13. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS.

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1 13. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS. 1. DEFINITION Soit l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants ay + by + cy = ϕ( x) ( I) a R, b R c R ϕ fonction continue sur un intervalle I de R L'équation homogène associée à l'équation (I) (ou équation sans second membre) est ay + by + cy =0 ( II) L'ensemble des solutions de l'équation homogène associée est un espace vectoriel de dimension sur R.. RESOLUTION de L'EQUATION SANS SECOND MEMBRE (II). On forme l'équation du second degré appelée équation caractéristique ar + br + c = 0 ( II c ) 1. = b 4ac> 0 L'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes b b r1 = + et r = a a La solution générale de (II) est rx rx 1 ysg( II ) = C1e + Ce avec ( C1, C) R. = b 4ac = 0 L'équation caractéristique admet une racine réelle double

2 U.M.N. 13. Equations différentielles linéaires du ème ordre. Cours. b r = a La solution générale de (II) est rx ysg( II ) = e ( C1x + C) avec ( C1, C) R 3. = b 4ac< 0 L'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées b soit en posant α = Partie réelle de r1 ( ou de r) = a β= Valeur absolue Partie imaginaire de r ( ou de r ) = 1 a b i b i r1 = + = + i et r = α β = α iβ a a La solution générale de (II) est αx ysg( II ) = e ( C1cosβx + Csin βx) avec ( C1, C) R 3. RESOLUTION de L'EQUATION COMPLETE (I). La solution générale de l'équation complète (I) est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre (II) et d'une solution particulière de l'équation complète (I) y = y + y SG( I ) SG( II ) SP( I ) C'est le principe de superposition des solutions (dû à la linéarité de l'équation différentielle) 4. RECHERCHE d'une SOLUTION PARTICULIERE de L'EQUATION COMPLETE (I) Formes classiques du second membre. ϕ( x) = P ( x) avec P polynôme de degré n n n dpic inpl mai 1999

3 U.M.N. 13. Equations différentielles linéaires du ème ordre. Cours. c 0 ysp( II ) = Qn( x) c = 0 et b 0 y = xq ( x) SP( II ) n c = b= 0 ysp( II ) = x Qn( x) avec Q polynôme de degré n mx n n ϕ( x) = e P ( x) avec P polynôme de degré n et m R n mx ou bien, on effectue le changement de fonction inconnue y = e z avec z fonction de x ou bien mx m non racine de l équation caractéristique y = e Q ( x) SP( II ) m racine simple y = e xq ( x) SP( II ) m racine double ysp( II ) = e x Qn( x) avec Q polynôme de degré n n n mx n mx ϕ( x) = Pn( x)cos px + Rn ( x)sin px p R avec P polynôme de degré n et R polynôme de degré n n ± ip non racines de l équation caractéristique ysg( II ) = Qk ( x)cos px + Sk ( x)sin px ± ip racines de l équation caractéristique ysg( II ) = x( Qk ( x)cos px + Sk ( x)sin px) k = max( n, n ) Q et S polynômes de degré k k k n ϕ( x) = e ( Acos px + Bsin px),( m, p) R ( m ou p peut être nul) et ( A, B) R mx on effectue le changement de fonction inconnue mx y = e z avec z fonction de x ϕ( x) = ϕ ( x) i = 1,,... n et si Ψi( x) est une solution particulière de ay + by + cy = ϕi( x) Ψ ( x) est une intégrale particulière de ay + by + cy = ϕ ( x) i i i i i i 3 dpic inpl mai 1999

4 U.M.N. 13. Equations différentielles linéaires du ème ordre. Cours. 5. RECHERCHE d'une SOLUTION PARTICULIERE de L'EQUATION COMPLETE (I) Méthode de variation des constantes. Nous devons résoudre une équation différentielle de la forme ay + by + cy = ϕ( x) ( I ) avec a 0 Lorsque le second membre n'a pas l'une des formes indiquées précédemment, on emploie la méthode dite de variation des constantes. Soit y1 et y deux solutions linéairement indépendantes de l équation homogène associée ay + by + cy = 0 ( II) Comme pour les équations différentielles linéaires du premier ordre, on suppose que les constantes λ sont des fonctions de x dérivables. On cherche une solution particulière de l équation complète (I) sous la forme y = λ ( x) y + λ ( x) y 1 1 Doù y = λ y + λ y + λ y + λ y Lagrange (Français ) propose d imposer aux fonctions inconnues λ la condition supplémentaire il reste alors y = λ y + λ y 1 1 y = λ y + λ y + λ y + λ y λ y + λ y = et en dérivant et λ 1 En reportant dans l équation (I) en tenant compte du fait que y et sont solutions de l équation (II), après simplification il reste a( λ y + λ y ) = ϕ( x) 1 1 D où le système qui détermine λ et λ ϕ( x) λ1 y1 + λ y = a λ1 y1+ λ y = 0 1 y 1 4 dpic inpl mai 1999

