cosinus de l'ument partie imaginaire module sinus de l'ument ; + rad 3 cos + rad + sin + rad j j 3 j Fabrice Sincère Page 4/4

5 9- Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique 9-- Plan complexe Le plan complexe désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe. Exemple : 3+ 4j axe des imaginaires 3 + 4j j O axe des réels En abscisse, nous avons la partie réelle. En ordonnée, nous avons la partie imaginaire. 9-- Module axe des imaginaires 3 + 4j module j O axe des réels mod ule d'un nombre complexe (partie réelle) + (partie imaginaire) Fabrice Sincère Page 5/4

6 Le module est une grandeur réelle positive (comme la longueur). Calculons le module du nombre : 3 + 4j j Question n 9 : Calculer le module du nombre complexe j. Question n 0 : Calculer le module du nombre imaginaire 5j. Question n : Calculer le module du nombre imaginaire 7j. Question n : Calculer le module du nombre réel 3, Argument axe des imaginaires 3 + 4j j module ument O axe des réels L ument d un nombre complexe est un angle. Reprenons le nombre complexe : 3+ 4j L ument du nombre complexe se note : ( ) (3 + 4j) Dans le cas particulier où la partie réelle est strictement positive : partie imaginaire partie réelle ( ) tan Application numérique (avec une calculatrice) : 4 ( 3 + 4j) arctan + 53, ( 3 4j) arctan 53, 3 3 N.B. Suivant la marque de la calculatrice, la fonction réciproque de la tangente se note : arctan ou Shift + tan ou tan - ou Atn Fabrice Sincère Page 6/4

7 Dans le cas particulier où la partie réelle est positive et la partie imaginaire nulle (nombre réel positif), l ument est nul. (8) 0 Dans le cas particulier où la partie réelle est négative et la partie imaginaire nulle (nombre réel négatif), l ument est 80 (ou π radians) (- 8) 80 Dans le cas particulier où la partie réelle est nulle et la partie imaginaire positive, l ument est + 90 (ou π radian) (+j) +90 Dans le cas particulier où la partie réelle est nulle et la partie imaginaire négative, l ument π est 90 (ou radians) (-3j) - 90 Dans le cas particulier où la partie réelle est strictement négative : En degrés : partie imaginaire partie réelle ( ) 80 + tan En radians : partie imaginaire partie réelle ( ) π + tan 4 ( 3+ 4j) 80 + arctan 80 53,3 + 6, j 80 + arctan ,3 + 33,3 6, 87 3 ( ) Question n 3 : Calculer l ument du nombre complexe + j. Question n 4 : Calculer l ument du nombre imaginaire 5j. Question n 5 : Calculer l ument du nombre imaginaire 7j. Question n 6 : Calculer l ument du nombre réel 3,93. Fabrice Sincère Page 7/4

8 0- Multiplication de deux nombres complexes avec la forme trigonométrique Module d un produit produit des modules Argument d un produit somme des uments Soit : et : 3; + 4 ; 6 3; + ; 4 6 π π 3 ; π π 6 ; ; + rad ( 6 ; + 5 ) Soit : Calculons: ; + rad ; + rad ; + rad π π ; + rad + rad ( ; + π rad) Remarque : ; + rad cos + rad + sin + rad j 0 + j j cos + 0j On retrouve : j - ( ; + π rad) ( + π rad) + sin( + π rad) j Fabrice Sincère Page 8/4

9 - Division de deux nombres complexes Module d un quotient quotient des modules du numérateur et du dénominateur Argument d un quotient ument du numérateur ument du dénominateur Exemple : Soit : et : Exemple : 3; + 4 ; 6 3; π π 3 5π ; + + ; + rad 4 6 ; j 3 4j 5 + j 3 4j (5)² + ()² (3)² + ( 4)² 5 + j 3 4j 67, ,3 + 0,5 3,6 5 ( 5 + j) ( 3 4j) tan (,5 ; + 75 ) 5 tan 4 3 Cas particulier : alors : Y Y ( Y) ( ) ; + rad ; rad ; + rad Soit : Fabrice Sincère Page 9/4

10 Remarque : ; + rad cos + rad + sin + rad j 0 + j j ; rad cos rad + sin rad j + 0j On retrouve : j j - Nombre complexe conjugué * désigne le conjugué du nombre complexe. Par définition : Propriétés : x + yj * x yj x désigne la partie réelle du nombre complexe. y désigne la partie imaginaire du nombre complexe. 3j est le conjugué de + 3j. j est le conjugué de j. 5 est le conjugué de 5. + * x * yj * * x x + y ( * ) ( ) + y Fabrice Sincère Page 0/4