5 MATH13E01 Résoudre l' équation différentielle y"+y' +y = x + x +1 MATH13E0 Trouver la solution de l' équation différentielle y"+y' +y = e x vérifiant y(0) = 3 et y ' (0)= 1 MATH13E03 Résoudre l' équation différentielle y"+y' = x + chx MATH13E04 Résoudre l' équation différentielle y"+y' +y = x chx MATH13E05 Résoudre l' équation différentielle y" 3y' 4y = xe x MATH13E06 Résoudre l' équation différentielle y"+y' y = x e x MATH13E07 Résoudre l' équation différentielle y"+y' +5y = e x (cosx 3sinx) (I) dpic- inpl Ð mai 1999

6 MATH13E08 Résoudre l' équation différentielle y"+4y' +4y = e x 1+ x MATH13E09 Résoudre l' équation différentielle y"+y = x +1 MATH13E10 Résoudre l' équation différentielle y" 4y = x MATH13E11 Résoudre l' équation différentielle (E) y"+y = 1 cosx avec x π, π MATH13E1** 1 Résoudre y"+y' 3y = e x (I) +1 MATH13E13 Résoudre l' équation différentielle 4xy"+y' y = 0 dpic- inpl Ð mai 1999

7 MATH13E14** Résoudre l' équation différentielle x y" 3xy' +4y = x sachant que y = x est solution de l' équation homogène associée MATH13E15** Résoudre l' équation différentielle x y"+xy' 4y = 4x (I) Résoudre l' équation différentielle MATH13E16** x y"+4xy' +y = ln(1+ x) (I) MATH13E17** Trouver toutes les applications f : R R deux fois dérivables telles que: x R, f"(x)+ f( x) = x (E) Indication : On pourra poser g(x) = f(x)+ f( x) et h(x) = f(x) f( x) et établir deux équations différentielles linéaires du sec ond ordre dont g et h sont solutions dpic- inpl Ð mai 1999

8 y"+y' +y = x + x +1 MATH13E01 (E) Equation différentielle du sec ond ordre linéaire à coefficients cons tan ts soit y"+y' +y = 0 (E 0 ) l' équation sans second membre ou équation homogène associée et r + r +1 = 0 l' équation caractéristique qui admet pour racines les nombres complexes conjugués r 1 = 1+ i 3 = j et r = 1 i 3 α=re(r 1 ) = Re(r ) = 1 = r 1 = j = j β= Im(r 1 ) = Im(r ) = 3 la solution générale de l' équation sans second membre (E 0 ) est x y SG(E0 ) = e 3 (C 1 cos x + C sin 3 x) avec (C 1,C ) R Le second membre ϕ(x) = x + x +1 est un polynôme du second deg ré puisque c = 1 0, il existe une solution particulière de l' équation complète sous forme d ' un polynôme de même deg ré à coefficients indéter min és y = Q(x) = ax + bx + c y' = ax + b y"= a par idenfication a = 1 a + b = 1 b = 1 a + b + c = 1 c = 0 la solution particulière de l' équation complète (E) est y SP(E) = x x en appliquant le principe de sup erposition des solutions y SG(E) = y SG(E0 ) + y SP(E) = e x (C 1 cos 3 x + C sin 3 x) + x x avec (C 1,C ) R

9 MATH13E0 Rappel : probl me de Cauchy (admet une solution et une seule sur I) y"+y' +y = e x (E) Equation différentielle du sec ond ordre linéaire à coefficients cons tan ts soit y"+y' +y = 0 (E 0 ) l' équation sans second membre et r + r +1 = 0 l' équation caractéristique qui admet une racine réelle double r 1 = r = 1 y SG(E0 ) = (C 1 x + C )e x avec (C 1,C ) R le second membre ϕ(x) = e x est de la forme e mx avec m = 1 = r 1 = r il existe donc une solution particulière sous la forme y = Ax e x avec A constan te réelle à déter min er y = Ax e x y' = A(x x )e x y"= A( 4x + x )e x en repor tan t dans l' équation différentielle, on obtient y"+y' +y = Ae x = e x d' où A = 1 y SP(E) = x e x d' après le principe de sup erposition des solutions y SG(E) = (x + C 1 x + C )e x avec (C 1,C ) R pour déter min er les cons tan tes,on utilise les deux conditions initiales y(x) = (x + C 1 x + C )e x y(0) = C = 3 y' (x) = ( x + ( C 1 + )x + C 1 C )e x y ' (0) = C 1 C = 1 soit C 1 = 4 et la solution Y du problème avec conditions initiales est Y(x) = (x + 4x + 3)e x

10 MATH13E03 y"+y' = x + chx = x + 1 (ex + e x ) (E) Equation différentielle du sec ond ordre linéaire à coefficients cons tan ts soit y"+y' = 0 (E 0 ) l' équation sans second membre et r + r = 0 l' équation caractéristique qui admet pour racines les nombres réels r 1 = 1et r = 0 la solution générale de l' équation sans second membre (E 0 ) est y SG(E0 ) = C 1 e x + C avec (C 1,C ) R on découple le second membre y"+y' = x (E.1) solution particulière pour ϕ 1 (x) = x ϕ 1 (x) est un polynôme du premier deg ré, puisque c = 0et b= 1, alors il existe une solution particulière sous la formexq 1 (x) = x(ax + b) = ax + bx y = ax + bx y' = ax + b y" a en repor tan t dans l' équation (E.1) on obtient ax + b + a = x et par identification a = 1 et b = 1 y SP(E.1) = 1 x x y"+y' = 1 ex (E.) solution particulière pour ϕ (x) = 1 ex sous la forme y = Ae x et l' on obtient y SP(E.) = 1 4 ex

11 y"+y' = 1 e x (E.3) solution particulière pour ϕ 3 (x) = 1 e x de la forme e mx avec m = r 1 = 1et m r solution particulière sous la forme y = Bxe x y' = B(1 x)e x y"= B( + x)e x et en repor tan t dans (E.3) on obtient B = 1 y SP(E.3) = 1 xe x sup erposition des solutions y SG(E) = ( 1 x + C 1 )e x + 1 x x + C ex avec (C 1,C ) R

12 MATH13E04 y"+y' +y = x chx = x (e x + e x ) (E) equation sans second membre y"+y' +y = 0 (E 0 ) equation caractéristique r + r +1 = 0 Racine double r 1 = r = 1 et y SG(E0 ) = e x (C 1 x + C ) (C 1,C ) R on découple le second membre solution particulière pour ϕ 1 (x) = x e x y = e x (ax + bx + c) [ ] [ ] y' = e x ax + (a + b)x + (b + c) y"= e x ax + (4ax + b) + c + b + a (m = 1 r 1 et r ) sous la forme par identification a = 1 4 b = 1 c = 3 8 y SP(E.1) = e x ( 1 4 x 1 x ) solution particulière pour ϕ (x) = x e x (m = 1 = r 1 = r ) y = e x (ax 4 + bx 3 + cx ) par identification a = 1 1 b = 0 c= 0 y SP(E.) = e x ( 1 1 x4 ) par sup erposition des solutions y SG(E) = e x ( 1 1 x4 + C 1 x + C ) + e x ( 1 4 x 1 x ) avec (C 1,C ) R

13 MATH13E05 y" 3y' 4y = xe x (E) Equation différentielle du sec ond ordre linéaire à coefficients cons tan ts soit y" 3y' 4y = 0 (E 0 ) l' équation sans second membre et r 3r 4 = 0 l' équation caractéristique qui admet pour racines les nombres réels r 1 = 1et r = 4 la solution générale de l' équation sans second membre (E 0 ) est y SG(E0 ) = C 1 e x + C e 4x avec (C 1,C ) R Le second membre ϕ(x) = xex si x 0 xe x si x < 0 pour x 0, (m = 1etm r 1 et r ) il existe une solution particulière de l' équation complète sous forme y = (ax + b)e x y' = (ax + a + b)e x y"=(ax + a + b)e x par idenfication a = 1 6 et b = 1 36 la solution particulière de l' équation complète (E) pour x 0 est y SP(E) = ( 1 6 x )ex