11 3- Exemples d application en électricité : les impédances complexes En électricité, on peut caractériser le comportement d un dipôle passif linéaire en régime sinusoïdal avec un nombre complexe que l on appelle «impédance complexe». Ainsi l impédance complexe d une résistance est : R R (R est la résistance en ohms). L impédance complexe d une bobine est : L jlω (L est l inductance en henry, et ω la pulsation du courant en rad/s) j L impédance complexe d un condensateur est : C jcω Cω (C est la capacité en farad, et ω la pulsation du courant en rad/s) 3-- Exemple n : Circuit RLC série On associe une résistance, une bobine et un condensateur en série. L impédance complexe de l association est alors : j R + L + C R + jlω+ R + jlω R + j Lω jcω Cω Cω a. Donner l expression de la partie réelle de l impédance complexe. Réponse : R b. La réactance X correspond à la partie imaginaire de l impédance complexe. Donner son expression. Réponse : X Lω Cω c. L impédance de l association (en ohms) correspond au module de l impédance complexe. Donner son expression. Réponse : mod ule (partie réelle) + (partie imaginaire) R + j Lω R + Lω Cω Cω d. Le déphasage entre tension et courant est donné par l ument de l impédance complexe. Donner son expression. Fabrice Sincère Page /4

12 Réponse : ( ) tan partie imaginaire tan partie réelle Lω Cω R 3-- Exemple n : Circuit RL parallèle On associe une résistance et une bobine en parallèle. L impédance complexe de l association est alors : R R + L L R jlω jrlω R + jlω R + jlω a. L impédance de l association (en ohms) correspond au module de l impédance complexe. Donner son expression. Réponse : jrlω R + jlω jrlω R + jlω RLω R + L ( ω) b. Le déphasage entre tension et courant est donné par l ument de l impédance complexe. Donner son expression. jrlω R + jlω Lω R Réponse : () ( jrlω) ( R + jlω) + rad tan 4- Exemple d application en électronique : fonction de transfert d un filtre En électronique, on peut caractériser le comportement d un filtre avec un nombre complexe que l on appelle «fonction de transfert». Voici la fonction de transfert d un filtre RC passe-bas du er ordre : T + jrcω a. L amplification du filtre correspond au module de la fonction de transfert. Donner son expression. π Réponse : T + jrcω + jrcω + RC ( RCω) + ( ω) Fabrice Sincère Page /4

13 b. Le déphasage entre la sortie et l entrée est fourni par l ument de la fonction de transfert. Donner son expression. Réponse : ( T) ( ) ( + jrcω) arctan + jrcω ( RCω) 5- Réponse aux questions RCω 0 arctan Question n : Que valent la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe : 5, j,5? Partie réelle :,5 Partie imaginaire : + 5, Question n : Que valent la partie réelle et la partie imaginaire du nombre réel π? π π + 0j Partie réelle : π Partie imaginaire : 0 Question n 3 : Que valent la partie réelle et la partie imaginaire du nombre imaginaire j? j 0 + j Partie réelle : 0 Partie imaginaire : Question n 4 : Additionner les nombres complexes 3 4j et 3 + 4j. (3 4j) + (3 + 4j) (3 + 3) + ( 4 + 4)j 6 + 0j 6 La partie imaginaire est nulle : le résultat est un nombre réel «pur». Question n 5 : Soustraire les nombres complexes 3 4j et 3 + 4j. (3 4j) (3 + 4j) (3 3) + ( 4 4)j 0 8j 8j La partie réelle est nulle : le résultat est un nombre imaginaire «pur». Question n 6 : Multiplier les nombres complexes j et 4 + j. ( j) (4 + j) 4 + j j 4 j j 4 + j 4j j 4 + j 4j + (j ) 6 j Question n 7 : Multiplier les nombres complexes 3 4j et 3 + 4j. (3 4j)(3 + 4j) j 4j 3 4j 4j 9 + j j 6j Fabrice Sincère Page 3/4

14 9 + j j + 6 (j ) 5 + 0j 5 La partie imaginaire est nulle : le résultat est un nombre réel «pur». Question n 8 : Multiplier les nombres complexes j et 3 + 4j. j(3 + 4j) 3j + 4j 3j 4 (j ) 4 + 3j Question n 9 : Calculer le module du nombre complexe j. j ( ) + ( ) Question n 0 : Calculer le module du nombre imaginaire 5j. 5j 0 + 5j Question n : Calculer le module du nombre imaginaire 7j. D après la question n 0 : 7j 7 7 Question n : Calculer le module du nombre réel 3, ,93 Pour un nombre réel, le module correspond à la valeur absolue. Question n 3 : Calculer l ument du nombre complexe + j. ( + j) arctan + 45 Question n 4 : Calculer l ument du nombre imaginaire 5j. (5j) +90 Question n 5 : Calculer l ument du nombre imaginaire 7j. (-7j) - 90 Question n 6 : Calculer l ument du nombre réel 3,93. (-3,93) 80 Fabrice Sincère Page 4/4

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