14 pour x < 0, (m = 1 = r 1 et m r ) il existe une solution particulière de l' équation complète sous forme y = (ax + bx)e x y' = ( ax + (a b)x + b)e x y"=(ax + ( 4a + b)x + a b)e x par idenfication a = 1 10 et b = 1 5 la solution particulière de l' équation complète (E) pour x < 0 est y SP(E) = ( 1 10 x 1 5 )e x en appliquant le principe de sup erposition des solutions C 1 e x + C e 4x 1 + ( y SG(E) = y SG(E0 ) + y SP(E) = 6 x ) pour x 0 ( 1 10 x 1 5 x + C 1 )e x + C e 4x pour x < 0 avec (C 1,C ) R

15 MATH13E06 y"+y' y = x e x (E) equation sans second membre y"+y' y = 0 (E 0 ) equation caractéristique r + r = 0 Racines réelles r 1 = 1et r = et y SG(E0 ) = C 1 e x + C e x avec (C 1,C ) R pour rechercher une solution particulière, on effectue le changement de fonction inconnue y = e x u avec u fonction de x après simplification par e x > 0 x R on obtient l' équation différentielle u" 3u' = x et l' on cherche une solution particulière de l' équation en u (c = 0etb= 3) sous la forme u = ax 3 + bx + cx u' = 3ax + bx + c u"= 6ax + b et par identification, on obtient a = 1 9 b = 1 9 et c = 7 la solution particulière de l' équation complète (E) est y SP(E) = ( 1 9 x3 1 9 x 7 x)e x en appliquant le principe de sup erposition des solutions y SG(E) = y SG(E0 ) + y SP(E) = C 1 ex + ( 1 9 x3 1 9 x 7 x + C )e x avec (C 1,C ) R

16 MATH13E07 l' équation sans sec ond membre y "+y' +5y = 0 admet pour équation caractéristique r + r + 5 = 0 (II) les racines sont r 1 = 1+ i et r = 1 i = r 1 la solution générale de l' équation sans second membre est y SG(II) = e x (C 1 cosx + C sinx) avec (C 1,C ) R pour obtenir une solution particulière de l' équation complète,on effectue le changement de fonction inconnue y = e x z avec z fonction de x y = e x z y' = e x ( z + z' ) y"= e x (z z' +z") on reporte dans l' équation différentielle,après simplification, on obtient: z"+4z = cosx 3sin x les racines del' équation caractéristique en z sont i et i le second membre est cosx 3sin x donc ω= la solution particulière de l' équation en z est de la forme z = x(a cosx + Bsin x) avec A et B constan tes réelles à déter min er z' = x(bcosx Asin x) + A cosx + Bsinx z"= x( 4Acosx 4Bsin x) + 4Bcosx 4Asinx et 4Bcosx 4Asinx = cosx 3sin x par identification B = 1 et A = 3 4 z SP = x( 3 4 cosx + 1 sin x) y SP(I) = xe x ( 3 4 cosx + 1 sinx) par sup erposition des solutions y SG(I) = e x ( 3x 4 + C 1 )cosx + (x + C )sin x (C 1,C ) R

17 MATH13E08 On effectue le changement de fonction inconnue y = e x z avec z fonction de x y = e x z y' = e x ( z + z' ) y"= e x (4z 4z' +z") en repor tan t dansl' équation initiale, il reste e x z"= e x 1+ x puisque e x > 0 x R on obtient 1 z"= 1+x et en int égrant une première fois z' = Arctan x + C 1 puis en int égrant une seconde fois z = xarctan x 1 ln(1+ x ) + C 1 x + C avec (C 1,C ) R et finalement y = e x (xarctan x 1 ln(1+ x ) + C 1 x + C ) avec (C 1,C ) R

18 MATH13E09 L' équation différentielle s' écrit ] [ ] [ y"+y = x +1 si x I 1 =,0 x +1 si x I = 0,+ on cherche des solutions sur chacun des intervalles et l'on raccorde les solutions en 0 pour x I 1 = ],0[,l'équation y"+y = x +1 admet pour solution générale y = C 1 cosx + C sin x x +1 avec (C 1,C ) R pour x I = ] 0,+ [, l' équation y"+y = x +1 admet pour solution y = D 1 cosx + D sin x + x +1 avec (D 1,D ) R lim y(x) = lim y(x) C x 0 x = D 1 lim y' (x) = lim y' (x) C x 0 x = D +1 lim y"(x) = lim y"(x) C x 0 x = D 1 si l' on exp rime D 1 et D en fonction de C 1 et C, on obtient D 1 = C 1 et D = C soit, la solution de l' équation différentielle y = f(x) = C 1 cosx + C sin x x +1 si C 1 cosx + (C )sin x + x +1 ] [ ] [ x I 1 =,0 si x I = 0,+

19 U.M.N. 11. Equations différentielles linéaires du ème ordre. Exercices corrigés. MATH13E10 L' équation différentielle s' écrit ] [ ] [ y" 4y = x si x I 1 =,0 x si x I = 0,+ on cherche des solutions sur chacun des intervalles et l'on raccorde les solutions en 0 pour x I 1 = ],0[,l'équation y" 4y= x admet pour solution générale y = C 1 e x + C e x + x 4 avec (C 1,C ) R pour x I = ] 0,+ [,l'équation y" 4y = x admet pour solution y = D 1 e x + D e x x 4 avec (D 1,D ) R lim yx ( ) = lim yx ( ) = 0 C + C = D + D x 0 x 0 x + 1 lim y ( x) = lim y ( x) C1 C + = D1 D + 0 x 0 4 lim y ( x) = lim y ( x) C + C = D + D + x 0 x si l on exp rime D1 et D en fonction de C1 et C, on obtient 1 1 D1 = C1+ et D = C 8 8 soit, la solution de l' équation différentielle x x x Ce 1 + Ce + si x I1 =, 0 y = f( x) = 4 1 x 1 x x ( C1 + ) e + ( C ) e si x I = ] 0, ] [ [ dpic inpl mai 1999

20 U.M.N. 11. Equations différentielles linéaires du ème ordre. Exercices corrigés. MATH13E11 Le second membre n'étant pas l'un des cas particuliers étudié dans le cours, utilisons la méthode de variation des constantes. La solution générale de l'équation sans second membre (E 0 ) y"+y = 0 est y = C 1 cosx + C sin x On recherche une solution particulière de l'équation complète (E) en supposant C1 et C fonction de x y = C 1 (x)cosx + C (x)sin x Dérivons y' = C 1 (x)sin x + C (x)cosx + C' 1 (x)cosx + C' (x)sin x Nous disposons d'une seule équation supplémentaire mais de deux inconnues (les constantes C1 et C). Lagrange propose d'imposer la condition supplémentaire : C' 1 (x)cosx + C' (x)sin x = 0 afin de ne pas faire apparaître les dérivées C" 1 (x) et C" (x) dans le calcul de y". Dérivons une nouvelle fois pour obtenir y" y"= C 1 (x)cosx C (x)sin x C' 1 (x)sin x + C' (x)cosx Reportons ces valeurs dans l'équation (E), il reste C' 1 (x)sin x + C' (x)cosx = 1 cosx D'où le système linéaire à deux équations et deux inconnues C' 1 (x)cosx + C' (x)sin x = 0 C' 1 (x)sin x + C' (x)cosx = 1 cosx Ce système admet une solution et une seule car son déterminant est toujours différent de zéro (voir cas général démontré par Wromski) on obtient C' 1 (x) = sin x cosx et C' (x) = 1 en intégrant C1( x) = ln(cos x) et C( x) = x car cos x > sur π π 0,. la solution particulière de l'équation (E) est: dpic inpl mai 1999

21 U.M.N. 11. Equations différentielles linéaires du ème ordre. Exercices corrigés. y SP(E) = (ln(cosx))cosx + xsin x et par superposition des solutions Pour x π, π y SG(E) = (ln(cosx) + C 1 )cosx + (x + C )sin x avec (C 1,C ) R dpic inpl mai 1999

22 MATH13E1 Le second membre n'žtant pas l'un des cas particuliers ŽtudiŽ dans le cours, utilisons la mžthode de variation des constantes. La solution gžnžrale de l'žquation sans second membre (E 0 ) y"+y' 3y = 0 est y =λ 1 e x +λ e 3x On recherche une solution particuli re de l'žquation compl te (E) en supposant λ 1 et λ fonction de x y =λ 1 (x)e x +λ (x)e 3x Dérivons y' =λ 1 (x)e x 3λ (x)e 3x +λ' 1 (x)e x +λ' (x)e 3x Nous disposons d'une seule Žquation supplžmentaire mais de deux inconnues (les constantes λ 1 et λ ). Lagrange propose d'imposer la condition supplžmentaire : λ' 1 (x)e x +λ' (x)e 3x = 0 afin de ne pas faire appara tre les džrivžes λ" 1 (x) et λ" (x) dans le calcul de y" DŽrivons une nouvelle fois pour obtenir y" y"=λ 1 (x)e x + 9λ (x)e 3x +λ' 1 (x)e x 3λ' (x)e 3x Reportons ces valeurs dans l'žquation (E), il reste λ' 1 (x)e x 3λ' (x)e 3x 1 = e x +1 D'o le syst me linžaire ˆ deux Žquations et deux inconnues λ' 1 (x)e x +λ' (x)e 3x = 0 λ' 1 (x)e x 3λ' (x)e 3x 1 = e x +1 ce syst me admet une solution et une seule car son džterminant est toujours diffžrent de zžro (voir cas gžnžral džmontrž par Wromski) e x e 3x on obtient λ' 1 (x) = 1 4 e x +1 et λ' (x) = 1 4 e x +1 en intžgrant λ 1 (x) = 1 4 ( e x + Arctan e x ) et λ (x) = 1 4 ( ex + Arctan(e x ))

23 et la solution particuli re de l'žquation compl te y SP(E0 ) = ex Arctan(e x ) e x + e 3x Arctan(e x ) par superposition des solutions [ ] [ ] avec (λ 1,λ ) R y SG(E) =λ 1 e x +λ e 3x ex Arctan(e x ) e x + e 3x Arctan(e x )

24 MATH13E13 L' équation différentielle est linéaire du sec ond ordre mais à coefficients var iables Recherche des solutions sur ] 0,+ [ on effectue le changement de var iable t = x ou x = t et donc dt = 1 x dx = 1 t dx soit dt dx = 1 t on pose y(x) = y(t ) = z(t) y' (x) = dy dx = dz dt dt dx = 1 z' (t) t y"(x) = d y dx = d dy dx dx = d 1 z' (t) dt dt t dx = 1 1 t z' (t) + 1 t z"(t) 1 t En repor tan t dans l' équation différentielle, il reste z"(t) z(t) = 0 équation différentielle linéaire du sec ond ordre à coefficients cons tan ts d' où la solution générale en z z(t) = C 1 cht + C sht avec (C 1,C ) R et en fonction de x y = f + (x) = C 1 ch x + C sh x pour x 0,+ Recherche des solutions sur ],0[ ] [ on effectue le changement de var iable t = x ou x = t 1 et donc dt = x dx = 1 t dx soit dt dx = 1 t on pose y(x) = y( t ) = z(t) y' (x) = dy dx = dz dt dt dx = 1 z' (t) t y"(x) = d y dx = d dy dx dx = d 1 z' (t) dt dt t dx = 1 1 t z' (t) + 1 t z"(t) ( 1 t ) En repor tan t dans l' équation différentielle, il reste z"(t) + z(t) = 0 d' où la solution générale en z z(t) = C 3 cost + C 4 sin t avec (C 3,C 4 ) R et en fonction de x y = f (x) = C 3 cos x + C 4 sin x pour x,0 ] [

25 RACCORDEMENT DE LA SOLUTION EN 0 Continuité de la solution en 0 lim f +(x) = C 1 et lim f (x) = C 3 x 0 + x 0 la solution sera continue en 0 ssi C 1 = C 3 Continuité de la dérivée première en 0 f lim + (x) C 1 C = lim 1 (ch x 1) + C sh x x 0 + x 0 x 0 + x = 1 x (C x + C 1 x +ο(x)) la lim ite est finie ssi C = 0, la dérivée à droite en 0 vaut alors C 1 f lim (x) C 1 C = lim 1 (cos x 1) + C 4 sin x x 0 x 0 x 0 x = 1 x (C 4 x + C 1 la lim ite est finie ssi C 4 = 0, la dérivée à gauche en 0 vaut alors C 1 Continuité de la dérivée seconde en 0 f lim + '(x) f + ' (0) = C 1 x 0 + x 0 1 f lim '(x) f ' (0) = C 1 x 0 x 0 1 la dérivée seconde est continue en 0 x +ο(x)) la fonction ainsi obtenue est de classe C sur R de plus elle satisfait l' équation différentielle en 0 l' ensemble des solutions sur R est y = f(x) = C 1ch x si x ] 0,+ [ C 1 cos x si x ],0[ avec C 1 R

26 MATH13E14 C'est une Žquation d'euler donc de la forme ax y"+bxy' +cy =ϕ(x) a,bet c constan tes réelles et ϕ fonction donnée L' équation est définie sur R ; elle est linéaire et le coefficient de y" s' annule en 0 On considère ] [ et I = ],0[ I 1 = 0,+ On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs 1 et Supposons dorénavant j fixé puisque y = x est une solution de l' équation homogène associée, on effectue le changement de fonction inconnue y = x z avec z fonction de x y = x z y' = xz + x z' y"= z + 4xz' +x z" et en repor tan t dans l' équation différentielle initiale après simplification, il reste x 4 z"+x 3 z' = x et en divisant les deux membres par x 3 xz"+z' = 1 x soit d dx (xz' ) = 1 x 1 x ln(x) + λ 1 si x I 1 = ] 0,+ [ x z' (x) = 1 x ln( x) + λ si x I = ] 0,+ [ x 1 ln (x) +λ 1 ln x +µ 1 si x I 1 = 0,+ z(x) = 1 ln ( x) +λ ln( x) +µ si x I =,0 ] [ ] [

27 y est solution de l' équation différentielle sur R ssi x ( 1 ln (x) +λ 1 ln x +µ 1 ) y = f(x) = x ( 1 ln ( x) +λ ln( x) +µ ) si x I =,0 RACCORDEMENT de la SOLUTION EN 0 Continuité de la solution en 0 si x I 1 = ] 0,+ [ ] [ lim y(x) = lim y(x) = 0 + x 0 x 0 y est prolongeable par continuité en 0 en posant y(0) = 0 Continuité de la dérivée première en 0 lim y' (x) = lim y' (x) = 0 + x 0 x 0 y' est prolongeable par continuité en 0 en posant y' (0) = 0 Continuité de la dérivée seconde en 0 y' (x) y' (0) lim x 0 + x 0 et y' (x) y' (0) lim n' existent pas, quelle que soit la valeur des constan tes x 0 x 0 Conclusion il n' existe pas de solution de l' équation différentielle sur R

28 U.M.N. 11. Equations différentielles linéaires du ème ordre. Exercices corrigés. MATH13E15 c'est une équation d'euler donc de la forme ax y"+bxy' +cy =ϕ(x) a,bet c constan tes réelles et ϕ fonction donnée L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y" s'annule en 0. On considère: ] [ et I = ] 0,+ [ I 1 =,0 On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs 1 et. Supposons dorénavant j fixé. L'équation sans second membre est : x y"+xy' 4y = 0 (II) On cherche des solutions particulières de la forme y = x r ; on trouve r = our=. La solution générale de l'équation sans second membre est λ 1 x + µ 1 x y SG(II) = λ x + µ x si x I 1 = ],0[ si x I = ] 0,+ [ Par la méthode de variation des constantes, on cherche une solution particulière de l'équation complète. On obtient x x ln( x) si x I1 = ], 0 [ ysp( I) = 4 x x ln( x) si x I = ], + [ 0 4 par superposition des solutions y SG( I) λ = λ x x ] [ µ x + + x ln( x) si x I1 =, 0 x ] [ µ x + + x ln( x) si x I = 0, + x 4 Raccordement de la solution en 0 : x λ1 lim yx ( ) = lim yx ( ) = = λ x 0 µ 1 = µ = 0 dpic inpl mai 1999

29 U.M.N. 11. Equations différentielles linéaires du ème ordre. Exercices corrigés. yx lim ( ) y ( 0 ) yx lim ( ) y ( 0 = ) = 0, pour tout λ = λ + x 0 x 0 x 0 x 0 1 y lim ( x ) y ( 0 ) y lim ( x ) y ( 0 = ) =, pour tout λ = λ + x 0 x 0 x 0 x 0 1 Donc, il n existe pas de solution de (E) sur R. dpic inpl mai 1999

30 MATH13E16 Equation d'euler donc de la forme : ax y"+bxy' +cy =ϕ(x) a,b et c constan tes réelles et ϕ fonction donnée L'Žquation est džfinie sur ] 1,+ [; elle est linžaire et le coefficient de y" s'annule en 0. On consid re : ] [ et I = ] 0,+ [ I 1 = 1, 0 On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs 1 et. Supposons doržnavant j fixž. L'Žquation sans second membre est : x y"+4xy' +y = 0 (II) On cherche des solutions particuli res de la forme y = x r ; on trouve r = 1our= La solution gžnžrale de l'žquationêsans second membre est y SG(II) = λ 1 x + µ 1 λ x + µ x ] [ x si x I 1 = 1,0 si x I = ] 0,+ [ par la mžthode de variation des constantes, on cherche une solution particuli re de l'žquation compl te. On obtient (1 + x) y SP(I) = x ln(1+ x) 3 4 par superposition des solutions λ 1 y SG(I) = λ x + µ 1 x x + µ x (1 + x) + x ln(1+ x) 3 4 (1 + x) + x ln(1+ x) 3 4 si x ] 1,+ [ si x I 1 = ] 1,0 [ si x I = ] 0,+ [

31 RACCORDEMENT de la SOLUTION EN 0 Continuité de la solution en 0 lim y(x) = lim y(x) = 0 ssi µ + x 0 x 0 1 =µ = 0etλ 1 =λ = 1 y est prolongeable par continuité en 0 en posant y(0) = 0 Continuité de la dérivée première en 0 lim y' (x) = lim y' (x) = 1 + x 0 x 0 6 y' est prolongeable par continuité en 0 en posant y' (0) = 1 6 Continuité de la dérivée seconde en 0 y' (x) y' (0) lim x 0 + x 0 y' (x) y' (0) = lim = 5 x 0 x 0 1 y" est prolongeable par continuité en 0 en posant y"(0) = 5 1 Conclusion la solution de (E) sur ] 1,+ [ est [ ] avec f(0) = 0 f' (0) = 1 6 y = f(x) = x x (1 + x) ln(1+ x) et f"(0) = 5 1

32 MATH13E17 L'Žquation proposže (E) n'est pas une Žquation diffžrentielle. En rempla ant x par -x dans (E), on obtient : f"( x) + f(x) = x D'o le syst me : f"(x)+ f( x) = x f"( x) + f(x) = x En additionnant membre ˆ membre ces deux Žquations, puis en les soustrayant, on obtient en tenant compte des notations des fonctions f et g : [ f"(x)+ f"( x) ]+ [ f(x)+ f( x) ]= g"(x)+ g(x) = 0 [ f"(x) f"( x) ]+ [ f(x) f( x) ]= h"(x) h(x) = x La premi re Žquation admet pour solution g(x) = C 1 cosx + C sin x avec (C 1,C ) R La seconde Žquation admet pour solution h(x) = x + D 1 chx + D shx avec (D 1,D ) R et donc puisque [ ] f(x) = 1 [ g(x) + h(x) ]= x + 1 C 1 cosx + C sin x + D 1 chx + D shx Etudions la ržciproque : Les solutions f(x) vžrifiant l'žquation (E) f"(x)+ f( x) = 0 x R doivent satisfaire C sin x + D 1 chx = 0 x R et donc C = D 1 = 0 Les solutions de (E)ÊÊsont donc : f(x) = x + 1 [ C 1 cosx + D shx] avec (C 1,D ) R Remarque : Par construction, g est une fonction paire ce qui implique C = 0 et h une fonction impaire ce qui implique D 1 = 0

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